K α-МЕТОД СУММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

8. Торшина О.А. О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости // Вестник Челябинского государственного университета. - 2003. - Т. 3, № 3. - С. 178-191.

9. Торшина О.А. Оценка разности спектральных функций дискретных операторов // Альманах современной науки и образования. - 2009. - № 12-1. -С. 123-125.

10. Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа дифференциального оператора со сложным вхождением спектрального параметра // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2003. - Т. 8, № 3. - С. 467-468.

Ka-МЕТОД СУММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

© Кулиев В.Д.*, Борисова Н.Л.Ф, Остапенко Е.С.*

Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),

г. Москва

В работе [1] предложен новый метод суммирования функциональных рядов. Этот метод, названный Ka (0 < а < л/2) - методом применим при решении различных задач математической физики [2,3]. Если а= л/2, то приходим к методу суммирования Плана [1,4].

Сначала изложим суть Ка-метод суммирования рядов, а затем применим его к суммированию расходящихся рядов.

Ключевые слова расходящиеся ряды, метод суммирования Плана, Ка-метод, регулярные функции, сектор.

1. Äa-метод суммирования функциональных рядов [1].

да

Рассмотрим ряд ^ f (к).

к=m

Если функция f(z) регулярна в правой полуплоскости Re z > m, |Imz| < да z-плоскости и такова, что ее модуль при |z| = R, -л/2 < argz < л/2 при достаточно больших R может быть как мал, так и велик, то для суммирования рядов такого типа метод Плана не применим [1]. Поэтому возникает необходимость в разработке метода суммирования рядов, учитывающего и это обстоятельство.

Обозначение. Под Sa понимается сектор, образованный двумя лучами в z-плоскости, исходящими из точки Oj(m, 0) симметрично относительно действительной оси под углом а (0 < а < п/2).

* Заведующий кафедрой Высшей математики, доктор физико-математических наук, профессор.

* Старший преподаватель кафедры Высшей математики. " Студент.

Теорема 1. Пусть:

1°. Функция Дг) регулярна внутри и на границе сектора 8а.

2°. ФункцияДг) в точках г = к, где к = т, т + 1, т + 2, ..., не имеет нулей.

3°. Угол а такой, что предельное равенство

Ншк2^ ^Щ/(т + Яе') |} = 0. (1)

я^+ад

выполняется равномерно по р е [0, а]. 4°. Несобственный интеграл

ад

| / (т)ёт (2)

т

сходится. Тогда

/ а л

X f (k) = ll —I f (m) + f f {z)dz +

1 W 1

+- f-1-(Г f (m + ре'ау(а+2^а) + f (m + ре-'а)е-'(а+2ярсоа) 1 - (3)

4J0 А(р, а) J (3)

-[ f (m + ре'а)е'а + f (m + ре-а)е-а] е-2р1па J dp,

А(р,а) = 81п2(р^ео8а) + sh2(pжs1n а).

Угол а выбирается так, чтобы выполнялось условие (1). 2. Суммирование расходящихся рядов.

Теория суммирования расходящихся рядов занимает достойное место в современном математическом анализе.

Одной из важнейших работ в этом направлении можно считать монографию Г. Харди [5]. Она содержит обширный исторический обзор вопроса (гл. I, II), краткое введение в общую теорию суммирования рядов (гл. III), подробное исследование многих конкретных методов суммирования (гл. IV-IX), изложение теории Винера и свойств хаусдорфовских средних (гл. XI и XII), а также некоторые приложения теории (гл. X и XIII). Приведем здесь метод Абеля [5, с. 97]. Если

0 <м0 <Mi<M < ...> Mn ^^ (4)

ряд

да

X а(п)е-ЛМп (a(n) = an) (5)

0

сходится для всех положительных X и

^(Л) = Х а(п)е~Лм" ^ 5 о

при Л^+0, то говорят, что ряд

да

Xа(п)

о

суммирует (А, ц„) к сумме Б, и пишут

да

X а(п) = 5 (А, цп). (6)

о

Рассмотрим ряд

да

X а(п)е-Л"(п) (я =м(п)), (7)

п=т

где число т равно нулю, либо - любому натуральному числу.

Если функция /= а(2)е~Лм(г> удовлетворяет всем требованиям теоремы 1 в г-плоскости, то сумма ряда (7) определяется по формуле (3). Следовательно, теорема 1 дает возможность суммировать расходящиеся ряды. 3. Суммируемость ряда 1 - 1 + 1 - 1 + ... разными методами. Рассмотрим ряд

1 - 1 + 1 - 1 + ... (8)

1. Этот ряд суммируем (А, и)-методом. Действительно, в силу метода

п

суммирования рядов Плана, который получается из Ка (а = —) - метода суммирования рядов, имеем

да да л да

X (~1)пе~Лп =Х сои(пя)е-Лп = - + | со%{гп)е-Лт сСт +

п=0 п=0 2 0

+2даскп^г,) с -я> 0) I е -1 2 2(сЫ +1)

Отсюда, при Л^+0, находим

да 1

lim X (" = -

л^+о„=0 2

Следовательно, ряд (8) суммируем (A, п)-методом к —.

2

n .

2. Ряд (8) суммируем Ка (а = —) - методом. Действительно, в силу (8),

имеем

да да о w

X (~1)"e-A"2 = X cosfany* = - + J cos(pn)eÄ dp +

- i-

^ i+* f- &

'0-2 sin

pn-

pn-

cos

pn-

V2

А ( ch

pn

V2

cos

/V /

( V2w ^

+ sin

pn-

cos

pn-

sh

pn

V / V /

Г /TW ^

n + npyft-Äp2) +

sin(n + npsl2 -Äp2 )

ch

pn

cos (|-Äp2)-

+ sin

pn

V2

sh

pn

V2

/V ,2

sin n-Äp2 )

e-^t dp =

-> I n i да

= - + n e~Ä+ Ii

4 \4Ä 2J

' V2 V ,2 f &

+ sh —

0 • 2 sin

pn-

pn-

x^ cos

pn-

ch

pn

V2

cos Mr

(n + npT2-Äp2 )-

-cos(4

(f-Äp2) e-np^2

+ sin

pn

V2

sh

pn

72

V /V

2

sin(n + npV2 -Äp2)-sin(n-Äp2)eJdp (Ä > 0).

Отсюда, при Л^+0, находим

lim X(- 1)ne_Än2 = - (Л,n2).

Ä^+0n=0 2

n 1

Следовательно, ряд (8) суммируем Ka (а = —) - методом к —.

4 2

0

V

x

1

x

V

x

п

Суммируемость ряда (8) Ка (а =—) - методом можно доказать еще следующим образом. Из теории эллиптических функций известно, что

1 - 2д + 2д4 - 2д9 +... = П {(- - ^+1)' (1 - ^+2)}

для \д\ < 1, причем произведение в правой части, очевидно, стремится к нулю, когда д^-1 г заключаем, что

лю, когда д^1 по вещественным значениям. Отсюда (записывая д в виде е'л)

1 -е~Л + е~4Л -е"9Л +... ^1 2

2 1 так что ряд (8) суммируем (А, п ) - методом к —.

2

Он также суммируем (А, пк) - методом для положительного к. Данное утверждение легко доказывается с помощью Ка-формулы суммирования ряда (3) при соответствующем выборе а.

Покажем, что ряд (8) не суммируем (А, цП) при я = ап (а > 1). Пусть

^(х) = х-ха + ха2 -ха3 +... (а > 1).

Функция ^(х) при х ^ 1 - 0 не стремится ни к какому пределу. Чтобы убедиться в этом заметим, что Е(х) удовлетворяет функциональному уравнению

^ (х) + ^ (ха) = х, другим решением которого служит

Ф( х)=х (-1)п Г ¡и11п.

" п!(1 + ап) I х1 Поэтому ¥(х) = ^(х) - Ф(х) удовлетворяет уравнению ¥(х) + ¥(ха) = 0 и,

следовательно, является периодической функцией от 1п1п- с периодом

х

21па. Будучи, очевидно, не постоянной, она колеблется между конечными

границами, когда х ^ 1, ¡п1 ^ 0, 1п | ¡п11 ^ -да. Но при этом Ф(х) ^1.

х V х) 2

Поэтому колеблется ^(х). Отсюда следует, что ряд (8) не суммируем (А, цп) при я = ап (а > 1).

Существуют также методы, в рамках которых ряд (8) не суммируем [5, с. 113-114].

Список литературы:

1. Кулиев В.Д. Новая формула суммирования функциональных рядов и некоторые её приложения (ч. 1) / В.Д. Кулиев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2013. - № 1 (15).

2. Кулиев В.Д. К теории дзета-функции Римана (ч. 2) / В.Д. Кулиев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. -2013. - № 2 (16).

3. Кулиев В.Д. К теории теплопроводности стержня конечного размера (ч. 3) / В.Д. Кулиев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2013. - № 3 (17).

4. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи / В.Д. Кулиев. - М.: Физ-матлит, 2005.

5. Харди Г.Г. Расходящиеся ряды / Г.Г. Харди. - М.: ИЛ, 1951.

К ВОПРОСУ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА ПО СПЕКТРУ

© Смирнова Л.В.*

Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск

В статье доказывается теорема единственности восстановления потенциала в обратной задаче Борга-Левинсона с краевыми условиями Робена и на ее основе для этой задачи строится математическая модель восстановления потенциала.

Ключевые слова математическая модель, потенциал, единственность восстановления, спектр, обратная задача Борга-Левинсона, краевые условия Робена.

Рассмотрим вопрос о математической модели восстановления потенциала по неполным спектральным данным в обратной задаче Борга-Левинсона с краевыми условиями Робена. Данное исследование ведётся в направлении, обозначенном в 1988 году A.I. Nachman, J. Sylvester, G Uhlmann [1]. В своей работе они доказали теорему единственности восстановления потенциала по полным спектральным данным в обратной задаче Борга - Ле-винсона с краевыми условиями Дирихле. Вывод о том, что в условия данной теоремы входят величины, не влияющие на единственность восстановления потенциала, стал ясным после работы H. Isozaci. Он доказал теорему единственности восстановления потенциала в обратной задаче Борга - Левинсона с краевыми условиями Дирихле, если отсутствуют сведения о конечном числе спектральных объектов. Построение модели восстановления

* Доцент кафедры Алгебры и геометрии, кандидат физико-математических наук.