Сокращение времени счета в методе тепловых источников Фурье Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

Пентегов И. В. Pentegov I. V

доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник отдела физики газового разряда и техники плазмы, Институт электросварки им. Е.О. ПатонаНАН Украины, г. Киев, Украина

Рымар С. В. Rymar S. V.

доктор технических наук, старший научный сотрудник, заведующий лабораторией электротермии в составе отдела физико-металлургических процессов сварки и электротермии высокопрочных сталей, Институт электросварки им. Е.О. Патона НАН Украины, г. Киев, Украина

Петриенко О. И. Petriienko O. I.

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, старший научный сотрудник лаборатории сварки высокопрочных сталей в составе отдела физико-металлургических процессов сварки и электротермии высокопрочных сталей, Институт электросварки им. Е.О. Патона НАН Украины, г. Киев, Украина

УДК 536.12:621.78.01

СОКРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ СЧЕТА В МЕТОДЕ ТЕПЛОВЫХ ИСТОЧНИКОВ ФУРЬЕ

Цель — разработка методики быстрого оценочного расчета распространения тепловых полей в полупространстве под круглым участком поверхностного нагрева с постоянной вкладываемой удельной мощностью с применением гладкой и ступенчатой модели нагрева из прямоугольников и модернизированного метода тепловых источников.

Методика основывается на научных положениях теоретической теплофизики - теории распространения тепла в сплошных средах для определения распределения тепловых полей в полупространстве и методе наложения тепловых полей.

Результаты. Замена круглой поверхности настила вкладываемой постоянной удельной мощности ступенчатой поверхностью аналогичной площади, заполненной прямоугольниками, вписанными в окружность, позволяет существенно сократить время счета, при получении приемлемой для практических целей точности вычислений температур.

Оригинальность. Замена в модернизированном методе тепловых источников операции интегрирования по поверхности на операцию суммирования при наложении тепловых полей от небольшого количества прямоугольников.

Практическая ценность. Методика может быть использована для быстрых оценочных расчетов температур, а ее алгоритм применен в автоматизированных технологических процессах электротехнических систем при выборе режимов нагрева изделий.

Ключевые слова: тепловые расчеты, повышение скорости расчетов, распространение тепла, модернизированный метод тепловых источников, поверхность нагрева из прямоугольников.

REDUCTION OF THE COUNTING TIME IN THE METHOD OF THERMAL FOURIER SOURCES

Purpose. Development of a technique for a rapid estimation of the propagation of thermal fields in a half-space under a circular section of surface heating with a constant invested specific power with the use of a smooth and stepwise model of heating from rectangles and a modernized method of thermal sources.

Methodology. The technique is based on the scientific provisions of theoretical thermophysics — the theory of heat propagation in continuous media for determining the distribution of thermal fields in a half-space and the method of superposition of thermal fields.

Results. Replacing of the circular surface of the deck with an input of a constant specific power with a stepped surface of a similar area filled with rectangles inscribed in the circle makes it possible to significantly reduce the counting time when obtaining an acceptable temperature accuracy for calculations.

Originality. The replacement in the modernized method of thermal sources of the integration operation over the surface with the summation operation when applying thermal fields from a small number of rectangles.

Practical value. The technique can be used for fast temperature estimation calculations, and its algorithm is applied in automated technological processes of electrotechnical systems at a choice of modes of heating of products.

Key words: thermal calculations, increasing the speed of calculations, the spread of heat, the modernized method of thermal sources, the heating surface from rectangles.

Введение

Статья посвящена развитию методов практического применения нового способа [1] суммирования радиус-векторов в методе тепловых источников [2, 3], позволяющего устранить бесконечно высокие температуры в точке возникновения импульса энергии и базирующегося на интегральном подходе при решении задачи распространения тепла.

В работе [4] на примере пакета MathCAD [5] было показано, что при использовании разработанных алгоритмов в модернизированном методе тепловых источников Фурье, когда области с источниками тепла могут быть приближенно заменены прямоугольниками, и пространственные интегралы при этом заменяются встроенными во многие математические программные продукты функциями интеграла вероятности «erf», через которые выражаются внутренние интегралы, скорость расчета температуры при поверхностном нагреве может быть увеличена от нескольких десятков до нескольких тысяч раз по сравнению с традиционными методами расчетов.

В работе [6] показана высокая точность расчетов тепловых процессов при индукци-

онном нагреве с применением различных модификаций метода тепловых источников, позволяющих перейти от интегрирования по поверхности к операции суммирования и резко сократить время счета, интегрируя только по времени.

При решении прикладных задач распространения тепла в электротермии, сварке, теплотехнике сокращение времени счета является актуальной задачей. Особенно это важно в автоматизированных системах управления производственными процессами в электротехнических системах.

Целью и задачей статьи является разработка методики быстрого оценочного расчета распространения тепловых полей в полупространстве под круглым участком поверхностного нагрева с постоянной вкладываемой удельной мощностью с применением гладкой и ступенчатой модели нагрева из прямоугольников и модернизированного метода тепловых источников.

Особенностью разработанной методики расчета является замена круглой поверхности настила вкладываемой постоянной удельной мощности ступенчатой поверхностью аналогичной площади, заполненной

прямоугольниками, вписанными в окружность. При этом за счет замены операции интегрирования по поверхности на операцию суммирования при наложении тепловых полей от небольшого количества прямоугольников, интегрируя только по времени, происходит существенное сокращение времени счета по сравнению с уже разработанными алгоритмами [1, 4, 6] при получении приемлемых для практических целей точности вычислений температур. Задача в этом случае имеет аналитическое решение. Методика может быть использована для быстрых оценочных расчетов температур. Также полученный алгоритм может быть применен в автоматизированных технологических процессах при выборе режимов нагрева изделий.

По сути, это привлечение известного в электромеханике приема разбиения окружности на прямоугольники при построении магнитных систем силовых трансформатора [7].

Созданные методы и методики на протяжении последних лет используются в Институте электросварки им. Е.О. Патона НАН Украины при разработке электротехнических систем вторичного нагрева сварных изделий для закалки и нормализации металла шва и околошовной зоны.

Круглая поверхность настила вкладываемой постоянной удельной мощности характерна для процессов нагрева: многовитковым кольцевым индуктором колоколообразной формы; несфокусированным электронным или лазерным лучом или сфокусированным перемещающимся лучом по круглой поверхности нагрева; круглым контактным нагреваемым резистивным элементом; пламенем газовой горелки с образующими круг барьерами и др.

Гладкая модель нагрева

Используя преобразованную формулу (1) и выражения (2)-(5) работы [6], запишем формулу распространения температуры T по координатам x и y в декартовой системе координат для полупространства при его поверхностном нагреве круглым источником нагрева радиуса R с постоянной удельной мощностью p = const, Вт/м2:

Aa(t-x)

t-X

R

i<

-R

{x-x0f 4a(i-t).

<erf

2^a(t-x)

dxо

dx + TQ, (1)

где X — коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К);

t — текущее время, отсчитываемое от начала процесса нагрева;

а = X/(cy) — коэффициент температуропроводности, м2/с;

с — удельная теплоемкость материала, Дж/(кгК);

у — удельная масса материала, кг/м3; т — время возникновения момента импульса энергии, отсчитываемое от начала процесса нагрева;

(t - т) — время распространения тепла от импульса энергии; x0 — координата;

-JR2 --у — уравнение окружности для вкладываемой на поверхность нагрева удельной мощности;

T0 — начальная температура нагрева. В расчете обычно принимают средние значения теплофизических параметров а, X и c за время нагрева.

Аргумент функции erf в формуле (1) получен на основании выражения (5) работы [6], где интеграл по координатам xff z0 для выделяемой на элементе радиуса R постоянной удельной мощности записывается в виде:

J

о

4а(г-т) yjna(t-x)

dzQ = erf

4r2~xI

2-Ja(t-x)

(2)

Если нужно определить температуру в точке с координатами х, у и г, то в выражение (1) в качестве значения аргумента х нужно подставить длину проекции радиус-вектора г на плоскость х и г от этой точки, определяемой из выражения:

г(х,г) = у1х2 + г2. (3)

При нагреве пластины толщиной Д формула (1) записывается в виде:

L (у-2eAf

-1 е

ё=-L

t-X

xerf

Jr2~xq

2 Ja(t-x)

dxо

dx + T0,

(4)

где L — количество зеркальных отражений (см. формулу (30) работы [1]). На практике достаточно взять L = 5.. .8.

Выражения (1) и (4) позволяют с высокой точностью рассчитывать значения температур под круглым источником нагрева радиуса R при вкладываемой на поверхность нагрева постоянной удельной мощности. Однако в математических пакетах процесс интегрирования относительно долог.

Для существенного сокращения времени счета в оценочных расчетах распространения тепла под круглым источником нагрева воспользуемся ступенчатой поверхностью, состоящей из прямоугольников, вписанных в окружность.

I. Фигура из прямоугольников, наилучшим образом вписанная в окружность

В таблице 1 приведены количество и относительные габариты прямоугольников а* х Ь* для ступенчатой фигуры наибольшей площади, вписанной в окружность с относительным диаметром П* = 2R* = 1. Это данные из работы [7] и применяются при оптимальном заполнении стержней магнитопровода силовых трансформаторов пакетами электротехнической стали.

Для иллюстрации на рисунке 1 показана ступенчатая фигура, состоящая из 5 прямоугольников (пунктирные линии), вписанная в окружность, имеющая 3 ступени в 1/4 части круга.

Для того чтобы автоматизировать расчет распространения тепла для подобной фигуры настила вкладываемой мощности, в частности в пакете МаШСАО, сформируем два вектора из выбранных относительных значений длин а* и высот Ь* прямоугольников по таблице 1, например, для 2-й строки:

К' м

0,850 0,525

0,5250 0,1625

, (5)

а., М

где т = 1, ..., М;

М — количество ступеней в 1/4 части круга, для 2-й строки М = 2.

Создадим вектор п = 1, ..., Ы, где N — общее количество прямоугольников в круге: N = 2М - 1 = 3.

Векторы с относительными габаритами прямоугольников в круге (рисунок 1) будут иметь вид:

в„=ъ

0,5250 0,1625 0,1625

, А=а

0,850 0,525 0,525

(6)

где ceil — функция, которая округляет аргумент до наименьшего целого числа [5].

При выбранном начале координат осей х и z по центру круга относительные координаты центров прямоугольников будут равны:

*с* 1

М

;4.„=(-О"

Таблица 1. Количество прямоугольников, вписанных в окружность, и их оптимальные относительные габариты [7]

Количество прямоугольников: в 1/4 части круга N; в круге M Количество прямоугольников Коэффициенты: площади kS; линейных размеров kD

1 2 2 2 2 2

Относительные габариты прямоугольников

a*1*b*1 a*2*b*2 a*xb* a*. xb*. 4 4 a*5*b*5 a* xb*l! 6 6

1; 1 0,707x0,707 - - - - - 1,5713; 1,2535

2; 3 0,850x0,525 0,525x0,162 - - - - 1,2743; 1,1288

3; 5 0,905x0,424 0,707x0,141 0,424x0,099 - - - 1,1774; 1,0851

4; 7 0,935x0,356 0,800x0,122 0,600x0,100 0,356x0,068 - - 1,1277; 1,0619

5; 9 0,950x0,312 0,847x0,105 0,707x0,093 0,532x0,070 0,312x0,051 - 1,1030; 1,0502

6; 11 0,955x0,300 0,870x0,098 0,770x0,072 0,64x0,065 0,495x0,050 0,300x0,042 1,0821; 1,0402

bc'm ''

0, if m = 1;

b,, b,2 ,r —+ —, if m = 2; 2 2

0

0,344

2

m-1

*last(A)

if m> 2

0

-0,344 0,344

S'=A.B.,=

0,085 0,085

; ^=2^ = 0,616. (8)

n

4s7

= 1,2743.

(9)

"0,959" "0,592"

Xt„ -kBA,n — 0,592 , Z,„ — kDB,n — 0,183

0,592 0,183

S.t - ksS ',„ -

0 0 0

0,568 0,109 0,109

0

-0,388 0,388

; 5^=^=0,785. (11)

На рисунке 1 прямоугольники и ступенчатая фигура из них, равная площади круга, изображены сплошными линиями.

Запишем выражения для получения размерных величин прямоугольников, координат их центров, площадей прямоугольников и фигуры из них при диаметре круга Б = 1 м:

(7)

где к и к' — векторы текущих значений вектора m;

last — функция, которая возвращает индекс последнего элемента в векторе аргумента [5].

Относительные значения площадей прямоугольников и всей фигуры из прямоугольников, вписанной в окружность: "0,446"

X=XtD =

Xc,=X„nD =

0,959 0,592 0,592 0 0 0

M-,Zn=Z.nD.

M -,ZCin=Zc.nD =

0,592 0,183 0,183 0

-0,388 0,388

м;

m:

S=S.D2 =

0,568 0,109 0,109

m2; S0 = S,0D2 = 0,785 M2. (12)

Ступенчатая фигура из прямоугольников, вписанная в окружность, имеет площадь меньше площади круга. Коэффициент отношения площади круга пО*2/4 к площади фигуры из прямоугольников, вписанных в окружность, при Б* = 1 будет равен:

Коэффициент увеличения линейных размеров прямоугольников для равенства площади фигуры из прямоугольников площади круга:

^=^ = ^ = 1,1288. (10)

С учетом коэффициентов кв и кв размеры прямоугольников, координаты их центров, площадей прямоугольников и фигуры из них при равенстве площади фигуры из прямоугольников площади круга будут равны:

II. Фигура из прямоугольников, полученная разделением 1/4 части круга на равные углы Рассмотрим методику расчета геометрических величин фигуры из прямоугольников, вписанную в окружность, при разделении 1/4 части круга на равные углы а (рисунок 1). Такой способ не требует хранения массивов данных с габаритами прямоугольников ступенчатой фигуры. Фигура будет только приближаться к фигуре, наилучшим образом вписанной в окружность, но точность расчета оказывается достаточной для оценки температуры при поверхностном нагреве.

Выбираем количество прямоугольников М в 1/4 части круга, например М = 2, и определяем общее количество прямоугольников в круге: N = 2М - 1 = 3. Сформируем два вектора т = 1...М и п = 1...Ж

Угол разбиения круга на секторы находим по формуле:

а = ^- = 0,524га</ = 30°. (13) N + 1

Векторы относительных значений длин а* и высот Ь* прямоугольников в 1/4 части круга определяются из выражений:

"0,866" 0,500

а± =2

*т

^ cos (та)

^ sin (та)

, если т = 1;

— sin(ma)- — sin[(m-l)a], если т> 1

0,500 0,183

(14)

12 2

а векторы длин А* и высот В* в круге (рисунок 2) — из выражений (6):

Электротехнические комплексы и системы

Х-*-*

ZK

2

As. 2

f---м-

2 " 2

Рисунок 1. Ступенчатая фигура (пунктирные линии) из прямоугольников, вписанная в окружность и ступенчатая фигура из прямоугольников (сплошные линии), равная площади круга

=0,785.

"0,866" "0,500" 0 "0,552"

0,500 ; в.п = 0,183 • (15) -0,386 ; s.n - 0,117

0,500 0,183 0,386 0,117

При выбранных координатах осей х и г координаты центров прямоугольников, применяя выражения (7), будут равны:

"о"

ас*т ~

К'* =

о

0,344

Д1<п —

вс.п =

о о о

-0,344 0,344

Размерные величины прямоугольников, координат их центров, площадей прямоугольников и фигуры из них при диаметре круга Б = 1 м, полученные по выражениям (12), равны:

Относительные значения площадей прямоугольников и всей фигуры из прямоугольников, вписанной в окружность, по формулам (8) равны:

"0,433"

X. =

0,978 0,565 0,565 " 0 -0,386 0,386

м:

Z„ =

м; s.=

0,565 0,207 0,207 0,552 0,117 0,117

м;

X, _ =

м;

м

Sa =0,785 м\

S\,,

0,092 0,092

S\ =0,616.

Коэффициенты kS и kD определяются по выражениям (9) и (10):

кц =1,2749; кв= 1,1291.

С учетом коэффициентов кв и кБ размеры прямоугольников, координаты их центров, площадей прямоугольников и фигуры из них, с использованием выражений (11), будут равны:

0.978 "0,565" "0"

0,565 0,207 9 Хс*п - 0

0,565 0,207 0

Ступенчатая модель нагрева из прямоугольников

Заменяя окружность на фигуру из прямоугольников такой же площади, запишем формулу (29) работы [1] распространения температуры T (здесь I или II — номер ступенчатой модели) по координатам x, y и z для полупространства при его поверхностном нагреве за счет выделяемой на элементе поверхности радиуса R постоянной удельной мощности pS = const в виде суммы N-прямо-угольников:

t N /

0 "=!

^Erf(x,X„,Xc>„,a,t,T)-Erf(z,Z„,Zc>„,a,t,z) Vi-т

-cIx + TQ, (16)

где интегралы вероятности Erf равны:

x

Erf (x,X,Xc,a,t,'z)=erf

x v x + ^ + Xc

Erf( z, Z, Zc, a, t, T )=erf

2ja{t-i)

2 2 c 2^Ja(t-i)

-erf

-erf

2_'

2^a{t-x)

2

2ja(t-x)

; (17)

• (18)

При нагреве пластины толщиной Д формула (16) представляется в виде:

< N Ь (у~2е&У О л=1г=-Ь

•ч/^-т

Формулы (16) и (19) позволяют с высокой скоростью и приемлемой для практики точностью рассчитывать распространение температуры по координатам х, и г для ступенчатых моделей из прямоугольников.

Анализ результатов расчета температуры при поверхностном нагреве

На основании полученных формул был произведен расчет распределения температур в полупространстве (сталь) на глубине

2 мм под круглым участком поверхностного нагрева с радиусом R = 20 мм, расположенным с центром в начале координат, при вкладываемой удельной тепловой мощности 1,2 Вт/мм2. Начальная температура нагрева-

емой поверхности 20 °С, время нагрева 10 с. Теплофизические параметры стали те же, что и в работах [1, 4, 6].

Расчет производился по точной методике с применением гладкой модели и по оценочной методике с привлечением ступенчатых моделей из прямоугольников I и II.

Почти на всех графиках будет показано распределение температур от центра поверхностного нагрева от 0 до 2R = 40 мм.

Для того чтобы найти температуру в точке, определяемой проекцией радиус-вектора г на плоскость х и г, расположенного под углом а к оси х, запишем выражения по определению координат точек х и г, определяемых радиус-вектором:

х = г-сова, г = гвта. (20)

Распределение температур от центра поверхностного нагрева по осям х и г

На рисунке 2, а показано распределение температур Тх Тх1, Т от центра индуктора по оси х (в связи с симметрией ступенчатых фигур относительно осей х и г такое же распределение температур будет наблюдаться и по оси г) при использовании гладкой (сплошные линии) и ступенчатых моделей из прямоугольников I (пунктирные линии) и II (штрих-пунктирные линии) при 2-х и 6-ти ступенях в 1/4 части круга с использованием выражений

520 [

а)

500 480 460 440 420 400 380 360 340 320 300 280

Л

^t.1.6

/

X Jx. ii. 6

/ 4 .1.2 /

j/ ï.ii.2

x, mm

10

20

25

30

35

40

^45' Т]с45,Ь ^=45.11' ^ 520

б)

500 480 460 440 420 400 380 360 340 320 300 280

X

T y 1 .C45.I. ЧА Uf-v JxzM

T x xr45.II 2 Ж

..........о* 6 ^

7.1=45.1 [.6

xz4 , MM

10

15

20

25

30

35

40

И T , T

xz45 xz

Рисунок 2. Распределение температур Тх, Т г 7: и от центра индуктора по оси х (а) г' Txz45II от центра индуктора под углом 45° (б) к оси х при использовании гладкой и ступенчатых моделей из прямоугольников I и II при 2-х и 6-ти ступенях в 1/4 части круга

(20) и (3). Температура плавно уменьшается от центра нагрева и выравнивается на некотором расстоянии от нагреваемой зоны.

Для гладкой модели такое распределение температур характерно для любого направления от центра нагрева (для любого значения угла а), что иллюстрируется рисунком 3, а. На этом рисунке изображены изотермические линии распределения температур от центра поверхностного нагрева для 1/4 части круга. Линии имеют форму окружностей, и температура в нагреваемом изделии плавно уменьшается от центра нагрева по сплошной кривой на рисунке 2, а.

Для ступенчатых моделей из прямоугольников кривые на рисунке 2, а отклоняются от кривых гладкой модели при приближении и отдалении от границы поверхностного нагрева (радиус R = 20 мм). Отклонение увеличивается с уменьшением количества прямоугольников в модели. Отклонение для модели II немного больше, чем для модели I.

На рисунке 3, б и в показаны изотермические линии распределения температур Тхг12 и Тх,112 для ступенчатых моделей из прямоугольников I и II при 2-х ступенях в 1/4 части круга. У центра нагрева изотермические линии имеют вид окружностей. На расстоя-

а)

в)

Рисунок 3. Изотермические линии распределения температур от центра индуктора по осям х и г для гладкой модели (а) и ступенчатых моделей из прямоугольников I и II при 2-х ступенях

в 1/4 части круга: Т^ (б); (в)

нии, приближающемся к радиусу Я, линии искажаются в области образующей ступенчатой фигуры. Дальше от края нагрева изотермы снова приобретают вид окружностей.

Изотермические линии распределения температур Т для количества ступеней более 2-х не приводятся, так как они приближаются к изотермическим линиям гладкой модели на рисунке 3, а.

На рисунке 4 показаны линии уровня относительных отклонений температур Д

ступенчатых моделей из прямоугольников от гладкой модели от центра нагрева по осям х и г для 1/4 части круга при 2-х ступенях: а — Дх2Д,2 для модели I; б — ДхгЛ2 для модели II; при 6-ти ступенях: в — Дхг16 для модели I; г — ДхгЛ6 для модели II:

Т(х,у,г) л

1-

ТПП)(Х>У>z)

•100%. (21)

На рисунках имеются характерные области отклонений температур от гладкой

а)

10 20 30 40

X, ММ б)

в)

X, ММ Г)

Рисунок 4. Линии уровня относительных отклонений температур Axz ступенчатых моделей из прямоугольников I и II от гладкой модели от центра индуктора по осям х и z для 1/4 части круга при 2-х и 6-ти ступенях: Д^ (а); Д^ (б); А^ (в); (г)

Электротехнические комплексы и системы

модели на границе нагрева. Положительные значения относительных отклонений Д

хг

соответствуют превышению температур над температурами гладкой модели, а отрицательные значения — принижению температур. Отклонения для 2-х ступеней составляют единицы процента, а для 6-ти ступеней

— доли процента. В модели I отклонение меньше, чем в модели II.

На рисунке 5 показаны относительные отклонения Д и Д значений температур ступенчатых моделей из прямоугольников I и II от значений температур гладкой модели от центра поверхностного нагрева по оси х для 2.6 ступеней.

Для ступенчатой модели I точность расчета температур по оси х возрастает с увеличением количества ступеней. Так, для модели I отклонение температур Д в центре нагрева уменьшается с — 0,12 % (2 ступени) до 0,05 % (6 ступеней), а на границе нагрева в районе 20 мм от — 1,4 % (2 ступени) до 0,1 % (6 ступеней). За границей нагрева, на расстоянии большем 25 мм от его центра, наименьшее отклонение температур наблюдается при количестве ступеней больше 2-х.

Для модели II наименьшее отклонение в центре нагрева наблюдается при меньшем количестве ступеней и лежит в диапазоне от

— 0,19 % (2 ступени) до — 0,03 % (3 ступени). На границе нагрева наименьшее

Рисунок 5. Относительные отклонения Дх и Дх п

значений температур ступенчатых моделей из прямоугольников I и II от значений температур гладкой модели от центра индуктора по оси х для 2.6 ступеней

отклонение оказывается при 2-х ступенях — 0,37 %. Наибольшее отклонение фиксируется при 5-ти ступенях 1,0 %. За границей нагрева отмечается подобная картина: наименьшее отклонение температур при 2-х ступенях.

По оси х для модели I наибольшие отклонения Дх1 лежат в диапазоне от — 1,4 % до 0,1 %, а для модели II отклонения Д лежат в диапазоне от — 0,37 % до 1,0 %.

По оси г (при угле а = ж/2 = 90 0) картина распределения температур аналогична, поскольку ступенчатая фигура по осям хи г симметрична.

Распределение температур от центра поверхностного нагрева под углом а = п/4 = 450 к оси х. На рисунке 2, б показано распределение температур Т^ Тхг45,р Тхг45,11 ОТ ценГра

индуктора под углом 45° к оси х при использовании гладкой и ступенчатых моделей из прямоугольников I и II при 2-х и 6-ти ступенях в 1/4 части круга. Характер распределения зависимостей такой же, как на рисунке 2, а, но отклонение температур для ступенчатых моделей больше на рисунке 2, б.

На рисунке 6 показаны относительные отклонения Дхг451 и Дхг45П значений температур ступенчатых моделей из параллельно расположенных прямоугольников I и II от значений температур гладкой модели от центра поверхности нагрева для данного

4Ы5.1; 4^-45,11,%

0.5

4.-45.1. 4.-45.1.3 _4_-45.П.З

4,45^ " \ У* V ~4с45,П,5

4г 15.1.4 \ \ 1 ; 4Г45Д6

'. \ / ; 4z45.II,4

4,-45,1.2 1

\ 4г45Д2

Х245, ММ

О

-0.5 -1

-1.5 2

-2.5 -3 -3.5

Рисунок 6. Относительные отклонения Д { и Дх45 п значений температур ступенчатых моделей из прямоугольников I и II от значений температур гладкой модели от центра индуктора под углом 45° к оси х для 2.6 ступеней

угла с использованием выражений (20) и (3) для 2.. .6 ступеней.

Для ступенчатых моделей I и II точность расчета температур под углом а = 45° к оси х меньше при 2-х ступенях и выше при большем количестве ступеней. Наибольшее отклонение температур для модели I наблюдается на краю поверхностного нагрева в районе 20 мм и лежит в диапазоне от — 2,1 % (2 ступени) до — 0,35 % (6 ступеней), а для модели II лежит в диапазоне от — 3,6 % (2 ступени) до — 0,7 % (3 ступени).

Распределение температур по длине окружности, образованной радиус-вектором г при изменении угла а. Координаты точек на осях х и г, расположенных на окружности радиуса R, в зависимости от угла а для формул (16) и (19) определяются из выражений (20) при г = Я, а для формул (1) и (4) при х = г = Я.

На рисунке 7 показаны относительные отклонения Д и ДR п значений температур ступенчатых моделей из прямоугольников I и II от значений температур гладкой модели по длине окружности радиуса Я на границе поверхности нагрева при изменении угла а от 0° до 90° (от 0 до п/4) для 2.6 ступеней.

Для ступенчатых моделей I и II точность расчета температур при изменении угла а возрастает с увеличением количества ступе-

ней. Наибольшее отклонение температур для 2-х ступеней в модели I лежит в диапазоне от — 1,7 % до 1,55 %, а для модели II — от — 3,1 % до 1,6 %; для 6 ступеней в модели I находится в диапазоне от — 0,35 % до 0,35 %, а для модели II — от — 1,0 % до 0,9 %.

Заметим, что относительные отклонения для ступенчатой модели I имеют небольшую ассиметрию относительно угла 45°, что вызвано погрешностью при округлении габаритов прямоугольников (таблица 1) [7].

Из проделанной количественной оценки значений относительных отклонений температур для ступенчатых моделей из прямоугольников I и II от значений температур гладкой модели можно заключить, что обе ступенчатые модели пригодны для быстрых оценочных расчетов температур. Модель I точнее, однако требует хранения базы данных геометрических размеров прямоугольников. В модели II геометрические размеры рассчитываются по углу а.

Дальнейшие работы могут быть направлены на замену сложных поверхностей настила вкладываемой тепловой мощности поверхностями аналогичной площади из прямоугольников, вписанных в рассматриваемую поверхность. При непостоянной поверхностной удельной мощности прямоу-

Адд; АЛП> %

AR.I.2 AR 11,2 д II.3

/ 7 \ \ Л R.1,3 1 \ 'h!?. ARII.4

A 1UA / / II 6

V\ ', \ 1 J / '/ tf\ г

PS тСД \ 1 X if. / \лп,/>

\ г-у

V-7 ^ /

\ /

a0

3 5 О 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Рисунок 7. Относительные отклонения Д и Д значений температур ступенчатых моделей из прямоугольников I и II от значений температур гладкой модели по длине окружности радиуса R под индуктором при изменении угла а от 0° до 90° для 2.. .6 ступеней

34 -

Electrical and data processing facilities and systems. № 4, v. 13, 2017

гольники могут накладываться друг на друга для суммирования вкладываемых тепловых мощностей.

Заметим, что замена интегралов функциями «erf» в предложенном модернизированном методе тепловых источников возможна не только для прямоугольников, но и для прямоугольных параллелепипедов, что делает возможным замену операции интегрирования на операцию суммирования при объемных источниках нагрева. В этом случае задача может быть упрощена заменой таких источников объемной фигурой, состоящей из прямоугольных параллелепипедов, вписанных в рассматриваемый объем.

Выводы

1. Разработана методика расчета распространения тепловых полей в полупространстве (сталь) под круглым участком поверхностного нагрева с постоянной вкладываемой удельной мощностью с применением гладкой и ступенчатой модели нагрева из прямоугольников такой же площади.

2. Замена круглой поверхности настила вкладываемой постоянной удельной мощности ступенчатой поверхностью аналогичной площади, заполненной прямоугольниками, вписанными в окружность, позволяет существенно сократить время счета, при получении приемлемой для практических целей точности вычислений температур. Это про-

Список литературы

1. Пентегов И.В. К теории метода тепловых источников, используемого при анализе тепловых процессов в электротехнических системах // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2014. Т. 10. № 3. С. 5-15.

2. Fourier J.B. Théorie analytique de la chaleur. Paris: Chez Firmin Didot, père et fils, 1822. 639 p.

3. Рыкалин Н.Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. М.: Машгиз, 1951. 297 с.

4. Пентегов И.В., Рымар С.В. Практическое применение метода тепловых источников при анализе тепловых процессов в электротехнических системах // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2016. Т. 12. № 3. С. 11-17.

исходит за счет замены операции интегрирования по поверхности на операцию суммирования при наложении тепловых полей от небольшого количества прямоугольников, интегрируя только по времени.

3. Предложены две модели построения ступенчатой фигуры из прямоугольников, аналогичной площади круглой фигуры: I — из прямоугольников, наилучшим образом вписанных в окружность, применяемых при построении магнитных систем трансформаторов; II — из прямоугольников, полученных при разделении 1/4 части круга на равные углы.

4. В зависимости от количества прямоугольников отклонение в расчете температур от гладкой модели в районе границы поверхностного нагрева для двух ступеней в 1/4 части круга не превышает 2,1 % для модели I и 3,6 % для модели II. Для количества ступеней, больше двух не превышает 1,1 % для модели I и 1,6 % для модели II. При смещении от границы нагрева отклонение значений температур существенно меньше.

5. Методика может быть использована для быстрых оценочных расчетов температур, а ее алгоритм применен в автоматизированных технологических процессах электротехнических систем при выборе режимов нагрева изделий.

5. Кирьянов Д.В. MathCAD 14. С.-Пб.: БХВ-Петербург, 2007. 704 с.

6. Пентегов И.В., Рымар С.В. Применение метода тепловых источников при учете распределения источников тепла при индукционном нагреве // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2016. Т. 12. № 4. С. 5-12.

7. Тихомиров П.М. Расчет трансформаторов. М.: Энергоатомиздат, 1986. 528 с.

References

1. Pentegov I.V. K teorii metoda teplovykh istochnikov, ispol'zuemogo pri analize teplovykh protsessov v elektrotekhnicheskikh sistemakh // Elektrotekhnicheskie i infor-matsionnye kompleksy i sistemy. 2014. T. 10. № 3. S. 5-15.

2. Fourier J.B. Théorie analytique de la chaleur. Paris: Chez Firmin Didot, père et fils, 1822. 639 p.

3. Rykalin N.N. Raschety teplovykh pro-tsessov pri svarke. M.: Mashgiz, 1951. 297 s.

4. Pentegov I.V., Rymar S.V. Prakticheskoe primenenie metoda teplovykh istochnikov pri-analize teplovykh protsessov velektrotekhni-cheskikh sistemakh // Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. 2016. T. 12. № 3. S. 11-17.

5. Kir'ianov D.V. MathCAD 14. SPb.: BKhV-Peterburg, 2007. 704 s.

6. Pentegov I.V., Rymar S.V. Primenenie metoda teplovykh istochnikov pri uchete raspredeleniia istochnikov tepla pri induktsion-nom nagreve // Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. 2016. T. 12. № 4. S. 5-12.

7. Tikhomirov P.M. Raschet transformatorov. M.: Energoatomizdat, 1986. 528 s.