CC BY
21
li3:=v2A.otmetka-f
(v3A.otmetka-
v2A.otmetka)*hl/da;
hl:=hl-f(j-l)*da; h2:=i*da; insert (ncw(pnl,
init(h2,hl,h3)));
end;
if u3A.rabotm* u4A.rabotm<0 then begin 111 :=abs(u3A.rabotm)* cUi/(abs(u3A.rabotm)-i-abs(u4A.rabotin));
h3:=v3A.otmetka+
(v4A.otmetka-v3A.otmetka)*hl/da; hl:=i*da-hl; h2:=j*da;
insert (new(pnl,
#
К несомненным преимуществам данной программы можно отнести малую емкость (150 Kb без базы данных), возможность работы на любом типе персональных компьютеров, совместимых с IBM, значительные визуальные
init(hl,h2,h3))); end;
if u4A.rabotm* ulA rabotm<0 then begin h 1 :=abs(u4 A. rabot m) * da/(abs(u4A.rabotm)+
abs(ulA.rabotm)); h3:=v4A.otmetka+ (vlA.otmetka-v4A.otmetka)*h 1/da; hl:=j*da-hl;
li2:=(i-l)*da; insert(new(pnl, init(h2,hl,h3))); end; end;
end
end; END;
возможности, простота ввода данных, вывод результатов расчетов в виде готовых форматизировТГйных документов. Она рекомендуется для использования в учебных целях и при разработке ППР в проектных институтах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Автоматизация решения задач подготовки строительного производства и оперативного управления / Б. Н. Небритое, Л. Б. Зеленцов, Г. И. Лазарев и др. / Под ред. Б. Н. Небритова. М.: Стройиздат, 1993. 416 с.
2. Кузнецов Ю. П, Прыкин Б. В., Рез-ниченко П. Т. Проектирование земляных и монтажных работ: Учеб. пособие для строит, вузов. Киев: Вища шк., 1981. 196 с.
3. Соустин В. Н. Вычисление объемов земляных работ при вертикальной планировке площадок // Геодезия и картография. 1996. № 10.
С. 55 — 56.
4. Черненко В. К., Галимуллин В. А., Че-(анов Л. С. Проектирование земляных работ: Программир. пособие для вузов по спец. „Пром. и гражд. стр-во"/Под ред. В. К. Черненко. 2-е изд., перераб. и доп. Киев: Вища шк., 1989. 152 с.
ККККККХКККККККККККККККККККККККХККККККККККККККККК
О ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ НЕКОТОРЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ
В. А. КАРТАШОВ, кандидат технических наук
Рассматривается действие на поверхность упругого полупространства нагрузки, которая распределена по како-
му-либо закону в пределах области, ограниченной некоторым контуром (рис. 1). Для нахождения вертикального (на-
© В. А. Карташов, 1998
ill
Р и с. 1
го (направленного перпендикулярно к поверхности полупространства) перемещения V/ точки А, находящейся в пределах нагруженной поверхности, рассекаем эпюру нагрузки плоскостью, которая перпендикулярна к поверхности полупространства и проходит через названную точку. След этого сечения представлен отрезком КШ. Его положение определяется углом ср> отсчитываемым от произвольно выбранной прямой М01^0, также проходящей через
точку А (плоское сечение пространственной эпюры нагрузки показано в левой верхней части рис. 1). Эпюра и, следовательно, ее сечение могут быть кусочными (иметь разрывы). Ордината эпюры, показывающая интенсивность нагрузки в точке, отстоящей от А на Б, обозначим д. Элемент площади рассматриваемого сечения эпюры равен
<¿£2^= дс15, а вся шгощадь, равна:
а
<р
/ ЧЙБ.
(1)
м
Здесь интеграл берется в пределах отрезка МИ. Если эпюра кусочно-раз-рывная, берется сумма интегралов по отдельным участкам.
Через точку А проведем еще отрезок 'М1N1, придав углу ^ приращение
Перемещение от действия нагрузки, распределенной по некоторой области поверхности полупространства (рис. 2).
определяется муле
/
=
Р и с. 2
согласно известной фор-
1
,2
л:Е
/
р
тгЕБ
(2)
Здесь Е и V
— модуль упругости и
коэффициент Пуассона материала полупространства; б — расстояние от точки, перемещение которой ищется, до точки, в которой интенсивность распределенной нагрузки равна ц. Интеграл берется по всей нагруженной площади.
Применяя (2) к перемещению точки записываем:
А,
1
V
2
л Е
1 -V
я
И
2 ^
qsdsd^p
N
л:Е
/ с1<р /дбв.
О м
Пределы интегрирования по ф взяты исходя из того, что при повороте на угол, равный лу прямая, проходящая
через точку А, „выметет" всю площадь нагруженной фигуры (АЫ — ее верхнюю часть, АМ — нижнюю). С учетом (1) получаем
1
2 *
XV
л Е
о
(3)
Если исследуемая точка А находится вне загруженной области или на ее границе, в частности, совпадает с одним из углов кусочно-гладкого контура (рис. 3), интегрирование осуществляет-
ся Получим элемент нагруженной ся в пределах угла охвата со:
площади, стороны которого равны Бд(р и с^, а площадь составляет
(1Р = Б дзд(р.
У/
1
2 <о
лЕ
(4)
О
P и с. 3
Однако и в таких случаях применима формула (3), если поверхность полупространства вне контура нагруженной площади рассматривать как воспринимающую нулевую нагрузку.
Воспользуемся описанным способом для определения перемещений, вызываемых нагрузкой, распределенной по частям круглой площадки.
Вначале найдем перемещение точки А, в которой пересекаются хорда и дуга сегмента окружности радиуса а с центральным углом 2а (рис. 4). При этом
К
Р и с. 4
хорда АВ, стягивающая сегмент, составляет с касательной KL, проведенной через точку А, угол, равный а.
Он совпадает с углом охвата со. Предположим, что площадь сегмента воспринимает равномерно распределенную^ нагрузку q. Из точки А, совпадающей с точкой М, проведем под углом (р относительно KL след MN сечения эпюры нагрузки. Поскольку центральный угол MON равен 2<р,
MN
2asin/>.
Плоское сечение эпюры нагрузки представляет собой прямоугольник с основанием ММ и высотой а. Его пло-
адь равна:
Q
<Р
q MN = 2qasiny>. формуле (4) и с учетом
того, что со = а,
w
1
2
а
лЕ
2qa / s\n<pd<p>
О
или
w
2(1 - v2)qa „ ч V ЛЕ Í1 " cosa)-
(5)
Но a(l
cosa)
CD
из (5) следует, что
f, поэтому
2(l-v2)qf
лЕ
w
>
(6)
где f - CD Если f =
а,
использование
даст:
w
стрела сегмента.
т. е. 2а - л (полукруг),
формул (5) и (6)
2(1 -v2)qa лЕ
При 2а - 2л (равномерно нагруженная круглая площадка) получим известное выражение:
4(1 -у2)с\а
w
лЕ
Нетрудно найти решение для равномерно нагруженной площадки в виде луночки, ограниченной дугами пересекающихся окружностей (рис. 5). На ос-
р и с. 5
новании формулы (6) перемещение точки А, находящейся на конце общей хорды сегментов обеих окружностей, находим как
2(1 - v2)qAf
w
лЕ
2(1 -v2)q(fi-f2)
лЕ
(7)
где f{ и 12— стрелы сегментов.
Теперь определим перемещение центра О окружности от действия нагрузки, равномерно распределенной по площади сегмента (рис. 6).
fi « Ci co&dC
Р и с. 6
Имеем MN acosa/cosp;
а
ОМ; ОМ
Q
MN = а(1
= q MN
cosa/cos<p);
cosa
qa 1--
1 cosy?
Подставив выражение Q<p в (4) и
учтя, что в данном случае угол охвата со = 2а, получим;
у2 °г Л cosa. J w = —I аа 1--1 d(f
1
л E
-a
\
QQStp
(1 - v2)qa лЕ
a
2a - cosa /
d<p
cos <p
Ho
г JïL
** со s<p
1 . 1 + sirty>
III "Г-r—
2 1 - sin^>
1
t 1 + sina ,
In -z-:-»
1 - sina
a
следовательно
(1 - v2)qa
w
лЕ
2a - cosa
1+sina
In-:-:-
1-sina
Поскольку длина дуги CED сектора s = 2aa, а отрезок OB = h « acosa, формулу (8) можно представить в виде 1
(1 - v2)q лЕ
w
hln
1 -fi sina 1 - sina
(9)
При а = л из (8) находим известную формулу осадки центра равномерно нагруженного круга:
2(1 -v2)qa
w
Е
(10)
Легко
определяется ; перемещение центра О кругового сектора, воспринимающего произвольно распределенную вдоль радиуса осесимметричную нагрузку (рис. 7).
Р и с. 7
Из формулы (4) при центральном
угле 2а следует:
w
Ж!
« )
2) Qa
jeE
(11)
t
Если q = const, a Q видно, что
qa, из (11)
2(l~v2)qa
w
л:Е
a
(12)
Случай, когда q = const, a = л, Q = qa, возвращает нас к формуле (10).
Зная решения рассмотренных задач, можно без труда найти перемещение вершины А равномерно нагруженной площадки в виде равнобедренного треугольника с боковыми сторонами длиной а и углом при названной вершине 2а (рис. 8). Проведя из А как из цент-
со* хы
Рис. 8
ра окружность, проходящую через две остальные вершины (С и Б) треугольника, мы сведем задачу к наложению решений для нагружения сектора и сегмента. Пользуясь формулами (8) и (12), определим:
(1 - у2) qacosa 1 + sina
,лЕ 1 - sina
w
(1 - v2) qh 1 + sing ^
лЕ
1 - sina
(13)
где И — высота треугольника, проведенная из вершины А, перемещение которой ищется.
Переходим к перемещениям при действии нагрузок, распределенных по площадям многоугольных фигур.
Найдем перемещение вершины А острого угла прямоугольного треугольника (рис. 9). Этот угол равен а и
заключен между катетом АС = И и гипотенузой АВ. Точку А берем за начало координат. Ось х направляем вдоль катета АС, а ось у — параллельно катету СВ.
Р и с. 9
Рассмотрим действие нагрузки вида
q = 2A
mn
xm yii
(14)
Такого рода рядом можно точно выразить или аппроксимировать большинство встречающихся на практике нагрузок.
Для решения поставленной задачи воспользуемся формулой (3). Для этого под углом <р к основанию АС проведем прямую А>1 (точка А совпадает с точкой М применительно к принятым обозначениям). Возьмем на ней некоторую точку К, отстоящую от А на АК = е. Поскольку х = 5С05а
формула (4) примет вид
У
SS1 П(р
q
S A'mn sm+n cos"y sinV
(15)
Вычислим площадь Q^ сечения пространственной эпюры нагрузки плоскостью, имеющей след AN и перпендикулярной к плоскости треугольника ABC. Очевидно, что
Q
<р
N
/ q ds = 2 Amn соsm<p sinn<p
M
X
№
h/cos^>
X /
0
m+n
ds.
Но
h/costp Jsm+n
0
ds
1
+ П+1
m+n + 1
h/cosip 0
1
+ П + 1
1
hm+n+l x
X
eos"14"11* V
поэтому
Q
<р
2
mn
j^m-f n+1
m + n + 1
sinV cosn+^
Затем согласно формуле (3)
1 -v
2
w
л E
2 ^mn
j^m+n-f 1 m + П + 1
X
% sinV J
X / .. „Jt
0
COSn+V
Если n - 0, т. e.
q
2 Л
m
получим
Г sirxV „
0
СОБ
0
COS <p
1 . 1 + sina
7Г In -j-:-
2 1 - sina
Intg l^ + f
и формула (17) даст
(16)
(17)
(18)
(19)
w
1 — V
2
2яЕ
In
1 + sina 1 - sina
2 Amn
1 hm+1
m + 1
При действии равномерно распределенной нагрузки интенсивностью я,
т. е. при А - ц, В - С - 0, из (23) следует, что
(1 - v2)qh
w
2л; Е
In
1 + sina 1 - sina
(1 -v2)qh ' 2тгЕ
. Я & lntg I4 + 2
(24)
Если действует линейно распределенная нагрузка в виде представленной на рис. 10, т. е. при А - 0, В - я/а, С - 0, из (23) получим
f>
Рис. 10
_ 1-у2
2лЕ При п =
л
а
hm+l
In tg|T + ^l2Amn^-r-(20)
4
2
+ 1
1
ar sinn(p J
J ___114-i
o
a
cosn+V
Q cos^y?
1 - cosa cosa
(21)
В случае действия линейно распре-
деленной нагрузки вида
q
А + Вх + Су,
(22)
т. е. когда в выражении (15) Аоо = А,
Ai о
В, Aoi = С, а остальные коэф-
фициенты ряда равны нулю, из формулы (17) с учетом (19) и (21) будем иметь
w
1-У2
2яЕ
1
(Ah + ^B h2)x
т 1 4- sina л J1
х In --:— + Са2
cosa
1 - sina
cosa
(23)
w
(1 - y2)qh 1 4- sina
4лЕ
In
1 - sina
(1 - y2)qh 2л:Е
л
a
lntg I 4 + 2
(25)
Ту же величину найдем при линейном распределении нагрузки согласно рис. 11, когда А-»д, В = -д/а, С = 0.
Рис. 11
Интересно обметить, что в обоих последних случаях перемещение в два раза меньше, чем при равномерном распределении нагрузки по всей площади треугольника.
Такова методика отыскания лереме-ений вершины острого , угла А. Она применима для вершины В при соответствующей замене координатных осей, катета АС на ВС = b и угла ВАС, равного а, на угол ABC, равный
90° — а. Для отыскания перемещения
вершины С прямого угла из нее нужно провести перпендикуляр к гипотенузе АВ, разбив тем самым нагруженный треугольник на два прямоугольных, сходящихся в точке С острыми углами. Рассмотренным способом получим перемещения их вершин, сумма которых дает перемещение вершины прямого угла треугольника АСВ.
Если площадка представляет собой остроугольный треугольник (рис. 12),
я
л
1
с л
г
Рис. 12
его необходимо разбить на два прямо-
О
угольных, опустив из исследуемои вершины А перпендикуляр на противоположную сторону. Найдя таким способом перемещения и у/2, вызванные
нагружением треугольников АСВ] и АСВ2, получим полное искомое перемещение: XV = у/\ 4- 4*2- Углы а\ и а^
образуемые названным перпендикуляром и сторонами угла с вершиной А, нужно считать положительными, если они расположены по разные стороны от перпендикуляра АС (см. рис. 12); если же они находятся по одну сторону от него, то меньший из двух углов следует считать отрицательным. Так, на рис. 13 угол положительный, а
угол <Х2 отрицательный. При действии равномерно распределенной нагрузки я получим
W
(1 - v2)qh ( 1 + Si na i +
2тгЕ
\
1 - sinaj
+ ln
1 + sina2 1 - sina2
(1 -v2)qh
kE
x
X
(26)
В частности, если угол при вершине А прямой, т. е. а\ + aj — 90°, то
w
a -
ЪсЁ?
х
, , ^а2 + Ь2 + а Va2 + b1 + b.
х ln , „ ---„ , > (27)
Va2 + b2-a
где а и b — длины катетов треугольника.
Jt
Рис. 13
Найдем перемещение и7уг угловой
точки прямоугольника со сторонами а и Ь, в пределах которого действует равномерно распределенная нагрузка (рис. 14). Представив прямоугольник
Рис. 14
состоящим из двух прямоугольных треугольников, разделенных диагональю, в соответствии с формулой (24) получим
(1-у2)д
2лЕ
(1-у2)д
уг
2лЕ
, 1 4- ъта ,
а 1п --:— +
1 - ь'та
+ Ып
1 4- сопза
1 - сопэа
2лЕ
, , уа2 4- Ь2 4- Ь
х а 1п ——т- 4-
^а2 + Ь2 - ь
4- Ь 1п
Уа2 + Ь2 + а
(28)
Если эпюра нагрузки имеет вид пирамиды с максимальной ординатой д в рассматриваемой угловой точке (рис. 15), перемещение последней будет в два раза меньше того, которое дает формула (28).
Рис. 15
Для
отыскания перемещения \уц центральной точки этого же прямоугольника (рис. 16) разделим его на
Рис. 16
четыре одинаковых прямоугольника, сходящихся вершинами в центре, и с помощью формулы (28) получим
ц
Уа2 4- Ь2 + Ь
а 1x1 ^а2 + Ь2 - Ь +
Уа2 4- Ь2 + а
+ Ь1п >/а2~+~Ь2 ~ а
(29)
Следовательно, перемещение в центре в два раза больше углового.
При действии нагрузок, распределенных по одной или нескольким многоугольным фигурам любой формы, их разбивают на прямоугольные треугольники или их комплексы (например, на прямоугольники), вершины которых сходятся в интересующей нас точке. В случае необходимости вводятся дополнительные фигуры, в пределах которых предполагается действие фиктивных нагрузок. Далее используется идея, содержащаяся в методе угловых точек. Например, на рис. 17 для нахождения
Рис. 17
перемещения точки А через нее проведены прямые к угловым точкам загруженных фигур и дополняющих их фиктивных фигур (стороны последних показаны штриховыми линиями). Снабдив перемещение, вызванное действием нагрузки на тот или иной составляющий многоугольник, индексами его вершин, запишем:
^А = ^А, 1,2,3 + у/А,3,4 + \Уа,4,5 +
+ ^А,5,6 + +
+ ^А,8,10,11 ~~ ^А,8,9,12 + WA,11,13,14" ~ 12,15,14 + ^,16,17,18" ^А,16,19,14~
"" ^А,12,20,18 + ^А,12,15,14 •
В качестве примера найдем перемещение центральной точки равномерно
нагруженного правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса г (рис. 18). Пользуясь формулой (24), в
Рис. 18
л
которую подставим h = reos и учитывая наличие 2п треугольников типа О ВС, получим
W
ц
(l-v2)qr л
--РГ^ neos — X
лЕ п
X 1п
1 + sin 1 - sin Vn
(30)
При n - 3' (правильный треугольник)
w
ц
3(1 - v2)qr 2 + ^3
лЕ
(31)
при n = 4 (квадрат)
w
2^2(1 -v2)gr ^2 + 1
лЕ
V2 - 1
(32)
при n = 6 (правильный шестиугольник)
w
3^3(1 -v2)qr
u
лЕ
ln 3.
(33)
Если эпюра нагрузки представляет собой пирамиду с основанием в виде правильного многоугольника и максимальной ординатой q в центре, величины, полученные с помощью (30 — 33), нужно уменьшить в два раза.
При п оо, когда правильный многоугольник переходит в окружность,
формула (30) после раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя будет
иметь вид
2(1 -v2)qr
Е
w
ц
(34)
Если же эпюра нагрузки имеет вид круглого конуса с высотой д в центре, перемещение будет в два раза меньше, чем по формуле (34).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, на который действует нагрузка, распределенная по закону
Ч = Чо11 I (Рис- 19). Через qo обо-
Рис. 19
значена максимальная ордината эпюры, находящаяся в вершине того острого угла, перемещение которого ищется. В соответствии с формулой (18) т принимает значения 0 и 2, чему соответствуют Ао = q и А2 = Будет
получено
w
т
(l-v2)q0h 1 + sina
— ln
ЗяЕ
2(1 -v2)qoh
ЗтгЕ
1 - sina
ln tg
(35)
При наличии правильного п-уголь-ника, воспринимающего нагрузку, эпюра которой ограничена поверхностью многогранного купола, состоящего
из отрезков пересекающихся параболических цилиндров, каждый из 2п составляющих прямоугольных треугольников находится в условиях только что рассмотренной задачи. Воспринимаемая им нагрузка вызывает перемещение центральной точки, в которой сходятся вершины составляющих треугольников:
XV,
(1 - V2) дог СОБ 1 + БШ я/п
-1п
ЗяЕ
1 - ЭШ Л/П
где г — радиус окружности, описаннои около многоугольника; до — максимальная ордината эпюры нагрузки, расположенная в центре.
В целом от всей нагрузки
ц
(1 - у2)дрг соб ^п „ 2п-^-х
х 1п
ЗлЕ
1 4- бш ж/п
1 ~ БШ
(36)
При п -» оо (предельный переход к эпюре нагрузки в виде параболоида вращения) формула (36) запишется:
4(1 -У2)д0г ЗлгЕ
ц
(37)
Вернемся к треугольнику, воспринимающему равномерно распределенную нагрузку. Пусть известны сторона а треугольника, противолежащий угол а
и один из прилежащих углов /? (рис. 20) •
а
Рис. 20
Имеем а=И{с\ф 4- ^[180° - (а + р) ]}=
Отсюда И
Ь[сХф - с\ё(а + £)]. __а__
= с\ф - ctg(a 4- /3) *
В соответствии с формулой
с\£ А - ^ В
бшСВ - А) $т А бш В
запишем:
сХф - сХ%(а + Р)
бш а
ът(а 4- Р)
после чего получим
Ь = а
ыгф ь'т(а 4- /?) ^
$ та
(38)
Пользуясь формулой (26), найдем перемещение вершины А треугольника. При этом надо положить а\ = 90°
«2
90°
[180•-(«+£)]
[90°-
(а 4- р) ], вследствие чего
1 4- ь'тах 1 4- зта2
1д -:-4- 1п -:-
1 - Бтс*! 1 - вта2
1п
з
1 4- эта\ 1 4- ъ\па2
1 - вта^ 1 - ъта2
1п
1 4- соф 1 - С05(а 4- Р) 1 - соф 1 4- соБ(а 4- Р)
а+ р
21п
Подставив в (26) последнее выражение, а также значение величины Ь, в соответствии с (38) получим
ж^Г + Я х
w
х 1п
1 4- соф в 1 - С05(а 4- Р) 1 -.соф 1 4- со$(а 4- Р)
(1 — у2)да
лЕьта г 4
+ Р) х
tg
х 1п
а + Р
2
(39)
Теперь найдем перемещение у/уг угловой точки любого многоугольника, воспринимающего равномерно распределенную нагрузку. Интересующую нас вершину А соединяем прямыми линиями с остальными вершинами
п-угольника, разбив его на (п - 2) треугольника (рис, 21). Углы этих тре-
*
Рис. 21
угольников при вершине А обозначим а2, <*п-2> их стороны, противолежащие названным углам, — а^
а2, •••> Зп-2> углы, прилежащие к этим
сторонам, — •••>/?п-2« Согласно
формуле (39) нагрузка, действующая в пределах 1-го треугольника, вызовет в точке А перемещение
у/
V 1
х 1п
(1-у2)да|
ЪШшГ + А) X
1 + со^ 1 - сов^ + Д)
ИМ———И— I ———I
1 - соф\ 1 + со з(а\ + Д)
Суммирование по всем треугольникам дает полную величину перемещения угловой точки:
У/
уг
(1 -V2)д у ^п/З^шСа, + Д) 2л:Е ~
X
х 1п
1 + соф\ 1 - соь(а1 + Д)
1 - адф 1 + С05(в| + Д)
(1 - у2)д "у2 + Д)
2л:Е Л вш«!
X
X 1п
(40)
идет
угольнике, вписанном радиуса г (рис. 22), в
правильном Пт в окружность
формулу (40)
Рис. 22
подставляем и получаем
я о 1 « . я
а = —; А = —тг, а-2г 5Ш — п п п
w
уг
(1-у2)дг . Д
ЪсЕ А -ЯХ
г
1 + 1
1=1
п
х 1п
1 . 1 1 1 + 1 1 + сое— л 1 - сое-л
п
п
• I I •
1 - СОБ— Л 1 + СОБ-Л
П П
2(1 - у2)дг
п-2
лЕ
2 21111
1=1
т п
. (1 +
БШ
П
- X
tg
(1 + 1)л
х 1п
п
tgWn
(41)
При п - 3 (правильный треугольник)
(1-у2)^1пЗ, (42)
V/
уг
лЕ
где а ■ г — сторона. треугольника; при п = 4 (квадрат)
(1 ^у2)да
w
уг
лЕ
где а
(43)
при п - 6 (правильный шестиугольник)
й
,2
уг
2л:Е
1п
3(2 + УЗ)
2-^3
(44)
