Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.642.8

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ, ПОРОЖДЕННЫХ ВОЗМУЩЕННЫМИ САМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

С. И. Кадченко

На основе методов регуляризованных следов и Бубнова-Галеркина разработан новый метод решения обратных задач по спектральным характеристикам возмущенных самосопряженных операторов. Найдены простые формулы для вычисления собственных значений дискретных операторов, без нахождения корней соответствующего векового уравнения. Вычисление собственных значений возмущенного самосопряженного оператора можно начинать с любого их номера независимо от того, известны ли собственные значения с предыдущими номерами или нет. Численные расчеты нахождения собственных значений для оператора Штурма-Лиувилля показывают, что предлагаемые формулы при больших номерах собственных значений дают результат точнее, чем метод Бубнова-Галеркина. Кроме того, по найденным формулам можно вычислять собственные значения возмущенного самосопряженного оператора с очень большим номером, когда применение метода Бубнова-Галеркина становится затруднительным. Этот факт можно, например, использовать в задачах гидродинамической теории устойчивости, если необходимо находить знаки действительной или мнимой частей собственных значений этих задач с большими номерами.

Получено интегральное уравнение Фредгольма первого рода, позволяющее восстанавливать значения возмущающего оператора в узловых точках дискретизации.

Метод был проверен на обратных задачах для оператора Штурма-Лиувилля. Результаты многочисленных расчетов показали его вычислительную эффективность.

Ключевые слова: обратная спектральная задача; теория возмущений; дискретные и самосопряженные операторы; собственные числа; собственные функции; некорректно поставленные задачи.

Введение

Интерес к обратным задачам все время возрастает в связи с широкой областью их приложения, например, к задачам сейсморазведки, идентификация композитных материалов, проблемам неразрушающего контроля, нелинейных эволюционных уравнений математической физики и др. Используя методы регуляризованных следов (РС) и Бубнова-Галеркина, получены интегральные уравнения Фредгольма первого рода, позволяющие восстановить значения возмущающего оператора в узловых точках дискретизации. На основе метода Бубнова-Галеркина найдены простые формулы для вычисления собственных значений дискретных операторов, не находя корни соответствующего векового уравнения.

1. Метод регуляризованных следов

В работах [1-6] был разработан численный метод вычисления собственных значений по-луограниченных снизу дискретных операторов, который был назван методом регуляризованных следов (РС). Используя теорию РС, построим численный метод для решения обратных спектральных задач, порожденных дискретными полуограниченными снизу операторами в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Рассмотрим задачу нахождения собственных значений оператора Т + Р

(Т + Р^ф = вф, (1)

ТР

ные в сепарабельном гильбертовом пространстве И. Допустим, что известны собственные значения {^п}П=\ и ортонормпрованные собственные функции {^п}'^>=1 оператора Т, которые занумерованы в порядке возрастания собственных значений цп по величине с учетом кратности. Обозначим через ип кратность собственного значения цп. Количество всех неравных друг другу собственных значений цп, которые лежат внутри окружностп Тп0 радиуса

|цпо+1 + цпо | „ ,

рпо = -----------------------------------------------------^- с центром в начале координат комплексной плоскости, обозначим че-

рез по- Пусть {вп}^=1-собственные значения оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если для всех

2||Р || по

п Є N выполняются неравенства дп = -г < 1, то первые то = ^ ип собственные

|Цn+Vn _ п=1

значения {вп}т=і оператора Т + Р являются решениями системы то нелинейных уравнений вида [7]

то то те

^2вп = ^2цп + ^2а<ш)(то), р = 1,то. (2)

п=1 п=1 п=1

( ) (_1) п p ~ ~ п

Здесь (то) = -&Р [ Цр-1 РВ<ц(Т) (1ц-п-е поправки теории возмущений опера-

2ппі Т I. ^ ]

1по

тора Т + Р целого порядка р, К^(Т) - резольвента оператора Т.

Тпо

значений операторов Т и Т + Р [7].

Система уравнений (2) лежит в основе метода РС, позволяющего находить собственные значения возмущенных самосопряженных операторов в случае, когда самосопряженные операторы имеют собственные значения с произвольной кратностью.

В статье [5] была доказана следующая теорема.

ТР

И

п Є N выполняются неравенства дп < 1, и система собственных функций {шп}сте=1 оператора Т является базисом в И, то собственные значения {вп}'т=^1 оператора, Т + Р вычисляются по формулам:

вп = 1^и + (Ршп,Шп)+ ^(п), п = 1,Ш0, (3)

п

где 5\(п) = 5\(п) — 5\(п — 1), 5\(п) = — Ры(п)\, {Ры(п)}П=1 _ приближенные значения

к=1

по Бубнову-Галеркину соответствующих собственных значений {вы}ПП=1 оператора, Т + Р. ~ ~ ц2

Для 51(п) справедливы оценки |^1(п)| < (2п — 1)рп---.

1 — ц

В случае, если оператор Т+Р задан в сепарабельном гильбертовом пространстве Ь2[а, Ь\, а Р-огранпченный оператор умножения на функцию р(в), то, используя формулы (3) можно восстановить приближенные значения возмущающего оператора р(в) в узловых точках отрезка [а, Ь\ при дискретизации задачи.

2. Метод Бубнова-Галеркина

Для нахождения собственных значений оператора Т + Р воспользуемся методом Бубнова-Галеркина.

Теорема 2. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а, Р -ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если оператор Т + Р положительно определенный в Н, и система координатных функций {фп}П^=і яв~ Н

собственных чисел, спектральной задачи (1), построенный на, этой системе функций, сходится.

Доказательство. Запишем уравнение (1) в виде

(Т + Р — ХЕ)ф = (в - Х)ф. (4)

Для дискретного оператора Т + Р существует резольвентный оператор К\(Т + Р) = (Т +

Р — ХЕ)-\ который вполне непрерывный в Н [7]. Действуя слева на обе части уравнения

(4) оператором К\(Т + Р), получим

Ф = (в — Х)Кх(Т + Р )ф.

[]

пых чисел уравнения (4), а следовательно, и уравнения (1), сходится. □

Предположим, что выполнены требования теоремы 2, и система {^п}П^=і функций яв-

Н

Следуя методу Бубнова-Галеркина, будем искать решение спектральной задачи (1) в

ВИД6

п

фп = ^2 ак(п)Шк■ (5)

к=1

Подставляя (5) в уравнение (1), получим

пп

^2 ак(п)(Т + Р)шк = Жп)^2 ак(п)шк■ к=1 к=1

Здесь /3(п) - п-е приближения по Бубнову-Галеркину к соответствующим собственным числам {вк}&=і оператора Т + Р. Так как Тшк = Цкшк, т°

пп ^2 ак(п)(^к + Р)^к = Жп)^2 ак(п)^к■

к=і к=і

Коэффициенты {ак(п)}П=і определяются из требования, чтобы левая часть последнего уравнения была ортогональна к функциям {ш\}'П=і- В результате получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов {ак(п)}П=і

п ^2 ак(п){[Р(п) — Цк]5кг — (Р^к,шг)} =0, I = 1,п■ к=і

Приравняв определитель этой системы к нулю, приходим к уравнению

||Д(п)Е — А|| =0,

определяющему приближенные значения п первых собственных чисел {/Зк (п)}п=1 оператора Т + Р. Здесь Е - единичная матрица размера п х п, А = ||акг|Щг=1 _ матрица, где акг = Ик5кг + (Р^к5ы ~ символ Кронекера.

Известно [9], что для собственных чисел {Рк(п)}'П=1 матрицы А справедливы равенства

^ ЗРк(п) = БрАк, р = 1,п, (6)

ЗР

к=1

где БрАк - след р-й степени матрицы А. рА

п к

к=

БрА.к = ^ Ца^ ■ (7)

Л ,32,... ,3р = 1 3=1

Здесь г = < 8 + 1 8 = Р’ Формулы (7) были найдены при численных расчетах величин [ 1 8 = р-

БрАк и многократно проверялись при различных р. При р = 1 из (7) получим известное равенство

п

^Рк (п) = БрА. к=1

р = 1

пп

^2Рк (п) = ^2 акк ■

к=1 к=1

ВвОДЯ обоЗНс1Ч6НИЯ В к (п) = вк — Рк(п) ИМввМ

пп

^2 Рк = ^2\акк + Вк (п)]. (8)

к=1 к=1

п — 1

п— 1 п— 1

^2 Рк = ^2\акк + Вк (п — 1)]. (9)

к=1 к=1

Вычитая (9) из (8), найдем

вк = Цк + (Р^к ,^к)+ Пк (п), (10)

где

п— 1

Пк (п) = Вк (п) — ^2 [Рк (п) — /Зк (п — 1)]. к=1

Не трудно показать, что числа З1(п) и Пк (п) при к = п совпадают. Это означает, что при

2||Р ||

выполнении условий qn = ---------------г < 1 для Уп € N формулы (3) и (10) эквивалентны. В

\Ц-п+ип — №п\

случае, когда ^п > 1, для нахождения собственных значений спектральной задачи (1) надо использовать формулы (10).

Если в (10) подставить Вк(п) = Рк — Рк (п), то получим формулы, удобные для численных расчетов

п— 1

Рк (п) = Цк + (Р^к ,Шк) — ^2 [рк (п) — Рк (п — 1)], к = 1,п. (11)

к=1

В дальнейшем, алгоритм численного решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, будет строиться на формулах (11).

Допустим, что оператор Т+Р задан в сепарабельном гильбертовом пространстве Ь2[а, Ь], а Р-ограннченный оператор умножения на функцию р(в), тогда

Формулы (11) получены, используя диагональные элементы ак = Цк + (Ршк,Шк) (к =

1, п) матрицы А = \\aki |Щ1=1 размерности п х п. В случае, если п не велико, ошибка нахождения собственных значений {(Зк }'к=1, найденных методом Бубнова-Галеркина, может быть большой, следовательно, использовать формулы (11) в этом случае надо с осторожностью.

При выполнении требований теоремы 1 метод Бубнова-Галеркина сходится, поэтому при увеличении значений п точность вычислений собственных значений {Рк }'к=1 по формулам (11) возрастает. В этом случае, использование формул (11) для нахождения собственных значений оператора Т + Р становится вычислительно эффективным в силу достаточно простых вычислений.

3. Решение обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами

Рассмотрим задачу восстановления потенциала Р по собственным значениям {(Зк}^к=1 оператора Т + Р в гильбертовом пространстве р2 [а, Ь], используя формулы (10), где [а,Ь] отрезок изменения переменной в. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, Р- ограниченный оператор умножения на функцию р(в). Допустим, что известны собственные значения {^к};к=1 и ортонормированные собственные функции {шк}к= 1 оператора Т, образующие базис пространства Ь2[а, Ь].

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого рода

Пусть ядро интегрального уравнения (13) К(х, в) непрерывно и замкнуто в квадрате П = [а,Ь] х [с, й], а функции р(в) € Ш2:[а,Ь] ш f (х) € Ь2[с,й].

Задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода (13) является некорректно поставленной. Ее приближенные решения могут быть найдены с помощью метода регуляризации Н.А. Тихонова. Численное решение уравнения (13) будет определять приближенные значения функции р(в) в узловых точках в^ г = 1,1, а = в1 < в2 < ... < в1 = Ь. Число узловых точек I можно выбрать достаточно большим, чтобы получить хорошую

р(в)

Отрезок [с, нахождения собственных чисел рп опера-

тора Т + Р, принадлежащих этому отрезку и найденных по формулам (11), удовлетворяла требованиям исследователя.

■ь

П— 1

(12)

к=1

ь

(13)

где функции /(х) и К(х,в) такие, что

I(хк) = Рк - Цк + ^2\[3к(п) - Рк(п - 1)], К(хк,в) = ш1(в), с < Хк < й, к = 1,п.

к=1

4. Численный эксперимент

Проиллюстрируем разработанный метод на спектральной задаче Штурма-Лиувилля

{—u" + p(s) u = в u, a < s < b;

cosa и'(a) + sina u(a) = 0; (14)

cosy u'(b) + siny u(b) = 0, a, у € [0, 2п].

Рассмотрим оператор Tw = —ш". Причем функция ш удовлетворяет граничным условиям (14). Нетрудно показать, что оператор T самосопряженный, и его собственные числа {цk}fc=i являются корнями трансцендентного уравнения

[sin a sin^y/^a) + уЦ cos a cos(y/fi.a)] x [sin у cos(^/fi.b) — cos у sin^y^b)] +

+ [л/Ц cos a sin^^/^a) — sin a cos(^/fi,a)] x [sin 7 sin^^/^b) + уЦcos 7 cos(^/fi,b)] = 0. Собственные функции имеют вид:

Wk(s) = Ck{[sin a sin(y/yka) + у/Щcos a cos(^rvka)]cos(yrvks)+

+[лЩк cos a sin^y/^ka) — sin acos(yfyka)] sin^y/^ks)}, к = 1, ж.

Ck

Для проверки полученных результатов, сравним собственные значения 3(n) спектральной задачи Штурма-Лиувилля (14), найденные по формулам (11), и методом Бубнова-Галеркина 3(n). В табл. 1 приведен пример численных расчетов собственных значений задачи (14) при a = 1, b =2, a = п/3, у = п/5, p(s) = s2 + 15s + (s2 — 10s)i. Расчеты проводились при условии, что f3k(n) — f3k(n — 1) = 0 для к = 1, 41 и n = 41.

Из табл. 1 видно, что при увеличении размерности матрицы A соответствующие величины |3(n) — f3k(n) | уменьшаются. Исключение составляет поеледняя строка (к = 41). Для сравнения точности вычисления собственных значений спектральной задачи (14) по формулам (11) и методом Бубнова-Галеркина приведем табл. 2, значения которой получены при

n = 81. _ _

Величины собственных pk(41) ж pk (81) значений задачи (14) при к = 1, 41 не меняются, а величины 3k(41) ж 3k(81) как это видно из табл. 2, различны при к = 35, 41. Это говорит о том, что формулы (11) точнее, чем метод Бубнова-Галеркина. Данный факт надо иметь ввиду при выборе отрезка [c, d].

Проведенные многочисленные расчеты при различных значениях параметров

a, b, c, d, a, в, p(s) спектральной задачи (14) показали высокую точность и вычислительную эффективность полученных формул (11).

Результаты численных расчетов нахождения приближенных значений p(s) функции p(s) в узловых точках {sk}k=i при следующих значениях параметров a = 1, d = 2, a = Pi/3, Y = Pi/5, f(xk) = ek — Ц-k — 2 — 3i, к = 1, 41 и возмущаемым оператором p(s) = s2 + s + (s2 — s)i приведены в табл. 3.

Многочисленные вычисления показывают, что приближенные значения p(s) потенциала p(s) в узловых точках {sk}П=1 плодятся с заданной точностью невязок ||Ap3— /|| в большом диапазоне изменения параметров и функциональных зависимостей потенциала p(s) спектральной задачи (14).

Величины Zk = f(xk) — fa K(xk, s)p(s)ds| определяют поточечную абсолютную погрешность решения. Невязка, найденная в узловых точках sk приближенного решения p(sk), равна HAp — /|| = 0, 000332. Параметр регуляризации a при численном решении интегрального уравнения Фредгольма первого рода (13) методом регуляризации Тихонова вычислялся с помощью метода невязки. В нашем случае a = 0, 00167.

Таблица 1

Рк (41)

Рк (41)

I @к(41) - рк (41)|

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

35, 544313 -62, 950802 -111,931462 -180, 893757 -269, 663026 -378,197795 -506,484092 -654,516136 -822,291180 -1009, 807782 -,065125 -, 062720 800258 277537 , 494419 -, 450809 146638 ,,581857 -756429 670326 323525 716010 847769 718790 329066 678589 767353 595355 162589 , 469054 514746 10129,299664 10770,823804 11432,087166 12113,089748 12813,831549 13534, 312567 14274, 532802 15034,492254 15814,190920 16613,628801

1217,

1444,

1690,

1957,

2243,

2549,

2875,

3220,

3585,

3970,

4375,

4799,

5243,

5707,

6191,

6694,

7217,

7760,

8323,

8905,

9507,

13, 634443i 12, 885344* 12, 761626* 12, 719634* 12, 700433* 12, 690065* 12,683835* 12, 679800* 12, 677037*

- 12, 675064*

,673604*

,672495*

,671632*

,670947*

, 670395*

,669943*

,669569*

,669255*

,668990*

, 668763*

, 668568*

, 668399*

,668252*

, 668122*

, 668008*

, 667907*

, 667817*

667736* 667664* 667598* 667539*

- 12, 667485*

- 12, 667436*

- 12, 667392*

- 12, 667351*

- 12, 667314*

- 12, 667279*

- 12, 667247*

- 12, 667218*

- 12, 667191*

- 12, 667165*

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

35, 095744 -63,153968 -112,005121 -180, 933740 -269, 687656 -378, 214659 -506,496324 -654, 525442 -822, 298490 -1009, 813683 -,069987 -*, 066798 -803726 280524 ,, 497018 -,, 453091 -148658 583658 758045 671783 -324846 717214 848870 -719801 329997 679449 768151 596097 163281 ., 469700 -515352 10129, 300232 10770,824338 11432,087669 12113,090224 12813,831998 13534,312997 14274, 533210 15034,492699 15814,191344 16613,642998

1217,

1444,

1690,

1957,

2243,

2549,

2875,

3220,

3585,

3970,

4375,

4799,

5243,

5707,

6191,

6694,

7217,

7760,

8323,

8905,

9507,

13, 222069* 13,074541* 12, 828291* 12, 755878* 12, 722813* 12, 705422* 12, 694988* 12, 688294* 12, 683714*

- 12, 680457* 678049* 676224* 674804* 673680* 672773* 672032* 671418* 670903* 670468* 670097* 669778* 669501* 669259* 669048* 668861* 668695* 668548*

, 668415* 668297*

,668190* 668093*

- 12, 668005*

- 12, 667926*

- 12, 667853*

- 12, 667787*

- 12, 667725*

- 12, 667673*

- 12, 667621*

- 12, 667626*

- 12, 667577*

- 12, 680169*

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

12,

0, 609316

0, 277618

0, 099348

0, 053965

0, 033279

0, 022809

0, 016553

0, 012599

0, 009900

0, 007995

0, 006588

0, 005526

0, 004700

0, 004048

0, 003523

0, 003094

0, 002738

0, 002441

0, 002190

0, 001976

0, 001791

0, 001632

0, 001492

0, 001370

0, 001263

0, 001167

0, 001082

0, 001006

0, 000938

0, 000876

0, 000821

0, 000770

0, 000724

0, 000682

0, 000645

0, 000610

0, 000584

0, 000553

0, 000605

0, 000574

0, 019252

к

Значения поточечной абсолютной погрешности (к и невязки ||Ар-/|| позволяют сделать вывод о хорошей точности нахождения приближенных значений функции р(в) в узловых точках {вк}к=1 дискретизации.

Заключение

На основе методов регуляризованных следов и Бубнова-Галеркина в работе разработан вычислительно эффективный численный метод решения обратных спектральных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами. В среде Мар1е написан пакет

Таблица 2

к &(81) дк (81) 1) 8 У ^ <д -1) (8 1) (4 / ^ <д -1) (4

1 35, 544313 - 13, 6)344431 35,095744 - 13, 22206)91 0, 609316 0, 609316

2 62, 950802 - 12, 885344* 63,153968 - 13, 074541* 0, 277618 0, 277618

3 111, 931462 - 12, 761626* 112,005121 - 12, 828291* 0,099347 0,099348

4 180, 893757 - 12, 719634* 180, 933740 - 12, 755878* 0,053965 0,053965

5 269, 663026 - 12, 700433* 269, 687656 - 12, 722813* 0,033279 0,033279

35 12113, 089748 - 12, 667351* 12113, 090222 - 12, 667786* 0,000643 0,000645

36 12813, 831549 - 12, 667314* 12813, 831997 - 12, 667724* 0,000608 0,000610

37 13534, 312567 - 12, 667279* 13534, 312992 - 12, 667668* 0,000576 0,000584

38 14274, 532802 - 12, 667247* 14274, 533205 - 12, 667616* 0,000546 0,000553

39 15034, 492254 - 12, 667218* 15034, 492636 - 12, 667568* 0,000518 0,000605

40 15814,190920 - 12, 667191* 15814,191283 - 12, 667523* 0,000492 0,000574

41 16613, 628801 - 12, 667165* 16613, 629147 - 12,667482* 0.000469 0,019252

программ, позволяющий восстанавливать потенциал р(х) по спектральным характеристикам операторов Т и Т + Р. Метод достаточно прост в применении.

Литература

1. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // ДАН России. - 2001. -Т. 380, № 2. - С. 160-163.

2. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Зомерфельда /В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // ДАН России. - 2001. - Т. 378, № 4. - С. 443-446.

3. Вычисление первых собственных значений задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Дифференциальные уравнения. -2000. - Т. 36, № 6. - С. 742-746.

4. Кадченко, С.И. Вычисление сумм рядов Релея-Шредингера возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. - Т. 47, № 9. - С. 1494-1505.

5. Кадченко, С.И. Метод регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестник ЮУр-ГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2009. - № 37 (170), вып. 4. С. 4 23.

6. Кадченко, С.И. Численный метод нахождения собственных значений дискретных по-луограниченных снизу операторов / С.И. Кадченко, Л.С. Рязанова // Вестник ЮУр-ГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - № 17 (234), вып. 8. - С. 46-51.

7. Садовничий, В.А. Теория операторов: учеб. для вузов / В.А. Садовничий. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 1999. - 368 с.

8. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1970. - 510 с.

Таблица 3

k Sk P(sk) z (sk)

1 1,00 -0,171367 - 3, 264364i 0,000263

2 1,02 -0,160810 - 3, 257749i 0,000414

3 1,05 -0,159809 - 3, 259522i 0,000416

4 1,08 -0,127397 - 3, 239065i 0,000383

5 1,10 -0,073524 - 3, 209196i 0,000340

6 1,12 -0,000780 - 3,168803i 0,000291

7 1,15 0, 088559 - 3,118688i 0,000239

8 1,18 0,192973 - 3,059556i 0,000187

9 1, 20 0, 310316 - 2, 992326i 0,000139

10 1, 22 0, 439103 - 2, 917834i 0,000097

11 1, 25 0, 577139 - 2, 837348i 0,000063

12 1, 28 0, 722921 - 2, 751879i 0,000039

13 1, 30 0, 874160 - 2, 663079i 0,000026

14 1, 32 1, 029362 - 2, 572065i 0,000020

15 1, 35 1,186250 - 2,480701i 0,000013

16 1, 38 1, 343431 - 2, 390057i 0,000011

17 1,40 1, 498856 - 2, 301886i 0,000032

18 1,42 1, 651343 - 2, 217039i 0,000056

19 1,45 1, 799317 - 2,136803i 0,000112

20 1,48 1, 941899 - 2,061682i 0,000129

21 1, 50 2, 078157 - 1, 992246i 0,000147

22 1, 52 2, 207546 - 1, 928612i 0,000213

23 1, 55 2, 329831 - 1, 870574i 0,000244

24 1, 58 2, 444754 - 1, 817935i 0,000280

25 1, 60 2, 552672 - 1, 769869i 0,000309

26 1, 62 2, 653515 - 1, 726022i 0,000333

27 1, 65 2, 748016 - 1, 685267i 0,000349

28 1, 68 2, 836163 - 1, 647283i 0,000360

29 1, 70 2, 918806 - 1, 611015i 0,000365

30 1, 72 2, 995881 - 1, 576331i 0,000365

31 1., 75 3, 068142 - 1, 542541i 0,000361

32 1., 78 3,135405 - 1, 509778i 0,000355

33 1,, 80 3,198232 - 1,477837i 0,000347

34 1, 82 3, 256321 - 1,447088i 0,000339

35 1, 85 3, 310072 - 1,417720i 0,000332

36 1, 88 3, 359118 - 1, 390223i 0,000327

37 1, 90 3, 403846 - 1, 364925i 0,000324

38 1, 92 3, 443919 - 1, 342275i 0,000323

39 1, 95 3, 479684 - 1, 322542i 0,000327

40 1, 98 3, 511869 - 1, 305460i 0,000329

41 2,00 3, 529356 - 1, 297436i 0,000332

9. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. М.: Наука, 1966. - 659 с.

10. Васильева, А.Б. Интегральные уравнения / А.Б. Васильева, Н.А. Тихонов. - М.: МГУ, 1989. - 156 с.

11. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Вер-ЛеЖЬ, B.C. Сизиков. - Киев: Наукова думка, 1986. - 542 с.

Сергей Иванович Кадченко, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника:», Магнитогорский государственный университет (г. Магнитогорск, Российская Федерация), [email protected].

Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software:»,

2013, vol. 6, no. 4, pp. 15-25.

MSC 47A75

A Numerical Method for Solving Inverse Problems Generated by the Perturbed Self-Adjoint Operators

S.I. Kadchenko, Magnitogorsk State University, Magnitogorsk, Russian Federation, [email protected]

Based on the methods of regularized traces and Bubnov-Galerkin’s method a new method for the solution of inverse problems is developed in spectral characteristics perturbed self-adjoint operators. Simple formulas for calculating the eigenvalues of discrete operators without the roots of the corresponding secular equation are found. Computation of eigenvalues of a perturbed self-adjoint operator can be started with any of their numbers, regardless of whether the previous numbers of eigenvalues are known or not. Numerical calculations for eigenvalues of the Sturm-Liouville’s operator show that the proposed formulas for large numbers of eigenvalues give more accurate results than the Bubnov-Galerkin’s method. In addition, the obtained formulas allow us to calculate the eigenvalues of perturbed self-adjoint operator with very large numbers, where the use of the Bubnov-Galerkin’s method becomes difficult. It can be used in problems of hydrodynamic stability theory, if you want to find signs of the real or imaginary parts of the eigenvalues with large numbers.

An integral Fredholm equation of the first kind, restoring the value of the perturbing operator in the nodal points of the sample, is obtained.

The method is tested on inverse problems for the Sturm-Liouville’s problem. The results of numerous calculations have shown its computational efficiency.

Keywords: the inverse spectral problem; perturbation theory; discrete and self-adjoint operators; eigenvalues; eigenfunctions; incorrectly formulated problems.

References

1. Dubrovskiy V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F., Sadovnichiy V.A. A New Method for the Approximate Calculation of the First Eigenvalues of the Spectral Problem of Hydrodynamic Stability of Poiseuille Flow in a Circular Pipe [Novyy metod priblizhennogo vychisleniya pervyh sobstvennyh chisel spektral’noy zadachi gidrodinamicheskoy ustoychivosti techeniya Puazeylya v krugloy trubej. DAN Russia, 2001, vol. 380, no. 2, pp. 160-163.

2. Dubrovskiy V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F., Sadovnichiy V.A. A New Method for the Approximate Calculation of the First Eigenvalues of the Orr-Zomerfeld Spectral Problem [Novyy metod pribizhennogo vychisleniya pervyh sobstvennyh chisel spektraPnoy zadachi Orra-Zommerfel’daJ. DAN Russia, 2001, vol. 378, no. 4, pp. 443-446.

3. Sadovnichiy V.A., Dubrovskiy V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F. Calculation of the First Eigenvalues of the Hydrodynamic Stability of Viscous Flow Between Two Rotating Cylinders [Vychislenie pervyh sobstvennyh znacheniy zadachi gidrodinamicheskoy ustoychivosti tacheniya vyazkoy zhidkosti mezhdu dvumya vrashchayushchimisya

tsilindramij. Differentsial’nye uravneniya [Differential Equations], 2000, vol. 36, no. 6, pp. 742-746.

4. Kadchenko S.I. Computing the Sums of Rayleigh-Schrijdinger Series of Perturbed Self-Adjoint Operators. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2007, vol. 47, no. 9, pp. 1435-1445.

5. Kadchenko S.I. The method of Regularized Traces [Metod regulyarizovannykh sledovj. Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Softwares, 2009, no. 37 (170), issue 4, pp. 4-23.

6. Kadchenko S.I., Ryazanova L.S. A Numerical Method for Finding the Eigenvalues of the Discrete Semi-bounded From Below Operators [Chislennyy metod nakhozhdeniya sobstvennykh znacheniy diskretnykh poluogranichennykh snizu operatorovj. Bulletin of the

«

Software», 2011, no. 17 (234), issue 8, pp. 46-51.

7. Sadovnichiy V.A. Teoriya operatorov [Operator Theory]. Moscow, 1999. 368 p.

8. Mihlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike [Variational Methods in Mathematical Physics]. Moscow, 1970. 510 p.

9. Demidovich B.P. Osnovy vychislitel’noy matematiki [Foundations of Computational Mathematics]. Moscow, 1966. 659 p.

10. VasiPeva A.B. Integral’nye uravneniya [Integral Equations]. Moscow, 1989. 156 p.

11. Verlan’ A.F., Sizikov V.S. Integral’nye uravneniya: metody, algoritmy, programmу [Integral Equation Methods, Algorithms, Programs]. Kiev, 1986. 542 p.

Поступила в редакцию И мая 2013 г.