Регуляризация начальных условий задачи термоупругости к-класса для прямоугольника Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы:

1. Wonham W.M., Fuller A.T.J. Electronics Control. - 1958. - № 4 (6). -Р. 567-576.

2. Гейдаров Т.Г. МГОУ - XXI - Новые технологии. - 2004. - № 1. - С. 4-7.

3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1. -Сов. радио, 1969.

4. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - «Радиосвязь», 1982.

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ К-КЛАССА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

© Кулиев В.Д.*, Борисова Н.Л.*, Юркова Е.А.*

Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),

г. Москва

В данной статье проводится регуляризация начального распределения температуры задачи термоупругости из А-класса для прямоугольника, что достаточно важно при применении метода В.Д. Кулиева. Показано, что регуляризованная функция непрерывна и имеет производные любого порядка в евклидовой плоскости.

Ключевые слова: симметричная единичная функция, усредняющее ядро, малая окрестность точки, регуляризация, задача термоупругости, А-класс, односвязная область, евклидово пространство.

В предложенном В.Д. Кулиевым методе решения задач термоупругости А-класса [3] основным этапом решения является регуляризация начального распределения температуры после её определения из решения задачи Коши для прямоугольника. Решение задачи Коши для прямоугольника имеет вид [1]:

T (x, y,t ) = T

erf

X0 ^ x

2*Jat

+ erf

2*Jat

erf

Уо + У

l4at

+ erf

Уо — У

lyfat

'rf (т) = —erf(—т) = f e fd^

где erf (т) - функция вероятности ошибок Гаусса.

x„ — x

о

X

* Заведующий кафедрой Высшей математики, доктор физико-математических наук, профессор.

* Старший преподаватель кафедры Высшей математики.

" Старший преподаватель кафедры «Математические методы анализа экономики».

Отсюда, при t ^ 0, имеем:

Т (х, у) = Т0 ^ (х, у) = = То [ Н (хо + х) + Н (хо - х) -1] [Н (уо + у) + Н (уо - у) -1] где Н( г\) - симметричная единичная функция - функция включения.

(1)

Теперь проведем регуляризацию начального распределения температуры. Согласно [2] регуляризация проводится по формуле:

рк (х, у) = Цсл (г^

где сок(г) - усредняющее ядро, например:

сн (г) = -

(2)

Сне

о,

к2

'к2-г2

г < к; г > к.

(2*)

С = сот1

Функция ¥{х, у) - есть простейшая функция с разрывом 1-го рода, что следует из (1). Она, очевидно, будучи локально абсолютно интегрируемой (т.е. интегрируемой по Лебегу), может рассматриваться как обобщенная функция и потому имеет частные производные любого порядка только лишь в обобщенном смысле, которые представляют собой также обобщенные функции.

Рис. 1

Введем обозначения (см. рис. 1). Через ^ обозначим область: |х| < х0 - е, У| < у0 - е, где е (е > 0) - достаточно малая величина; через 5е~ - область:

Е2 \ Бе, где Бе есть область |х| < х0 + е, |у| < у0 + е; через 5+ - область |х| < х0,

У| < у0; через 5+ - область |х| < х0, |у| < у0; через П - область: Ве \ 5е+; через Е2 - евклидову плоскость.

Ниже будем использовать обозначения П,± (/ = 1, 2, 3, 4). Здесь П1+ есть область: х0 - е < х < х0 + е, |у| < у0 - е; П1- - область: -х0 - е < х < -х0 + е, у| < у0 - е; П2+ - область: у0 - е < у < у0 + е, |х| < х0 - е; П2- - область: -у0 - е < у < -у0 + е, |х| < х0 - е;; П3± - область: ±х0 - е < х < ±х0 + е, у0 - е < у < у0 + е; П4± - область: ±х0 - е < х < ±х0 + е, -у0 - е < у < -у0 + е.

■+

Границу области прямоугольника 5 обозначим L. Если пишем Ок с 5,

+

-'г ■

то предполагается, что Ок - окрестность точки М(х, у) е 5е+ целиком нахо-

■< +

дится в области 5е и её окружность не пересекается с границей Ь. Если пишем Ое с 5е+, то предполагается, что радиус усреднения к равен е, т.е. радиус усреднения к может быть взято сколь угодно малым.

Сформулируем свойства функции ¥к(х, у).

Лемма. Функция ¥к(х, у), определяемой по формуле (2), обладает свойствами:

1°. Она непрерывна на всей плоскости Е2, причем

|1, если (х, у) е 5+ Рк(х, у) = \ , ( ,у) е (3)

[о, если (х, у) е

а внутри области П (т.е. когда (х, у) е П) она имеет некоторые значения, отличные от нуля и единицы.

2°. Она имеет непрерывные всевозможные частные производные любого порядка на всей плоскости Е2, причем все её частные производные равны нулю везде, за исключением внутри области П, где они, вообще говоря, отличны от нуля.

Доказательство. Функция Ек(х, у) можно записать в виде: 2л к

(х,у) = { {гю^(г)[Н(х0 + х + гсоб0)+ Н(х0 - х - гсоб0)-

о о (4)

-1][[ (у0 +у + г Бт0) + Н (у0 - у - г бш^)-\\(1г(Ю

((х у)е Е2 )

Доказательство свойства 1°. Пусть (х, у) е 5е+ и пусть Ое с 5е+. Тогда из (4) в силу (1) получаем:

2л е

^.(х, у) = | | гюе(г) [Н (хо + х + г СОБ0)+ Н (хо - х - г соб$)-1] X

о о (5)

2л е 4 7

х[Н (уо + у + г+ Н (уо - у - г бш^)- 1\йгйв = | |гюе(г)йгйв = 1

о о

Из (4) следует:

1. Если х = х0 - е и у | < у0 - е, то величину И можно взять равной е - 0. Тогда:

+Н (е- г со8б)-1]х[Н (у0 + у + г 8тб) + Н (у0- у - г 8тб)-

2ле

-1] с1гс16= Л гаЕ-0(г)СгС6 = 1

(6)

0 0

2. Если у = у0 - е и |х| < х0 - е, то величину И можно взять равной е - 0. Тогда:

2ле-0

о(X,у) ^-е, = | | г®е-о(г)[Н(2х0 -е + гс^6) +

I у|< У0 -е 0 0

2л е-0

РЕ_0(ХУ) у=у0-е, = | | г®е-0(г)[Н(х0 + х + гсо*6) +

| х|< Х0 -е 0 0

(7)

+Н(Х0 - х - гсозб)-1] х [Н(2у0 - е + г8тб) + Н(е - г8тб) -

2ле

-1] СгС6 = Л га£-0(г)СгС6 = 1

0 0

3. Если х = -х0 + е и [у| < у0 - е или если у = -у0 + е и |х| < х0 - е, то аналогичным образом находим:

РЕ-0(x, у)

х=-Х0 +е,

|у|< уо-е

=1, Р£-0( x, у)

у=-у0 +е

х|< Х0-е

= 1

(8)

4. Если (х, у) е П, то функция ^И(х, у) определяется по формуле (4). В этом случае е << И.

5. Если (х, у) е Б,- и если Ое с £е~, то можно показать, что:

X, у) = 0 (9)

6. Если х = х0 + е, то для любого у е (-да, +да) величину И можно взять равной е - 0. Тогда:

X у) х=+е= 0

х=Х0 +е у|<да

(10)

7. Если х = -х0 - е, то для любого у е (-да, +да) величину И можно взять равной е - 0. Тогда:

Р£-0( х у)

х=-Х0-е у|<да

= 0

(11)

8. Аналогичным образом при у = ±у0 ± едля любого х е (-да, -+») находим:

ре- о( х, у)

у=уо +е

х|<от

= о,

ре-о( х, у)

у=-уо

| х\

= о

(12)

В силу формул (4)-(11) первая часть (т.е. 1°) леммы доказано.

Доказательство свойства 2°. Из свойства средней функции ¥к(х, у) следует, что она имеет всевозможные производные любого порядка на всей плоскости Е2, причем их можно получить дифференцированием под знаком интеграла, так что:

дир (х, у) _ л д"ск (г)

дхп дуП2 г<к дхщ ду"2

((х, у) е Е2 )

где щ и п2 - неотрицательные целые числа, причем щ + п2 = п. Пусть усредняющее ядро юк(г) имеет вид (2*). Тогда из (2) имеем:

(13)

Рк (х, у) = Ск Ц е к2-г2 Р

г <к

Здесь:

г =

>/(?- х )2 + (я- у)2, С к = С

2лк2

С =

| te dt

о

-1

(14)

(15)

Доказательство приведем для первых производных; для высших производных оно аналогично. Из (14) имеем:

к2

дР (^ У) _ С 2[) Г2СО$в ^ к2_г2

дх

л

И

о о

(к2 - г2)2

[Н (хо

+ х + гСОБУ)+

(16)

+Н (хо - х - г собУ)-1]х[Н (уо + у + г + Н (уо - у - г бш^)- \]СгСв

Лл к 2 •

С7е к2-г2 [Н(хо

ду

л

о о(к2 - г2)

+ х + г СОБУ) +

+Н (х0 - х - г СОБ0)-1]х[Н (уо + у + г + Н (у0 - у - г - 1]сМв, ((х, у) е Е2 )

2

к

2

к

Из (16) следует:

1. Если (х,у) е и если Ог с , то:

х, у)

= 0,

х, у)

дх ду

2. Если (х,у) е и если Ог с Бг, то:

дРЕ (х, у) дх

= 0,

дРв (х, У)

ду

= 0

= 0

(18)

(19)

Далее, поступая точно таким же образом, как при доказательстве непрерывности функции ^(х, у) из (16) и (17) получаем:

д^-0(х у)

дх

дРЕ-0( х у)

= 0,

х=щ-г

I у| — У0- г

дх

др£-0( х у)

= 0,

х=-х0 +г

1 у1 — у0-г

дх

д^-0( х у)

= 0,

у=у0-г 1 х|—х0-г

дх

у)

= 0,

у= у0+г 1 х|—х0-г

дх

дРЕ-0( х у)

= 0,

х=х0 +г,

1 у1 <°°

дх

дРг^х у)

= 0,

х=-х> -г,

1 у1

дх

дРг^х у)

= 0,

у=у0 +г ,

х | <о>

дх

= 0,

у=-у0 -г,

х | <о>

^г-^ у)

ду

д¥е -0(х у)

ду

-0( x, у)

ду

-0(x, у)

ду

дРг -0(x, У)

ду

-0( x, у)

ду

-0( x, у)

ду

- 0( X у)

= 0,

х=х0-г

| у| — у0-г

= 0,

х=—х0 +г

| у|—у0-г

= 0,

у=у0-г

х|—хп-г

= 0,

у=-у0+г

х—хп-г

= 0,

х=х0 +г

| у | <х

= 0,

х=- х0 -г,

у | <х

ду

= 0,

у=у0 +8,

х | <о>

= 0

у=-у0 -г,

| х | <о>

(20)

Если (х, у) е П, то

др (х, у) др (х, у)

дх ду

и

определяются по формулам

(16) и (17). В этом случае, очевидно, е<< к. Лемма полностью доказана.

Список литературы:

1. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи / В.Д. Кулиев. - М.: Физ-матлит, 2005. - С. 719.

2. Михлин С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1968. - С. 575.

3. Кулиев В.Д. Метод решения задач термоупругости К-класса // Сборник материалов XXVIII Международной научно-практической конференции Наука и современность - 2014. - Новосибирск: Изд-во ЦРНС, 2014.

ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ А. ВИЛОНА И В.Д. КУЛИЕВА

© Кулиев В.Д.*, Измайлова Н.В.*, Волкова Н.А.*

Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),

г. Москва

В статье рассматривается формулы суммирования рядов А. Вилона и В.Д. Кулиева. Совместное их применение оказалось более плодотворным для нахождения суммы функциональных рядов. Приводятся конкретные примеры.

Ключевые слова суммирование рядов, ряды Дирихле, преобразование Лапласа, метод А. Вилона, метод В.Д. Кулиева, тригонометрические ряды.

1. Метод А. Вилона.

Сущность этого метода суммирования рядов (см., например, в [1]) состоит в том, что производится суммирование обеих частей преобразования Лапласа:

в котором параметр р в формуле заменен индексом суммирования п. Метод А. Вилона переводит сумму ряда в интеграл, подынтегральная функция которого является геометрической прогрессией:

(1)

о

* Заведующий кафедрой Высшей математики, доктор физико-математических наук, профессор.

* Доцент кафедры Высшей математики, кандидат технических наук.

" Старший преподаватель кафедры «Математические методы анализа экономики».