CC BY
27
УДК 530.1
АНОМАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ-ШУМ ПРИ СТОХАСТИЧЕСКОМ
РЕЗОНАНСЕ
С. А. Решетняк1, Г. Н. Третьяков1, В. А. Щеглов
Для стохастического резонанса проанализирован коэффициент передачи, показывающий во сколько раз отношение сигнал-шум на выходе бистабильной системы превышает аналогичное отношение на ее входе. С помощью численного эксперимента определены параметры системы и сигнала, при которых коэффициент передачи превышает единицу.
В последнее время для решения проблемы выделения слабого сигнала при наличии шума широко исследуется явление стохастического резонанса (СР), которое было предсказано в [1] и экспериментально реализовано в бистабильных системах самого различного рода (см., например, обзорную работу [2]). В первую очередь, это связано с необычным поведением отношения сигнал-шум (Б/М) в зависимости от интенсивно сти шума. Кривая Б/Ы, изображенная на рис. 1, имеет локальный максимум, который объясняется перекачкой энергии из шума в сигнал. Однако более важной характеристикой является коэффициент передачи, показывающий во сколько раз Б/N на выход« бистабильной системы превышает отношение на ее входе. При наличии локаль
ного максимума на кривой S/N коэффициент передачи, найденный в [3] и изображен ный на рис. 2, всегда меньше единицы. Цель данной работы заключается в пересмотр«1 основных положений явления СР и определении параметров бистабильной системы, при которых коэффициент передачи превышает единицу.
Московский институт радиоэлектроники и автоматики.
-2 0 2 lg(D/Uc)
-2 0 2 lg(D/Uc)
Рис. 1. Характерная для СР зависимость отношения S/N от нормированной интенсивности шума D (получена в [6] при а = 1500с-1, b — 5 • 10-9р-2с-1, А = О.Зрс-1, /0 = 40 Гц).
Рис. 2. Коэффициент передачи, соответствующий кривой S/N на рис. 1.
Объясняющие СР теоретические работы базируются на следующем уравнении для физической величины //, например координаты броуновской частицы:
Здесь и (л) - бистабильный потенциал, имеющий два устойчивых положения равновесия с потенциальным барьером между ними, Лсов^о*) и £(£) - сигнал и шум с интенсивностью И на входе бистабильной системы.
Уравнение (1) можно рассматривать как уравнение передемпфированного движения броуновской частицы в потенциальном поле и(т)). Теория броуновского движения используется во многих областях физики, поэтому явление СР имеет большую сферу приложений [2]. Наиболее правильный анализ СР осуществляется на основе вполне эквивалентного (1) кинетического уравнения типа Фоккера-Планка. Данное уравнение имеет определенный спектр собственных частот Ц\,Цч,..., занумерованных в порядке возрастания по величине. Первые собственные частоты имеют простой физический смысл. Частота ¡Л] определяет среднее число переходов за единицу времени через потенциальный барьер при воздействии на систему шума. Частота /¿2 совпадает с обратным значением времени падения частицы с вершины барьера на дно потенциальной ямы.
-L + U'(ri) = Acos(uot) + m,
(«*)) = 0, (ЩНт)) = 2Щг).
(1)
Остальные собственные значения играют второстепенную роль, так как их следует учитывать при описании начальной стадии релаксации к равновесию.
Основной причиной перекачки энергии из шума в сигнал является направленные поток переходов через барьер, обусловленный действием шума. Этот поток отличен о i нуля, если система находится в неравновесном состоянии. В рассматриваемом случае стационарного процесса СР неравновесность возникает на каждом периоде воздействия сигнала на систему, т.е. создается самим сигналом. В состоянии равновесия прямые и обратные переходы компенсируют друг друга, направленный поток переходов через барьер равен нулю и усиление сигнала не происходит.
Наибольший практический интерес вызывают исследования для слабых сигналов, амплитуды А которых меньше или порядка характерного значения силы U'(r]). Для наиболее употребимого бистабильного потенциала вида
= (2)
сила U'(tj) имеет характерное значение ат]0, где rj0 = \fajb.
При А « ат]0 нетрудно получить аналитическое решение кинетического уравнения в рамках нестационарной теории возмущений по малой амплитуде сигнала А. Решения применимые для произвольных частот и0, получены в работах [3, 4]. Из них следует, что амплитуда выходного сигнала существенно превышает амплитуду выходного сигнала в отсутствие шума для частот в интервале 0 < Ыо iS Pi, т.е. имеет место широкополосное по частоте усиление сигнала. Поэтому получившее в литературе назван ¡и "стохастический резонанс" для данного эффекта является условным.
Теоретические исследования [2] указывают также на то, что наблюдаемый экспе риментально максимум на кривой S/N возможен лишь для небольших сигнальных амплитуд А < ат]0. При этом действующая на частицу периодическая внешняя си ла меньше возвращающей силы ат]о и не приводит к переходам через потенциальный барьер. Чем меньше А, тем меньше интенсивность шума, при которой наблюдается локальный максимум. Наличие данного максимума связано не только с усилением вы ходной амплитуды сигнала, но и с тем, что на выходе бистабильной системы изменяете я также спектральная плотность шума N(cj). Из [3] следует, что эта плотность начинает спадать в области частот, близких к Именно этими двумя факторами объясняет ся возникновение максимума на кривой S/N, который соответствует примерному со впадению частоты сигнала ljo с собственной частотой р\. В этом смысле СР можно
отнести к разряду резонансных явлений. Отметим, что усиление сигнала с небольшими значениями амплитуды происходит при движении частицы на возрастающей ветви потенциальной функции U(rj).
Однако неравновесный поток переходов через барьер может привести к усилению сигнала и на спадающей ветви потенциала. Для этого необходимо, во-первых, рассмотреть случай сигнальных амплитуд А > arj0. При этом периодическая внешняя сила вынуждает частицу двигаться по спадающей ветви потенциала. Во-вторых, следует рассмотреть случай высоких сигнальных частот ujq ta р,2- Тогда наиболее оптимальные условия приема сигнала следует ожидать при ш0 ~ ~ /¿2, т.е. там, где интенсивность шума D порядка или больше высоты барьера Uq.
Используя результаты работы [3], нетрудно получить следующий коэффициент передачи для потенциала (2):
(S/N)вых _ ^(Н1)ЧаЧ2 (S/N)ex /¿1(^1 + 2ak) + аш1
Я = i о l лг\- = ■■ /■■ , «1.1Л , - ,2 ' w)
„ 8С/0 . . крх
К = —, а = 1 +-,
П Це
где С/о = а2/46 - высота потенциального барьера. Частота для не слишком больших интенсивностей шума (И < [/0) определяется формулой Крамерса [5]:
уД (
V2 ( Uo\
Частота ре = 2а по порядку величины совпадает с р.^ и определена в [3] как эффективное значение высших собственных частот Цз, ■■■
Хотя формула (3), строго говоря, неприменима для сигнальных амплитуд А > аг)о, мы предполагаем, что она в данном случае определяет хотя бы правильное качественное поведение коэффициента передачи. Поэтому, рассматривая в (3) предел высоких час гот шо сигнала с учетом (4), получаем
1 , 4У2 U0 ( U0\ ...
9 = a = 1 + ___eXp(--J. (5)
Из (5) следует, что коэффициент передачи превышает единицу. С ростом D он достигает максимального значения 1.66 при D = Uq и затем спадает.
С целью проверки возможности достижения значений q > 1 в работе был проведен численный эксперимент. При этом модель белого шума с верхней границей по частоте /ш = 30 кГц и другие условия вполне идентичны эксперименту [6]. Был рассмотрен потенциал (2) и выбраны следующие параметры: b = 5 ■ 10-9р~2с-1, А = О.Зрс-1,
Рис. 3. Коэффициент передачи для трех значений параметра а бистабильной системы (кривые 1, 2, 3 соответствуют значениям а = 500,100,10 с-1).
Рис. 4. Амплитуда выходного сигнала в зависимости от интенсивности шума (а = 500с"1).
2 18(Э/ис)
о-0.6
1в(о/ис)
Рис. 5. Спектральная плотность шума на сигнальной частоте как функция О (а = 500 с 1). Рис. 6. Коэффициент передачи для измененной частоты сигнала.
/о = и>о/27г = 40 Гц, где р - размерность физической величины г/. Численный анализ проводился для нескольких значений параметра а при условии А > аг/0. Результаты численного анализа представлены на рис. 3. Видно, что коэффициент передачи действительно может принимать значения, превышающие единицу, а его зависимость от О вполне подобна (5). Наблюдаемый сдвиг максимума коэффициента передачи можно объяснить сложной зависимостью частот и //г от интенсивности шума и коэффициен-
та а при D > Uq. В частности, как показано в [3], частота //] при D > (Jo не подчиняется формуле (4). На рис. 4 и 5 изображены соответственно амплитуда выходного сигнала и спектральная плотность шума на сигнальной частоте в зависимости от D. Следует отметить отсутствие локального максимума не только на кривой амплитуды выходного сигнала, но и на кривой отношения S/N, которые характерны для классического явления СР. Численный счет указывает также на зависимость коэффициента передачи от частоты сигнала /о- Так, если частоту /о увеличить в три раза, то q принимает значения меньшие единицы, что и изображено на рис. 6.
Таким образом, проведенный анализ CP указывает на существование области параметров бистабильной системы, в которой q > 1 и, следовательно, данное явление может иметь практическое использование. В этом случае система не только усиливает сигнал в достаточно широкой полосе частот, но и является частотным фильтром для шумового воздействия. Отметим, что эта область параметров наименее исследована в литературе как экспериментально, так и теоретически. Слабое развитие теоретических исследований, в первую очередь, связано с невозможностью использовать здесь нестационарную теорию возмущений по малой амплитуде сигнала.
Авторы благодарят Карташова В. М. за проведение численных расчетов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Benzi R., Sutera S., Vulpiani A. J. Phys. А, 14, N 11, L453 (1981).
[2] G a m m a i t о n i L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Rev. Mod. Phys., 70, N 1, 223 (1998).
[3] К а p т а ш о в В. М., Решетняк С. А., Третьяков Г. Н., Щеглов В. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 12 (2000).
[4] Н u G., Haken Н., N i n g С. Z. Phys. Lett. А, 172, N 1-2, 21 (1992).
[5] К г a m е г s Н. A. Physica (The Hague), 7, 284 (1940).
[6] К а р т а ш о в В. М., Решетняк С. А., Третьяков Г. Н., Щеглов В. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 19 (2000).
Поступила в редакцию 27 февраля 2001 г.
