CC BY
24
ции Пирсона [4] между оценками 9 и в, полученными МП-методом и методом МНК более 0,94. Однако описанный в работе подход дает более гибкие оценки, позволяющий ранжировать альтернативы в случаях, когда классический Раш-анализ не позволяет это сделать. Кроме того, оценки привлекательности альтернатив оказываются более устойчивыми к малым изменениям экспертных оценок.
Список литератупы:
1. Rasch G Probabilistic Models for Some Intelligence and Attainment Tests / G Rasch. - Copenhagen, Denmark: Danish Institute for Educational Research, 1960.
2. Rasch Models. Foundations, Resent Developments and Applications. EditorsFischer G. H., Molenaarl.W. Springer, 1997.
3. Маслак А.А. Измерение латентных переменных в социально-экономических системах: монография. - Славянск-на-Кубани: Изд. Центр СГПИ, 2006.
4. Гмуран В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / В.Е. Гмуран. - М. Высшее образование, 2008.
5. Баркалов С.А., Моисеев С.И., Соловьева Е.В. Применение метода наименьших квадратов при оценке латентных переменных методом Раша // Научный вестник Воронежского ГАСУ Сер. «Управление строительством». -Воронеж, 2014. - Выпуск № 1 (6). - С. 98-100.
ТРЕЩИНА ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА В БИУПРУГОЙ ПОЛОСЕ, БОКОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ КОТОРОЙ БЕЗ ЗАЗОРА УПИРАЮТСЯ НА АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИЕ ТЕЛА
© Кулиев В.Д.*, Борисова Н.Л.Ф, Глушкова И.В.*
Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),
г. Москва
В статье рассматривается краевая задача, в которой биупругая полоса с упругими свойствами /и1 и /и2 - модуль упругости) содержит трещину продольного сдвига при y = 0, |x| = l. Первая однородная изотропная упругая среда занимает область -ж < x < ж, 0 < y < h, а вторая область -ж < 0 < ж, -h < y < 0. Предполагается, что эти упругие материалы «жестко» сцеплены при |x| > l, y = 0. Далее, предполагается, что
* Заведующий кафедрой Прикладной математики, доктор физико-математических наук, профессор.
* Старший преподаватель кафедры Прикладной математики. " Магистрант кафедры Прикладной математики.
на поверхности полос смещения равны нулю. Это физически означает, что поверхности биупругой полосы опираются без зазора на абсолютно жесткие тела. На бесконечности напряжения и смещения стремятся к нулю. К берегам трещины приложены по величине равные и противоположно направленные напряжения.
Доказано, что коэффициент интенсивности напряжений КШ для рассматриваемой задачи, не зависит от свойств материалов, а зависит от толщины полосы. Этот новый результат очень важен при оптимальном проектировании конструкции из многослойных материалов при антиплоской деформации.
Ключевые слова: трещина продольного сдвига, коэффициент интенсивности напряжений, биупругая полоса, напряжения, смещения, модуль сдвига.
Пусть биупругая полоса с упругими свойствами / и /л2 (/ - модуль упругости) содержит трещину продольного сдвига при у = 0, |х| = I. Первая однородная изотропная упругая среда занимает область -да < 0 < да, 0 < у < к, а вторая область -да < 0 < да, -к < у < 0. Предполагается, что эти упругие материалы «жестко» сцеплены при |х| > I, у = 0. Далее, предполагается, что на поверхности полос смещения равны нулю. Это физически означает, что поверхности биупругой полосы опираются без зазора на абсолютно жесткие тела. На бесконечности напряжения и смещения стремятся к нулю. К берегам трещины приложены по величине равные и противоположно направленные напряжения.
Таким образом, приходим к следующей смещенной сингулярной краевой задаче.
Граничные условия:
§1. Постановка задачи
Геометрия исследуемой задачи показана на рис. 1.
У
х
Рис. 1
(1)
(2)
КС х, + 0) = ®2( х, -0), (4)
[(^),(х, +0) = (ст,, )2( х, -0). (5)
Условия на концах трещины [2]
Нш У2ж(х -1) (аугХ(х, +0)} = Кш, (6)
или
Нш У2ж(1 - х)(Пх2) (х, +0)} = -Кш. (7)
Условия на бесконечности:
|у| <А,|х| ).,(стхг),0,aj ^0. (8)
Здесь ю,(х, у) (/ = 1, 2) - смещения в первой (|х| < 0 < у < И) и во второй (|х| < -И < у < 0) упругой среде; (оу^/х, у) - напряжения в первой и во второй упругой среде; Кш - коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины продольного сдвига.
Рассматриваемая задача, очевидно, симметрична относительно плоскости х = 0.
§2. Решение краевой задачи (1)-(8)
Удовлетворив условиям (1), (2), (4) и (5), имеем:
~ / ж
®i( *, У) = - J f (t )J
Л 0 0
I
shA(h - y) sin At ....
--cosAxdA
shAh A
dt, (9)
(&yz)i (xУ) = -P2 J f (t)[ j ^^- У) sin Acos AxdA]dt z
-p - J f (t) jj chA(h y) [ sin A(t - x) + sin A(t + x)] dA} dt,
(10)
л \ |i shAh
(°xz )i (x, У) = -p1J f (t) I j ShA(h-- У) [cos A(t - x) - cos A(t + x)]dA jdt (i ^
(0 < y < h).
В работах [1, 2] доказано, что функция fx) е Ky2]-l,l[, т.е.
f (x) = -7ГxT' fo( x) = -fo(-x),
V/2 - x2 (12)
fo(x) е H'[-/,!],% <p< 1.
Здесь нечетная функция /0(х) удовлетворяет условию Гельдера с показателем в (1/2 < в — 1), а это означает, что функция /0(х) принадлежит классу функций, для которых модуль непрерывности есть степенная функция от приращения аргумента.
Вычисляя внутренние интегралы (10) и (11), при 0 - у — к, находим:
1 '
(а^ )-( у) = - -1 / (г)
. (к - у)п , (г - х)п
81П --у
2 к
2 к
Ск (Ь** + cos(k-у)п к к
s1n (к - у)* sк ^ 2к 2к
Ск + cos(к - у)п
(13)
Л,
1 '
(а)-(х, у) = -Нт I /(г)
. п(к - у)
sm———
, (г - х)п (к - у)п
ск--— + -
+
. п(к - у)
sm—-—
к
, (г + х)п (к - у)п ск--— + ^ "
(14)
ск
(0 < у < к).
к к Из (14) приходим к важным результатам: 10. Если у ^ +0, то
(стя)-(х, +0) = -м
/(х), 0 < х < I, /(0) = 0, х = 0, -/(х), -1 <-х — 0, 0, |х| > I.
(15)
20. Если 0 - у - к и к ^ да, то (сх)1 ^ 0 (условия (8) удовлетворяются).
30. Если у = к и к ^ да, то (стхг)1 ^ 0.
Из (13) следует:
10. (суМх, у) = Стуг(-х, у).
20. Если 0 — у — к и |х| ^ да, то (суг)1 ^ 0.
Из (13) с учетом (3) получаем
I
й " о
г)
2к
п
,7 п ,7 п
гк2— г - гк2
-& = р(г)ск — х (0 — х — I)
(16)
2 к
2 к
0
к
0
Коэффициент интенсивности напряжений Кш в силу (7), (12), (15) и (16), используя результаты в [3], определяется по формуле
Кш = 21
> — , г — ..
th—li ch— t ■ p(t)
f 2h dt. (17)
h \ ch — I - ch —
V h h
Проведем анализ коэффициента интенсивности напряжений Кш. 1. Пусть p(t) = ст0 (ст0 = const). Тогда
Ki =стол /2hth—l. (18)
2h
Отсюда при А ^ имеем
что и следовало доказать.
Если А ^ 0, то из (18) следует
я
Kl = ^ limj2hth(— l) = ст0 lim ф2й = 0, (19)
h^+юУ 2h h^+ад
что и следовало ожидать.
2. Пусть p(t) = ст0 • S(x) (ст0 = const). Тогда, из (2.9) имеем:
kiii = ст0
h ■ sh — h
Таким образом, доказано, что коэффициент интенсивности напряжений в рассматриваемой задаче не зависит от свойств материала.
Список литературы:
1. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи / В.Д. Кулиев. - М.: Физ-матлит, 2005. - С. 719.
2. Kuliev VD., Izmailova N.V, Borisova N.L. On the problem of the destruction biuprugih media with longitudinal shear crack at the interface / VD. Kuliev, N.V. Izmailova, N.L. Borisova // Australian journal of scientific research. - Adelaide University Press. Adelaide, 2014. - № 1 (5), V 4. - Р. 149-160.
3. Кулиев В.Д. Обращение особого интеграла с обобщенным ядром Коши и одно его применение // Сб. тр. Х Международной научной школы «Гидродинамика больших скоростей» и Международной научной конференции «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки» (к 145-летию со дня рождения академика А.Н. Крылова). - Чебоксары: ЧПИ МГОУ 2008. - С. 317-333.
