CC BY
37
УДК 519.642.8
НАХОЖДЕНИЕ ПЕРВЫХ ЧЕТЫРЕХ ПОПРАВОК ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ СНИЗУ ОПЕРАТОРОВ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРАТНОСТЬЮ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин
THE FIRST FOUR CORRECTIONS
OF THE PERTURBATION THEORY FOR DISCRETE SEMI BOUNDED FROM BELOW OPERATORS WITH FREE MULTIPLICITIES OF EIGENVALUES FINDING
S.I. Kadchenko, S.N. Kakushkin
В работе получены аналитические формулы для вычисления первых четырех поправок теории возмущений дискретных полуограниченных снизу операторов, когда собственные значения невозмущенных операторов имеют произвольную кратность.
Ключевые слова: поправки теории возмущений, дискретные операторы, собственные значения, собственные функции.
In this paper received analytical formulas for calculation first four corrections of the perturbation theory for discrete semi bounded from below operators, when eigenvalues of unperturbed operators have free multiplicities.
Keywords: corrections of the perturbation theory, discrete operators, eigenvalues, eigenfunctions.
Введение
Рассмотрим дискретный иолуограниченный снизу оператор Т и ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть {/хГг,}5^=1 — собственные значения оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а {шп}“=1 - его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим собственным значениям. Обозначим через ип кратность собственного значения /лп оператора Г, а количество всех неравных друг другу собственных значений /лп оператора Г, которые
лежат внутри окружности ТПо радиуса рПо = 1^'п°+1 ^п° I с центром в начале координат
комплексной плоскости, через по- Пусть {(Зп}^=1 - собственные значения оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической
2ІИІ
кратности. Если для всех п > щ выполняются неравенства qn =
| Ц-П + Vn V"n\
< 1, тогда
по
первые то = ^2 собственные значения {/Зп}™=х оператора Т + Р являются решениями
П= 1
системы шо нелинейных уравнений вида
то
то
(1)
к=1
к=1
к=1
Здесь (то) = ---------Sp f ¡ip 1 PR^(T) d/i - k-e поправки теории возмущений оне-
2тгкг
т,
п0
ратора Т + Р целого порядка р, Яц(Т) - резольвента оператора Т. Известно, что в этом случае в контуре Тпо количество собственных значений оператора Т при возмущении Р не изменяется [1].
Основываясь на системе нелинейных уравнений (1), в работах [2 — 6] был разработан метод нахождения первых собственных значений дискретных операторов, который авторами был назван методом регуляризованных следов (РС).
о° , ,
Если известны значения числовых рядов ^ ак (гпо) поправок теории возмущений це-
к=і
лого порядка р = 1,то дискретного оператора Т + Р, тогда система нелинейных алгебраических уравнений (1) позволяет находить его первые то собственные значения {/Зп}™= 1-Предельные абсолютные погрешности найденных собственных значений /Зп оператора Г + Р
оо , ,
зависят от того, с какой точностью вычислены суммы числовых рядов ^2 ак (то).
к=1
В статье [4] разработан численный метод, позволяющий с необходимой точностью вычислять суммы числовых рядов поправок теории возмущения для возмущенных самосопряженных операторов необходимого порядка. В некоторых случаях суммы числовых рядов
о° , ,
У~^ ак (то) можно приближенно найти, зная их первые члены, т. к. известно, что ряды к=1
сходятся как геометрический ряд со знаменателем q = max qn [4]. Поэтому важно иолу-
1-Іп
чить аналитические формулы вычисления первых поправок ак>\то). В работе [3] найдены аналитические формулы вычисления первых четырех поправок ак>\то) для случая, когда собственные значения оператора Т однократные. В данной работе получены в явном виде формулы вычисления первых четырех поправок в случае произвольной кратности собственных значений оператора Т.
1. Вычисление первых четырех поправок теории возмущений дискретных операторов
Пусть все предположения, которые сделаны во введении относительно обственных значений оператора Т выполнены, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если Т - дискретный полу ограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. При этом для всех п > щ выполняются неравенства qn < 1. Тогда поправки теории возмущений (то) для к = 1, 4 и любых натуральных р и по оператора Т + Р вычисляются по формулам
а
СР)
по
(т0) =Р^2
Vr>.',
d^-1
(АІ, — 1)! dn\
по
V2
V Г),
d п
п=і (An — 1)! djirT
пР-1
Г"П І ’
+ -
(АІ1} - 1)!
dXn 1
Іфп
по
djjt,
р— 1
_________(
An — 1 ^ f^n
V 3
d^-1
/л:
,p-1
+
і
П
2
З ^ лАІ2)-1 , ,,Р-1 л
+ / \ (2) Е УппУгпУт (^^-) +
(ІЦ
(2)
+
ПО
(™«) = іЕ
р—1
/4г
+ -
У2 V- У
/ ^ пп угп Уп'.
гф п
с1ц
+
(АІ3) - 1)! I .
2 , б^“1
(ЛІ'* 1)!
(ІЦ
р—1
Цп
~м)
+
+
{\(п] - 1)!
^(і) _і й п
)гп у тп у пг (Ї) і,І,тфп іі/Іц"
Е ъм т Утп
р—1
Цп
рч)
' п Рчп ) '
где Уц = - скалярное произведение, {/хп}^_1 - собственные значения опера-
тора Т, {ип}п=1 ~ ортонормированные собственные функции, соответствующие этим собственным значениям, ип - крат ноет ъ соответственного собственного значения цп, Лк) _ і "п, "п > 1,
_
Ап —
к, ип = 1.
Доказательство. Согласно определению первой поправки теории возмущения и теореме о
вычетах, имеем
а(р)(гп0) = ~1^—Зр І 1 рЯ^(Т) йц =
— ( ^ 2тг г V У р
тпп
27г г
тп
Р
27ті
тп,
. р—1 “« /;Р-1
А ШЛГЄ5ІЇ_
V---------------(Рил, ил)(І/а, = рУ^ У^(Ри)і,и)і):
^ ¡1- ¡1і 1 Ип Ц- Ці
г п=1 г
Обозначим через 1^- скалярное произведение (Рш{,ш^. Собственные значения цп оператора Т кратности ип. Если г = п, тогда
та р_1 п0 р_і
\ (л \—> (л
ТЄ8 -----------г = У ТЄ8
(/х — /1{) (/х — /¿іУ
п=1 4 п=1 4
П0
Е
(А!,11 -1)! ,г,,5'-1
Ііт
сіЛ™-1
Х<!)_
,р-1\ _
п0
Е
1
=і (Ап — 1)! ¿Цп
р- 1
3
4
П
п
гг.
4
п
п
Тп
О
/А
1
ц
,р-і
Если і ф п гее --------- = 0. Окончательно получим
и-п (ц Ці)
а
(р)
О
(т0) =Р^2
(!) _ IV Ак1}-1 Vм-
П=1 (Ап — 1)! СІЦгі
:Р~ 1
Рассмотрим вторую поправку:
а^\гп0) = -^~3р I цр 1 РЯц(Т) (1ц =
р
Т„
р
47Г і
т( I Цр 1 РЯц(Т) шпйц,и;п) =
Т
по
^ Рш' 4ТП .1 КІ'—'Ц-Цг
Тпо
тО
ЕЕ^-л
П=1 І,]
ц
р-1
]г
гее —
Возможны следующие варианты вычисления вычета: 1) № = Цт Ц] Ф Цп
то
Е
ф
2) Ці — /х? — Цп
геэ
р-1
о
Е
і бг^-1 / ц^1
пґі (Ап - 1)! с1цХп 1
то
Е
Пф1
I*
гея -----------------
■р-1
о
Е
= > геэ
пф1
А
р-1
Цп)
Л2)
Таким образом,
о
Е
=1 (Ап — 1)! ¿ці,
р-1
9 ^ Н^-1 / ир~г •
+7х^ гй^^(д _д. (АУ-1)!^п (1цпп ^з-
Аналогично находим третью и четвертую поправки.
□
В случае, когда спектр оператора Т простой, полученные формулы (2) совпадают с ранее полученными в работе [7] формулами нахождения первых четырех поправок теории возмущений.
і
/А
П
2. Численный эксперимент
Для проверки полученных формул (2) в случае кратных собственных значений невозмущенного оператора Т рассмотрим спектральную задачу для оператора Лапласа. Пусть опе-
д2 д2
ратор Т = —А задан на прямоугольнике П = [0, а] х [0, 61 с границей Г. Здесь А = ——^
oxz oyz
- оператор Лапласа. В качестве возмущения Р возьмем оператор умножения на дважды непрерывно дифференцируемую функцию р(х,у), определенную на прямоугольнике П. Рассмотрим спектральную задачу
(Г + Р)ір = [Зір, ip е Dt• (3)
DT = [ip I v? є С'2(П)р|С'[П], Ay? є Ь2[П] : ^ = o}.
Известно, что собственные значения и собственные функции шпк оператора Т имеют вид:
к2 \ , ч 2 птгх ктту
sin-----sin ■
Цпк — ТГ
2/п2 к2\ 2 .
b
п. к = 1, оо.
Система собственных функций {^пА:}^0д;=1 является базисом пространства ¿2[П]. В слу-а2
чае, когда —г — рациональное число оператор Т имеет кратные собственные значения. о
Пронумеруем собственные значения {Цпк}^^! И собственные функции {шпк}'^1с=1 опе” ратора Т одним индексом в порядке возрастания величин цпу. с учетом кратности.
В таблицах 1 и 2 приведены результаты вычислений первых собственных значений спектральной задачи (3), найденных методом РС и методом Бубнова — Галеркина. В первом случае собственные значения обозначены /Зп, во втором — /Зп. Причем суммы числовых рядов
о° , ,
У~^ ак (то) в методе РС приближались их четвертыми частичными суммами, используя к=1
формулы (2).
Проведенные расчеты показывают, что результаты вычислений первых собственных значений возмущенного оператора Лапласа методом РС, используя формулы (2) и мето-
Таблица 1
Собственные значения /Зп и /Зп для возмущенного оператора Лапласа, вычисленных при а =1, Ь =1 и р(х, у) = х + у
а
п Цп Аг /Зп |Аг - All
1 19,739 20,748 20,737 0,011
2 49,348 50,356 50,347 0,009
3 49,348 50,356 50,347 0,009
4 78,957 79,969 79,958 0,011
5 98,696 99,708 99,695 0,013
6 98,696 99,708 99,695 0,013
7 128,305 129,319 129,305 0,014
8 128,305 129,319 129,305 0,014
9 167,783 168,799 168,782 0,017
10 167,784 168,799 168,782 0,017
11 177,654 178,672 178,653 0,019
Таблица 2
Собственные значения /Зп и /Зп для возмущенного оператора Лапласа, вычисленных при а = 2, Ь = 1 и р(х, у) = (1 + і)х4у2
п Цп Аг Аг | Аг - Аг|
1 12,3370 12,8462 + 0,4278І 12,8443 + 0,4266І 0,002
2 19,7392 20,5362 + 0,7586І 20,5352 + 0,7526І 0,006
3 32,0762 32,9342 + 0,8121І 32,9303 + 0,8135І 0,004
4 41,9458 42,5287 + 0,4998І 42,5247 + 0,4945І 0,007
5 49,3480 50,0276 + 0,6821І 50,0228 + 0,6758І 0,008
6 49,3480 50,0276 + 0,7821І 50,0597 + 0,8646І 0,089
Литература
1. Садовничий, В.А. Теория операторов: учеб. для вузов с углубленным изучением мате-
2. Садовничий, В.А. Замечание об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский
3. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, С.И. Кад-
4. Кадченко, С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра
- Зоммерфельда / С.И. Кадченко // Электромагнитные волны и электронные системы.
5. Кадченко, С.И. Новый метод вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов / С.И. Кадченко // Уравнения соболевского типа: сб. науч.
6. Кадченко, С.И. Вычисление сумм рядов Рэлея - Шредингера возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко // Журн. вычисл. математики и мат. физики. —
7. Кадченко, С.И. Метод регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Математическое моделирование и программирование:». - 2009. - Вып. 4, №37(170).
Кадченко Сергей Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника:», Магнитогорский государственный университет, [email protected].
Какушкин Сергей Николаевич, аспирант, кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника:», Магнитогорский государственный университет, [email protected].
Поступила в редакцию 15 января 2011 г.
