К вопросу о математической модели восстановления потенциала по спектру Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы:

1. Кулиев В.Д. Новая формула суммирования функциональных рядов и некоторые её приложения (ч. 1) / В.Д. Кулиев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2013. - № 1 (15).

2. Кулиев В.Д. К теории дзета-функции Римана (ч. 2) / В.Д. Кулиев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. -2013. - № 2 (16).

3. Кулиев В.Д. К теории теплопроводности стержня конечного размера (ч. 3) / В.Д. Кулиев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2013. - № 3 (17).

4. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи / В.Д. Кулиев. - М.: Физ-матлит, 2005.

5. Харди Г.Г. Расходящиеся ряды / Г.Г. Харди. - М.: ИЛ, 1951.

К ВОПРОСУ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА ПО СПЕКТРУ

© Смирнова Л.В.*

Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск

В статье доказывается теорема единственности восстановления потенциала в обратной задаче Борга-Левинсона с краевыми условиями Робена и на ее основе для этой задачи строится математическая модель восстановления потенциала.

Ключевые слова математическая модель, потенциал, единственность восстановления, спектр, обратная задача Борга-Левинсона, краевые условия Робена.

Рассмотрим вопрос о математической модели восстановления потенциала по неполным спектральным данным в обратной задаче Борга-Левинсона с краевыми условиями Робена. Данное исследование ведётся в направлении, обозначенном в 1988 году A.I. Nachman, J. Sylvester, G Uhlmann [1]. В своей работе они доказали теорему единственности восстановления потенциала по полным спектральным данным в обратной задаче Борга - Ле-винсона с краевыми условиями Дирихле. Вывод о том, что в условия данной теоремы входят величины, не влияющие на единственность восстановления потенциала, стал ясным после работы H. Isozaci. Он доказал теорему единственности восстановления потенциала в обратной задаче Борга - Левинсона с краевыми условиями Дирихле, если отсутствуют сведения о конечном числе спектральных объектов. Построение модели восстановления

* Доцент кафедры Алгебры и геометрии, кандидат физико-математических наук.

потенциала наталкивается на серьезные трудности в силу того, что нет теорем о существовании потенциала в задачах с заданным спектром. Попытки продвижения в этом направлении обозначены в работах [2-5]. В данной статье представлен один из аспектов решения проблемы восстановления потенциала в случае, если отсутствуют сведения о некотором бесконечном множестве спектральных объектов.

Пусть Q - ограниченная область в Rn, n > 2, с границей S класса С. Рассмотрим краевые задачи Робена для действительных функций qj е C00 (q) , j = 1, 2 и действительной функции 8 е С (S), 8(x) < 0:

-Ди (х) + q (х) и (х) = Ли (х), x е Q,

-8и ] = 0. (1)

5v

где Л — комплексный параметр;

V— внутренняя нормаль к S.

Задача (1) имеет не более счетного числа собственных значений ¿и1, д2, д3, ..., каждое из которых имеет конечную кратность. Пусть д < д2 < д3 < ... — собственные числа этой краевой задачи, взятые с учетом кратности, а v1, v2, v3 ... — соответствующие им собственные ортонормированные функции.

Обозначим через mt — кратность собственного значения д. Через Vjt, 1 < j < mt, обозначим собственные ортонормированные функции, соответствующие д. Эти наборы функций определяются неоднозначно.

Полагаем

E =

{(vit, v2 (vmt, )| s }

Считаем две системы собственных функций {u1t, u2t, ..., umf}, {v1t, v2t, ..., vmt} эквивалентными, если существует ортогональная матрица T, для которой

(uit, u2t ,.. umtt ^ = , v2t Vm,t Т

Полученные классы эквивалентности обозначим через Ut.

Введем оператор Дирихле D : L2(S) ^ L2(S) с помощью равенства

D(Ä, q)f = v\s,

где f eC ш (Q) рассматривается как элемент из L2(Q), функция v е C (q), рассматриваемая как элемент из L2(Q), является решением задачи Робена при

Ле С, Л^ q), ^ = 1, (-А + д)у = Лу,

— - 8у оу

= —-8Г.

5 У

Обозначим через / ^ = | /(х)g(х)й^х . Определение. Определим функцию Еравенством:

Е (Л,т,в; qJ = ^ Б (Л, qJ ф^-ф^ ]( х)[—ф, х )-<%,-* ( х

где фЯт (х) = ехр(/'л/Х®' х), Ле С /(-<»;0), те X"-1, ве -1.

Для доказательства теорем о единственности восстановления потенциала для краевой задачи Робена нам понадобится следующая лемма, которую можно доказать, применив формулы Грина.

Лемма. Для функции F справедливо равенство

:--■ Г7 —

Е (Л,т,в; qJ. ) =

Л (в-т)21ехр(в-т)х)йх-1ехр(-¿л/Л(в-т)х)qJ. (х)йх-

2 п п

(х)ехр(-1\[Л(в-т)хУ<й8х -

я

qj (х) • (-А+qj- Л)1 (qA«) (х) ■ фЛ,-в (х Ух.

п

Рассмотрим последовательности вида

^¡П = П + г, ап = Спп-%(2пу\

1

вп = СЛ+#(2п)-', Сп = (1-||2(4п2)-1)2, п = 1,2,...,

(2)

где г е и произвольный фиксированный элемент 0, при-

чём (г, | = о.

На этих последовательностях получим предельное равенство:

II2

НтР(1п,вп,тп;q) = -1 I"ехр(-х|)йх + |ехр(-гх|)q(х)йх. (3)

2

В дальнейшем для доказательства теорем о единственности восстановления потенциала в задаче Робена мы будем использовать (3), а также результаты, опубликованные в [6].

Рассмотрим задачу (1) с потенциалами ду,д2 е С00 (о) . Докажем теорему.

Теорема. Пусть дь д2 - действительные функции из С0 (о) такие, что при некотором натуральном Т > 0 для задач Робена (1) выполняются требования:

1. V* е N и ,( д )|х =и, (д2 )|х; 2. ЗТ е N V, > Т м,( д ) = м (д2).

Тогда д1(х) = д2(х) для любого х е О.

Доказательство. В [3] утверждается, что ядро оператора Дирихле формально задаётся равенством

СО _

кег И (х, у) = £ и, (д^) (х) и, (д^)(у) • (м (д^)- X) , х, у е 5,

причём кегО(2, д1) - кеЮ(2, д2) имеет смысл как оператор в Ь2(Б х 5). Рассмотрим разность

кег Б (X, д1 )-кег Б (X, д2 ) =

00 - -1 00 - -1

=Е и (д) (х)и, (д) (у) • (м (д)- х) - Е ид) (х)и, (д2)(у ММ д2)- х) .

,=1 ,=1

На последовательности, задаваемой равенствами (2), имеем

Иш||Б (1п, ду)- Б (1п, д2

ЯЛ 8фЧ 8д

ду 12) ОУ п п )

= 0

(4)

Поэтому мы можем утверждать, используя равенство (3), что

Нш| Р (1п Д ,тп; д)-р (1п Д ,тп; д2)| = 0 (5)

И, следовательно, д1(х) = д2(х) для любого х е О. Действительно, тогда

| ехр (-гх •)) д1 (х) =| ехр (-гх •)) д (х) $х.

а а

Таким образом, потенциал задачи (1) определяется однозначно при отсутствии конечного числа спектральных данных.

Из данной теоремы следует справедливость математической модели восстановления потенциала (МВП) в задаче Робена.

МВП. Пусть О - ограниченная область в Еы N > 2) с границей 5 класса С. Пусть в задаче (1) известен потенциал д1, известны её собственные чис-

ла, за исключением, быть может, их некоторого конечного множества, и значения на границе S собственных функций. Если для задачи (1) с потенциалом q2 выполняются следующие условия:

1. Vt е N U,(q)|s =Ut (q2)|s ; 2. 3T > P Vt > Tц, (q) = ц, (q2), то для

любого x из Q выполняется равенство qi(x) = q2(x).

Замечание.

В предположении, что решение данной обратной задачи существует, предложенную модель можно положить в основу численной математической модели восстановления гладких потенциалов, а также в основу численных алгоритмов восстановления гладких потенциалов в обратной задаче Неймана. Попытки создания численных моделей можно найти в работах [7-10].

Список литературы:

1. Nachman F., Sylvester J., Uhlmann G An n - Dimensional Borg - Levin-son Theorem // J. Math. Phys. - 1988. - V 115. - P. 595-605.

2. Дубровский В.В., Торшина О.А. Проблема решения задач на собственные значения для дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра // Новые мат. методы. Электромагнитные волны и электронные системы. - 2002. - N 9, Т. 7. - С. 4-10.

3. Торшина О.А. О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости // Вестник Челябинского государственного университета. - 2003. - Т. 3, № 3. - С. 178-191.

4. Торшина О.А. Оценка разности спектральных функций дискретных операторов // Альманах современной науки и образования. - 2009. - № 12-1. -С. 123-125.

5. Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа дифференциального оператора со сложным вхождением спектрального параметра // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2003. - Т. 8, № 3. - С. 467-468.

6. Смирнова Л.В. Оценка модуля собственных функций задачи Робина для самосопряжённого оператора // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1999. - Т. 4, № 6. - С. 15-17.

7. Кадченко С.И. Линейные уравнения для приближенного вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко, И.И. Кинзина // Электромагнитные волны и электронные системы. -2005. - Т. 10, № 6. - C. 4-12.

8. Кинзина И.И. Нахождение собственных чисел возмущенных дискретных операторов // Вестник Челябинского государственного университета. Математика. Механика. Информатика. - 2008. - Вып. 10, № 6 (107). - C. 34-43.

9. Kadchenko S.I., Kinzina I.I. Computation of eigenvalues of perturbed discrete semibounded operators / S.I. Kadchenko, I.I. Kinzina // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2006. - Т. 46, № 7. - C. 1200-1206.

10. Кинзина И.И. Алгоритм нахождения собственных чисел возмущенных дискретных самосопряженных операторов: дисс. ... канд. физико-математических наук: 05.13.18. - Магнитогорск, 2006. - 168 с.

СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА-БОХНЕРА

© Торшина О.А.*

Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск

В работе рассматривается область, в которой оператор Лапласа-Бох-нера имеет существенный спектр. Изучается связь между характеристиками области и спектральными свойствами оператора. Вычисляются собственные числа оператора.

Ключевые слова: спектральная теория, оператор Лапласа-Бохнера, возмущенный оператор, собственные числа.

Пусть оператор Лапласа-Бельтрами:

ТА 1 9 { ■ Г9 1 52

Т = -Д =---

sin вдву дв sin2 вдф1

с потенциалом на проективной плоскости, действующий в гильбертовом пространстве Н функций, интегрируемых с квадратом по мере Хаара, 1n (n = 0, <») - собственные числа оператора Т, vn - кратность собственного

числа, vn i = 0,2n) - собственные функции оператора Т, образующие систему ортонормированных сферических функций, ln = {1\ 1 = 1n + n + l + ip, -ж < p < +ж} - вертикальные прямые на комплексной плоскости. Обозначим через собственные числа оператора T + P, взятые с учетом алгебраической кратности.

Их вычисление требует предварительного нахождения оценок для числовых рядов. Все члены рассматриваемых числовых рядов являются не отрицательными и монотонно убывают при возрастании индекса суммирования, поэтому величина их суммы есть О от соответствующих несобственных интегралов. Этот факт используем при доказательстве сформулированных ниже лемм.

Лемма 1. Верна асимптотическая формула

* Доцент кафедры Прикладной математики и вычислительной техники, кандидат физико-математических наук, доцент.