О некоторых преобразованиях случайного телеграфного сигнала Текст научной статьи по специальности «Математика»

О НЕКОТОРЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ СЛУЧАЙНОГО ТЕЛЕГРАФНОГО СИГНАЛА

© Гейдаров Т.Г.*, Цеденов В.В.Ф

Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),

г. Москва

В работе рассматривается случайный телеграфный сигнал в виде Y(t) = (-1)N(t)-X, где X - случайная величина, получающая два значения (+1) с одинаковыми вероятностями, а N(t) целочисленный случайный процесс с независимыми приращениями.

Найдены многомерные характеристические функции и функции плотности случайного телеграфного сигнала, а также вероятностные характеристики свертки случайного телеграфного сигнала и импульсной переходной функции ,КС-фильтра.

Ключевые слова: случайный телеграфный сигнал, характеристические функции, процесс Пуассона, корреляционная функция.

Рассматривается случайный процесс:

Y (t) = X (-1)N (t} (1)

Где X случайная величина, получающая два значения (+1) с одинаковыми вероятностями, N(t) - целочисленный случайный процесс с независимыми приращениями.

P[ N (t) = n] = [eAt (At)n ]/(n!)

Таким образом построенный процесс будем называть случайным телеграфным сигналом.

Так как случайная величина X на оси Ox получает только два значения (+1) с одинаковыми вероятностями, то моменты случайной величины X будет иметь вид:

Ц при четном n MXn р (2)

[0, при нечетном n

Характеристическая функция и функция плотности случайной величины X равны:

срх (u) = MeiuX = cos u (3)

* Доцент кафедры «Высшая математика», кандидат физико-математических наук.

* Студент кафедры «Высшая математика».

/х (х) = +1) + *(х -1)] (4)

соответственно. Здесь 6(х) = — |ехр(//Х~)й' - дельта функция.

—т

Выше было сказано, что N(1) является целочисленным случайным процессом с независимыми приращениями. Это означает, что если имеется конечное число времени упорядоченных по величине ^ < /2 < ...< 4, то приращения N((2) - Щ^), N((3) - N((2), ..., Ы^П) - Щп_ 1) взаимно независимы. Тогда Щ() является процессом Пуассона с марковским свойством и:

Р{Щ(') — N(5)] = п} = Х (' А) '--(5)

п!

Также будем предполагать что, X и Щ() независимы

Из (1) видно, что МУ(() = 0. Вычислим корреляционную функцию У(().

М [У (' )У ('2)] = Яу (', '2) = М[Х 2(—1)N ('2)] = М[(—1)N ^ ('l)+2N (4)] =

=£ — хк & —' )к=е-гх('2^ (5)

к=0 к!

Так как Я(^, (2) = Я((2, (1) и обозначив (2 - ^ = %, получим:

КУ (%) = (6)

Дисперсия У(() будет равен В[У(1)\ = Яу(0) = 1.

Таким образом случайный телеграфный сигнал является стационарным марковским случайным процессом.

Для нахождения двумерного распределения У(() найдем двумерные моменты У(():

ат = М[Ут (^ )У" ('2)] = М[Хт+п (—1)^

Учитывая (2) можно написать:

IX когда т, п одинаковые четности М [Хт+п ] = •{ (7)

[0, когда т, п разные четности

Для т = 2р и п = 2д (р и q - целые положительные числа) получим:

аРЛч = М{(—1)2[ ^»Я} = 1

при т = 2р+1 и п = 2q + 1 получим:

а = M{(_1)2[pN(ti)+gN(í2)](_!) N ('i)+N (ti)} = e-24h-4)

С учетом а2p+i 2q+i =а2д+1,2p+1, можно написать:

—2Я|г| i, i i

а2 p+i,2q+i = e 11, где \| = \t2 - til Окончательно для двумерных моментов Y(t) можно написать: Í1, когда m, n четные

amn = ] —2||

[e 1, когда m, n четные Для двумерной характеристической функции Y(t) можно написать:

» » (iui)m(iu2)n ^ (iui)m(iu2)n

Py(ui,u2) = ££ , , amn =X , , + m=0 n=o m!n! m=0 m!n!

—HklV'V' (iu1) (iu2) _2I| • • + e ^^---= cos u1 cos u2 — e 11 sin u1 sin u2

(8)

£0П=0 (2т +1)! (2п +1)!

С учетом (8), для двумерной функции плотности случайного телеграфного сигнала Щ) получим:

/у (X,, Х2; т) = 7* (* )7* (Х2) + 7* (X )7* (*2) (9)

здесь обозначено 7(*) = х +1) -д(х -1)].

Используя (8) легко можно вычислить корреляционную функцию:

, д2®,(и.,и2) 21М

Л (т) = (/)-2 • у 1 2 = е-2лт

ди ди

и=И2=0

Проведем без подробных вычислений выражения трехмерной и четырехмерной характеристической функции и функции плотности 7(0 соответственно:

фф (щ, u, u) = cos щ cos u2 cos u3 _ e 111 sin щ sin u2 cos u3 —

-2ЛЦ • • -21(|||-|| I) • •

41||2|"sin u cos u2 sin u3 ^(щ, u, u, u) = cos щ cos u cos щ cos щ — cos щ cos и2 sinщ sin M4e~2||r3 -—cosщ cosu sinu sinM3e—1|2' — cosщ cosщ sinщ sinu2e—^ —

• • —2I(|||+|| I) • • • • —2I(|||+|| I)

— cos u cos u sinщ sinue 11 121 + sinщ sinu2 sinщ sinuAe 11 13 —

• • —2I(|||+||I) , • • —2I(|||+|||+||I)

—cos щ cos щ sin u2 sinuAe 12 1 3 + sinщ cos u2 cos щ sin uAe 111213

(10)

f3(xl,х2,х3;т1,т2) = fx(x)fx(x2)fx(хз)"fx(x2)fx(x\)fx(x3)e Tl 12 --fx(x)fx(x2)f x(x3)e 2-fx(x)fx(x2)fxxx2^

f4 (xi, x2, x3, x4 ' Z1, Z2, Z3 ) =n fx (x,) + fx (xi)fx (x^)fx (x3)fx(x4)e-|3l + k=1

+fx (x)fx (x4 )f x (xf (x3)e-2l|^2l + fx (x,)fx (x4^^x (xf ^K21 + (13) fx( ^2) fx (x4^^x (x)fx (x3K2l(W+k2,) + fx ( xi)fx ( X)7x ( xf ( x4)e^(W +Ы) + +fx (x)fx (X)7x (X)7x (x4)e-2l(r21+Ы) +fx (x2)fx (x3^^x (xi^^x (x4)e-2l(^lHl21+|Z3|)

Здесь z = t2 - tb Z = h - t2, z = tA - /3.

Сейчас предположим, что на вход RC-интегратора поступает случайный телеграфный сигнал Y(t) [2-4]. Для такой линейной системы импульсная переходная функция равна:

1 -

h(t) = jeT ,t > 0

Выходной сигнал S(t), являющийся сверткой случайного телеграфного сигнала Y(t) и импульсной переходной функции h(t) будет иметь вид:

t ад ад

S (t) = J h(t - u)Y(u)du = J h(u)Y(t - u)du = J h(u)[X(-1) N(,-u)]du (14)

-ад 0 0

Найдем одномерную функцию плотности (14). Для этого вычислим все моменты S(t). Учитывая (2), получим:

M[S (t)]2k 1 =«2k+i = 0 (15)

Для моментов четного порядка, учитывая, что процесс N(t) является целочисленным с независимыми приращениями можно написать:

ад ад

ак = MSk (t) = J (k) J h(u )h(u2 )...h(uk )exp[-\u2 - uj-|u4 - u3|-... -

0 0 (16) -\щ - |]dux, du2,..., duk

Интегрирование в (16) проводится в k-мерном пространстве. Учитывая количество квадрантов 0 <u; <u^ <... < u^ < u. <ад,ik = 1,k,

(число таких будет Л!), для моментов S(t) можно написать:

ад И1 "м

ак = к||ёщ|ёы2... | к(ы1)к(ы2)...И(ык)ехр[-2Л(м! -м2 +...-м^=

^ I ад "1 "к-1

= — | ёщ | ... | ехр[-2Л,(и1 - щ +... - щ) - (щ + м2 +... + ык)/т]а?ч

грк

1 0 0 0

Таким образом при четном к = 2т, используя леммы 2 работы [1], для моментов выходного процесса £(/) получим:

(2т)! 1 1 1 — _. _. _. . _ —

9 т • • • 1

2т т! 1 + 2ЛТ 3 + 2ЛТ (2т-1 + 2ЛТ)

„ Г(ЛТ +1) Г(ЛТ +1)

(2т)! 2 (2т)! 2

2т т! 1 т!22т 1 2 т! 2тГ(ЛТ + ^ + т) т2 Г(ЛТ + ^ + т)

Для характеристической функции выходного сигнала получим: Л (щ)2т (-1)тм2т (2т)! Г(ЛТ + 2)

т=0 (2т)! 2т то (2т)! т!22т Г(ЛТ +1 + т) Использовав известное разложение функции Бесселя:

] (Х) = у_(-1)к_(х)Л+2к

Г(к + 1)Г(Л + к +1) 2

для р(и) можно написать:

1 2 лт-1

р,(м) = Г(ЛТ + -)(-) 2 J 1(м) (17)

2 и ЛТ-2

Преобразование Фурье (17) дает нам выражения для функции плотности выходного сигнала 8^):

1 ад Г(ЛТ+!)

Л(х) = — Г (м)du = ^=—^(1 -х2)ЛТ-1, здесь ^ < 1 2^-ад УГ (ЛТ)

00

0

Для некоторых значений ЛТ, в работе [1, 4] приведены соответствующие графики для функции плотности /¡(х).

Список литературы:

1. Wonham W.M., Fuller A.T.J. Electronics Control. - 1958. - № 4 (6). -Р. 567-576.

2. Гейдаров Т.Г. МГОУ - XXI - Новые технологии. - 2004. - № 1. - С. 4-7.

3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1. -Сов. радио, 1969.

4. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - «Радиосвязь», 1982.

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ К-КЛАССА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

© Кулиев В.Д.*, Борисова Н.Л.*, Юркова Е.А.*

Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),

г. Москва

В данной статье проводится регуляризация начального распределения температуры задачи термоупругости из А-класса для прямоугольника, что достаточно важно при применении метода В.Д. Кулиева. Показано, что регуляризованная функция непрерывна и имеет производные любого порядка в евклидовой плоскости.

Ключевые слова: симметричная единичная функция, усредняющее ядро, малая окрестность точки, регуляризация, задача термоупругости, А-класс, односвязная область, евклидово пространство.

В предложенном В.Д. Кулиевым методе решения задач термоупругости А-класса [3] основным этапом решения является регуляризация начального распределения температуры после её определения из решения задачи Коши для прямоугольника. Решение задачи Коши для прямоугольника имеет вид [1]:

T (х, y,t ) = T

erf

хо ^ х

2*Jat

+ erf

2*Jat

erf

Уо + У

24at

+ erf

Уо — У

2y[at

'rf (т)=-erf(—тfe i2 di,

где erf (т) - функция вероятности ошибок Гаусса.

х — х

о

X

* Заведующий кафедрой Высшей математики, доктор физико-математических наук, профессор.

* Старший преподаватель кафедры Высшей математики.

" Старший преподаватель кафедры «Математические методы анализа экономики».