Формулы суммирования А. Вилона и В. Д. Кулиева Текст научной статьи по специальности «Математика»

Если (х, у) е П, то

д¥к (х, у) д¥к (х, у) дх ду

и

определяются по формулам

(16) и (17). В этом случае, очевидно, в<< И. Лемма полностью доказана.

Список литературы:

1. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи / В.Д. Кулиев. - М.: Физ-матлит, 2005. - С. 719.

2. Михлин С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1968. - С. 575.

3. Кулиев В.Д. Метод решения задач термоупругости К-класса // Сборник материалов XXVIII Международной научно-практической конференции Наука и современность - 2014. - Новосибирск: Изд-во ЦРНС, 2014.

ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ А. ВИЛОНА И В.Д. КУЛИЕВА

© Кулиев В.Д.*, Измайлова Н.В.*, Волкова Н.А.*

Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),

г. Москва

В статье рассматривается формулы суммирования рядов А. Вилона и В.Д. Кулиева. Совместное их применение оказалось более плодотворным для нахождения суммы функциональных рядов. Приводятся конкретные примеры.

Ключевые слова суммирование рядов, ряды Дирихле, преобразование Лапласа, метод А. Вилона, метод В.Д. Кулиева, тригонометрические ряды.

1. Метод А. Вилона.

Сущность этого метода суммирования рядов (см., например, в [1]) состоит в том, что производится суммирование обеих частей преобразования Лапласа:

в котором параметр р в формуле заменен индексом суммирования п. Метод А. Вилона переводит сумму ряда в интеграл, подынтегральная функция которого является геометрической прогрессией:

(1)

0

* Заведующий кафедрой Высшей математики, доктор физико-математических наук, профессор.

* Доцент кафедры Высшей математики, кандидат технических наук.

" Старший преподаватель кафедры «Математические методы анализа экономики».

да 1

Ian =-—, |а | < 1 (2)

n=o 1_ а

n=0 1 _ а

или экспоненциальным рядом:

™ an

I = ea, | а |<да, 0! = 1 (3)

n=o n!

Итак, заменим параметр преобразования p индексом суммирования n и будем рассматривать ряд, общим членом которого является функция F(n). Получим:

да да да да f да Л

IF(n) = IJe-ntf(î)dî = J[Ie-nt f(t)dt (4)

n=m n=m о о V n=m J

да

Здесь предполагается, что ряд IF (n) является сходящимся рядом.

n=m

Отсюда следует:

1. Сначала надо задать функцию ft).

2. Определить F(n) по формуле:

да

Е (п) = | е-'/(' )Л (5)

0

да

3. Исследовать ряд ^ Е(п); если этот ряд является сходящимся, то

п=ш

имеет место равенство (4).

2. Метод суммирования рядов В.Д. Кулиева

Обозначение. Под 8а понимается сектор, образованный двумя лучами в 2-плоскости, исходящими из точки 0\(ш, 0) симметрично относительно действительной оси под углом а (0 < а< п / 2) (см. рис. 1).

А

m+Rela Рис. 1

т

сходится. Тогда

Имеет место теорема В.Д. Кулиева [2]. Теорема 1. Пусть:

1°. Функцияfz) регулярна внутри и на границе сектора Sa.

2°. Функция fz) в точках z = к, где к = m, m + 1, m + 2, ..., не имеет нулей.

3°. Угол а такой, что предельное равенство:

jim \е-1яКsm«R \f(m + Re")|} = 0 (6)

выполняется равномерно по <ре [0, а]. 4°. Несобственный интеграл

да

j f(*)dr (7)

m

да / Л

£ f (к) = ^ 1 -OJ f (m) + j f (r)dr + i да i

+ - f-1-(Г f (m + ре'а)e(а+2рсоа) +

4 j А(р,а) W- (8)

+ f (m + ре-а) е-' (а+2«рс°а) ]_ -[f (m + реа)еа+ f (m + ре_а)е_а]е-2рта} dp

где А(р, а) = sin2 (pжcos а) + sh2 (^nsin а).

Рассмотрим важный пример. 3. Ряды Дирихле.

Ряды вида

a (n) £ ns

n=m "

где {a(n)} - произвольная последовательность вещественных чисел, называют рядами Дирихле.

Пусть в формуле (1) ft) = f-1 (Re s > 1). Тогда:

1 1

Ps T(s)

j e-'pts-1dt (9)

Заменяя в (9) р на п, умножая обе части равенства (9) на функцию а(п) (а(п) = ап) и суммируя по п, находим:

п=т п ^ ) 0 Vп=т /

Ряды Дирихле не столь важны для общего анализа, как степенные ряды, поскольку они представляют лишь очень специальный класс аналитических функций. Однако они очень важны в теории чисел. В некоторых отношениях их теория гораздо сложнее теории степенных рядов. Например, в теории степенных рядов круг сходимости и круг абсолютной сходимости совпадают с кругом регулярности суммы ряда. В теории рядов Дирихле, где эти круги должны быть заменены полуплоскостями, все три соответствующие полуплоскости могут быть различными. Сумма этого ряда, ф^), есть аналитическая функция от s, регулярная при Яе 5 > й0ъ где й0 - абсцисса сходимости данного ряда.

Поскольку ряды

£ a(n)e-tl (t > 0) (11)

вообще говоря, не сводятся к рядам (2) или (3), то для нахождения суммы рядов (10) может быть применен метод суммирования рядов В.Д. Кулиева. В силу Теоремы 1 сумма ряда (11) определяется формулой (8), если в ней положить fn) = a(n)etn. Таким образом, в рамках Теоремы 1 и формулы (10) находим интегральные представления для рядов Дирихле.

Совместное применение метода А. Вилона и В.Д. Кулиева может существенно облегчить нахождение сумм некоторого класса рядов. Приведем некоторые примеры.

, -A (-1)n-1 n sin(nx) 1 г sin х cos(at) , л sh(ax)

1. £-5-;-= —I-dt =--(-л < х <л) (12)

Щ n + a 2~ cht + cos х 2 sh(aл)

^(-1)П-1 nsin(nx) 1 fsinxch(at) л sin(ax) , ___________/юч

2. £ -----= —I-dt =--(-л<x<л, 0<a< 1) (13)

n=i n - a 2J0 cht + cos x 2 sin(o^)

о 1 rsnacos(nx) л cos(ax) /n , ^ ^ ч

3. — + £ (-1)"-°^ = л~-rax) (0 < a < 1 -л< x < л) (14) 2a n=1 a - n 2 sin(aл)

4. Заменяя в этой формуле a на ia, получаем:

+ £(-1)nacos(nx) = л chiaxl (-л<x<л). (15)

2a n=1 a + n 2 sh(aл)

„ -Alnnsinnx я-x sinX f lnt

5. > -= -у---I-dt =

¿—> ' о о J ,

я — x я,

= —у--1— ln

2 2

2 2 ~ cht — cos x (2я) x^ri

0 x

2я

r 1—-

2я

(16)

(0 < x < 2я).

Можно рассмотреть и другие интересные примеры.

Список литературы:

1. Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике / К.Дж. Трантер. - М.: ГТТИ, 1956. - С. 204.

2. Кулиев В.Д. Новая формула суммирования функциональных рядов и некоторые её приложения (ч. 1) / В.Д. Кулиев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2013. - № 1 (15). - С. 107-120.

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ К-КЛАССА

© Кулиев В.Д.*

Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),

г. Москва

В статье предлагается новый метод решения важнейшего класса задач термоупругости. Этот класс задач определен в данной статье и назван К-класс.

Ключевые слова задача термоупругости, К-класс, смещение, напряжение, усредняющее ядро, регуляризация, задача Коши, односвяз-ная область, евклидово пространство.

1. Задача термоупругости K-класса и её общая постановка.

Пусть некоторый теплопроводящий, ничем не стесненный материал, нагретый в начальный момент времени t = 0 до температуры T = T0 = const > 0, образует тело, занимающее некоторую односвязную область S+.

Далее, пусть в бесконечной среде из того же материала, имеющей нулевую температуру T = 0, вырезается отверстие в форме S+. В это отверстие в начальный момент времени t = 0 помещается тело S+ из материала с температурой T0 и в этот же момент времени жестко закрепляется по общей границе L нагретого и холодного материалов (т.е. по границе L области S+) так, что на L нет скачка смещения [1].

* Заведующий кафедрой Высшей математики, доктор физико-математических наук, профессор.