CC BY
87
ИНФОРМАЦИОННЫЕ КАНАЛЫ И СРЕДЫ
УДК 621.39
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ МОДЕМОВ С ДВУМЕРНЫМИ СИГНАЛЬНЫМИ КОНСТРУКЦИЯМИ ПО ТОЧНЫМ ФОРМУЛАМ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ В КАНАЛЕ БЕЗ ЗАМИРАНИЙ И С ОБЩИМИ ЧЕТЫРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ ЗАМИРАНИЯМИ
Н. В. Савищенко,
доктор техн. наук, профессор Военная академия связи
Рассматривается помехоустойчивость модемов с двумерными сигнальными конструкциями в канале без замираний и с общими замираниями и белым шумом при когерентном приеме. Введена новая специальная интегральная &-функция, которая включает в себя ^-функцию, функции Лапласа, Оуэна, Никольсона, (обобщенного) Маркума. Введенная &-функция позволяет систематизировать вычисление вероятности ошибки в канале с общими четырехпараметрическими замираниями и белым шумом при когерентном приеме.
We discuss the noise immunity of modems with two-dimensional signal constructions in fadingless channels, channels with common fadings and with white noise during coherent reception. A new special integral &-function with includes the еЖ-function, Laplace's, Owen's, Nicolson’s, (generalized) Marcum’s fuctions is introduced. The & -function allows for a systematic calculation of error probability in the channel with common four-parameter fadigs and white noise during coherent reception.
В настоящее время в различных системах передачи используются в основном двумерные сигнальные конструкции. Но их многообразие ставит перед исследователями естественный вопрос о том, чем отличаются эти сигнальные конструкции. При равной удельной скорости сравнение осуществляется по энергетическим затратам на передачу одного бита. При этом для многих практически важных каналов связи характерно многолучевое распространение, приводящее к замираниям сигнала, значительно снижающим помехоустойчивость приема. Известные методики расчета вероятности в канале с замираниями основываются на точных формулах в каналах без замираний, которые в научной литературе рассматриваются лишь для относительно простых сигнальных конструкций. В данной статье приведены основные положения по расчету вероятности ошибочного приема в канале с общими замираниями.
Математическая модель канала связи
Предположим, что для передачи цифровой информации используется М сигналов: вг (г),
г = 0, М -1. Сигнал передается на символьном ин-
тервале времени т . Математическая модель канала связи представляется выражением
у(#) = м.(фг (г) + п(г), 0 < г<Т, (1)
где у (г) — принятый сигнал; ц(г) — коэффициент передачи канала; вг (г) — переданный сигнал и п(г) — белый гауссов шум с односторонней спектральной плотностью шума Ы0. В данной модели можно выделить два наиболее важных случая, рассматриваемых в статье:
1) если ц(г) = 1, 0 < г < Т, то получаем классический канал с аддитивным белым гауссовым шумом;
2) если ц(г) = ц, 0 < г < Т, где ц — случайная величина, то приходим к каналу с неселективными по частоте общими замираниями. В этом случае предполагается, что замирания настолько медленны, что фазу сигнала можно оценить по принимаемому сигналу без ошибок.
В соответствии с теоремой ортогонализации Грама—Шмидта произвольный сигнал вг (г), г = 0, М -1 может быть представлен в виде N
вг (г) = X(г), где (г) — базисные функции.
У=1
Это позволяет перейти к геометрической интерпретации сигналов и рассматривать их в конечном евклидовом пространстве, при этом может быть
N
определена энергия любого сигнала: Er = £s^,.
v=1
Так как все энергии конечны, т. е. Er <^,
r = 0, M -1, то среди них есть сигналы, имеющие максимальную энергию, которую будем обозначать Em: Em = max Er. Очевидно, что Er < Em,
r=0, M-1
г = 0, М -1 и энергия Ет конечна, т. е. Ет <^. Средняя энергия сигнала определяется как
М -1
Ес = X Р(г)Ег, где р(г) — априорная вероятность Передачи г-го сигнала. Обычно величина средней энергии определяется для случая, когда все сигналы равновероятны, т. е. р(г) = 1/М :
1 М-1
Ес =— X Ег. Отношение максимальной энер-с М
r=0
гии к средней энергии есть квадрат пикфактора:
П2 = Ет/Ес.
Расстояние между двумя сигналами может быть представлено в виде й,гк = ||аг -«
или
N
drk = j£(
s„, - s,
v=1
kv) . Среди всех возможных значе-
ний drk есть минимальная величина d = mindrk,
r ?k
г, й = 0, М -1, отличная от нуля, если г ^ й . Традиционно величина d называется минимальным евклидовым расстоянием. В дальнейшем будут использоваться также коэффициенты помехоустой-
(
чивости gm =
d
г
(
и gc =
d
Г
Отношение максимальной энергии и средней энергии к односторонней спектральной плотности шума определяется соответственно как
hm =
Em
No
E
и h2 =, при этом hm =n2h?. Величи
No
ны Ebm =
Em
log2 M
и Ebc =
Ec
log2M
— соответственно
максимальное и среднее значения энергии, затра-
ченной для передачи одного бита: к^т =
н2с = , н2т = и24 и ^ = 41СЕ2 м. ”
■0
Точные формулы вероятности ошибки в М-ич-ном символе и на бит сигналов ФМ-М.
Вероятность ошибки в М-ичном символе (М > 2 ) двумерного сигнала ФМ-М при когерент-
E
bm
No
ном приеме в канале с детерминированными параметрами и белым шумом [1, 2]
pe=q | \fi[sin м j+2t (v2hmmsin mm , ctg ml j, (2)
где hm = Em/N0 , Em - максимальная энергия сиг-
1 ^
налов ФМ-М; Q (x) = .— f exp
X
1 r
Лапласа и T(v, a) =— I exp 2п л
( t
dt — функция
-—( + x2 2
dx
1 + x
2
у> 0, а >0 — функция Оуэна.
Для расчета вероятности ошибки на бит при манипуляционном кодировании кодом Грея для ФМ-М (М = 2й) справедливы следующие формулы [2]:
Pb1 = Pb2 =
4 ML4 ( i—
— £ QI V2hmsm
(-1)
M
\
для первых двух бит и для бит i > 3
?i+1 M/4
Pbi =:
M
£(-1
.ent
j -1
j =1
x T
y[2h,
2 . (2j -1) (2j - 1)
sin -—_ _ , ctg
M
M
где M = 2 , в частности:
16 M8 ( гу (2j -1)
Рьз = 2P,1 - — £ Q V2hm sin '
Mf=1
M
x Q
cos
M
Используя свойства функции Оуэна, нетрудно показать, что справедливы следующие верхние и
21 ;-2
нижние границы (I >
3): М^1
< Дг < 2 рь1, где
Qm = Q
(
V2hrn sin
M
A
. Для средней вероятности
ошибки на бит имеем
!Р < 2 Q < Р = 1 £Р < МР
i.Pe < , Q1 < Pb = , £ Pbi < 0, Pb1.
u u u 2k
k * k
k
i=1
Приведем примеры расчета вероятности ошибки для сигналов квадратурной амплитудной модуляции, используемых в современных модемах.
1. Сигналы КАМ-16 (факс-протокол V. 29). Согласно рекомендации протокола V. 29 (факс-про-
токол модуляции V. 29 по рекомендации МККТТ), в модемах может использоваться сигнальное созвездие КАМ-16 с четырьмя градациями амплитуды и восемью градациями фазы, для которой
Ет = 25^ Ес = 27d2 и d=ЫК.=2 Ж
т 4 с 8 5^3
и2 = ^ = Ъ(851), Ь1т =и2й62с.
т2 = 50 27
Данная сигнальная конструкция КАМ-16 обладает пониженной чувствительностью к дрожанию (флуктуациям) фазы несущей частоты благодаря большему, по сравнению с классическими сигналами КАМ-16, углу между сигнальными точками. Вероятность ошибки на символ в этом случае вычисляется по формуле
к=1
ре=Х аъТ (ь'Сс, съ )+Х (4^)+
=1 ' ' к=1 ' '
+ Х [рк^ЬЬс ) (8^у[ЬЬс ),
к=1
где
а =
1 1 1 I, Ь =
с =
3 11
4 2 2
1
4
Р =
275
зТз зТз л/з
1
2
, « =
2л/5 4-12 2 1
зл/з зТз л/з , У
1} 2-Л л/5 2л/1з 1
^л/з тз зТз У
-1) •
4 275 4 1
зТз зТз зТз
2. Сигналы КАМ-16 (стандарт М1Ь-БТВ-188-110В). На основе результатов, приведенных в работе [2], показано, что вероятность ошибки на символ для КАМ-16, образуемой объединением двух сигналов фазовой модуляции (внутренней ФМ-4 и внешней ФМ-12) и используемой в стандарте М^-8ТБ-188-110В, в канале с детерминированными параметрами и аддитивным белым шумом при оптимальном когерентном приеме по правилу максимального правдоподобия, равна:
Ре =Х акТ [ЬкП с (с ^2 М, ск )+ ) (И с А2 1о§2 М ) +
к=1 ' ' '
+яЯ2 (хПс^с 1°§2 М),
где
а = (1 1 1 1 1/2 -1/2 -1/2 1/2),
Ь = ( р к к А А А А),
п'
с = (^£, с1^ф | £- з
(2ф) (£ + у) ^I 2£-
2п
1
Я = -
При этом
, \/б ^л/з п СС|;10П.
р =1--------- --------= 0,555129;
4
2
, « л/е+7з +л/2 - з
^ = ^—7т—7т т; tgф = ^/6^л/2-1;
л/е-Тз -VI+1 Тб +Уз ^л/2 -3
л/е +л/з ^л/2 -1 ;
эт х = -
2 + ^/2-2/6 8рк
Максимальная и средняя энергии определяются как
Д, = ^ Е, = 1^8Л
т 2 ^л/з с 2 ^л/з
где d — минимальное евклидово расстояние сигнальной конструкции. Квадрат пикфактора
_8_
8-Тз
И;: =—= 1,276зз5. Значения Ь^ = ,
Ет
N
Е
Ь =—— есть, соответственно, отношение макси-
с N0
мальной и средней энергий к односторонней спектральной плотности шума, = И^ТЛ^,
Ь? = ЬЪс ^2 М, М = 16. Коэффициенты помехоустойчивости
Ят = = 0,066987; яс = 4 - 2^ = 0,085498.
4 8-V з
з. Сигналы КАМ-32 (стандарт цифрового телевидения DVB-T). Точная формула средней вероятности ошибки в М-ичном символе при оптимальном когерентном приеме двумерных сигналов КАМ-з2 по правилу максимального правдоподобия в канале с детерминированными параметрами и аддитивным белым шумом при равновероятных битах источника получена в виде [з]
1
4
hb°
Максимальная и средняя энергии определяют-
17 2 2
ся как Ет = — d , Ес = 5d , коэффициенты помехоустойчивости ят = -^1 = 0,029412, Яс = -1 = 0,05.
4. Сигналы КАМ-32 (стандартMIL-STD-118-110). Точная формула средней вероятности ошибки в М-ичном символе при оптимальном когерентном приеме двумерных сигналов КАМ-з2-М^ (стандарт М^-8ТБ-118-110) по правилу максимального правдоподобия в канале с детерминированными параметрами и аддитивным белым шумом при равновероятных битах источника получена в виде
Pe = У TkT(Пd^c log2 M, 0
k=1
+ У PkQ(пc<Jhic log2 M) +
k=1
-'У qkQ(vkПc>Wc log2 M )Q(kПc>Wc log2 M ),
k=1
где
T= 1 -1 11133311
T={ 2 4 В елее!!
r=
cos a-3sin а
2
S =
12rcos(\|/-2a) 2rctgw 2r .
—-\/2зта A/2sma^
•v/bsinY
л/2 л/2
г- 2rcos(2а) 2rcos(2а)
W2sina ——-—- —;=—-—
л/bsinY л/bsinY
sin x
cos Є
2rcos(2a) л/bsinY
л/bsinp
ю =
I 3n Y
tg(\|/-2a) tgY ctgY tg| ——- M
В 2
^ tgф tgY tg(2a) tge ctgx ctg(2y) ), 5 19 1 1 1 1
P =
16 16 В 4 В В
_ I 2r r- . 2rctgw 2r cos (/-2a)
П=| —;= л/2sina-------;=--------=r^--------■
I л/ 2 л/2 л/2sin ^
sin x
2rcos(2a) л/bsi
А
sin^
л/ЪsinP
А
q=i-! -4 -11 ■ v=
I /- 2r /— А
л/2sin a —=• л/2sin a
л/2
y=
12r 2rctgw /- .
-=■ ------;=— л/2sma
л/2 л/2
Соответствующие углы определяются по формулам:
о О П 1 sin Р , , 1
3a + P = —, sin у =--- , tgk = —,
4 2sina 3
cos(2а) tg¥ = ----- ,п , tg[k-a),
tge =
1 - cos(2a)
3sina-sin(3a) (3a)- 3sin a
, ф = ^-2а-Є,
cos
X = —+^ - 2a + 0-y.
4
Для определения угла a необходимо найти решение уравнения f (a) = 0, где
f (a) = 1 - 6sin a(n (3a) + cos (3a)) + 14sin2 a,
которое после элементарных преобразований можно свести, например, к уравнению
21tg4 a + 18tg3a- 2tg2a - 6tga + 1 = 0.
Численное решение этого уравнения sin a = = 0,173405, \f (a)| = 5,5-10-17. В стандарте MIL-STD-118-110 этому углу соответствует значение sin a = 0,173415, |f (a)| = 4,9-10-5. В дальнейшем вычисления вероятности ошибки осуществлялись для значения угла, определенного в стандарте.
Максимальная и средняя энергии равны:
Em =
4^2- , Ec = іЇ( 10 + tV
4sin a ВI sin a
Коэффициенты помехоустойчивости gm =
= sin2 a, gc = 2| 10 +
sin2 а
-l
или, соответственно,
Ят = 0,0з007з, Яс = 0,04624. Таким образом, по средней энергии сигналы КАМ-з2 эффективнее КАМ-з2-М^, но по максимальной энергии они про-
игрывают. Квадрат пикфактора Пс =-
2
1 + 10sin a
или П 2 = 1,537601.
5. Сигналы KAM-64 (M = 64 ). Построены на основе квадратной решетки с внешними точками, сдвинутыми по оси координат. Использовались в модеме Paradyne при скорости передачи 14,4 кбит/с [4, с. 591, рис. 9.1В, а]. Вероятность ошибки на символ
Ре = X акТ(ьк\(с , Ск ) + X 5к©^{^к\[НЬс ) +
к=1 ' ' к=1 ' '
+ Я©2 (ру(Е ),
где
а =
13 11
2 8 4 4 4
Ь = ( # л/3# # л/3-д 77#), Г ^ 1 к ^1
С =
7з ' А 3^3 * 7з
л/3 л/3 73
5=|47 1 .1 |, / = 16 8 16
р = #, # =
л л/7# л/2#
47^2 м х/зГз+^/з ’
» Я = _
47
16
П2 = 16 26 + = 1,876173.
313+7л/3
Рассмотрим теперь гексагональные сигнальные конструкции.
1. Вероятность ошибки для треугольной НЕХ-8 (2, 2, 4) [4, с. 592, рис. 9.17] составляет
9
Ре = о Т е 2
--Т 2
24 Н
— 1Н2 V -Г 2
л/3У ЬС, л/3
+ Т
Ьс ’
л/3
+ 2 ©
л/3'
;2=л/НЬС ^
.[Н2 ]+1 © (2Л/ньс ).
Квадрат пикфактора П = 14 = 1, (5).
2. Сигналы ГЕКС-16. Для сравнения приведем формулу для вероятности ошибки на символ для ГЕКС-16, М = 16 [4, с. 594, рис. 9.20, а]. Полученный сигнальный ансамбль ГЕКС часто изображается в виде трех состыкованных шестиугольников. Для этой сигнальной конструкции максимальная энергия Ет =452, средняя энергия
9 ,2 , П2 16
—а , квадрат пикфактора ПС = —
эффициенты помехоустойчивости Ят = —, ЯС =1.
16 9
Вероятность ошибки на символ может быть определена по формуле [2]
ЕС = — а2, квадрат пикфактора П =16 = 1, (7), ко-
3 ___ 2
ре = Х акТ (ьу/кС , ск )+Е ак© ^к^КС) к=1
2
X
к=1
где
а =27 3 _1|, ь = 4 4 8
2/2 2/2 2/2 ~ж
Г
С =
^73 4
А
л/3 л/3
Г 2л/2 2л/2 А
л/3
3. Сигналы ГЕКС-64. Приведем точные формулы вероятности ошибки двумерного гексагональ-
т2 268
ного набора при М = 64, П2 =--------------= 1,900709 [5,
С 141
с. 16, рис. 1, д]:
3
к=1
Ре = Х акТ(ЬкМ, Ск ) + Х ак©
к=1
где
- I 75 3 3
а =| — —-------|, Ь =
8 8 16
Г
______ _^ 4/3
л/47 л/47 л/47
=
л/3
л/3
' а=| х ±
32 32
/ =
4 4л/3
л/47 л/47
А
Для сигнальной конструкции, применяемой в модеме Codex/ESE ЯР 14.4 [4, с. 594, рис. 9.20, б], вероятность ошибки на символ
Ре =ХакТ(Ьk^/Н2Г, Ск) + Хак©
к=1
к=1
где
Ь =
а =
- Г297 а =| [ 32 3 8 3 16 3 32
8 /3 8 I3 811 8
9^7 91 и 3 \7 3^1
- Г1 С=[ 73 л/3 1 л/3 5 л/3
3 3 3 Г 8
8л/3 8 /3
9 9 А/7
_А
16 64 64
9\7 3
8л/3
П2 =1216 = 2,144621.
567
Рассмотрим теперь методику расчета вероятности ошибки приема сигнальных конструкций при общих замираниях. Вероятность ошибки при общих замираниях определяется как
Р =
(3а)
где Рф — вероятность ошибки (в символе/бите) в канале с детерминированными параметрами и белым шумом; ю((х) — плотность распределения вероятностей; ц - коэффициент передачи. В общем случае вероятность ошибок двумерных сигналов при когерентном приеме в канале с детерминированными параметрами и белым шумом может быть представлена в виде [6]
Рв/Ь (Ь1с ) = XакТ(ак!^, Пк ) + X)( ) +
к ' ' к ' '
+Х (ак^ \/^Ьс (а к^ ^^Ь^Т) ^ (зб)
где Т(V, а), v>0, а >0 и Я(х) соответственно
функции Оуэна и Лапласа. Примеры, подтверждающие это положение, приведены в [2-4, 6, 7].
Основная сложность заключается в вычислении интеграла вида (3) от функций Лапласа, их произведения, а также от функции Оуэна и получении аналитических формул, удобных для проведения расчетов. Результаты получены в основном для относительно «простых» законов распределения — Релея и Накагами, меньше — для закона распределения Райса.
Дадим краткую характеристику методики расчета вероятности ошибки при медленных общих замираниях.
Пусть
Р Т Р Т
Н2 = р, 2 РпТ р 2р
нс, ц= лт = ц „ , гс, ц М- гс п,
”0 л0
где РС ц - мощность принятого сигнала, а Рс п — мощность переданного сигнала. Тогда математическое ожидание мощности сигнала определяется как
Рс, ц = /РС,<*7 = РСп/ц2ю(ц)<1ц = т2РСп,
0
где Ш2 = у — начальный момент второго порядка.
___ 1 Р Т
След°вательн°, Рп = Р у/т2 И ^ у =Ц2-----=
' т2 N0
= у2 -1ЬС. При расчете по (3а) необходимо вместо
т2 2
величины к2, входящей в формулу для вероятности ошибки в гауссовом канале, подставить величину к у /т2 и вычислить полученный ин-
теграл.
Наиболее общим законом распределения замираний является четырехпараметрический закон распределения вероятностей случайного коэффициента передачи канала у [3]:
ю(с , у ) =
--V ( - тс )2 --^(- т)2
2а 2ао
2паса8
ехр
У = д/У + у2 ,
где тс и т8 — математические ожидания квадра-
турных составляющих ус и у8; у0 = •y/таC + т2 — регулярная составляющая коэффициента передачи; а2 и а; — дисперсии квадратурных составляющих ус и у8. Следуя [7], наряду с параметра-
2 2
ми тс, т6, ас, а6 будем использовать параметры, имеющие наглядный физический смысл.
1. Отношение дисперсий квадратурных состав-
ляющих а2 и а2 — величина д =—с.. Коэффици-
ент д2 характеризует асимметрию канала по дисперсиям. Без ограничения общности рассматриваются значения д2 из интервала [0, 1], т. е. 0 < д2 < 1.
2. Фазовый угол ф0 = arctgт- или tgф0 = т-.
тС тС
3. Отношение средних мощностей регулярной и
2 , 2 2 тС + тч
флуктуирующей частей сигнала — у =- -
~2 , _2 ас + а
у0
2 , 2
а„ + а„
. Это выражение удобнее представить в
виде у2 = 2д2 у0 = 2д2 ..2
2
2 2 2 у0 , где у0 = — вели-
1 + д 2а2 1 + д 2а2
чина, характеризующая глубину замираний в канале с райсовскими замираниями (д2 = 1). Коэффи-2д2
циент —є [0,1] характеризует уменьшение у2
1 + д
по сравнению с величиной у0. При релеевских замираниях у0 = 0, в канале без замираний у0 ^ ^ (присутствует только регулярная составляющая). Следует заметить, что величина у2 может принимать одинаковые значения при разных значениях у0 и д2. Очевидно, что для этого необходимо, что-
У21 1 + д-2
бы выполнялось тождество —т— =-—г . Кроме
1+д2-2
этого справедливы следующие соотношения:
2 т\ д2
у = С
а2 1 + д2 еоэ2 ф0
2 т8 1
или у2 = 6
а2 1 + д2 ет2 ф0
4. Средний квадрат коэффициента передачи (начальный момент второго порядка) т2 =ц0 +
Ґ
+ а2 + а2
или
т2 = 2ас
1+Д.+1-іА
2а2
= 2а2
2 1 - д 1 + ^0 + ^“2
2 А
2д2
2д2
, д ф 0. Если д = 0, то ас = 0,
/
к
1
а величина а: является неопределенной, либо 2 С 2 ^^, а величина аС является неопределенной.
Многочисленные теоретические работы и экспериментальные данные показывают, что общая гауссова модель и ее частные случаи охватывают широкий класс каналов связи в различных диапазонах волн [3, 4, 6, 7]. Сложность вычисления вероятностей ошибок для четырехпараметрического закона замираний привела к тому, что на практике традиционно используются только плотности распределения Релея и Райса.
Одномерное распределение коэффициента передачи канала ц может быть определено по формуле [7]
ш(ц) =
ц
2лас а8
2п
< | ехр
-^2 ( 008 Ф-тс )2 —^2 ( ^ Ф-т: )2 2ас 2аС
Йф,
ц>0.
В результате несложных преобразований четырехпараметрическое распределение может быть представлено в виде
т=0
ш
ия
т+1
(ц)
2
т
2
-.2
где д2 =-2, х2 = ^2
а2 2ас 1 - Ч
ление Райса-Накагами [1]:
2 и ШГ
(ц) — распреде-
ш
т
(ц) =
(Рц)Р
аР-1
ехр
-0_-вц2 2в 2ц
1р-1 (0ц),
ц>0,
(4)
где р > 0, 0>0, Р > 0 — параметры распределения, а I р-1 (0ц) — функция Бесселя от мнимого аргумента порядка (р -1).
Распределение Райса-Накагами (4) при соответствующем выборе параметров р, 0, в совпадает с распределениями Релея, Райса и Накагами
(т -распределение): при р = 1, 0 = 0, Р = -1 — раса
пределение Релея; при р = 1, 0 = ^°, Р=4- — рас-
а2 а2
пределение Райса; при р = т , 0 = 0, Р = 2т/ ц2 — распределение Накагами (при выборе 0 = 0 следу-
ет учесть, что Иш
1р-1 (0ц)
0^0 0р -1 2 р -1 Г(р)
гамма-функция).
, где Г(х) —
т 1
Если положить 0 = —с и Р = —-, то
ас
ш
вя
к+1
—2/ \к
ас (тс)
т2 +ц2 2а2
( т \
-Т ц
Начальный второй момент распределения Рай-са—Накагами определяется по формуле
2 Р
т2 ="р ехр
( ^2 \
2р
(
1*1
р+1; р;
2Р
Если Р е К, то нетрудно убедиться, что
о( с2 \
Р + — 2р
Рассмотрим более подробно задачу вычисления интеграла от функции Оуэна и функции Лапласа при четырехпараметрических замираниях:
М0Т (а, п) = | Т (ац, п)ш(ц)(1ц, (5)
2 где
т, 2
Ч ехр 202. х ш(ц) = ч ехр 1 1 т Д. С |
т=0
1)тН2т ( а) /1 - 2 )т шШ (ц)
2т(2т)!! 1 4 > т+Ц ;
параметр а =
\2А
I т9
, величина g определяется
в зависимости от сигнальной конструкции, значение т2 =ц2 — начальный момент второго порядка — определяется для четырехпараметрического закона распределений замираний как
(
т2 = 2аС
2 1 - Ч
+ У0 + 2д2
2\
Для распределенияРайса—Накагами (1) справедливо соотношение [6, 8, 9]
|Т(ац, п)швм (ц)ц = ^р (, Ь, п),
(6а)
где
^Р (г, Ь, п) =
1 - Ь2)Р п
2п
и_______1-
01 + х2 (1 + Ь2х2
х ехр
( г2 1 + х
+ х2
2 \
2 1 + Ь2--2
х
Йх,
а
с
х
n> 0, p є М, p > G
(6б)
2 а2 2 02 2 2
и Ъ = —-----, г =— Ъ , 0<Ъ < 1. Учитывая, что
а2 +р в
^-функция для случая р = 1 может применяться для расчета при замираниях Релея и Райса, то без ограничения общности можно положить, что
^1 (г, Ъ, п) = ^(г, Ъ, п).
Возможно его альтернативное представление в виде
^p (г, Ъ, п) =
мт
2п
arctg(n)
x і
сое2р £
g (і-(і - Ъ2 jsin21)
-ехр
2 1 -(і - Ъ2)
dt
(6в)
или в виде
,ctg(&n)
<M’p (г, Ъ, n) = Ъ
мг
2п
f
О 1 -(
сое2 р г
(1 - °2)
-ехр
г ( -(і - Ъ2 )os21
-(1 -Ъ Icost
2Ъ2
dt,
Ъ ф 0. (6г)
Учитывая введенную ^ -функцию, получаем, что
|Т(ац,, п)®т^1 = ^т+1 (гс, Ъс, п),
2
где Oc =
2 2
а а°
1 + а2 а2 1 + а2а
а2т2 0 mc
--------, так как 0 = —т-
а2
2J2 '■
c
c
1 q2 m2
Р^—- и — = —. Следовательно, для соотноше-аС 2Р 2ас2
ния(5)получаем,что
МЮТ (a, n) = q exp
ms
2а2
(
xS
m=0
(-l)mH2m (чх)/ 2 m
2m(2m)!! ( -q ) ^m+l(c, bc’’
или
n 1 1
- f_______1_____________1____
f 1 + x2 1 + ъ2 x2
1 - Ъ2
r--------
2n
exp
m2
exp x
L 2а2 J
z2 1 + x2 \
2 1 + Ъ2cx J
xS
m=0
(-l)mH2m (-ІХ) [(1 - q2) - * ) m N
2m (2m)!! 1 + Ъc2x2
v
2 2
т-r т2 а а9
Положим Ъs =----------,
1 + а а
s
а2т2 1 + а2аі?
m
г2 = ^±.ъ2 q2 =-
Zs 2 Ъs , q Ъ.2 л и2
а ъа і - ъ„
ъ21 - Ъ2
и,следовательно:
(а,п) =
n
2п
- Ъ2
xf 1 1________________________1
О1 + x^l + ъ2x2 fi+i
X ехр
x
( гс2 1 + x2 2 1 + Ъ2x2
1.2 2 b0x
zs2 1 + x2 ^ 2 1 + Ъ2x2
dx.
Определим новую специальную интегральную функцию
Zc , Zs , Ъс, Ъs, n) =
1 - Ъ.2
2п
n 1 1 _______________________1_
О1 + x^l + Ъ2 x2 ^/l + frfx2
X ехр
( гс2 1 + x2 2 1 + Ъc2x2
г2 1 + x2 ^
2 1 + ъ2"2
x
dx,
(7)
где Zc =
а2т2 1 + а2а2
2 2 2 а ms
г2 =- s
2_2
1 + а2а2’
Ъ2 =-
а а,
1 + а а„
ъ2 =
2 2 а as
1 + а2аі?
. В частности, для распределения
Райса при симметрии канала по дисперсиям квад-
2 л 1.2 1.2
ратурных составляющих: д = 1, т. е. Ъс = Ъ8 , введенная функция совпадает с ©Ж-функцией [2]:
&(, zs, Ъс, Ъ, n) = ( + г2 , Ъc, n
1 1
f 1 + x2 1 + ъC!x2
dx,
.1 - Ъ2
2п
X ехр
( „2 . 2 n . 2 \ zc + zs 1 + x
—т+bv
где ветственно,
2 2 , 2 а I mc + ms
1 + а2аі?
а2^0
1 + а2аі?
для
распределения
О,-
аа
Соот-
Релея
• n
■\/1 + а2ст2
Преобразуем аргументы функции, учитывая, что
2
2
CgKL и Ж2 = 2а2 V m2
( 1 _ q2 A
1 + Y0 + ^
. Определим
hc =
%c
1 2 1 _ q
1+Y00 +^Г-
, т.е.
Cq
hi [дБ] = hi [дБ] + 10lg
(л 1 + q2 2 1 _ q2 A 1 + —т—у2 + —\
2q
Cq
тогда
,с_ 2ghlm2c _m2c ghl
m2 + 2ghl a2c o2 1 + ghl'
2 = =mC ghl
m2 + lghC o2 o2 q2 + gh,
-, bl =■
ghbc
'bc
bc
bl = ghl
s ,2 , „£2
bc
q + g/г,
(8)
и
2
22 2 m2
"v c 1 + q c m ■ c /i . c\ с —2 = cosC Фо—^Y2’ Hr = sin Фо I1 + q )Y .
mc
- = cos2 Фо—Y2’
oc q o
Для численных расчетов на ЭВМ удобнее использовать альтернативное определение &-функции:
2c’ 2S, bc, bs, П) =
2n
arctg(n)
- I
0
cos21
y/1 _ (1 _ bC ) sin2 t^1 _ (1 _ b2 ) sin2 t
x exp
1 _(1 _bc |sinc t 1 _( _bcbin21
dt. (9)
Таким образом, для четырехпараметрического распределения математическое ожидание функции Оуэна
|Т(ац,п)ю(ц)ц = &(, , Ъс, Ъ3, п),
2 2ghbc о 2
где а =----------— и mc = 2oc
m9
2 1 _ q 1+Y c+~qc
c A
а аргу-
менты функции определены в (8).
Получим теперь соотношения для усреднения функции Лапласа и их произведения через ^-функцию. Если положить п = +СЮ, то из свойств функции Оуэна следует, что
IT (сф,, + ^)co((x)dy = — | Q (ay)co(|x)dy о 2 о
или для четырехпараметрического распределения
|Q(a,)(o(,)d, = С<^(2c, 2S, bc, bs, + ~).
о
Для определения соотношения | Q (а ,)Q (P,) x
x ro((x)d,, где а2 = Cg1hbc и pc = 2gchbc , mc m9
воспользу-
емся одним из свойств функции Оуэна, которое преобразуем к виду
Я (ац)в (Рц) = Т (ац, + ~) + Т (Рц, + ~) -
( аА
Р,,-
Тогда
| Q (а,) (P,)ro(|x)d,=
2c ’ 2s ’ bc ’ bs ’ + “) _ ) 2c ’ 2s ’ bc ’ bs ’ —
2c ’ 2s ’ bc ’ bs ’ + “)_
а
а
A
^, *9, Ь, Ь, -
При численных расчетах на ЭВМ удобнее, возвращаясь к определению &-функции, ввести функцию
( Пс" A
b b
V LMx J J
_ bc
2п
П1
x exp Тогда
;c 1 1 _1
ni1 + x^1 + blx2 д/Т + Ь
1.2 c bcxc
( 1 I „,2 „2 . 2 A
2c 1 + X 2s 1 + X
c 1 + bl xc c 1 + bl xc
dx.
IQ (c,)Q (P,)ro(|x)d, = &
(
(
2c ’ 2s ’ bc ’ bs ’
A
Р/а.
2c ’ ’ bc ’ bs ’
а/Р.
В частности, при а = Р: | Qc («,)co(|x)d, =
(
= 2^
( A
■cT b c 2 1
V J
2
2
Поскольку &(, ха, Ъс, Ъа, п) = Ж ( + г(, Ъс, п), то некоторые свойства &-функции совпадают со свойствами еЖ-функции, приведенными, например, в работе [2]. Кроме этого, можно показать, что новая специальная функция в частном случае выражается через эллиптические функции. Действительно, сделаем замену хЪс =-ctgф, тогда функция может быть записана в виде
zc, zs, Ъc, h, П)_
ara^g^n^)
2п Ъ° sin2 ф
bs
х ехр
г _________________
л/2 (і - u2 sin2 ф)і - v2 sin2 ф
-|1 - u2sin2 ф) + -І------------------j
2ЪC 2Ъ8 1 - v sin ф I
dф,
где u2 _ 1 -Ъ2 , v2 _ 1 --C-. Если zc _ zs _ 0, то
c ъ2 c s
, 0, Ъc, Ъ8, n)_
л/^-ъгуг-ъ _
2п Ъs
- ъ2 і
arcc^-rify
x і
7 2 • 2
bc sin ф
П2 (і - u2sin2 ф)і - v2sln2 ф
или
,0, ъ, Ъ, n)_— ~т
1 Ъ2 1 - Ъ2
2п Ъ V1 - Ъ2
x{ п(, u2, v)-п(, u2, v)-[F(фі, v)-F(фо, v)]|,
где
У
п(, u2, v)_J-
о (l - u2 sin2 ф)і - v2sln2 ф эллиптический интеграл 3-го рода; F(ф, v)_ ф і J,Vi 2 •2
о-\/1 - v2 sin2 ф
Литература
— эллиптическии интеграл
1. Справочник по специальным функциям / Под ред. А. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
2. Савищенко Н. В. Многомерные сигнальные конструкции: их частотная эффективность и помехоус-
1-го рода и ф1 = arcctg (-пЪ), Фо = п/ 2. Если вместо
оо 2
параметров и Ъ° использовать величины и ,
и2, то специальная функция может быть представлена в виде
c, zs, u, v, n) _ — W1 - u2yju2 -2n
v2 x
x і
вІП2 ф
х ехр
[/2 (і - u2 sin2 ф)і - v2 sin2 ф
1 - u2sin2 ф і 2 1 - v2 2
2(1 - u2
zc +-
1 - v2 sin2 ф
dф.
Если использовать замену х = ctgф и ввести
параметры кc _ -
І - bc2
, то
zc, zs, кc, ^, nj_-П 2
x і
-u^ 1 - u2ylu2 -
2n
2
sin ф
v2 x
arcctg(n)У 1 + к° sin2 ф 1 + к2 sin2 ф
х ехр
( г2
1 + к2
1 + к2
2 1 + г2~;~2-
- к, sin ф
2 2
где величины и , V были определены выше.
Используя введенную специальную интегральную функцию и примеры, нетрудно получить соответствующие расчеты вероятности ошибки при общих четырехпараметрических замираниях.
Таким образом, введена новая специальная интегральная &-функция, которая включает в себя еЖ-функцию, функции Лапласа, Оуэна, Никольсона, (обобщенного) Маркума. Введенная &-функция позволяет систематизировать вычисление вероятности ошибки в канале с общими четырехпараметрическими замираниями и белым шумом при когерентном приеме и проводить корректное сравнение сигнальных конструкций.
2 1 + г2-^2-
- к sin ф
dф,
тойчивость приема: Монография / Под ред. Д. Л. Бу-раченко. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005. 420 с.
3. Коржик В. И., Финк Л. М., Щелкунов К. Н. Расчет помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: Справочник. М.: Радио и связь, 1981. 232 с.
2
2
Ъ
Ъ
s
c
І
4. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. М.: Вильямс, Соо3. 1Ю4 с. 5. Багушев С. В., Зайцев И. Е., Яковлев А. А. Перспективы развития сигнально-кодовых каналов для гауссовского канала связи // Зарубежная радиоэлектроника. 199о. № 1.С.15-31. 6. Прокис Дж. Цифровая связь: Пер. с англ. / Под ред. Д. Д. Кловского. М.: Радио и связь, 2ооо. 8оо с. 7. Кловский Д. Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. М.: Радио и связь, 1982. 3о4 с. 8. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 8оо с. 9. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.
/
Красильников Н. Н., Красильникова О. И.
Мультимедиатехнологии в информационных системах. Представление и обработка изображений в компьютере: учебное пособие/Н. Н. Красильников, О. И. Красильникова. ГУАП. — СПб., 2007. — 132 с.: ил.
1ЯВМ 978-5-8088-0257-5
В учебном пособии изложены вопросы, связанные с представлением трехмерной и двумерной графики. Приведены статистические характеристики двумерных изображений. Рассмотрены вопросы оцифровки изображений и возникающие при этом искажения. Описаны методы линейной и нелинейной обработки изображений с целью повышения их качества.
Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов, изучающих мультимедиатехнологии в рамках технических специальностей.
