CC BY
32
10. Кинзина И.И. Алгоритм нахождения собственных чисел возмущенных дискретных самосопряженных операторов: дисс. ... канд. физико-математических наук: 05.13.18. - Магнитогорск, 2006. - 168 с.
СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА-БОХНЕРА
© Торшина О.А.*
Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск
В работе рассматривается область, в которой оператор Лапласа-Бох-нера имеет существенный спектр. Изучается связь между характеристиками области и спектральными свойствами оператора. Вычисляются собственные числа оператора.
Ключевые слова: спектральная теория, оператор Лапласа-Бохнера, возмущенный оператор, собственные числа.
Пусть оператор Лапласа-Бельтрами:
ТА 1 9 { ■ Г9 1 52
Т = -Д =---
sin вдв{ дв sin2 вдф1
с потенциалом на проективной плоскости, действующий в гильбертовом пространстве Н функций, интегрируемых с квадратом по мере Хаара, 1n (n = 0, <») - собственные числа оператора Т, vn - кратность собственного
числа, vn i = 0,2n) - собственные функции оператора Т, образующие систему ортонормированных сферических функций, ln = {1\ 1 = 1n + n + l + ip, -ж < p < +ж} - вертикальные прямые на комплексной плоскости. Обозначим через собственные числа оператора T + P, взятые с учетом алгебраической кратности.
Их вычисление требует предварительного нахождения оценок для числовых рядов. Все члены рассматриваемых числовых рядов являются не отрицательными и монотонно убывают при возрастании индекса суммирования, поэтому величина их суммы есть О от соответствующих несобственных интегралов. Этот факт используем при доказательстве сформулированных ниже лемм.
Лемма 1. Верна асимптотическая формула
* Доцент кафедры Прикладной математики и вычислительной техники, кандидат физико-математических наук, доцент.
Е
1
■ = о
1п п
Е
к=1,к*п\к-П(к + п +1/2) V п Доказательство. Воспользуемся соотношениями порядка для сумм ряда
1 п-1 ^ да ^
п-1
■= Е-
;+ Е
к=1,к * п|к - п| (к + п +12) к=1 |к - п| (к + п +1/2) к=п+^к - п| (к + п +1/2) г , \ г ,, \
= о
п-1 1
ёк
+ о
1 к-и|(к + Й +12) ^ -и|( к + и + 12)
1
ёк
= о
1
-1п-
|к -п
2п +12 к + п +12
= о
1п п
Лемма доказана.
Лемма 2. Имеет место соотношение порядка
Е
( кп )
12
= о
1п п
к=1,к*п|к - п\(к + п) V п Доказательство. Имеем
( кп )
1/2
1
1
= о
к=1,к*п |к - п\ (к + п) 2 к=1,к*п |к2 - п21 Лемма доказана.
Лемма 3. Имеет место асимптотическая оценка
1 ( 1п п
1п п
Е
17 2 2
к=1, к * ппк - п
Доказательство. Воспользуемся соотношениями порядка для сумм ряда
1
_ = 1 Е
к=1,к*п п\к1 - п^ п к=1,к*п |к2 - п
1 ^ 1п п
Лемма доказана.
Лемма 4. Справедливо соотношение порядка
1
к=Е*пкп\к2 -п2
Г = о
1п п
СО
30
30
Доказательство. Очевидно, что
1
=1 Е
1
к=1,к*п кп\к -п пк=1,к*пк к -п
= 1 о
п
(
ёк
\
кЛ|>1 к|к2 - п2
= 1 о
п
1 71
ёк
1,12-п>1 /1/2 , - п2
=о
1п п
Лемма доказана.
Лемма 5. Имеет место соотношение порядка
Е
к1/2
= о
1п п
к=1,к*п п32 |к - п
Доказательство. Воспользуемся соотношением порядка для сумм ряда
№
1
1
к=1,к*п п32 |к2 - п2| п3/2 к=1,к*п |к2 -п2| п32
п к12 » к12
Е^—гт + Е
«V2
о
1 к12ёк 1 /
1 175-Г + о
1 к - п
к=1 |к2 - п2 к=п+1 к2 - п2| к1/2ёк Л
1 2 2 I п+1 к - п 1
Сделаем замену переменных к = г2. В результате получим
Е
к12
1
к=и*«п32 |к2 - пЛ п32
о
1 \х4 - п2|
+ О
V тгйт ' \т4 - п Л
+о
I оЪ +1
О
.32
п,-1 йт ^р йт 1 \т2 - П 1 \т2 + п
о 11+о Г 1
=о
1п п
Лемма доказана.
Лемма 6. Справедлива асимптотическая оценка
1
Е — , , = о, ,
к=ГТЕ*«к1/2п32 к2 - п2 V п5/2 /
= о
1
со
+
п
со
Доказательство. Рассмотрим цепочку неравенств
Е
< Е
к=Е *п к1 V2 \к2 - пЛ~ к=Ек*п к12п52 |к - п| и52 к=Ек*п к12 \к -
л2
о
1п
и -4п\
t + 4п
+ о
1
|к - п| п52 к=
и - л/П —
и + 4П л1п +1
= о
г 1 ^
V2 V и' У
Лемма доказана.
Лемма 7. Справедлива асимптотическая оценка
Е
1
к=1, к * п к 3/2и1/2 к2 - п2
Доказательство. Имеем
= О
1
1
1.'2 I'
1
к=Е*п к3/2п1/2 ¡к2 -п2\ п112 к=Ек*п к32 |к2 -п2\ 11 - 1
+ Е
1 к32 |к2 -пг\ к=Е+1 к32 |к2 -
п
12
о
\
22 1 2 \2 - и
+ о
I
\
О
г dz л dz
1 -72 — и 1 72
+О
22 ^ 2 - П
У V П+1 I
- dz - dz
1 I 2 I 1 2
л/п+г ^ - п ,/п-т z
= О
,5/2 Г
Лемма доказана.
Полученные оценки числовых рядов легли в основу доказательства следующей теоремы.
Теорема 1. Если р - потенциал, удовлетворяющий условию Липшица по двум переменным, то для собственных чисел оператора Т + Р верно равенство
Е Мм - п(п + 1)(2п-1) +| 1{а)^ас1а = О [ |.
1=о 36п е Vп У
Интерес к подобного рода задачам все время возрастает в связи с широкой областью их применения [5-11], так же рассматриваются численные методы вычисления собственных чисел и собственных значений дифференциальных операторов [1-4].
1
30
1
30
п
Список литературы:
1. Дубровский В.В., Торшина О.А. Проблема решения задач на собственные значения для дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра // Новые мат. методы. Электромагнитные волны и электронные системы. - 2002. - N 9, Т. 7. - С. 4-10.
2. Кадченко С.И. Линейные уравнения для приближенного вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко, И.И. Кинзина // Электромагнитные волны и электронные системы. -2005. - Т. 10, № 6. - C. 4-12.
3. Кинзина И.И. Вычисление собственных чисел дискретного самосопряженного оператора, возмущенного ограниченным оператором // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2008. - № 6. - C. 16-24.
4. Кинзина И.И. Нахождение собственных чисел возмущенных дискретных операторов // Вестник Челябинского государственного университета. Математика. Механика. Информатика. - 2008. - Вып. 10, № 6 (107). -C. 34-43.
5. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Смирнова Л.В. О единственности решения обратных задач спектрального анализа // ДАН. - 2000. - Т. 370, № 3. - С. 319-321.
6. Смирнова Л.В. К вопросу о восстановлении потенциала в обратной задаче Робена // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2002. -№ 7 (482). - С. 8-13.
7. Смирнова Л.В. К вопросу о математической модели восстановления гладких потенциалов в обратной задаче Дирихле для 2-мерного и 3-мерного случаев // Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах: международный сборник трудов. - Магнитогорск: Издательство Магнитогорск. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2012. -С. 57-66.
8. Торшина О.А. О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости // Вестник Челябинского государственного университета. - 2003. - Т. 3, № 3. - С. 178-191.
9. Торшина О.А. Оценка разности спектральных функций дискретных операторов // Альманах современной науки и образования. - 2009. - № 12-1. -С. 123-125.
10. Kadchenko S.I., Kinzina I.I. Computation of eigenvalues of perturbed discrete semibounded operators / S.I. Kadchenko, I.I. Kinzina // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2006. - Т. 46, № 7. -C. 1200-1206.
11. Sadovnichii VA., Dubrovskii VV, Smirnova L.V Uniqueness of solutions to inverse eigenvalue problems // Doklady Mathematics. - 2000. - T. 61, № 1. - C. 67-69.
