Метод решения задач термоупругости k-класса Текст научной статьи по специальности «Математика»

„ -Alnnsinnx я-x sinX f lnt

5. > -= -у---I-dt =

¿—> ' о о J ,

я — x я,

= —у--1— ln

2 2

2 2 ~ cht — cos x (2я) x^ri

0 x

2я

r 1—-

2я

(16)

(0 < x < 2я).

Можно рассмотреть и другие интересные примеры.

Список литературы:

1. Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике / К.Дж. Трантер. - М.: ГТТИ, 1956. - С. 204.

2. Кулиев В.Д. Новая формула суммирования функциональных рядов и некоторые её приложения (ч. 1) / В.Д. Кулиев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2013. - № 1 (15). - С. 107-120.

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ К-КЛАССА

© Кулиев В.Д.*

Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),

г. Москва

В статье предлагается новый метод решения важнейшего класса задач термоупругости. Этот класс задач определен в данной статье и назван К-класс.

Ключевые слова задача термоупругости, К-класс, смещение, напряжение, усредняющее ядро, регуляризация, задача Коши, односвяз-ная область, евклидово пространство.

1. Задача термоупругости K-класса и её общая постановка.

Пусть некоторый теплопроводящий, ничем не стесненный материал, нагретый в начальный момент времени t = 0 до температуры T = T0 = const > 0, образует тело, занимающее некоторую односвязную область S+.

Далее, пусть в бесконечной среде из того же материала, имеющей нулевую температуру T = 0, вырезается отверстие в форме S+. В это отверстие в начальный момент времени t = 0 помещается тело S+ из материала с температурой T0 и в этот же момент времени жестко закрепляется по общей границе L нагретого и холодного материалов (т.е. по границе L области S+) так, что на L нет скачка смещения [1].

* Заведующий кафедрой Высшей математики, доктор физико-математических наук, профессор.

Рис. 1

Начало системы координат поместим внутри области Сформулируем условия для рассматриваемой задачи. I. Начальные условия:

£

At=0

I aTo, если (х, у) е S+, [0, если (х, y) g S+;

(1)

^ylt=o

aTo, если (х, у) е S [о, если (х, у) g S+;

(2)

В любой точке (x, y) е E2 выполняются также условия:

у \ = о уИ=о 0

al п= 0, crJ = 0, тА = 0 x|t=0 у I/=0 ху\ t=0

(3)

(4)

II. Условия непрерывности:

1°. На границе L области S+ нет скачка смещения.

2°. На границе L области S+ напряжения не терпят разрыв.

III. Условия на бесконечности.

Смещения, напряжения и главный вектор сил (а также вращение) в бесконечно удаленной точке полагаем равными нулю.

Введем следующие допущения:

1°. Все термоупругие постоянные не зависят от температуры и являются одинаковыми как для холодного, так и для горячего материалов.

2°. Материал тела считается однородным и изотропным.

Эти допущения не имеют принципиального характера, однако позволяют найти простое эффективное решение многих практически интересных задач и выявить некоторые основные качественные эффекты.

£

Неравенство температур среды и области 5^ приводит к остыванию горячего материала, вследствие чего в заполненной им области 5^ возникают растягивающие напряжения. С течением времени растягивающие напряжения возрастают, вызывая рост начальной, наиболее опасной трещины или какого-либо эквивалентного дефекта в области 5+. При t ^ ж напряжения и размер горячей трещины стремятся к максимальным.

Будем считать, что все пластические эффекты сосредоточены в малых областях вблизи контура трещины. В этом случае поставленная задача о развитии «горячей» трещины может быть решена в рамках механики хрупкого разрушения.

Заметим, что задачи исследования кинетики роста трещины в пространственном случае достаточно сложны. Поэтому в данном случае ограничимся только нахождением напряженно-деформированного состояния.

Введем следующие обозначения. Пусть область 5, с границей д5е+ есть внутренняя подобласть области 5^ с границей д5+ а область 5+, в свою очередь, есть внутренняя подобласть области Бе с границей дБе. И пусть границы д5, и дБе находятся на расстоянии е от границы д5+ где е > 0 - сколь угодно малая величина, как показано рис. 1.

Обозначим также через 5ег область Ет \ Бе (т = 2 или т = 3), а через П -область Бе \ 5, с границей д5е+ и дБе.

Начало декартовой системы координат поместим внутри области 5е+.

2. Метод решения задач К-класса.

Рассмотрим общую задачу К-класса при любой конечной односвязной области 5^ с границей д5, в Ет (Ет - т-мерное Евклидово пространство). Предложенный нами метод решения задачи термоупругости К-класса состоит из следующих этапов.

Этап 1. Найти решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности Фурье. Из постановки задачи следует, что в любой точке х е Ет и в любой момент времени t > 0 температура Т(х, 0 теплопроводящей среды определяется формулой Пуассона:

я

ГГ __

Т(х, г) =-2- [ е

/ I-\т ,-гч

уг^шй} 5+ (5)

(Я =| х-¿|,( х е Ет ¿е Ет)

Этап 2. Найти начальное распределение температуры. Из (5) находим:

Нш Т(х,0 = T0F(х) г ^+0

(х е Ет )

Очевидно, функция Е(х) будет иметь разрыв 1-го рода, когда х е о

она равна единице, если х е £+, и равна нулю, если х <£ 5" .

Этап 3. Для любых задач термоупругости К-класса принимается физически оправданное допущение: в Ет существует малая область П, внутри которой регулирязованное начальное распределение температуры убывают от Т0 до 0.

Этап 4. Регуляризировать функцию Е(х) следующим образом: ^ (х) = | с (г) F

г <к (6)

(г х I,х е Ет, Ет) Здесь сок(г) - некоторое усредняющее ядро [2], например:

(г) =<

Che h -r , r < h; 0, r > h.

Здесь Ch = const.

Функция Fh(x) обладает следующими свойствами: 1°. Fh(x) непрерывна в Em, причем:

ll, если x е St, Fh (x) = \ — (7)

[0, если x е S—.

а внутри области П, при x е П, Fh(x) принимает значения, большие нуля и меньшие единицы.

2°. Функция Fh(x) имеет непрерывные всевозможные частные производные любого порядка во всем пространстве Em, причем все её частные производные равны нулю везде, за исключением внутренних точек области П, где они, вообще говоря, отличны от нуля.

Регуляризация функции F(x), в частности, обеспечивает непрерывность смещений и напряжений в Em.

Этап 5. Следует воспользоваться решением задачи Коши:

T (x,t) It=0 = T0Fh (x)

(8)

(x е Em)

для однородного уравнения теплопроводности Фурье:

д 2T (x, t) _ 1 dT (x, t)

ax2 " a dt (9)

(x е Em )

Это решение имеет вид:

Я2

т —

т(*,0 = —=т I Ъ (¿е 4а'^

(2-4 паХ) ве

(X е Ет, ¿е Ет )

Этап 6. Если х е 5е+, то из (10) следует:

(10)

Я2

т --

т(х, г) = —ТЬт I е 4а'^ (11)

Доказательство данного утверждения достаточно просто.

Этап 7. Рассмотреть вспомогательную задачу термоупругости для теп-лопроводящей однородной и изотропной упругой средой заполняющей Ет и имеющей в начальный момент времени t = 0 нулевую температуру всюду, кроме заданной конечной области 5+, температура которой постоянна и равна Т0 > 0:

Т, если х е 5+ Т(х,0 = •( 0

[о, если х г 5+ (12)

(х е Ет )

Решения данной задачи термоупругости, которые определяются из соответствующих обычных систем уравнений Дюгамеля-Неймана, должны удовлетворять следующим условиям:

1. Смещения, деформация и напряжения при t ^ равны нулю.

2. На границе области 5^ смещения, деформация и напряжения не терпят разрыв.

3. Смещения, напряжения и главный вектор сил (а также вращения) в бесконечно удаленной точке считается равными нулю.

Чтобы обеспечить непрерывность смещений, деформаций и напряжений на границе х е дБ в дальнейшем начальное условие (12), следует заменить на условие (7).

Этап 8. Компоненты вектора смещений в термоупругой задаче ^-класса следует представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых не зависит от времени t, а второе определяются из решения вспомогательной задачи термоупругости. Первые слагаемые в компонентах вектора смещений определяются так, чтобы получаемые в результате компоненты смеще-

ния позволили удовлетворить сформулированным выше условиям для задачи термоупругости ^-класса.

Предложенный метод применен для решения плоских задач термоупругости ^-класса, когда область S+ представляет собой прямоугольник, а также для решения пространственной задачи из того же класса, когда область S+ представляет собой прямоугольный параллелепипед.

Список литературы:

1. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи / В.Д. Кулиев. - М.: Физ-матлит, 2005. - С. 719.

2. Михлин С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1968. - С. 575.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

© Прокуратова О.Н.*, Неклюдова С.А.

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец

Метод наименьших квадратов (МНК) используется в математике, в частности - в теории вероятностей и математической статистике. Наибольшее применение этот метод имеет в задачах фильтрации, когда необходимо отделить полезный сигнал от наложенного на него шума. Его применяют и в математическом анализе для приближённого представления заданной функции более простыми функциями. Ещё одна из областей применения МНК -решение систем уравнений с количеством неизвестных меньшим, чем число уравнений.

Запишем сумму квадратов отклонений si = <p(xi, a0, a1, ..., am) -yi, i = 0, 1, ..., n для всех точек x0, x1, ..., xn:

n n 2

^ = YSS = Ylp(X ' O» am )-y, ] •

1=0 1=0

Параметры a0, ab ..., am эмпирической формулы y = p(x, a0, aj, ..., am), будем находить из условия минимума функции S = S(a0, a1, ..., am). В этом состоит метод наименьших квадратов. [3, с. 71]

Пример 1. По следующим табличным данным, полученным в ходе эксперимента, подобрать методом наименьших квадратов квадратичную функцию F(x) = aX + bx + c.

x 7 8 9 10 11 12 13

y 7,4 8,4 9,1 9,4 9,5 9,5 9,4

* Старший преподаватель кафедры Алгебры и геометрии.