CC BY
35
Радиофизика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 3 (1), с. 55-59
УДК 621.396
ФУНКЦИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА И 2я-ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ ВО ВРЕМЕНИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА
© 2012 г. В.И. Пройдаков
Филиал ЦНИИ «Комета» - КБ «Квазар», Нижний Новгород
vip713@sandy.ru
Поступила в редакцию 22.06.2011
Приводится доказательство стационарности функции автокорреляции функционального (нелинейного, безынерционного) преобразования суммы стационарного случайного процесса и 2п-периодичес-кого продолжения во времени детерминированного сигнала. Получена формула автокорреляционной функции для детерминированного сигнала в виде ^частичной суммы ряда Фурье.
Ключевые слова: функция корреляции, функциональное преобразование, частичная сумма ряда Фурье, детерминированный сигнал.
Введение
Корреляционная функция (КФ) Вр функционального преобразования (ФП) Р(у) суммы
у(г) = 5(0 + х(г), г е (го, г о + Т), (1)
где 5(0 - стационарный, хотя бы в широком смысле, случайный процесс (ССП), х(г) - детерминированный сигнал, г0 - начало отсчета произвольного открытого интервала наблюдений Т, г0 е (-да, + да), Т е (0, Т), в общем случае может быть определена, если известна (по крайней мере) двумерная плотность вероятности значений тата (у1, у2), следующей формулой [1-5]:
Вр = ту {р[у(г)] х Р[у(г + т)]> =
Вр =
(2я)
11р (У1)р(У2)тата у (Уl, У2)dУldУ2,
(2)
где ту{ .. .> - математическое ожидание величины, заключенной в скобки, и у(г) = у 1, у(г + т) = у2. Если для ФП существует двустороннее преобразование Лапласа (контурный интеграл), то,
полагая / = +л/—1 , получим [1, 3]:
+да
ё (р) = L[F (у)] = | р (у) е-™ау,
—да
р (У) = Г‘[ ё С/у)] = ё /) е^,
Ь и Ь"1 - соответственно прямой и обратный оператор Лапласа, и замкнутый на бесконечности контур интегрирования обходит снизу возможные особые точки в направлении от -да к +да. Тогда для формулы (2) можно получить следующее представление КФ:
ТТу Он у2 ) = ту {еХР[/(у1 У1 + у2 У2 )]> (4)
- двумерная характеристическая функция суммы (1).
Результаты исследований свойств КФ ФП суммы (1) - формулы (2) и (3) для различных законов распределения и моделей сигналов широко апробированы в научно-технической литературе. В целом ряде работ детерминированный сигнал заменяют, как правило, различными специальными моделями ССП.
Понятие аналитического сигнала (АС) z(t)
[1-5] z(t) = у(г) + / • у(г), где у(г) и у(г) связаны преобразованиями Гильберта и у(г) принимает действительные значения, позволяет ввести однозначное, не зависящее от выбора средней частоты, определение огибающей как модуля АС для случайного стационарного процесса, пред-
да
ставленного рядом у(г) = 2 е„ cos(ю пг -ап), где
„=0
а„ - случайные фазы, равновероятно распреде-
е2
ленные на интервале (0, 2п), - мощность
сигнала, соответствующая частоте ю„.
В работе [2] детерминированная составляющая представлена модулированной по амплитуде синусоидой, содержащей случайную фазу, равновероятную на интервале значений от 0 до 2п, а при построении оценки КФ предлагается подставлять в соответствующие формулы среднее значение модулирующего сигнала.
с
В работе [3] рассмотрено общее решение задачи для представления (1) при формальной замене в (2) и (3) тата у (у, у2) на тата? (У1 - хи у 2 - х2), где тата? (^1, ^ 2) - двумерная плотность вероятности значений ССП 5(г). При этом отмечено, что в случае х(г) Ф 0 (тождественно) КФ зависит от времени, и сделан вывод о нестационарности ФП в общем случае сигнала вида (1). В качестве оценки КФ рекомендовано рассматривать среднее во времени значение на интервале наблюдений.
Сложные ФП, например детектирование, возведение в конечную степень, сводятся к исследованию статистических характеристик огибающей АС. В работе [4] для общего случая у(г) (1), когда х(г) есть узкополосный ССП, приведены выражения двумерной функции распределения вероятностей значений и КФ огибающей, зависящие лишь от разности времени т.
Очевидно, что результаты исследований КФ ФП, и в первую очередь стационарность, существенным образом зависят от модели представления детерминированной части суммы сигналов (1).
Постановка задачи
Вычислим КФ Вр ФП р(у) для модели исходного сигнала (1) с минимальными ограничениями на свойства составляющих, входящих в выражения (1) - (4). Полагаем, что случайный процесс 5(г) стационарен (по крайней мере) в широком смысле. Пусть существует двустороннее преобразование Лапласа для ФП во всей области значений у(г), а для произвольно определенной детерминированной функции х(г) выполняются условие интегрируемости Дини [6, 7] на открытом интервале времени г е (tо, г 0 + T), где г0 - начало отсчета произвольного интервала наблюдений Т, г0 е (-да,+да), Т е (0, Т).
Взаимно-однозначным преобразованием г' =
= 2л(— - —) открытого интервала времени
ге(—0. —0 + Т) на — е(—0 -л —0 + л) и — 0 = 2Ч-Тг)
построим 2п-периодическое продолжение по оси времени — детерминированного сигнала х(—') = х(— ± 2лk), k = 1, 2,... При этом отсчеты , 1
г 0 интервалов являются равновероятными случайными величинами (СВ) ввиду произвольности значений интервала наблюдений Т.
Из интегрируемости х(—) следует справедливость теоремы Фейера [6,7] и возможность представления х(г') рядом Фурье:
2{x(t' + 0) + x(t' - 0)} =
1
= 5 + Нш—{^1(— ^ + 5!2(—:') +... + ^ 1(— ,)},
т^да т
где Бт - частичная сумма ряда Фурье
(t') = £ An (*')
(5)
(6)
So = —
= const
Л *0 ' "
2^1 х(—' )dt
—0-л
А„ (г') = а„ ст(„г') + Ь„ sin(„t'); (7)
1 г0 +л 1 г0 +л
а„ = — [~(гf)cos(„t' , Ь„ = — [x(t,)smСt,)d,; (8)
л У л/
г0 л г0 л
для х(г') в виде
|Ч+л 1
{х(г’) = 5 0 + ~ (г’)} & <1 | ~ (г’ )dt' = 01.
[»0-л <
Коэффициенты а„ и Ь„ принимают случайные значения, так как пределы интегрирования в (8) содержат СВ г 0. Заменим переменную интегрирования в (8), полагая ст = г' - г0, ст е (-л, л), и выполним интегрирование по новой переменной. После несложных тригонометрических преобразований получим выражения:
А„ (г') = а„ cos(„t ' - „г0) + Ъ„ sin(„t' - „г0), (9)
а„ = — Г ~ (ст + t0)cos(„ст)dст , л ^
-л
- +л
Ъ„ = — Г ~ (ст + —0^ш(„ст^ст. (10)
л ^
-л
Выражение ~(ст + г0) представлено 2п-пе-риодической детерминированной функцией, и, в силу построения 2п-периодического продолжения оси времени г', значения интегралов (10), в указанных пределах, не зависят от произвольного сдвига г0. Следовательно, значения а„ и Ъ'г1 неслучайны, а при вычислении по формулам (10) можно положить г'0= 0. Учтем периодичность функций sin и cos в (9) и получим для А„(г'), полагая
„г ’ 1
ф „ = „г0- 2лЕ(^+ф„ е (-л, л), (11)
2л 2
где £(...) - целая часть численного значения выражения в скобках,
А„(г') = а„ со<„—'- Ф„) + Ъ’п sin(„t'- Ф„), (12) где ф„ - фаза отдельного члена частичной суммы ряда Фурье 5т(г') (6), которая является СВ, равновероятной на открытом интервале ф„ е (-л, л).
и
Учтём, что значение фазы фп полностью оп- в итоге получим для КФ ФП суммы (13) выра-ределяется номером п - целочисленным аргу- жение: ментом преобразования (11), и, следовательно, ^ 1
множество {фт} фаз составляющих частичной р (2л)2
суммы ряда Фурье Sm(t') (6) образует совокуп- (18)
ность независимых СВ, равновероятных на ин- g(jvl) £ g(jv2)U0 Р(у„ v2)TT^ (у, ^) dv1dv2,
тервале (-п, п). с, с2
где все входящие в формулу величины опреде-Общее решение задачи лены ранее.
После несложных тригонометрических пре-На практике, как правило, исследуют модель образований выражений (6) и (12) представим сигнала, адекватно представляющую его свой- показатель экспоненты в (17) в виде: ства, например в виде разложения в ряд по ор- N
тогональным функциям. Без ограничения общ- VISN (: ,) + SN (t , + х ,) = I иг sin(Ф+ Т.), (19) ности постановки задачи представим х(:') в виде суммы:
x(t') = So + SN(t'), ~(0 = SN(t'), N = 1, 2, 3,..., (13) и2 = («,')2 + (Ъ\)2,Г1 = V12 + V2 + 2vlv2 с^х',(20)
где - Л^сютачшш сумма ряда фурье де- ^ = 2га - .-я основная частота (всего N час-терминированного сигнала. Т
В соответствии с полученными выше выво- тот), дами, SN(t') есть сумма (6) ССП (12) с ^мерной ф. = и '-Ф,-, (21)
N
' + х ') = IUJ,
i=1
где
плотностью вероятности значений фаз {ф^: а начальная фаза
Т = arctg Vla', + У2 (а C0S ®'Х 4 Ъ‘ ^ ®'Х ')
{фк є (-л,+л)}&{Ук є [1,2,...,N}, (14)
’ гч^ - V ^-----л,, V- ■/ „ „
(2л) не зависит от времени t и случайной фазы ф..
v1b' + v2 (—a' sin ш i х ' + b' cos ш i х ')
■ времени t и случайной Подставим (19) в (17) и получим:
0, {Зк є [1,2,...,N]}&{фk г (-л,+л)}.
Учитывая независимость 5(0 и х(:), (Ы + 2)- P(v1,у2) = (^рі )| |схр[/ик. гк sin(Фk + Т)].(22)
мерную функцию распределения значений и к=1
тата (у1, у2) можно представить произведением: Докажем справедливость формулы
У N
татау (У1,У2) = WWN (Фl,Ф2,...,ФN) * Р(^,У2) =^J0(uiri), (23)
(15) і=1 хтата^(у1 - xl, у2 - x2), где J0(x) - функция Бесселя действительного
где тата? (^1, ^ 2) - двумерная плотность вероят- аргумента нулевого порядка.
ности значений ССП 5(:). Д°казательств°. Представим экспоненту в
Подставим (15) в (2), (3) для определения (22), используя формулу Эйлера и сюотаетет-
КФ, учтем условие существования двусторон- вующие формулы из [8], и получим формулу
него преобразования Лапласа ФП во всей об- для Дальнейших вычислений.
Полагаем
ласти определения у(:) и представим (4), используя (1) и (13), в виде: р =
ТТу О , V ) = ту {схр^./'(у1 У1 + V У2)]} = ' 2л
_ (16) N N
= и° P(Vl, ^)ТТЁ; Он у2) = (^ рі схр[ ]икГк sin(фk + Тк )] =
где и0 = СХР[^0(vl + V2)] и Щ (vl, ^ = '=1 к=1
N N ад
= т?{схР[ ] (У,^і + У2Е, 2)]} - двумерная характе- = (^ р. )^/ 0(икГк ) +2І/2„ (икГк ) *
ристическая функция ССП 5(0. Полагаем 11 к 1 т 1
1 +Ї * со8(2т(Фк +Тк ))+Рт-Мл )8т((2т-1)(Фк + Т ))}],
Рі = — Jdф - интегральный оператор и где /п(х) - функция Бесселя действительного
-л аргумента целого п-го порядка. Выполним ум-
х 1. , . , . ножение и представим формулу в виде:
і = 2?! ‘1ф' ;
х ' = 2і(— — —), хє (0,T), х 'є (—і, і); тогда
N
P(V1,V2) = (ПЛ )exp{[V1SN (t') + V2SN (t' +X')]}, (17)
NN
,V
P (V1, V2) = (П p' )[П J 0(Ukrk ) + I SM {N} ] , (24)
'=1 k=1 m=1
где
( N 1г N V к У | к
™ N, =1ЦП В, (тф)
(25)
к=1 £=1 I ,=1
(N Л
(N Л
V у VN - к у
і N ,к
N1
^ - к)!к!
и £ є [1,2,...,
( N Л
Vк у
операторов (П Рі ) на SM{N}.
1=1
Лемма. Покаже
рі К(тф))Т,к
Рі =
+л
— І dфi 2л л 1
0
і = і
для которых і = і,. Применим последовательно для каждого оператора р. правило исключения (29) к SM{N} и докажем равенство (28), из которого следует справедливость равенства (23).
Подставим (23) в (18) и получим, в итоге, для КФ ФП суммы (13) выражение:
- 5-е сочетание из N по k неповторяющихся индексов I,, , е [1,2,...,k]&^ < N] из множества индексов I, I е [1,2,..., N ],
{В (тФ, )][,k = К С0!5(тФг, ) + ^п(тФ|, ^^ (26)
и сг , dl - произвольные функции, не зависящие от случайных фаз {фЛ> и Фг , I, = I в (21).
Из выражения (24) видно, что первое слагаемое не зависит от {фЛ>, то есть следует определить значение произведения интегральных
ВР =
(2л)
ТТ Іg(М~)Іg(Р2)и0
(30)
(27)
Лемма. Покажем вначале, что
[К (тф I, ^
[0,1= V
Действительно, вычисляя непосредственно, можно убедиться в справедливости
cos(mФI )
^(тФ,) sin(mФI )
sin(mФI ) р0~
из которого следует справедливость соотношения (27).
Докажем следующую теорему:
N
Теорема. Значение произведения (^П Р.) на
=1
суммах SM{N} (25) равно нулю:
(ГІІ^і) БМ N } = 0. (28)
=1
Доказательство. Действительно, из леммы (27) следует равенство:
р . SM{N} = {N}-., (29)
где SM{N}-i есть SM{N} за исключением всех слагаемых, содержащих сомножителем Ві (тФ. ),
где и, гг,1 е [1,2,...,Л],(20), как видно, не зависят от времени г'.
Заключение
Из доказанного выше следует стационарность ФП р(у) суммы (1), где детерминированный сигнал представлен 2п-периодическим продолжением по оси времени, и КФ Вр = Вр(т') (30) зависит лишь от разности времён т'.
Формула (30) позволяет определить функцию корреляции функционального преобразования аддитивной суммы случайного процесса, стационарного - по крайней мере - в широком смысле, и произвольного детерминированного сигнала, представленного в виде Л-частичной суммы ряда Фурье.
Работа посвящена памяти заслуженного профессора ННГУ им. Н.И. Лобачевского Станислава Фёдоровича Морозова (06.07.1931 - 20.01.2003).
Список литературы
1. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Сов. радио, 1965. 208 с.
2. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. М.: ИЛ, 1960.
3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн.1. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Сов. радио, 1974.
4. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986.
5. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1982.
6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд. М.: Наука, 1976.
7. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч.1. М.: Физматгиз, 1963.
8. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. 5-е изд. М.: Наука, 1978.
N ,к
£
]
X
с,
2
AN AUTOCORRELATION FUNCTION OF THE FUNCTIONAL TRANSFORMATION OF THE SUM OF A STATIONARY RANDOM PROCESS AND THE 2n-PERIODIC EXTENSION OF A DETERMINISTIC SIGNAL
V.I. Proidakov
A proof is given for stationarity of the autocorrelation function of the functional (nonlinear, inertialess) transformation of the sum of a stationary random process and the 2n-periodic extension of a deterministic signal. An autocorrelation function formula for the deterministic signal has been derived in the form of Nth partial sum of the Fourier series.
Keywords: correlation function, functional transformation, Nth partial sum of the Fourier series, deterministic signal.
