CC BY
23
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
© Борисова Н.Л.1
Московский политехнический университет, г. Москва
Рассматривается краевая задача Неймана для упругой полосы, на поверхности которой |у| = к, |х| < ж действует абсолютно интегрируемая четная внешняя нагрузка р(х). Предполагается, что внешняя нагрузка такова, что реализуется антиплоская деформация. Считается, что на бесконечности |у| < к, |х| — ж смещение и его производные стремятся к нулю. Построено решение данной задачи и определена аналитическая функция.
Ключевые слова упругая полоса, внешняя нагрузка, смещения, напряжения, аналитическая функция, задача Неймана.
§1. Постановка задачи
Рассмотрим следующую краевую задачу Неймана (рис. 1):
Рис. 1
I. Граничные условия:
дм ду
р(х) дм
V ' дУ
рх) V
(1)
Условия на бесконечности:
|< к, |х| —^ ж
/ ч А дм дм м (х, у) — 0,--> 0,--> 0
у ' дх ду
1 Старший преподаватель Центра математического образования.
Здесь w(x, y) - смещение, а ц - модуль сдвига. Функцияp(x) считается заданной функцией, причем:
+ж +ж +ж
| p(x)dx = 21 p(x)dx ^ f|p(x)| dx < const < ж
(3)
При антиплоской деформации функции смещение w(x, у) является гармонической функцией, т.е.:
д2w д2w —Т + —Т = °
дг2 ду
напряжения при этом определяются следующим образом: (а
К)(xУ) = К)(xУ) =
dx
Решение данной краевой задачи в силу (1)-(3) будет:
w( x, У) = — f p(t)[
я ° °
ж ж
shAy AchAh
cos At cos AxdA
dt
(4)
(5)
(6)
Отсюда видно, что, благодаря условиям (2) и (3) решение краевой задачи Неймана определяется единственным образом.
§2. Аналитическая функция Теперь определим аналитическую функцию Дг) в указанной выше полосе, действительная часть которой равна ^(х, у).
Аналитическая функция Дг) достаточно просто определяется по формуле, полученной В.Д. Кулиевым [1]:
f (z) = 2w
^ z + z° z — z° ^
V 2 2i У
— w( x°, y°) +
(7)
Здесь С - некоторая действительная постоянная, (х0, уо) - фиксированная точка, а (х, у) - переменная точка в полосе |у| < к, |х| ^ да.
Поскольку функция w
^ z + z ° z — z о^1
V 2 2i У
аналитична в начале координат,
причем w(0, 0) = 0, то формула (7) принимает простой вид:
f (z)=2w (14 )+iC
(8)
Отсюда следует, что условия Коши-Римана для аналитичности Дг), которые представляются в комплексной форме д= = 0, удовлетворяются ав-
д z
томатически. Следовательно,
о
f ( z ) _ f
dz dz
(9)
В силу (6) и (8) имеем:
да да
f (z) = — J p(t )J
0 0
( z = X + iy). Отсюда, замечая, что:
sh
Xz
2i ,, Xz 2i cos Xt cos — dX
XchXh
dt +iC
(10)
^ Xz . Xz sh— = —i sin — 2 i 2
получаем:
f (z) =— J p(t )J
0 0
да да
sin Xz
XchXh
cos ХёХ
dt + iC
Известно, что:
м(х, у) = Яе /(2), W(х, у) = 1т /(2),
axz + iayz = Vf '(z).
(11)
(12)
Вывод этих формул можно найти в монографии В.Д. Кулиева [1]. ФункцияДг) аналитична и регулярна в полосе -ж < Яег < ж, -к < 1шг < к, причем Д(0) = ¡С.
С помощью (11) и (12) не трудно получить:
да да
w(x, y) = — J p(t)J
0 0
a
да да
z (x, y) = - J p(t)J
s hXy XchXh
chXy
cos Х cos ХхёХ
a,.
да да
z (x, y) = - - J p(t)J
n 0 0
Отсюда, замечая, что
chXh
shXy chXh
cos Х/ cos ХхёХ
dt,
dt ,
cos Х/ sin ХхёХ
dt.
(13)
(14)
(15)
!
скЛу скЛк
008 Л/ 008 ЛхёЛ =
1 сУСк,
— Г-[008 Л(/ - х) + 008 Л(/ + х)] dЛ =
2 скЛк
ул , 008 -— ск (/ - х) л ул , (/ + х)л ) 008 -— ск ---—
л 2к 2к ! 2к 2к
2к (/ - х) л скУ ' у л + 008 — (/ + х) л у л ск----Ь 008 -—
к к к к }
(16)
I
5кЛу скЛк
008 Л/ 8т ЛxdЛ =
1 5кЛу г . . . . . ,п
— I -|81П Л(/ + х) - 81П Л(/ - х)1 d Л -
2 1 скЛк
л 2к
. уп +х)л . ул -х)л
81П —---— 81П —--^—
2к 2к 2к 2к
(17)
ск
(/ + х) л у л
-----V 008 -— ск
к к к
(/ - х) л у л
--— + 008 —
к
(Iу < к),
с помощью (14)-(17) имеем:
° уг (х, у I Р(/)
у л , (/ - х )л
008 -— ск ---—
2к 2к
у л , (/ + х) л 008-—ск- 7
2к
2к
(ху) = -^ I Р(/)
(/ - х)л ул , (/ + х)л ул
ск---—ь 008-— ск---—ь 008 —
к к к к
. ул ,и + х )л . ул , (/ - х )л
81П —— --- 81П-— 5к--—
2к 2к 2к 2к
dt, (18)
(/ + х)л ул , (/-х)л ул
ск--—ь 008-— ск--—ь 008 —
к к к к
>dt,
(19)
(|у\ < к, |х| <<») Функцию суг(х, у) можно записать так:
: (х, у) = — I [ Р(х + ¿к) + р(-х + ¿к)] >
. ул , ¿л 81П -— ск — 2 2
ск^л - 008 ул
d¿
(20)
у = 1 -
у
0
0
Нами в работе [2] доказано, что функция
. УЯ
sin-1—
Я (у) =-2-
сЪ^тт- cos ут
при у^ +0 представляет собой дельта-образную последовательность. Поэтому из (20) при у^ +0 получаем:
СТ (х, К) =1 [ p( х) + p(-x)] = p(x).
Из (11) и (12) находим:
W (х, y) = -—{ p(t){
Я о о
chAy ^ cos ^t sin AxdA
AchAh
dt + C (21)
Легко можно показать, что гармоническая функция Ж(х, у) - С является решением соответствующей задачи Неймана, которая в теории трещин некорректна. Действительно, из (21) следует, что:
Ж = М х, ±н),
дх /
dW ( х,0)
ду
= 0,
7Т1 7ГХ
дх & о ск ж + ск ж
к Н
Таким образом, приходим к замечательному результату: ЯеД?) является решением сформулированной выше краевой задачи Неймана.
В этом состоит большое преимущество нахождения аналитической функции в вышеуказанной полосе при соответствующих условиях.
Так как краевые задачи возникают на стадии проектирования при расчетах на прочность элементов конструкций [3], то полученные результаты могут быть реализованы в различных отраслях машиностроения (в судостроении, ракетостроении, самолетостроении и т.п.).
Список литературы:
1. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи / В.Д. Кулиев. -матлит, 2005. - С. 720.
М.: Физ-
2. Кулиев В.Д., Борисова Н.Л. Напряженно-деформированное состояние биупругой полосы, боковые поверхности которой подвержены воздействию внешних нагрузок (антиплоская деформация). Новые результаты // Наука и современность. - 2015. - № 37-2. - С. 15-20.
3. Макаров Е.В., Монахов И.А., Нефедова И.В. Двуосное растяжение пластины с круговым отверстием // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. - М.: Издательство: Российский университет дружбы народов, 2015. - № 1. - С. 100-105.
