CC BY
30
Мы видим, что при переходе через точку Q = 30, производная функции меняет знак слева направо с плюса на минус, и в ней функция прибыли достигает максимального значения.
Таким образом, объем выпуска продукции, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.
Из выше сказанного можно сделать вывод:
- применение дифференциального используется при решении математических задач различного характера,
- производная является важнейшим инструментом в изучении экономики, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул,
- прикладная направленность производной многогранна и достойна особого внимания при изучении различных дисциплин.
Список литературы:
1. Абросимов Б.Ф. Способы и методы поиска решения задач.
2. Государственный образовательный стандарт.
3. Закон РФ «Об Образовании».
4. Колягин Ю.М. О прикладной и практической направленности обучения математике.
5. Кочетков С.А. Алгебра и начала анализа. Т. 1-2.
6. Симонов А.С. Экономика на уроках математики.
7. Тихонов А.Н. Рассказы о прикладной математике.
8. Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в обучении математике.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
© Кинзина И.И.*, Шеметова B.B.*
Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск
Приведены результаты вычисления собственных чисел оператора, который получается возмущением второй степени оператора Лапласа на прямоугольнике. Вычисления производились двумя методами: методом регуляризованных следов и методом Бубнова-Галеркина.
Ключевые слова: спектральный анализ, дискретный самосопряженный возмущенный оператор, регуляризованный след, собственные значения оператора.
* Доцент кафедры Математических методов в экономике, кандидат физико-математических наук, доцент.
* Доцент кафедры Математического анализа, кандидат физико-математических наук.
Пусть П = {(х, у): 0 < х < а, 0 <у < Ь}, а > 0, Ь > 0. В пространстве ¿2(П) рассмотрим оператор Лапласа Т0, порожденный краевой задачей Дирихле:
■ д2 52 —Дм = Ли, ul = 0, Д = —-ч---.
|дП дх2 дУ
Введем оператор T = jлрdE (Л), где Е(Л) - спектральное разложение
7Г2к2 7Т2Ш2 V
единицы, р > 1, Л > 0 при Л > 0. Собственным числам Лкт =
a2
ции иы (х, y) = ,— sin —— sin —my . Для удобства собственные числа Лкт
оператора T соответствуют ортонормированные в ¿2(П) собственные функ-
2 . —кх . —my
-J=sin-Sin-
y/ab a b
будем нумеровать в порядке возрастания с учетом кратности одним индексом: KL •
Пусть P - оператор умножения на функцию p е ¿2(П). Обозначим через |/ип собственные числа оператора T + P, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности.
Данная работа посвящена вычислению собственных чисел оператора T + P. Основной целью является апробация метода регуляризованных следов, впервые предложенного в работе [4]. Схожие проблемы рассматриваются в работах [1-2, 5-10].
Сформулируем основной результат.
Теорема. Пусть T - дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а P - линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве. Если существует n0 е N такое, что для всех n > n0 при условии Лп Ф Лп+1 выполняется неравенство
2II
1--—-—г< 1, то при условии Лщ Ф Л„0+1 первые n0 собственных чисел
\Лп+1 — Л
|цп оператора T + P являются решениями системы из n0 уравнений
п0 п0 » _
L ^ = LЛ+ТакР)П ), p=1, п>,
к=1 к=1 к=1
а остальные собственные числа оператора T + P с номерами m > n0 являются решениями системы из qm уравнений
~m i \ _
L ^ = ЯтЛт +ТРкР)Н Р = 1, qm
к=1
к
где номера ат и Ьт такие, что =... = Хт =... =
Цт = Ьт - ат + 1 - кратность собственного числа ^
2тк
а(Р (т) = (—.— Sp J Äp 1 [PR (T)] dÄ - к-тая поправка,
№ )( m)=t1^PSp jÄp"1 [ PRÄ(T )]4 dÄ,
\ä +Л ,1
Tm - окружность радиуса -с центром в начале координат,
2
• \\ -1 \ +1 | ym - окружность радиуса min <-;->■ с центром Am.
Ряды (m) и m) сходятся.
k=1 k=1
В нашем случае все необходимые условия теоремы выполняются. Вычисления проводились с помощью математического пакета Maple 6 со 100 значащими цифрами на компьютере Intel Core i3 с частотой 2,20 Ггц. Использована программа, зарегистрированная в отраслевом фонде алгоритмов и программ. При расчете собственных чисел методом регуляризованных следов все поправки вычислялись с точностью 10-13 по методике [3]. Для сравнения результатов собственные числа также вычислялись методом Буб-нова-Галеркина.
Пример 1. Проведены расчеты для случая: р= 2, a = п, b = 1, p(x, y) = xy.
21 P||
Спектр ст(7) оператора T однократный. Неравенство :-11—11—-. < 1 выполняли +1
ется для всех натуральных п. Результаты расчетов приведены в табл. 1.
п
Пример 2. Проведены расчеты для случая: р= 2, a = b = —, p(x, y) = xy.
21 Pl
Спектр ст(7) оператора T кратный. Неравенство -u—u—г < 1 при условии
К+1
Хп Ф Лп+1 выполняется для всех натуральных п. Результаты расчетов приведены в табл. 2.
Пояснения к таблицам: m - размер матрицы, k - число вычисляемых поправок. Здесь и далее даны только верные знаки после запятой. Там, где стоит многоточие, неизвестно, были далее верные или неверные знаки.
Выводы: Вычисление собственных чисел возмущенного оператора T + P методом регуляризованных следов эффективно. Недостаток: при кратном спектре оператора T для достижения определенной точности необходимо
m
вычислять больше поправок, чем при простом спектре. Т.о. вычислительная эффективность падает. Достоинства: для любого номера т > п0 можно вычислять только собственные числа ца =... = ць , не вычисляя остальных.
Таблица 1
Результаты вычислений собственных чисел оператора Т+Р
п 31 32 33
А 25253.554645539483408 25753.322516798538138 26216.036668044061835
т Результаты вычислений по методу Бубнова-Галеркина
41 25254.33996 25754.1079 26216.82209
50 25254.33996 25754.1079276 26216.82209
60 25254.339963785 25754.1079276 26216.822096164
71 25254.33996378564 25754.1079276 26216.8220961640
81 25254.339963785644... 25754.107927675761. 26216.82209616400.
85 25254.339963785644... 25754.107927675761. 26216.82209616400.
к Результаты вычислений по методу регуляризованных следов
2 25254.33996378 25754.107927675 26216.82209616
3 25254.33996378564 25754.107927675761. 26216.8220961640
4 25254.339963785644. 25754.107927675761. 26216.82209616400.
п 34 35 36
Ап 27860.173372218359214 28841.019590542482282 30245.964758062375545
т Результаты вычислений по методу Бубнова-Галеркина
41 27860.9587 28841.80 30246.7501
50 27860.9587 28841.80499 30246.7501
60 27860.95878990 28841.80499658 30246.75016960
71 27860.9587899042 28841.80499658 30246.750169600
81 27860.9587899042000. 28841.804996582 30246.7501696003
85 27860.9587899042000. 28841.804996582298. 30246.7501696003410.
к Результаты вычислений по методу регуляризованных следов
2 27860.95878990 28841.804996582 30246.750169600
3 27860.958789904200 28841.804996582298. 30246.7501696003410.
4 27860.9587899042000. 28841.804996582298. 30246.7501696003410.
Таблица 2
Результаты вычислений собственных чисел оператора Т+Р
п 18 | 19 20
Ап А18 = А19 = 68121 82944
т Результаты вычислений по методу Бубнова-Галеркина
20 68121.27378 68121.27452 82944.27415
30 68121.27378570 68121.27452666 82944.2741556
41 68121.27378570 68121.274526662 82944.27415562
50 68121.273785707 68121.274526662 82944.274155621
60 68121.2737857076 68121.2745266621 82944.2741556217
71 68121.2737857076 68121.2745266621 82944.27415562174
81 68121.2737857076. 68121.2745266621. 82944.274155621743.
85 68121.2737857076. 68121.2745266621. 82944.274155621743.
Продолжение табл. 2
k Результаты вычислений по методу регуляризованных следов
2 68121.273 68121.274 82944.2741556217
3 68121.273785 68121.2745266 82944.274155621743.
4 68121.27378570 68121.27452666 82944.274155621743.
n 31 32 33
K Л31 = K32 = K33 = 202500
m Результаты вычислений по методу Бубнова-Галеркина
41 202500.274155 202500.274155 202500.2741555
50 202500.274155345 202500.274155345 202500.27415556
60 202500.274155345 202500.274155345 202500.27415556
71 202500.274155345 202500.274155345 202500.2741555686
81 202500.274155345. 202500.274155345. 202500.2741555686.
85 202500.274155345. 202500.274155345. 202500.2741555686.
k Результаты вычислений по методу регуляризованных следов
2 202500.2 202500.2 202500.2
3 202500.27 202500.27 202500.27
4 202500.2741 202500.2741 202500.2741
Список литературы
1. Дубровский В.В., Смирнова Л.В. К единственности решения обратных задач спектрального анализа для уравнений математической физики // Фундаментальная и прикладная математика. - 1999. - Т. 5, № 2. - С. 411-416.
2. Дубровский В.В., Торшина О.А. Проблема решения задач на собственные значения для дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра // Новые мат. методы. Электромагнитные волны и электронные системы. - 2002. - № 9, Т. 7. - С.4-10.
3. Кинзина И.И. Вычисление собственных чисел дискретного самосопряженного оператора, возмущенного ограниченным оператором // Известия вузов. Математика. - 2008. - № 6. - С. 16-24.
4. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Замечание об одном методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретных операторов // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. - М.: МГУ, 1994. - Вып. 17. -С. 244-248.
5. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Смирнова Л.В. О единственности решения обратных задач спектрального анализа // ДАН. - 2000. - Т. 370, № 3. - С. 319-321.
6. Смирнова Л.В. Оценка модуля собственных функций задачи Робина для самосопряжённого оператора // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1999. - Т. 4, № 6. - С. 15-17.
7. Смирнова Л.В. К вопросу о математической модели восстановления гладких потенциалов в обратной задаче Дирихле для 2-мерного и 3-мерного случаев // Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах: междунар. сб. тр. - Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2012. - С. 57-66.
8. Торшина О.А. О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости // Вестник Челябинского государственного университета. - 2003. - Т. 3, № 3. - С. 178-191.
9. Торшина О.А. Оценка разности спектральных функций дискретных операторов // Альманах современной науки и образования. - 2009. - № 12-1. -С. 123-125.
10. Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа дифференциального оператора со сложным вхождением спектрального параметра // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2003. - Т. 8, № 3. - С. 467-468.
Ka-МЕТОД СУММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
© Кулиев В.Д.*, Борисова Н.Л.Ф, Остапенко Е.С.*
Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),
г. Москва
В работе [1] предложен новый метод суммирования функциональных рядов. Этот метод, названный Ka (0 < а < л/2) - методом применим при решении различных задач математической физики [2,3]. Если а= л/2, то приходим к методу суммирования Плана [1,4].
Сначала изложим суть Ка-метод суммирования рядов, а затем применим его к суммированию расходящихся рядов.
Ключевые слова расходящиеся ряды, метод суммирования Плана, Ка-метод, регулярные функции, сектор.
1. Äa-метод суммирования функциональных рядов [1].
да
Рассмотрим ряд ^ f (к).
к=т
Если функция f(z) регулярна в правой полуплоскости Re z > m, |Imz| < да z-плоскости и такова, что ее модуль при |z| = R, -л/2 < argz < л/2 при достаточно больших R может быть как мал, так и велик, то для суммирования рядов такого типа метод Плана не применим [1]. Поэтому возникает необходимость в разработке метода суммирования рядов, учитывающего и это обстоятельство.
Обозначение. Под Sa понимается сектор, образованный двумя лучами в z-плоскости, исходящими из точки Oj(m, 0) симметрично относительно действительной оси под углом а (0 < а < п/2).
* Заведующий кафедрой Высшей математики, доктор физико-математических наук, профессор.
* Старший преподаватель кафедры Высшей математики. " Студент.
