CC BY
132
УДК 621.391
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ КОГЕРЕНТНОГО РАЗНЕСЕННОГО ПРИЕМА МНОГОПОЗИЦИОННЫХ СИГНАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ КОРРЕЛИРОВАННЫХ РЕЛЕЕВСКИХ ЗАМИРАНИЯХ В КАНАЛАХ СВЯЗИ
Н. В. Савищенко,
доктор техн. наук, профессор
Военная академия связи им. С. М. Буденного, г. Санкт-Петербург
Рассмотрены основные методы разнесенного приема — методы оптимального сложения и автовыбора. Показано, что на практике существуют условия, при которых может возникнуть корреляция параметров каналов. Разработаны методики анализа помехоустойчивости при разнесенном сдвоенном приеме и коррелированными релеевскими замираниями в канале связи для метода оптимального сложения и метода автовыбора. Приведены примеры использования разработанных методик для оценки потенциальной помехоустойчивости приема сигналов фазовой и квадратурной амплитудной модуляции.
Ключевые слова — разнесенный прием, помехоустойчивость, коррелированные релеевские замирания.
Введение
Одним из факторов, в значительной мере влияющих на принимаемый сигнал, является многолучевое распространение. Основная идея борьбы с эффектом многолучевости заключается в применении разнесения, состоящего в организации нескольких независимых каналов или ветвей разнесения.
Известно, что разнесенный прием — один из наиболее эффективных способов, предназначенных для обеспечения высокой надежности передачи данных без значительного увеличения как мощности передатчика, так и используемой частоты [1-3]. В системах с разнесенным приемом обеспечивается параллельная передача одной и той же информации по нескольким каналам.
Методы разнесения требуют организации ряда путей передачи сигналов, называемых ветвями разнесения, и схемы их комбинирования или выбора одного из них. В зависимости от характеристик распространения радиоволн в системах подвижной радиосвязи существует несколько методов построения ветвей разнесения, которые могут быть разбиты на следующие группы: пространственное, угловое, поляризационное, частотное, временное.
Применяется несколько методов комбинирования некоррелированных сигналов при разне-
сенном приеме. Обычно выделяют три основных метода: оптимального сложения (оптимальность по критерию максимального отношения сигнал/ шум), сложения с равными весами, автовыбора.
Пусть рассматривается случай, когда принимается Ь различных образцов сигналов. Ими могут быть сигналы, поступающие с выхода различных параллельных каналов, от различных антенн. На передающей стороне может формироваться как один, так и несколько сигналов. Во всех вариантах все Ь образцов принимаемых сигналов соответствуют одному и тому же дискретному сообщению и имеют одинаковые информационные параметры. Каждый из принимаемых сигналов называют обычно ветвью разнесенного приема. Наиболее полное изложение теории передачи дискретных сообщений по каналам с разнесением представлено в монографии И. С. Андронова, Л. М. Финка [2], в которой основное внимание уделено двоичным сигналам.
Математическая модель канала с разнесенным приемом имеет вид [1-3]
У(ь) = РоРп (ь) + №п (ь) + П1 ( Ь)7
tе[о, т], I = 171, г = 0, м-1,
где рс1, — синфазный и квадратурный коэффи-
циенты передачи в 1-й ветви; эг1(1), эг1 (ь) — передаваемый и сопряженный с ним сигналы, соот-
ветствующие передаче г-го символа в 1-й ветви; п1(Ь) — аддитивная помеха в 1-й ветви.
Если коэффициенты передачи в параллельных каналах независимы, то тогда многомерная функция распределения будет определяться как ю(Р1, ..., Рь) = ю(М-1) х ••• х ю(Рь). Параллельные каналы, для которых выполняется данное условие, называются статистически независимыми каналами. Для релеевских и райсовских замираний из некоррелированности гауссовых квадратурных составляющих следует независимость каналов. Каналы, в которых коэффициенты передачи и аддитивные помехи имеют одинаковые плотности распределения вероятностей с одинаковыми параметрами, называются статистически однородными каналами. Среди класса статистически неоднородных каналов ограничимся рассмотрением варианта одинаковых функций распределений для коэффициента передачи, но с различными параметрами. В частности, для рассматриваемых в статье релеевских замираний р2 = 2ст2, Р2 = 2^2, где при статистической неоднородности ст2 ^ ст2*
Ограничимся оценкой потенциальной помехоустойчивости разнесенного приема только при когерентном приеме. Как известно, вероятность ошибки двумерных многопозиционных сигналов в канале с постоянными параметрами и белым шумом при оптимальном когерентном приеме по правилу максимального правдоподобия сводится к формуле, состоящей из алгебраической суммы Г-функций [4, 5]:
Рв/Ь (ьо ) = ^акТ{Ф2(с,^к\7 (1)
к ' ' где кь2 = ЕЬс/Ы0 — отношение сигнал/шум (отношение средней энергии, затрачиваемой на передачу одного бита, к односторонней спектральной плотности мощности шума), а Т(х, а) — функция Оуэна, определяемая как
I а
а
т(х a)=Ь%■ Iехр
2% *
о
-Т (1+12
1 dt.
1 + ь2
Для анализа помехоустойчивости сигнальных конструкций при разнесенном приеме воспользуемся следующими предположениями.
В каждой отдельной ветви разнесения сигнал является однолучевым. Число ветвей разнесения Ь > 1. Величина Л2 есть среднее отношение энергии сигнала к эквивалентной спектральной плотности помехи, которое имело бы место, если бы то же передающее устройство использовалось для одиночного приема. Без ограничения общности полагаем, что ветви разнесения пронумерованы в порядке убывания интенсивности сигнала. Для любого I = 1, L помеха является аддитивным бе-
лым гауссовым шумом с односторонней спектральной плотностью мощности шума в каждой ветви 1 с коэффициентом передачи 1-го канала рг. В каждой из ветвей разнесения отношение сигнал/шум есть величина к2 = Е1 / М01, I =1, L.
В зависимости от вида разнесенного приема справедливо соотношение [1-3]
^ = ^, X е[0,2]. (2)
Здесь к^ — среднее отношение энергии сигнала к шуму в одной отдельной ветви; X — коэффициент эффективности использования мощности передатчика при рассматриваемом виде разнесенного приема.
Из всех методов разнесенного приема только прием на разнесенные антенны не приводит к потере мощности сигнала и реальной пропускной способности. Снижение скорости передачи информации (например, при разнесении во времени) эквивалентно потере мощности. Для корректного сравнения помехоустойчивости различных систем разнесенного приема необходимо учитывать эту потерю мощности с помощью соотношения (2) [3].
Так, при приеме на разнесенные антенны и при разнесении по отдельным лучам при любом числе ветвей X = 0. При временном разнесении и при частотном, в случае, когда для каждой ветви используется свой передатчик, X = 1. Если все частоты излучаются одним передатчиком, то тогда, в зависимости от линейности режима передатчика и его запаса по пиковой мощности, X е (1, 2] [1-3].
Во всех ветвях сигналы некоррелированы. Это предположение позволяет упростить расчет помехоустойчивости и получить соотношения для вероятности ошибок (ее нижнюю границу) в замкнутой форме. В то же время некоррелированность действительно может иметь место на практике. С другой стороны, трудно реализовать оптимальный прием, который бы учитывал коррелирован-ность сигналов в отдельных ветвях разнесения.
При использовании оптимального когерентного приема и некоррелированной по отдельным ветвям разнесения помехи результирующее отношение сигнал/помеха равно сумме всех отношений в ветвях разнесения т. е.
1=1
*2 = £*2 = Ь2 £8?,
1=1 1=1
2 */” -------- 2 2
где 5/ = —2, I =1^, Ь = Ь]. В соответствии с пред-
*2
2 2
положением справедливы неравенства 81 > 82 >... > > 8L, 52 =1. Энергетический выигрыш от перехода одиночного приема к разнесенному определяется выражением
и2 , L
л! - hJ = -i £8? ■
h2
/-1
где X е [0, 2] — распределение мощности передатчика в зависимости от вида используемого разнесения. Если в канале связи присутствуют замирания, то 2
*2 р = ЗД, р/
Мр/ - Р/ - m2, / - /р/ю(р/)Ф/- /-1, L о
(3)
где ю(рг) — плотность распределения вероятности коэффициента передачи рг для 1-го канала; Р2 = т2, I — начальный момент второго порядка.
В данной статье рассматриваются коррелированные релеевские замирания, определяемые в общем случае плотностью распределения вероятностей
)(р-|, Р2)-
Р1Р2
(1-Р2
: exp
2(1- Р2
р1
ст2
р2
CTf
р1 р2
1- р2 СТ1СТ2
где р — коэффициент корреляции; 100(х) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Для статистически однородных каналов (ст2 = ст2) плотность распределения вероятностей принимает вид
Р1Р2 ^
”(р1-р2 )-ст4 (1-р2
exp
2 2 р1 + р2
2ст2 (1- р2
рр1 р2
ст2 (1- Р2
(5)
В статье рассматриваются два метода разнесенного приема — оптимального сложения и автовыбора.
Метод оптимального сложения
В основе дальнейших преобразований, вне зависимости от закона распределения замираний, лежит следующая формула, справедливая при любом числе ветвей Ь:
/ - /
Т
а.
h2 £82 4, Л /-1 р/
хю(р1, р2, —, PL)dр1dр2...фL
(6)
где параметр а2 = 2^ определяется в зависимости от сигнальной конструкции, а значение
m2, / - р/ — начальный момент второго порядка. При независимых замираниях в ветвях ю(р1, ..., р^) = ю(р1)х.хю (р^). Решение данной задачи при использовании метода оптимального сложения (Maximal Ratio Combining — MRC) для случая полностью некоррелированных ветвей с замираниями Райса — Накагами и четырехпараметрическими гауссовыми замираниями приведено в работах [4, 5].
При коррелированных релеевских замираниях
и? р2+^2 4_ л
р р2
xexp
М Т(ар, л)-/ / T о о
хсо^^м^-^ / —x^ //х
п ^x о о
ю( , р2)р^^^dx,
о
a2h2
1 + x2
Sl2 d + 82 рf I 2 2 2
р1 р2,
где а2 = 2^ — коэффициент, определяемый видом сигнальной конструкции; ю(Р1, Р2) — плотность распределения вероятностей, определяемая (5). Внутренний интеграл можно представить в виде
I -
¥¥
tW/'
1-Р
' р1р2 х
exp
ст Р-Р ) о о
Л2 (1 + х2
ст2 (1-Р2
р2-
B2 (1 + х2
ст2 (1-Р2
Р р1 р2
1-Р2 ст2
с1р^р2,
а282 а282
где А2 - —1 h2; B2 - —2 h2. Используя таблич-р12 р22
ный интеграл [5]
¥ ¥
//x/ymexp{-px2 - qy2} In(axy)dxdy- A'n m,
о о
*1
p, q, 4 pq- a2 > о, A^'1 -
4 pq - a
интеграл I после элементарных преобразований
можно свести к виду
I-
1
1+ ст2 (А2 + B2 ) + x2) + ст4 Р-р2')А2В2 (1 + x2
2
где Д2 = ст2 (2 + B2 j- )h2 р2 + 82 ),
Л2 = ст4 (1-р2) A2B2 - (1-р2)1282g2h4.
¥
В итоге
мл
'(ар J1+
+ ^ 1 + Д2 ( + х2)+Л2 ( + x2
-dx.
Очевидно:
1 + Д2 (і + x2) + Л2 (і + x2 )_
1+1Д2 (і + x2 2
- d(+x2 )_
1 + 1 2 < (1 + x2 )1 1 + 1 д2+4D (1 + x2 )
2 \ ! 2 \ !
где
О = 1Д4 - Л2 = 1 д>Н4 |( - 52)2 + 4р252521 > 0.
В результате получаем
МТ(ар, г|) = /~1*~ 2)(, 0, Ь], Ь>2, л), где специальная интегральная функция в общем случае определяется как [4, 5]
}(, {Ь }!=1, л) =
^ „л
П1-^)Р & П(
exp
-1 (і + x2 )^-^и
^ 't11 + b/x2
П(1+b/x2 /_1
x, О < b- < 1, p > О,
где запись {х/ }/_1 означает совокупность X переменных, т. е. {х/}|_1 = (, ..., х/, ..., . В данном
2 Д2 /2 + у[й 2 Д2 /2 — 4о
случае Ь _-------2------/=; ^2 _
1 + Д2 /2+То’ 1 + Д2 /2 — 4о'
Окончательно получаем, что при использовании разнесенного приема (X = 2) в канале с реле-евскими коррелированными замираниями и метода оптимального сложения усреднение Т-функ-ции может быть вычислено на основе формулы МТ(ац, л) = Н(х = 2)(0, 0, Ъ-±, Ъ2, л), где
.2 _ 5^(1- 82, р))2 1 + 50(81, 82, р))2
0( 82, р)_2^82 + 52 + ^( — 82)2 + 4р252521;
ь2 _ д0*(1,82, р))2
1 + дО* 82, р))2'
0*81, 82, р) _ 22^82 + 82 — ^( — 82)2 + 4р28282 |.
Поскольку Q(-|, s2, р ) (8-|, S2, р) = ( - р2)^, то коэффициент b2 можно представить в виде
2 g(- р2 )^s2^2
b Q(8-|, S2, р)+ g(- р2^^fSjlh2
Если при сдвоенном приеме присутствуют коррелированные неоднородные замирания, описываемые (4), то тогда приведенные выше результаты будут также справедливы. Действительно, нетрудно убедиться, что в этом случае
Д2 (2 Л2 + ст^В ) = gh2 (2 + S2);
Л2а2а2 (1 - р2) А2Е2 = (1 - р2 )12s2g2h4,
т. е. коэффициенты Д2 и Л2 не изменились несмотря на то, что начальные моменты второго порядка в каждом канале разные.
Метод автовыбора
В практике радиосвязи при разнесенном приеме может использоваться метод выбора ветви по максимальной мощности сигнала. Основная идея метода автовыбора (Selection Diversity Combing — SDC) заключается в выборе по какому-либо признаку наиболее надежной ветви. Рассмотрим основные этапы вычисления вероятности ошибки при использовании в системе схемы автовыбора, которая является подоптимальным методом приема. Предположим, что каждая ветвь имеет решающую схему такую же, как при одиночном приеме, но окончательное решение принимается по той ветви, мощность принимаемого сигнала которой наибольшая.
Рассмотрим два основных случая — независимые и, соответственно, некоррелированные замирания в отдельных ветвях (для произвольного числа ветвей L) и коррелированные замирания при числе ветвей L = 2.
Пусть ц = тахМ-; — максимальное значение /=1, L
коэффициента передачи в L каналах приема. Если прием осуществляется методом выбора канала с максимальным коэффициентом передачи, то средняя вероятность ошибки может быть определена как [1, 2, 6]
¥
MPe/b = / Pe/b (m)®SDC (м)Ф
0 e/b
где Ре/Ь(ц) — символьная (битовая) вероятность ошибки при одиночном когерентном (некогерентном) приеме в канале с постоянным коэффициентом передачи, равном ц; ц = тахМ/ — максималь-
/=1, L
ное значение коэффициента передачи в L кана-
лах приема; ю^^с(ц) — плотность распределения максимального коэффициента передачи. Таким образом, схему автовыбора по максимуму коэффициента передачи можно рассматривать как схему одиночного приема при максимальном коэффициенте передачи ц.
Функция распределения максимального значения коэффициента передачи ц определяется как ^с(ц) = Р(ц < ц, ..., < ц), т. е. как ве-
роятность того, что максимальное значение среди всех цг, I =1, меньше некоторой вели-
чины ц = тахЦл Если коэффициенты передачи 1=1, L
в различных ветвях независимы, то тогда функ-
L
ция распределения Г$рс(ц) = Пг|(ц)>
___ 1=1
I =1, L — 1-я функция распределения вероятности коэффициента передачи в 1-й ветви. Отсюда следует, что плотность распределения вероятности, получаемая дифференцированием функции распределения, определяется как
L L
юЭйС (ц) = £ю1 (ц) П Гк (ц)-1=1 к=1, к^1
При статистической однородности независимых каналов справедливо тождество FsDc(ц) = FL(ц). Следовательно, в этом случае очевидно, что плотность распределения вероятностей ю sDc(ц) = = Lю(ц)FL - 1(ц).
Независимые (некоррелированные) ветви. Пусть коэффициенты передачи в различных ветвях независимы и, следовательно, некоррелирова-ны и распределены по закону Релея: Г/(ц) = 1 —
.2 , _______
I = 1, L- Тогда для независимых ре-
ехр
Ц
2а2
леевских замираний с разными среднеквадратичными значениями коэффициентов передачи
юЭйС (ц) = £-^Т ехР /=1 а1
Ц2 - Ц2 її
Ц 2а2 п к=1, к^/ 1—ехр Ц 2ак
■ (7)
2 2
Для статистически однородных каналов а | = а ,
/ = 1, —, и, следовательно:
ю
ЭйСЫ = —“Г ехР
2 2 її
Ц 1 - ехр Ц
2 2
2а2 _ 2а2
—-1
■ (8)
Используя бином Ньютона, данную формулу можно переписать в виде
--1 (-1
5ЭйС (ц) = — £
/ (к +1
к=0
ехр
к +1
—-1
2а2/ (к +1)
(9)
Соответственно, второй начальный момент определяется как
= 2а2—£
т2, - = ^ц2|ЮЭйС(ц)Ф = -1
0
к=0 (к +1)
—-1 к
= 2а2 £ 1 = 2ст2Э—, к=1 к
так как [7]
к
(-1:
£
к=0 (к +1)2
л /7+1 л
—£— 7+1 к=1к
1 С + у^(п +2) 1
7+1 ,
п + 1 п + 1
где у(-?) = Г^)/Г(г) — пси-функция; Г(г) =
¥
= ^^—1 ехр(—Г)<^Г — гамма-функция, Шг > 0; 0
С = 0,577 215 664 9 ... — постоянная Эйлера.
Применяя ^-функцию, усреднение 7-функции по плотности распределения (9) можно представить в виде
МТ(
(аЦ п) = /Т(аЦ п)юЭйС(ц)Ф :
—-1
= — £
-1
к=0
к +1
—-1
Н1 ( ьк+1' п). (10)
а2а2/к к+ а2а2 1+ а2а2//с
к =1, L, и специальная интегральная .^функция определена как [4, 5]
а2а2
где введено обозначение =
Н( Ь, ,) = ^ / і ( 2- *01 + х2 (1 + Ь
Ь2х2
ехр
2° 1 + X2
2 1 + Ь2х2
dx, Ь2 < 1.
Если воспользоваться определением Д^функ-ции, то (10) можно преобразовать к другому виду. Действительно, после несложных преобразований получаем
п
м . . '
0
IТ(ац, п) = — 2-/-^у 2- ^ 1 + х2
—-1
- £(-1) к=0
—-1
к
1
к +1 + а2а2 + а2а2х2 Воспользовавшись соотношением
dx.
£(-1
к=0
1
п!
к+ а а(а + 1)...(а + п)
после несложных преобразований, предполагая в предыдущей формуле, что а = 1 + а2а2 + а2а2х2, получаем соотношение
0
х
М 7(аЦ, л) = ^ П(- Ь2
л л
/—
і 1 +х
1
0 ' + ^11 (1 + №
к=1
йх,
(11)
2 а2 ст2 / Л ____
где Ьк =-------^5-----, к = 1,—. Окончательно при-
1 + а ст / к
ходим к тому, что при разнесенном приеме и статистически однородных релеевских замираниях в каналах
М Г(аЦ, л) = ^ (( , {О}^, [Ь,^, [Ь,^, л
= [Ь/^ л) (12)
где специальная интегральная 5(і)-функция определяется как [4, 5]
5(1!) ({, }=,{, }}=1, К, }}=1, {, }=,л =2; / т+? -
/=1^ + ЬІІх^^1+Ь1 Iх2
4/ 1 + х2 4 / 1 + х2
2 + Л52 Ч2 2 1 + ь2, х
: ехр
В частности, если л = “, то
йх.
£-1
I 1-1 (—1)к
М0М =-2 2^1к+Г,
£ 1-1
= ! Е(-1)' 2 к=0
1
1-I-1 к
2 2 а ст
к +1 + а2ст2
к +1 + а2ст2 + V а2ст2 V к +1 + а2ст2
А (-1
Если воспользоваться формулой £
п
к=1
к +1
(13)
п +1
также в виде
, то первую часть (13) можно переписать
МО(ац) = 1 Ь-
2 I £0 к+1
' I-1' 1 а2ст2
к V к +1 + а2ст2
Для получения формул вероятностей символьной (битовой) ошибки Ре!Ь при разнесенном приеме остается преобразовать выражение для Ь^.
2 а2ст2 / к
Ьк =
= 2дН2сст2 / т , |
1 + а2ст2 / к к + 2дН2>сст2 / т , |
- д^2с к =17!,
к5! + д^>с
так как
2ст'
2
I 1
= 5-1, гДе 5! = £ -.
т2, - к=1 к
Примечание. Рассмотрим статистически неоднородные каналы при независимых (некоррелированных) релеевских замираниях. Для упрощения дальнейших выкладок ограничимся вначале случаем Ь = 2:
Ю50С (ц) = -^т ехр ст1
2 2 '1
Ц 1 - ехр Ц
„ 9 9
2ст-| 2ст2
А.
ст2
■-2 ехр
Ц
2ст2
1 - ехр
ехр
ст1
2ст2
А.
ст2
--2 ехр
2ст2
2ст2
' 1 1 ' 1 ' 1 1 ' 2
_2 + _2 Ц ехр о _2 + _2 Ц
Ст1 Ст2 2 Ст1 Ст2 0
В результате начальный второй момент ш2 = 2 2
п 2 п 2 2СТ1СТ2 2 2 2
= 2ст1 + 2ст2-----2 ' 22 , и при ст = ст1 = ст2, как
ст-, + ст2
и следовало ожидать, ш2 = 3ст2. Математическое ожидание Г-функции, как нетрудно определить, равно М Т(ац, л) = Н (, 6*, л) + Н\(о, Ь*, л) -- Н1 (о, 6*2, Л, где
*2*
Ь\ =
а2ст2 1 + а2ст2
2 2 ^2* а ст2
; Ь2 =
9 9 :
1 + а Ст2
2* Ь12 =
2 2 2 а Ст1 Ст2
2 2 2 2' Ст1 + Ст2 + а Ст2
Пусть без ограничения общности с/2 = ст2 / ст2 < < 1. Тогда второй начальный момент можно
(1 + с2) - с2
записать в виде т = 2ст2
1+<2
= 2ст1§ (?) =
- 2ст28(<т)/ <?. В результате, учитывая, что а2 = = 2дНьс/ гг2, выражения для коэффициентов Ь*, Ь*, Ь*2 можно преобразовать к виду
а2*
Ь2 =
д^Ьс
• а2*
Ь2 =
<2д^2
Ьс
8(д)+дНьс’ 8(<)+<2длйс’
2* Ь12 =
<2д^2
Ьс
'1 + д2 )%)+<2длй,
Ьс
X
Данный вариант можно обобщить. Действительно, введем обозначение для релеевского распределения: юд(ц, а) = ацехр(-а|а2/2), тогда начальный момент второго порядка определится как т-2 Е = 2/а. Таким образом, плотность распределения вероятностей после несложных преобразований можно привести к виду
®ЭйС(м) = Е (^ ё)- Е ЮР!( ) +
1</<Ь 1</<у<£.
+ Е mR ( ('+ёк)----, (14)
1</<У<к<^
где ё I = 1 /ст^, /=1, /., и начальный момент второго порядка
^ 1
т2, ЭйС = ГН-2®ЭйС(^Н- = 2 Е ё------
П 1</<^
- 2 Е
2 Е
1</</<£
ё/ +
1</<и<к<^ ё/ + + ёк
После несложных преобразований математическое ожидание 7-функции Оуэна можно представить в виде конечной знакопеременной суммы Д^функций
МЛ
(ац, ц) = іГ(ац, ц)со ЭйС(ц)ц :
= Е Н1 (ь, ц)- Е Н1 (0' ~Ьи' ц
1</<у<^
Е Ні(°' V' ц)--'
1</<^
(15)
1</<]<к<1
где Ь
29^Ьа
1 /2....................../р
т2, ЭйС(/1 + (( + — + ?/р ) + 25)
при 1 < ^ < ^2 < ... < Ьр < Ь.
Релеевские коррелированные замирания. Рассмотрим вариант релеевских коррелированных замираний сигналов (Ь = 2):
ц ц
(ц)=я ^
л л а 11
; ехр
ЭйС
2 2 ц1 + ц2
Ц1Ц2
0 0й ( Р РМ-1Ц-2
2а2 (1- р2
а2 (1- р2
^1^2.
Примечание. Рассмотрим функцию
гг г
™=Ж х, y)dxdy = ГС(х, z)dx, 0 0 о
г
0(К г) = ГГ(х, y)dy.
0
Используя дважды правило Лейбница дифференцирования интеграла, получаем
dz
іГ(х z)dx +^/(, у)у. (16)
Дифференцируя функцию распределения, используя ^^(ц) (16), получаем
3ЭйС (ц) = 2^ ехР
ц
2а2
О - р ц 1 ц
І1 р2 а 1 р2 а
[V1-р /1- р п
(17)
где ^-функция Маркума определяется как
С2 + х2'
0(х, у) = J ґ ехр
у
1° (хґ^ґ.
(18)
Применим формулу, связывающую ф-функ-цию Маркума и Д0-функцию [5]:
0(х, у) = 2 Н°
У- х
у - х
у + х
—ехр
2
х2 + у2
>0 (xУ), у > х
где специальная интегральная Д0-функция определяется как [5]
Н°(ь ^ /гг
01
х2
ехр
2 1 + 62х2
dx.
Плотность распределения вероятностей южс(ц) можно альтернативно представить как
ц ■■2
>ЭйС (ц) = 2^ ехР
ц
2а2
1- 2Н
ехр
ц2 1; р2 і р ц“
2а2 1 - р2
1 - р2 а2
В результате усреднение 7-функции сводится к вычислению интеграла
МЛ
(ац, ц) = іТ(осц, ц)юЭйС(ц)Ф :
= 2^1 - 4^2 - ^3'
где первый интеграл соответствует усреднению Г-функции по распределению Релея, второй интеграл — усреднению произведения Г-функции
0
0
и Д0-функции по распределению Релея, а третий — усреднению Г-функции по распределению Хойта:
^1 =
/Т(ац, л)
ц
ехр
Ц
2а2
ф;
^2 =
/Т(ац, л)с
р —, у, +¥ — -о ехр ц2 л 2 dц;
а а 2а2
/ Т(ац л)
ц
-у ехр
1 ц2 !о р ц2
1-р2 а2 1- р2 а2
ф,
л12дНьс / т;
; ^2 — началь-
где р2 = у = 1—-; а =
1 + р
ный момент второго порядка и коэффициент g определяется для конкретной сигнальной конструкции. Первый интеграл вычисляется на основе специальной интегральной ^-функции
Г/ Г\
^ = Н1
аа
о, , л
где интегральная Д^функ-
ция определяется как [4, 5]
Г _Л______________1
I 1 + х2 (1 + Ь
Ь2х2
ехр
z2 1 + х2
2 1 + Ь2х2
dx
Для вычисления J2 воспользуемся определением Г-функции Оуэна и ^-функции:
Л
1 г 1
(1 + х2
dx
ехр
ц2 -1 +¥ -1 1 Г 1 р ьо ■р ьо 1 + г2 '
2а2 2; / 1 + {2 еХр 0 2а2 1+у2^2
—L■
_2
dt
dц.
Изменяя порядок интегрирования, получаем
-1 Л . ¥ 22
, 1fdxf 1 + у г
^2 =-2 / -2 / 7-^где А = 1 +
4;2 *0 1 + х2 -0 (1 + г2)( + бг2)
+ р2 + а2а2(1 + х2); В = у2+р2 + а2а2у2(1 + х2).
Для вычисления внутреннего интеграла применим табличный интеграл [7] при п = 2:
Г—(б) dx =
{ (с1х2 + ^(сх2 + Ф)
= (А1а1 - б1с1) , {^1^2- б1с2) 1
2(с2с1- с2с1) 4^2(с1с2- с1с2)
где сЬ, йЬ > 0; с-й-Ф с-й-, Ь, / = 1, л, п = 2. Тогда
II Ь } } Ь
^2 =
1- Ь 8;
2Г_
I (1
х2 )(1 + Ь12х2
dx-
1- Ь2
2^ - ь2 ) л
1-Ь2)-ЬУ
8;
1
/>
х )(+ь2х2 )+Ь2х2) + ь2х2
^х,
где
2 2
2= а а . .2 = Ь , 22; у
2 2 а а
1+а2а2'
X =
;Ь2=-
2 2 2 а а у
1+р2+а2аГ ~у~у2 +р2 +а2а2у2’
. р2 =1у1у.
^+р2)+р2) 2
Используя ^-функцию и введенную в работах [4, 5] специальную интегральную 5(-)-функ-цию, окончательно получаем
^,=1 {(, Н л)-Х^=2)(о, 0,0,0, Ь1, Ь,, Ьр, Ьу, л
где
2 2
2= а а . .2 =
Ь1 1+ 2 2 ; Ьр
1+а а
2 2 а а
2
> ; Ьу
2 2 2
а а у
1+р2 +а2а^ у “у2 +р2 +а2а2у2'
Для вычисления третьего интеграла выделим в подынтегральной функции распределение Хойта
Ц
5 Ноуг(ц) = х
'ехрI-4
’ 1 1 ц2[ 1о 1 1 1 2
02+02 И ~2 ~2 ц
,ас а5 . 1 4 ас а 5 .
Тогда
а2 1- Р_2. а2 1 + Р_2._______V1 - Р2
ас = —;— а ; ас = —;— а ; аса 5 =-----------------
а2.
2 о 2 о о 2
Следовательно, искомый интеграл вычисляется с помощью 5-функции:
,/1-7 ¥
=
/Т(ац, л)® Ноуг(ц)Ф :
с
£-р25(0, с, Ьс, Ь5, л),
= а2а2 = (1 - р)а2а2 /2 _
2 2
где Ь., =
1+ а2а2 1+(1-р)а2а2/2 5 1+ а2ст‘
2_2 ,о’ “5
Ь2 =
2 2 а ас
-ч
(1+р)
а2а2 / 2
1 +(1 + р)а2а2 /2 функция определяется как [4, 5]
и специальная интегральная
с
с
X
с
0
5(с, ^- Ьс, Ьа, л) =
тр—Ы^ —Ь5
т.%
2 л -
^ Г _Л_____і
П1 + ^Я+Ь
і І2 і + Xі І2 і + х2
Ь + bЬxЬ ер 2 і + Ь^х2 2 і + ЬІх2 _
л/ї+ЬІх2 dx.
В итоге получаем
М 7(ан, л) = Н (0, Ь|, л) + -їл/і — р2 х
5^=2)(0, 0,0,0, {|, {|, Ьз, Ьу, л) - 5(0,0, Ьс, ь5, л)
где
І І І а ст
Ь1 =
і + а2ст2
; Ь| =
і і а ст
і + р2 + а2ст2
ЬІ =
Ь І , оі
а2ст2у2 ; .о = (і -р)а2ст2 /1
у2 + р2 + а2ст2у2 С і +(і— р)а2ст2 /1 ’
2 2
.2
Ь5 =
(і + р)а2ст2 /1
1 +(1 + р)а2ст2 /2
В частности, при некоррелированности каналов, т. е. при р = 0, получаем, что у = р = 1, % = 1/2 и, следовательно:
и = М 7(ац, л) = Н (0,6|, л) +
+ 2-5(/-=2)(0,0,0,0, Ь], Ь], Ь1, Ь1, л)-)5(0,0, Ь1, Ь1, л),
І І І а ст так как Ьі =
29^ьс
дЬіс
і + а2ст2 ті / ст2 + Ід^х;
= і2- = і2- = і2- = і2-І ЯЗ Ьу Ьс Ьв ■
&2 = У2
^2/ а + дЬЬс Для получения окончательных выражений, входящих в аргументы специальных функций, необходимо определить второй начальный момент при коррелированных замираниях: ш2 =
0
^ц.2Ю50С(н^Н = (і + (і—7р- Таким образом,
^д^с/ т , т = (2 +Ті— р2^2
учитывая, что а = -
и р2 = у = -—°, после несложных преобразова-
і+ р
ний получаем ЬІ = І9^Ь>с
2+Ті—р2 +І9hЬ(
1,2 _ 1,2 _ Ьу Ьс
. лі #,2
Ь3 =Ь5 =
О+р^с
2+д/і—р2 +(і +р) 9^
Ьс
(і—р) 9^4
І^х/Ї—р2+(і ^б^с
и, соответственно:
М 7(ац, л) = Ні (0, Ь], л) + ^\/і — р2 х 5^=2)0, 0,0,0, {, {, Ьр, Ьу, л)— 5(0,0, (, Ьу, л).
Примечание. Рассмотрим статистически неоднородные каналы с коррелированными релеев-скими замираниями при Ь = 2:
н н
Г5РС
(н)=Л
Ні Ні
0 0 ст2стІ (і— р2
: ехр
ііі—р2
Н12
Сті
НІ
ч
Ні Ні
і — р2 стісті
d Ніd Ні ■
Дифференцируя функцию распределения FSDc(н), получаем
®5РС(н) = -^2 ехр сті
Істі
і — О
Н
і
>/і—р2 сті’ л/і—р
— о2 стІ
стІ
ехр
н2 О — р Н і н
, Істі _ V і—р2 сті’ у/і— р2 сті
где Я(х, у) — функция Маркума. Ввиду того, что соотношение между аргументами ^-функции Маркума в данном случае может быть произвольным, необходимо использовать обобщенную формулу, связывающую между собой ^-функцию Маркума и Д0-функцию [5]:
0(х, У) = 11 (1 - 8ёп(У- *)) + 2 йИп(у- х) Н0 х
У — х
У + х
ехр
у> 0, х > 0.
Xі + у2
10 (xy),
Без ограничения общности можно полагать, І І І І І
что с/2 = ст2 /ст-| < і, тогда ст-| > сті и р < 1 < с^/с^.
В результате после несложных преобразований Н
а5йС (н) = —і ехР сті
н2 9 і +— і + sgn С-—р|
Істі. 2 сті І
ехр
ст2
Істі
Н
—і—і ехр ст1
2 сті
Н0
Н ' і
иі—р2 . ст2
Р_ , ^ —рсті, +¥ —2sgn -—р1
сті. сті +рсті . сті ,
А.
ст2
с—2 ехр
2сті
Н0
р сті—рсті
^і—р2 сті стІ сті ++1
_2_ і_ сті+сті
сті сті
Нехрі
сті+сті
сті сті
і—р2
к
Н
і—р2 стісті
Усреднение функции Оуэна по данной плотности распределения принципиально не отличает-
X
ся от усреднения, проведенного для статистически однородных каналов. Первые два слагаемых представляют собой релеевские распределения с различными дисперсиями. Третье и четвертое слагаемые соответствуют усреднению произведения Г-функции и До'функции по распределению
О и р 1-Яр 1-Яр
Релея. В этом случае Р1 = —.—-—, у1 = ■
” 1+ ЯР
я!1-Р
Я - р я - р
и, соответственно, Р2 = 1 , У2 =——. Даль-
71-р2 я+р
нейшие преобразования для усреднения произведения Г-функции и До'функции очевидны. Действительно:
2
%1 =
%2 =
Р2
1- р2Я2
,/(1 + Р?)(у? +Р?)(1 + Я2)2-4рУ
р2
з2 - Я2
Т(1+ р2 )(у2 + р2 )( + Я2 )2 - 4р2^
Для выделения распределения Хойта составим систему уравнений, решая которую получаем
1 1 1 (Я2 + 2 яр);
*2 * 2 2 ас 1-р а2
1 1 1
“"*2=1 Т2~2
1 + Я2 - 2яр)
_*2 1 ,^2 _2 '
а5 1-р а2
Дальнейшие преобразования, необходимые для нахождения MГ(ац, л), легко осуществить, используя материал, приведенный выше для статистически однородных каналов связи. В итоге после несложных преобразований
(а^ л) = /7(а^ л)®50СЫФ :
М7
= 2 { (0, {, л)+ Н (0, 62, л +1 {%51( ^2) (0, 0,0, 0, (*, 6*, ь*, 1, 6*, 1, л Я - р)х52(^=2)(0,0,0,0,(*,6*, 6*, 2,6*, 2, л)}-
- 2(1-р2
1 + Я 5(0,0, ьс, 6*, л),
1 + Я2 )2 - 4р2Я2
где а2 = 2дЬ"с /т*;
2 2 2 2 *2 а а1 ,*2 а а2
61 = “-; Я? =
9 о :
1 + а а-]
9 9 :
1 + а а2
2 2 2 2 л*2 _ а а1 . и*2 _ а а2
6р, 1 = * г>2 2 2 ; 63,2 =
1+ р2 + а2а2
1+ р2 + а2а2
А* 2 _
6У,1 = “2
2 2 2 а а1 У1
У1 + р2 + а2а2у2
А* 2
6У, 2 = ~~2
2 2 2 а а2У2
а* 2
6с =
2 *2
а ас .
л , 2 *2 : 1 + а ас
1*2 6з =
у2 + р2 + а2а2у2 ’
2 *2 а а5
л , 2 *2 '
1 + а а5
а коэффициенты р1, у1, % и р2, у2, %2 были определены выше. Для получения окончательных выражений необходимо преобразовать эти коэффициенты и рассчитать начальный момент второго порядка т*. Для вычисления т* при различных, в общем случае, 12 и 22 воспользуемся соотношениями, приведенными выше, для вычисления начального второго момента при а2 = а2. В итоге получаем
т* =2а2 + ^1 + (я— р))-4а2 х
Н*
С1, у1р
у2+р2 11+р21
-4(я -р)а 2х
Н*
где
0, у2р
у2+р2 ! 1+р2 ‘
-2а|
1-р2)(1
Я2
1 + Я2)2-4р2Я2
3/2 '
у1
+ р2 = I1 Яр) 1 + Я2 + 2ф;
1+р2 (1+яр)2 1+я2 - 2яр;
у2+р2 = (я - р)1+Я2+2Яр 1+ р2 (я + р)21 + Я2 - 2Яр
и 0 < р < 1, 0 < д < 1.
Пример 1. Рассмотрим сигнальную конструкцию квадратурной амплитудной модуляции (М-КАМ). Известно, что средняя вероятность битовой ошибки может быть представлена в виде [5]
1 -[М-1 ,-------
р6 = к Ё а2J—1^Т2д2-£ы
>1
Ъс
где к = 1оё2М; д^-1 = (2/- 1)223.1°!2Л^^; ц
Здесь 2(М -1)
2
*6с '
(19)
‘-6с
N0.
а1 = 4
1-
4М
аз =4
1-
а = 0; ад = 4
4м
а11 =4
а5 =
1 2
4 ;
4М'
4
л/М
а13 = -4
л/М
а15 = -4
Например, для КАМ-16 а1 = 3, = 2, а5 = -1,
а для КАМ-64 — а1 = 7/2, аз = 3, а5 = -1/2, а7 = 0. В результате при использовании метода оптимального сложения и разнесенного приема (Ь = 2) в канале с релеевскими коррелированными за-
0
мираниями вероятность ошибки будет определяться как
г>МР!С 2
Р = к
4М—і
Е аи-іН\~ 2)[°,°, Ьі,2у—і, Ь2,2у—1,
>1
где для 0 < р < 1 и 0 < 52 < 1
,2 = д2у—10(5, р)Ьс/ 1^ ;
,гу—Л~1 + 92у—1«(8, р)^/ ^ ’ 1— р2 )829у—Ас / ^
lЬ,lj—і =
0(5, р) + (- р2 )5252^^ьс /
0(5, р) = 1 ^ + 52 + ^1- 52 )2 + 4р252 |.
Соответственно, при использовании метода автовыбора и разнесенного приема (Ь = 2) в канале с релеевскими коррелированными замираниями вероятность ошибки будет вычисляться на основе соотношения
р5°С = К Е у {Ні (0, *і,іу—і.
■ІМ—і
к
У=і
+ ^Ті— рІ ^ 2)(0, 0, 0, 0, Ь1,Іу—і, Ь1,Іу—і,
Ь3,Іу—і, Ьу,Іу—і, + ¥)— 5(°, 0, Ьз,Іу—і, Ьу,Іу—і, +¥)]},
где для 0 < р < 1 Ь1ІІу—і =
(і+ р)дІу 1НЬс / ^
Ь3, 2/—і = Ьііу—і =
Ьу, іу—і = Ьі,іу—і
2 +7і—рІ +(і+іїяу-Ас/
_____(і— р)9іу—Ас / _______
2 + 7і — рІ +(і— р)5Іу—і^Ьс / ^ Пример 2. Рассмотрим сигнальную конструкцию фазовой модуляции (М-ФМ). Средняя вероятность битовой ошибки может быть представлена в виде [5]
М/4
у=і
І . (2/—і)тг (ІУ—і)л
и , Sln3------— ---------—
М
М
+ М0
М
где Нт = ^т / Л/0 = Ес / Л/0 = ^ и для всех І =
= і, М/4, М > 8
ю
.- = — Еі/+і(—і)ік+і—/ = — Е і (—і
' М у ЛІ М =1 '
/=3 /=1
у—і
8
К—І
(у—і)
і/+і' м .
В итоге при использовании метода оптимального сложения и разнесенного приема (Ь = 2) в канале с релеевскими коррелированными замираниями вероятность ошибки будет определяться как
М/4 ( 2
г>МР!С _ 1
Р = к Е
ку=і
0,0, Ь1, у, Ь2, у,
(2у — 1)л
М
+-Н°^ 2)[0,0, Ь у, Ьі у, + оо|
М 1 ё ^ і
где для 0 < р < 1 и 0 < 52 < 1
9у0(5, р)^ / ^
АІ
Ьу =
1 + 9,0(5, р)^ / 1—р2 ^
0(5, р) + (1— р2 І)9уНІс /
9у = log|Msin
М
0(5, р) = 1 ^ + 52 + ^1- 52)+ 4р2521.
Соответственно, при использовании метода автовыбора и разнесенного приема (Ь = 2) в канале с релеевскими коррелированными замираниями вероятность ошибки будет вычисляться на основе соотношения
-,50С 1
М/4
у=1
0,
(2у—1
М
5°^='
=2'
0,0,0,0, Ьі,у, Ьі,у, Ьз^_у-, Ьу,
--V-—рр
(2/—1)^
у
М
— 5
°,°, Ьз^_у-, Ьуу
(?у — 1)л
М
+16 {Ні (0, Ьі ,у,+¥)+)і—рІ х
5("=І)(0,0,0,0, Ь1^_у , Ь1^_у , Ьру, Ьу,у, +¥)-
— [5(0,0, Ьз^_у-, Ьу^_у-, +с где для 0 < р < 1
Ь9Ас /
.2
Ьу =
(і + р) ЯуіїЬс / ^
ьЬ - ьЬ
ЬуУ = Ьсу =
2 + V1 — рІ +(1 + р) 9уНЬ>с / (1— р) 9уНЬс / ^
2 ^ V1 — рІ +(1— р)9/'h|c /
х
Используя результаты, приведенные в работе [5], подобные исследования можно провести для других сигнальных конструкций.
Заключение
Разработаны методики анализа помехоустойчивости когерентного разнесенного приема многопозиционных двумерных сигнальных конструкций, в общем случае с коррелированными релеев-
Литература
1. Андронов И. С., Финк Л. М. Передача дискретных сообщений по параллельным каналам. — М.: Сов. радио, 1971. — 406 с.
2. Кловский Д. Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1982. — 304 с.
3. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. — М.: Сов. радио, 1970. — 727 с.
4. Савищенко Н. В. Помехоустойчивость когерентного приема многопозиционных сигнальных конструкций при разнесенном приеме и общих замираниях параметров канала // Информационно-управляющие системы. 2008. № 1. С. 37-42.
скими замираниями в каналах связи, и использования на приеме методов оптимального сложения и автовыбора. Приведенные примеры для сигналов фазовой и квадратурной амплитудной модуляции позволяют оценить энергетический проигрыш при переходе от метода оптимального сложения к методу автовыбора. Так, при использовании сигналов 8-ФМ и 16-КАМ энергетический проигрыш оценивается величиной 3,266 дБ (при средней битовой вероятности 1010).
5. Савищенко Н. В. Специальные интегральные функции, применяемые в теории связи. — СПб.: ВАС, 2012. — 560 с.
6. Zlatanov N., Zoran Hadzi-Velkov, Karagiannidis G. K. An efficient approximation to the correlated Naka-gam-m sums and application in Equal Gain Diversity receivers // IEEE on Wireless Commun. Jan. 2010. Vol. 9. N 1. P. 302-310.
7. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981. — 800 с.
