CC BY
8
doi: 10.18721/jpm.10209 удк 194.3
трещина моды III, приближающаяся к упругому клиновидному включению
В.В. Тихомиров
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, Российская Федерация
В статье решается задача об антиплоской полубесконечной трещине, которая приближается к упругому клиновидному включению. С помощью интегрального преобразования Меллина и метода Винера — Хопфа получено точное решение указанной задачи. Исследована асимптотика коэффициента интенсивности напряжений Кш в вершине трещины при малых расстояниях от нее до вершины включения. Показано, что в зависимости от параметров композиции трещина может быть как устойчивой (коэффициент интенсивности напряжений Кш ^ 0), так и неустойчивой (Кш ^ œ). В случае интерфейса, имеющего угловую точку, при некоторых значениях параметров рост трещины может быть неустойчивым (в отличие от гладкого интерфейса), если трещина подходит из мягкого материала к относительно более жесткому включению. С другой стороны, возможна ситуация, когда Кш ^ 0, если трещина приближается из жесткой среды к мягкому включению.
Ключевые слова: антиплоская трещина; интерфейс с угловой точкой; клиновидное включение; устойчивость трещины
Ссылка при цитировании: Тихомиров В.В. Трещина моды III, приближающаяся к упругому клиновидному включению // Научно-технические ведомости СПБГПУ. Физико-математические науки. Т. 10. № 2. С. 99-109. DOI: 10.18721/JPM.10209
MODE-III CRACK APPROACHING TO THE WEDGE-SHAPED
ELASTIC INCLUSION
V.V. Tikhomirov
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russian Federation
The problem on antiplane semi-infinite crack approaching to the elastic wedge-shaped inclusion is considered. The problem has been solved exactly using the Mellin integral transformation and the Wiener-Hopf method. The stress intensity factor of the crack tip Km asymptotic behavior for short distances from the crack to the inclusion vicinity was studied. Depending on the composition parameters, the crack was shown to be stable (Km ^ 0) or unstable (Km ^ ro). Providing that the interface has a corner point, the crack growth can be unstable (unlike the smooth interface) for some parameter values even though the crack approaches from the soft material to a relatively harder inclusion. Alternatively, the possibility of Km ^ 0 exists provided the crack approaching from the hard material to a soft inclusion.
Key words: antiplane crack; interface with a corner point; wedge-shaped inclusion; crack stability
Citation: V.V. Tikhomirov, Mode-III crack approaching to the wedge-shaped elastic inclusion, St.
Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 10 (2) (2017) 99—109. DOI: 10.18721/JPM.10209
Введение
Одной из важных проблем механики неоднородных структур является проблема взаимодействия трещин с границей раздела (интерфейсом) материалов. В процессе такого взаимодействия растущие трещины могут отклоняться интерфейсом с образованием вторичных трещин расслоения или преломляться при проникновении в другую среду [1, 2].
В рамках плоской задачи, начиная с классической статьи А.Р. Зака и М.Л. Ви-льямса [3], вопросу взаимодействия трещин с биматериальным интерфейсом посвящено большое число публикаций [1, 2, 4 — 8]. В этих работах рассмотрены плоские трещины конечной или полубесконечной длины, ориентированные перпендикулярно или наклонно к прямолинейному интерфейсу. При этом в статьях [1, 2, 4 — 6] использовалась модель идеального интерфейса, согласно которой граница материалов считается слоем нулевой толщины — линией, на которой упругие модули материалов имеют разрывы, а касательные и нормальные к ней перемещения и напряжения сохраняют непрерывность. В статье [7] рассмотрен неидеальный интерфейс, а в работе [8] границу раздела моделировали слоем функционально-градиентного материала конечной толщины. Особо необходимо выделить статью [9], в которой для полубесконечной трещины моды I, приближающейся к идеальному интерфейсу получено точное решение и определен материальный параметр, контролирующий ее устойчивый рост.
Для антиплоских трещин это направление исследований изучено в значительно меньшей степени. По-видимому, первой работой по данной тематике была статья [10], в которой рассмотрена трещина, заканчивающаяся на идеальном интерфейсе или его пересекающая. В ней показано, что для трещины, вершина которой находится на границе двух разнородных материалов, сингулярность поля напряжений носит степенной характер. Однако ее показатель отличен от стандартного значения 0,5 и определяется первым корнем
характеристического уравнения. Анализ наклонной трещины, заканчивающейся на прямолинейном идеальном интерфейсе, проведен в работе [11]. К. Аткинсон [12] получил асимптотику напряжений в вершине трещины при малых расстояниях до прямолинейного интерфейса. Преломление полубесконечной трещины моды III исследовано В.Д. Кулиевым [13]. Антиплоская трещина конечной длины, расположенная в функционально-градиентном покрытии вблизи функционально-градиентной подложки, рассмотрена в работе [14]. Ф. Эр-доган [15] установил, что для трещины, ортогонально упирающейся в границу двух функционально-градиентных материалов при их идеальном контакте и направлении материального градиента, совпадающем с направлением трещины, показатель сингулярности имеет классическое значение 0,5. Иными словами, показано, что непрерывность упругих модулей обеспечивает в этом случае обычную корневую особенность, как в случае однородного материала.
Основная мотивация настоящей статьи состоит в анализе влияния отсутствия гладкости границы двух разнородных материалов, содержащей угловую точку, а также расположения трещины по отношению к этой границе, на сингулярность поля напряжений вблизи вершины трещины.
С этой целью в работе рассмотрена полубесконечная антиплоская трещина, приближающаяся к клиновидному включению. Методом Винера — Хопфа получено точное решение задачи и найден коэффициент интенсивности напряжений (КИН). Получена асимптотика КИН при стремлении к нулю расстояния между вершиной трещины и вершиной включения. Показано, что при некоторых значениях модулей сдвига материалов и геометрических параметров структуры поведение КИН в вершине трещины, находящейся на достаточно малом расстоянии от включения, может качественно отличаться от случая гладкой границы. В отличие от прямолинейного интерфейса, относительно более жесткое включение может способствовать росту трещины, а более мягкое — оказывать на нее тормозящее действие.
Постановка задачи и сведение ее к уравнению Винера — Хопфа
Рассмотрим полубесконечную трещину моды III, расположенную в матрице
и П3, вершина которой находится на расстоянии е от вершины клиновидного включения Ц (рис. 1). К берегам трещины приложена самоуравновешенная нагрузка g(r). Материалы включения и матрицы считаются однородными и изотропными с модулями сдвига ц и ц2, соответственно. Контакт на границах раздела материалов предполагается идеальным.
Геометрию рассматриваемой упругой композиции удобно определять двумя параметрами: углом раствора включения а (0 < а < 2п) и углом подхода трещины к включению в, т. е. углом между направлением исходной трещины и осью симметрии включения. Очевидно, что
|р| < п - а/2.
Изменение угла в при фиксированном значении а приводит к повороту включения вокруг его вершины. Таким образом, угол в характеризует взаимную ориентацию трещины и включения. Например, при в = 0 задача будет симметричной. Значениям
Рис. 1. Схема к постановке задачи: полубесконечная трещина приближается к вершине клиновидного включения:
ц1, и2 — модули сдвига материалов включения и матрицы; — область включения; П2, П3 — области матрицы; е — расстояние от вершины включения до вершины трещины; а — угол раствора включения, в — угол подхода трещины к включению; г, 9 — полярные координаты
р = ±(п - а/2)
соответствует интерфейсная трещина, а значениям в = ± а/2 — случаи, когда трещина подходит к включению вдоль линии границы раздела фаз.
Задача сводится к решению уравнений равновесия в каждой из областей D.k :
52 w, 1 52 w, 1 5w,
дг2 г2 д92 r дг
= 0 (к = 1, 2, 3), (1)
где г, 9 — полярные координаты, м>к — перемещения вдоль оси
При этом налагаются условия идеального контакта материалов:
= ^2, Т9г1 = Т0г2при 9 = в + а/2,
(2)
Щ = Т9г1 = Т0г3 при 9 = в - а/2
(т9гк = ц кгдм!к/ 59 — касательные напряжения), а также условия на линии трещины:
Х9г2(г, п) = Т^Г, -п) = g(Г)
(е < г < да); (3)
Т9^2 (г, п) = Х9г3(Г -п) =т(г);
^(г, п) = ^(г, —п) (0 < г < е), (4)
где т(г) — неизвестная функция.
Решение задачи ищем в виде интегралов Меллина:
W (r, 9) = ^-\Wkk. p, 9)r - Pdp, T8 * (r, 9) = ^ í T99 (P, 9)r - p-1dp
(5)
(к = 1,2,3);
при этом трансформанты перемещений и напряжений определяются следующими формулами:
Wk(p, 9) = Ak(p) sin p9 + Bk(p) cos p9, (6) (p, 9) = htp[4 (p) cos p9 - Bk (p) sin p9]
O3 =
Ввиду условий регулярности решения при r ^ 0 и r ^ да, контур интегрирования L расположен параллельно мнимой оси в полосе
-Sj < Rep < S2 (5j, 52 > 0).
Из условий (3) и (4) получаем равенства
Т0г2(р, п) = 7^33, -п) = 7 (р) + 0_ (р)]Ер+\ (7) -р[Ж2(р, п) - Щр, -п)] = и_(р)8р,
где
1
т+ (р) = |т(ер)р ра р,
0
да
(р) = | £(8р)р р^р, (8)
1
д
— К(вр, п) - и>((ер, -п)]рЧр.
1 др
Функции б- (р) и С/"_ (р) регулярны и не имеют нулей в левой от контура Ь полуплоскости П-, а Т+ (р) — в правой полуплоскости [16].
Подставляем выражения (6) в левые части равенств (7) и в условия (2), преобразованные по Меллину. После исключения величин Ак (р) и Вк (р) приходим к уравнению Винера — Хопфа:
*Хр)[Т+ (р) + с (р)] + и (р) = 0 (р е Ь). (9)
2е
Здесь в качестве контура Ь может быть взята мнимая ось, а функция И(р) имеет вид
^ (р) = / (р)/ Д(р), (10)
/(р) = 2[81п2(пр) - ш2 зт2((п - а)р)], (11)
Д(р) = зт(2пр) + 2т зт(ар) соз(2Рр) -
- т2 8ш[2(п - а)р].
Упругие свойства композиции отражены в этих формулах через одну биупругую постоянную ш:
т = (ц - ц^Дц + = (Ц - 1У(Ц + 1),
где ц = ц1ц2 представляет собой относительную жесткость включения (0 < ц < да).
При всех сочетаниях модулей сдвига материалов эта величина удовлетворяет неравенству |т| < 1. Если материал включения является более жестким, по сравнению с материалом матрицы, то 0 < т <1; в противном случае (для мягкого включения) биупругая постоянная лежит в интервале -1 < т < 0. Значение т = 0 отвечает одно-
(12)
родной среде, а значения m = ±1 определяют абсолютно твердое включение и клиновидный вырез.
Решение уравнения Винера — Хопфа
Представим функцию (10) в виде F(p) = p Ф(p)/X(p), X(p) = pctg(np), (13)
Ф(p) = [1 - m2 sin2[(n - a)p] sin-2(np)] x
x [1 + 2m sin(ap)cos(2Pp)sin-1(2np) - (14)
- m2 sin[2(n - a)p] sin-1 (2np)]-1.
Факторизация функции X(p) осуществляется элементарно [16]:
X(p) = X+Щ, X+(p) = ^ + p>
X-(р)' Г(1/2 + рУ
х р) = г(1/2 - р),
Г(1 - р) '
где Г(х) — гамма-функция.
На мнимой оси при р = И функция (14) непрерывна, не имеет нулей и полюсов, ее индекс равен нулю, и при ^ да она экспоненциально стремится к единице, если
а + 2р < 2п.
Поэтому, в соответствии с результатами, полученными в работах [9, 16], справедливы равенства
Ф+ (р)
Ф (p) =
Ф- (p)'
Ф± (p) = exp
— Г ^ dt
п» J t - p
2ni
0> tL). (15)
С учетом четности функции Ф( р), аналитические функции в областях и П-могут быть представлены в форме
Ф± (p) = exp
p г ln Ф(»Q d
п I ^ + p2 ^
В результате использования формул (13) — (15), перегруппировки слагаемых в уравнениях (9), а также применения теоремы Лиувилля [16], получаем:
Ф+ (р)Х;1( р)Т+ (р) + 0+ (р) = = и- (р)Ф- (р) Х=-1( р) - 0- (р) = /(р),(16)
2ер
где
2. (р) = ± ^ / ^ *,
2т - Р
аа) = 1Ф- а) х-:а ^ (* о а).
(17)
Оценивая члены в равенстве (16) при р ^ да, получаем, что единая аналитическая функция / (р) = 0. Тогда из уравнения (16) находим
т+(р) = -х+( р)Ф+1( р)б+( р). (18)
Учитывая, что при р ^ да
х+ (р , 2+ (р)~ -, р
с = --1. ГФ-( 0е-( ь (0Л,
2п/1 Х_ ( 0
(19)
получаем асимптотику Т+ (р) ~ -СД/р.
Отсюда по теореме Абелева типа [16] заключаем, что асимптотика напряжений при г ^ е - 0 имеет вид
т(г)~ —Г-^^ = . (20)
Л/п(1 - р) V п Уе - г
Коэффициент интенсивности напряжений
Определим коэффициент интенсивности напряжений (КИН) в вершине трещины формулой
К ш = Ит »/2п(е - г)т(г).
г ^е-0
Тогда, используя асимптотику (20), получаем следующую формулу:
Кш(а, в, ц, е) = -^¡2ьС. (21)
С целью построения функции Грина будем считать, что к берегам трещины приложены самоуравновешенные сосредоточенные силы Т0 на расстоянии г0 от ее вершины, т. е.
g(r) = Т,8(г - г,),
где 8(г) — дельта-функция Дирака, а
е < г0 < да.
Тогда, вычисляя по формуле (8) функцию О ф, совмещая в выражении (19) контур интегрирования с мнимой осью и используя теорему о вычетах в области П-,
согласно формуле (21), будем иметь:
кш =-к^Л/Л(1тёГ0) * ф- (-рк) I (рк)
к=1 ркх- (-рк )д'( рк)
/ \рк-1/2 е
V г0 у
(22)
где
Кш = Г0 7^[п(г0 -е)]
— коэффициент интенсивности напряжений (КИН) в вершине трещины, находящейся в неограниченной однородной среде; штрих означает производную по переменной р, а рк — положительные нули функции (12). Корни уравнения
Д( р) = 0, (23)
расположенные в полосе 0 < Ке р < 1, детально проанализированы в работе [17]. Установлено, что в зависимости от параметров композиции а, в и т, уравнение (23) в этой полосе может иметь один корень р1 < 0,5 или р1 > 0,5, а также два корня:
0 < р1 < 0,5 < р2 < 1,0
или
0,5 < р1 < р2 < 1,0.
На рис. 2 показаны области изменения угловых параметров, при которых первый корень уравнения (23) будет больше или меньше 0,5 для относительно жесткой (0 < т < 1) или мягкой (-1 < т < 0) среды 1.
Из представления (22) вытекает асимптотика КИН при е ^ 0 :
Кп
-К^п(1 -е//0) *
/ \ р1 -0.5 е
Ф- (-р,) I ( р1)
рX (-р1)Д'(Л)
V г0 у
(24)
Таким образом, поведение КИН при малых расстояниях от вершины трещины до вершины включения определяется величиной первого корня уравнения (23).
Возможны следующие три варианта при е ^ 0 :
если р1 < 0,5, то Кш ^ да; если р1 > 0,: если р1 = 0,: Подобное поведение КИН для трещины моды I, приближающейся к границе
то К ш ^ 0; то К ш ^ СОШ!
X
a)
Зя/4 —
я/2
я/4 —
b)
я
Зя/4 " рх > 1 /2ЧЧ.
я/2 - ^ (3= arccos (/77 COS а/2)
Pi < 1/2 ^v ^ ^ ^
я/4 - 1 1 1 1 1 1 1 ^^
я/2
Зя/2
2я
Рис. 2. Области изменения углов а и р, в которых первый корень р1 уравнения Д(р) = 0 получается меньшим или большим 0,5 для жесткого (а) и мягкого (Ь) включений
раздела материалов, отмечалось в работах [1, 5, 9].
В случае симметричной структуры характеристическое уравнение принимает вид
Д*(р) = соб(пр) + т соб[(п - а)р] = 0
и имеет в интервале (0, 1) единственный корень. При этом для т > 0 этот корень превышает 0,5, а для т < 0 лежит в интервале 0 < р1 <0,5.
Отсюда вытекает, что если трещина приближается к более мягкой среде, то КИН в ее вершине неограниченно растет и, следо-
вательно, такая трещина является неустойчивой. Если же трещина, находясь в более мягкой среде, подходит к более жесткому включению, то КИН становится исчезающее малым, т. е. жесткое включение тормозит развитие трещины.
На рис. 3 показана зависимость нормализованной величины КИН N = KIII|KQIII от относительного расстояния в/г0 для жесткого и мягкого включений.
Приведенные данные показывают, что когда трещина находится в мягком материале (рис. 3, a), коэффициент интенсивности напряжений меньше, чем КИН в
0.2-|-1-1-1-1-1-1-1-1—
о.о 0.2 0.4 0.6 0.8 8/Г0
-1-1-1-1-1-1-1-г ,
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 е//"о
Рис. 3. Зависимость нормализованной величины КИН в вершине трещины, приближающейся к жесткому (ц = 4) (и) и мягкому (ц = 0,25) (Ь) включениям, при различных углах а его раствора и р = 0, от относительного расстояния в/г0; а = п/2 (1), п (2), 3п/2 (3)
однородной среде, и он снижается с уменьшением расстояния от вершины трещины до интерфейса.
Если же трещина находится в жестком материале (рис. 3, Ь), то зависимость КИН от относительного расстояния противоположная. Аналогичное изменение КИН в плоской задаче с прямолинейным интерфейсом было получено на основе численной процедуры в работе [18].
В случае несимметричной структуры (в ф 0) поведение КИН при малых в оказывается не столь однозначным.
Если угол раствора включения ае (п, 2п), то зависимость КИН от в / г0 будет аналогична симметричному случаю, т. е. для жесткого включения рост трещины всегда будет устойчивым, а для мягкого — неустойчивым.
Если трещина приближается из мяг-
Ь)
1
1.6 -
1.4
1.2
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
в/Го
Рис. 4. Зависимости нормализованной величины КИН в вершине трещины, приближающейся к жесткому (ц = 4) (а) и мягкому (ц = 0,5) (Ь) включениям с углом раствора а = п/2 и различных значениях угла р, от относительного расстояния
в/^; р = п/4 (1), п/2 (2), 2п/3 (3)
кои среды к жесткому включению с углом 0 < а < п то при выполнении неравенства
(25)
сов в > т сов(а/2)
характеристическое уравнение (23) обязательно имеет первый корень рх < 0,5 и, следовательно, К ш ^ да при е ^ 0.
В случае нарушения этого неравенства К ш ^ 0 при е ^ 0, и трещина будет устойчивой. Если же трещина приближается из жесткой среды к мягкому включе-
нию, то ситуация будет противоположной: при параметрах композиции, удовлетворяющих неравенству (25), трещина имеет устойчивый рост, а при параметрах, когда неравенство (25) не выполняется, К
ш
^ да
при е ^ 0, и рост трещины будет неустойчивым.
Эти выводы проиллюстрированы для жесткого и мягкого включений на рис. 4 (кривые 2 и 3 на рис. 4, а, кривая 3 на рис. 4, Ь).
Сингулярность напряжений в угловой точке включения
На основе равенств (7) для напряжений на линии трещины имеем:
V2(r, п - 0) = Тегз(г, -п + 0) = Тег (r) =
1 . (г Yp-1 (26)
= 2Л71[r+ (p) + G- (p)] [ У dp•
Используя формулы (13), (15), (17) и (18), получаем равенство
T+(p) + с- (p) = -f- Wp- .
^ ( p) Ф- ( p)
С учетом этого представления, напря-
жения (26) принимают вид
z (Г) = 2Л7 í
= í pACp) X- (p)Q- (p) ( r_ ez() 2п7 Lf (p) Ф-(p) le
p-1
dp• (27)
На основе формулы (11) представим характеристическое уравнение, определяющее полюсы подынтегральной функции, в следующем виде:
f (р) = 2f + (p)f-(р) = 0, f±(р) = 8т(пр) ± т 8т[(тс - а)р].
Поскольку при замене т на —т функция /+ (р) переходит в (р), достаточно рассмотреть, например, только корни уравнения
f (p) = 0.
(28)
Кроме того, имеет место следующее равенство:
/+ (р, -т,2п - а) = /+ (р, т, а).
Отсюда вытекает, что необходимо проанализировать корни 1к уравнения (28), например, только для мягкого включения (т < 0) при 0 < а < п Тогда значения корней для жесткого включения (т > 0) получаются с помощью замены а на 2п — а.
Анализ показывает, что уравнение (28) имеет в интервале (0,5, 1,0) единственный вещественный корень при 0 < а < п для случая мягкого включения, и при п < а < 2п для случая жесткого включения.
Далее совмещаем контур интегриро-
вания в выражении (27) с мнимой осью, применяем теорему о вычетах и учитываем, что полюсы подынтегральной функции в области П- определяются отрицательными нулями функции /(р). Тогда получим следующее выражение:
(Г) = У ^Х-(-кШ-к) ГО"-1.(29)
к f'К) ф- к) Ы
Очевидно, что асимптотика напряжений при г ^ 0 определяется первым членом ряда (29), т. е. первым положительным нулем функции /(р). В случае композиции несимметричного строения (в ф 0) сингулярность напряжений в угловой точке включения является слабой и имеет место при любом значении а ф п и любой относительной жесткости ц ф 1.
Поскольку функция, входящая в интеграл (27), в симметричной задаче (когда в = 0 ) принимает вид
Д(р) = сов(пр) + т сов[(п-а)р] f (р) 8т(пр) + т 8т[(тс - а)р] '
сингулярность напряжений при г ^ 0 возникает только тогда, когда угол, определяющий область с более жестким материалом, превышает 180°.
Заключение
В статье на основе интегрального преобразования Меллина и метода Винера — Хопфа получено точное решение задачи об антиплоской трещине, приближающейся к вершине клиновидного включения. Проанализировано поведение коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины при уменьшении расстояния до вершины включения. Показано, что, в отличие от случая гладкой границы раздела материалов, при некоторых значениях параметров композиции трещина может быть неустойчивой для жесткого включения и устойчивой, если включение мягкое. Исследована сингулярность напряжений в угловой точке включения и показано, что эта сингулярность может быть только слабой.
список литературы
1. He M.Y., Hutchinson J.W. Crack deflection at an interface between dissimilar elastic materials // Int. J. Solids Struct. 1989. Vol. 25. No. 9. Pp. 1053- 1067.
2. Martin E., Poitou B., Leguillon D., Gatt J.M. Competition between deflection and penetration at an interface in the vicinity of a main crack // Int. J. Fract. 2008. Vol. 151. No. 2. Pp. 247-268.
3. Zak A.R., Williams M.L. Crack point singularities at a bimaterial interface // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1963. Vol. 30. No. 1. Pp. 142-144.
4. Erdogan F., Kaya A.C., Joseph P.F. The crack problem in bonded nonhomogeneous materials // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1991. Vol. 58. No. 2. Pp. 410-418.
5. Romeo A., Ballarini R. A crack very close to a biomaterial interface // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1995. Vol. 62. No. 3. Pp. 614-619.
6. Chang J., Xu J.Q. The singular stress field and stress intensity factors of a crack terminating at a bimaterial interface // Int. J. Mech. Sciences. 2007. Vol. 49. No. 7. Pp. 888 -897.
7. Zhong X.-C., Li X.-F., Lee K.Y. Analysis of a mode-I crack perpendicular to an imperfect interface // Int. J. Solids Struct. 2009. Vol. 46. No. 6. Pp. 1456- 1463.
8. Choi H.J. Thermoelastic problem of steady-state heat flows disturbed by a crack at an arbitrary angle to the graded interfacial zone in bonded materials // Int. J. Solids Struct. 2011. Vol. 48. No. 6. Pp. 893-909.
9. Nuller B., Ryvkin M., Chudnovsky A.A. Closed form solution for a crack approaching an interface // J. Mech. Mat. Struct. 2006. Vol. 1. No. 8. Pp. 1405-1423.
10. Erdogan F., Cook T.S. Antiplane shear crack terminating at and going through a bimaterial interface // Int. J. Fract. 1974. Vol. 10. No. 2. Pp. 227-240.
11. Fenner D.N. Stress singularities in composite materials with an arbitrary oriented crack meeting interface // Int. J. Fract. 1976. Vol. 12. No 5. Pp. 705-721.
12. Atkinson C. On stress intensity factor associated with crack interacting with an interface between two elastic media // Int. J. Eng. Science. 1975. Vol. 13. No. 6. Pp. 489-504.
13. Кулиев В.Д. Преломление трещины продольного сдвига // ДАН СССР. 1979. Т. 249. № 2. С. 315-318.
14. Li Y.D., Lee K.Y. An anti-plane crack perpendicular to the weak/micro- discontinuous interface in a bi-FGM structure with exponential and linear non-homogeneities // Int. J. Fract. 2007. Vol. 147. No 4. Pp. 203-211.
15. Erdogan F. The crack problem for bonded nonhomogeneous materials under antiplane shear loading // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1985. Vol. 52. No. 4. Pp. 823-828.
16. Noble B. Method based on the Wiener-Hopf technique for solution of partial differential equations. Oxford: Pergamon Press, 1958.
17. Тихомиров В.В. Трещина продольного сдвига, упирающаяся в клиновидное упругое включение // Научно- технические ведомости СПбПУ. Физико-математические науки. 2014. № 2 (194). С. 110-119.
18. Chen S.H., Wang T.C., Kao-Walter Sh. A crack perpendicular to the bimaterial interface in finite solid // Int. J. Solids Struct. 2003. Vol. 40. No. 11. Pp. 2731-2755.
Статья поступила в редакцию 19.03.2017, принята к публикации 07.04.2017.
сведения об авторе
ТИхОМИРОВ Виктор Васильевич — кандидат физико-математических наук, заместитель директора по образовательной деятельности Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, Санкт-Петербург, Российская Федерация.
195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 victikh@mail.ru
references
[1] M.Y. He, J.W. Hutchinson, Crack deflection at an interface between dissimilar elastic materials, Int. J. Solids Struct. 25 (9) (1989) 1053-1067.
[2] E. Martin, B. Poitou, D. Leguillon, J.M. Gatt, Competition between deflection and penetration at an interface in the vicinity of a main crack, Int. J. Fract. 151 (2) (2008) 247-268.
[3] A.R. Zak, M.L. Williams, Crack point
singularities at a bimaterial interface, Trans. ASME. Ser. E, J. Appl. Mech. 30 (1) (1963) 142-144.
[4] F. Erdogan, A.C. Kaya, P.F. Joseph, The crack problem in bonded nonhomogeneous materials, Trans. ASME. Ser. E., J. Appl. Mech. 58 (2) (1991) 410-418.
[5] A. Romeo, R. Ballarini, A crack very close to a biomaterial interface, Trans. ASME. Ser. E.,
J. Appl. Mech. 62 (3) (1995) 614-619.
[6] J. Chang, J.Q. Xu, The singular stress field and stress intensity factors of a crack terminating at a bimaterial interface, Int. J. Mech. Sci. 49 (7) (2007) 888-897.
[7] X.-C. Zhong, X.-F. li, K.Y. lee, Analysis of a mode-I crack perpendicular to an imperfect interface, Int. J. Solids Struct. 46 (6) (2009) 14561463.
[8] H.J. Choi, Thermoelastic problem of steady-state heat flows disturbed by a crack at an arbitrary angle to the graded interfacial zone in bonded materials, Int. J. Solids Struct. 48 (6) (2011) 893909.
[9] B. Nuller, M. Ryvkin, A.A. Chudnovsky, Closed form solution for a crack approaching an interface, J. Mech. Mat. Struct. 1 (8) (2006) 1405-1423.
[10] F. Erdogan, T.S. Cook, Antiplane shear crack terminating at and going through a bimaterial interface, Int. J. Fract. 10 (2) (1974) 227-240.
[11] D.N. Fenner, Stress singularities in composite materials with an arbitrary oriented crack meeting interface, Int. J. Fract. 12 (5) (1976) 705-721.
[12] C. Atkinson, On stress intensity factor associated with crack interacting with an interface
Received 19.03.2017, accepted 07.04.2017.
between two elastic media, Int. J. Eng. Science. 13 (6) (1975) 489-504.
[13] V.D. Kuliyev, Prelomleniye treshchiny prodolnogo sdviga [Longitudinal shear crack breaking], DAN SSSR. 249 (2) (1979) 315-318.
[14] Y.D. Li, K.Y. Lee, An antiplane crack perpendicular to the weak/micro- discontinuous interface in a bi-FGM structure with exponential and linear non-homogeneities, Int. J. Fract. 147(4) (2007) 203-211.
[15] F. Erdogan, The crack problem for bonded nonhomogeneous materials under antiplane shear loading, Trans. ASME. Ser. E., J. Appl. Mech. 52(4) (1985) 823-828.
[16] B. Noble, Method based on the Wiener -Hopf technique for solution of partial differential equations, Oxford, Pergamon Press (1958).
[17] V.V. Tikhomirov, Longitudinal shear crack terminating at a wedge-shaped elastic inclusion, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. No. 2 (194) (2014) 110 - 119.
[18] S.H. Chen, T.C. Wang, Sh. Kao-Walter,
A crack perpendicular to the bimaterial interface in finite solid, Int. J. Solids Struct. 40 (11) (2003) 2731 - 2755.
the author
TIKHOMIROV Victor V.
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University
29 Politechnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russian Federation
victikh@mail.ru
© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2017
