Восстановление вероятностных распределений стохастических радиолокационных изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

О.В. Шестаков1

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ*

В работе рассматривается задача восстановления вероятностных распределений случайных функций, описывающих изображения, динамически формируемые из сигналов, получаемых радиолокационными станциями синтезированной апертурой. Для определенного класса случайных функций доказывается единственность решения этой задачи и разрабатывается метод восстановления.

Ключевые слова: случайные функции, сферическое преобразование Радона, радиолокационные изображения.

1. Введение. В задачах формирования изображений из сигналов, получаемых радиолокационными станциями (РЛС) с синтезированной апертурой (см. [1]), волновой фронт, излучаемый антенной радара, имеет сферическую форму, поэтому полученный сигнал при данном положении антенны и в данный момент времени представляет собой интеграл от коэффициента отражения во всех точках,

1 Факультет ВМК МГУ, ст. преп., к.ф.-м.н., e-mail: oshestakovQcs.msu.su

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 08-01-00567).

12 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3

в которых волновой фронт встречается с поверхностью объектов на местности. Положение антенны обычно меняется со временем вдоль прямой линии, поэтому эту координату принято называть "медленным временем", а интервал времени между передачей и получением импульсного сигнала принято называть "быстрым временем". Если геометрия местности планарна, то множество всех точек пересечения волнового фронта с объектами на местности представляет собой окружность (см. [1]). Поэтому задача формирования изображения может рассматриваться как задача обращения сферического преобразования Радона (см. [2]). По аналогии с классическим преобразованием Радона будем называть сигнал, полученный при фиксированном положении антенны, сферической проекцией, т. е. сферическая проекция представляет собой функцию "быстрого времени" при фиксированном значении "медленного времени".

В работе [3] показывается, что функцию нельзя однозначно восстановить по ее сферическим преобразованиям Радона, если центры окружностей интегрирования лежат на прямой (сферическое преобразование Радона любой функции, нечетной относительно этой прямой, равно нулю). Однако в РЛС с синтезированной апертурой либо используется однонаправленная антенна (и поэтому функцию можно считать тождественно равной нулю в полуплоскости, лежащей по одну из сторон относительно прямой, на которой лежат центры окружностей интегрирования), либо используются две антенны для различения полуплоскостей (см. [4]). В любом случае это позволяет считать функцию коэффициента отражения четной относительно прямой, вдоль которой движется антенна (будем полагать, что эта прямая совпадает с осью ОХ).

В ряде приложений функцию, описывающую коэффициент отражения, необходимо считать случайной (например, если объекты на местности перемещаются случайным образом). При этом основной особенностью является то обстоятельство, что состояния (реализации) функции меняются случайным образом во время процесса получения сигналов радара. Это приводит к тому, что восстановление даже одной реализации случайной функции обычными методами невозможно. Основной интерес в такого рода задачах представляют собой вероятностные характеристики функции, описывающей коэффициент отражения.

В работах [5] и [6] рассматривается задача определения вероятностных характеристик двумерных случайных функций в модели классического преобразования Радона. Показывается, что в общем случае эта задача характеризуется сильной неоднозначностью, и содержательные результаты удается получить лишь в том случае, когда случайная функция имеет не более чем счетное число состояний. В работе [7] для класса таких функций разрабатывается метод восстановления распределений двумерных случайных функций.

В данной работе мы также предполагаем, что случайная функция, описывающая коэффициент отражения, имеет не более чем счетное число состояний, и разрабатываем метод восстановления ее распределения по распределениям сигналов, полученных РЛС с синтезированной апертурой (сферических проекций).

2. Основные определения и вспомогательные утверждения. Пусть коэффициент отражения описывается функцией /(ж, у) € Со°(112), четной по второй переменной. Будем полагать, что носителем функции /(ж, у) является круг II единичного радиуса с центром в начале координат. Определим сферическое преобразование Радона от функции /(ж, у) как интеграл по окружности радиуса г с центром в точке 0):

}{х,у)йх(1у.

(ж—*)2+|/2=Г2

Это определение можно переписать в следующей эквивалентной форме:

2тг

(1)

0

В настоящей работе мы рассматриваем следующую задачу. Имеется двумерная случайная функция £(ж, у) вида

С(ж,у) = 1и(х,у), (2)

где fi (ж, у), /2 (ж, у), ... — последовательность интегрируемых функций, определенных в круге U, а V — случайная величина, принимающая целые положительные значения. Вероятностная структура £(ж, у) полностью определяется набором

(/1(ж,у),/2(ж,у),... ;pi,p2, • • ■),

00

где pi = Р(£(ж, у) = /¿(ж, у)), ¿ = 1,2,..., ^ pi = 1. Распределение £(ж, у) будем обозначать через а

г=1

распределения ее сферических проекций (при фиксированном t) — через P^t). Требуется определить распределение по распределениям P^t) для t G Т, где T — некоторое подмножество R.

Прежде чем обратиться к этой задаче, рассмотрим вопрос о том, каким должно быть множество Т, чтобы задача обращения преобразования (1) имела единственное решение. Справедлива следующая теорема (см. [2]).

Теорема 1. Пусть функция /(ж,у) G Cq°(R2) четна по второй переменной и Rf(t,r) = 0 на открытом множестве UPt£ = {(t, г) : \t — io| < е, 0 ^ г < р}. Тогда /(ж, у) = 0 на открытом множестве Vp = {(ж,у) : |ж —¿о| + У2 < Р2}- В частности, если Rf(t,r) = 0 в полосе {(t,r) : \t — io| < е, 0 ^ г < оо}, то /(ж,у) = 0.

Доказательство. Определим функцию

г г 2ж

G(t,r) = j Rf(t,s)ds = J J f(t + s cos в, s sin dOds = J J f(t + x,y)dxdy.

0 0 0 x2+y2^r2

Имеем

G't(t,r)= J J fl(t +x,y)dxdy = J J fx(t +x,y)dxdy = ^ J J f(t + x,y)xdxdy,

x2+|/2$Cr2 x2+|/2$Cr2 x2+y2=r2

где при переходе к последнему интегралу мы воспользовались интегрированием по частям и учли четность функции /(ж, у) по второй переменной. При этом от интегрирования по кругу {(ж, у): ж2+у2 ^ г2}

мы перешли к интегрированию по окружности {(ж,у): ж2 + у2 = г2}. Пусть д(х,у) = ж/(ж,у). Имеем — ......

о о

= tRf(t, г) + Ц f(t + x,y)xdxdy = tRf(t,r) + rG't(t,r) = Dx(Rf)(t,r), (3) ж2_|_^2=г2

т.е. R(xf)(t,r) = Dx(Rf)(t, г), где линейный оператор /).,. определяется выражением (3). Повторяя рассуждения, для любого многочлена р(х) получаем R(p(x)f)(t,r) = p(Dx)(Rf)(t,r). Далее

Г -

R(p(x)f)(t,r)=p(Dx)(Rf)(t,r)= Л f(t + x,y)p(t + x)dxdy = 2r Jp(t + ж)dx.

Х2+у2=Г2 -г

Если Rf(t, г) = О при (t, г) G то p(Dx)(Rf)(t,r) — 0 при (t, г) G Up^e. Следовательно,

t, s f(t + ж, л/г2 — ж2) ,

p(t + x)^- ' -- dx = 0 (4)

\/ / - — .rJ

—г

для всех (t, г) G UPt£ и любого многочлена р(ж). При фиксированных ¿иг выберем последовательность многочленов рп(х) так, чтобы pn(t + ж) ^ f(t + ж, л/г2 — ж2) равномерно при |ж| ^ г. Тогда из (4) следует, что /(ж, у) = 0 на множестве

Чтобы получить второе утверждение, достаточно устремить р к бесконечности. Теорема доказана. Используя теорему 1, можно показать, что распределение двумерной случайной функции вида (2) полностью определяется распределениями сферических проекций, а именно имеет место следующая

13 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3

Теорема 2. Пусть случайные функции £(ж, у) и г](х,у) имеют вид (2) и

-Pt(t) = Pn(t)

для всех t € Т, где Т — любое подмножество R положительной меры, тогда

/ £ = Prq.

Доказательство. Идея доказательства в основном повторяет идеи аналогичной теоремы в работе [5]. Не ограничивая общности, можно считать, что Т = {t € R: |i — io| < Для некоторого to € R и некоторого е > 0. Предположим, что 1\ ф Рп. Это означает, что существует функция /(ж, у) с носителем в круге U, такая, что

Р(£(х,у) = /(ж,у)) ф P(rj(x,y) = /(ж,у)).

Обозначим через fi(x, у), /г(ж, у), • • • значения случайной функции £(ж, у), отличные от /(ж, у), и через <7i(ж, у),у),... обозначим аналогичные значения г](х,у) (таким образом, /(ж, у) ^ /¿(ж, у) и /(ж, у) ^ <7г(ж, у), г = 1,2,...). Для каждого фиксированного г = 1,2,... пусть А* обозначает множество всех t € Т, для которых

Rf(t,r) = Rfi(t,r),

и соответственно И, — множество всех t € Т, для которых

Д/(*,г) = Д5г(*,г).

Каждое из множеств Aj и И, имеет меру нуль. Если для некоторого г это было бы не так, то Rf(t, г) совпадала бы с Rfi(t, г) или с Rgi(t,r) на подмножестве Т положительной меры (т.е. в некоторой полосе {(i, г): |i — t'\ < 5, 0 ^ г < сю}), и в силу теоремы 1 это влекло бы за собой совпадение функции /(ж, у) с функцией /г(ж,у) ИЛИ С функцией 5г(ж,у). Таким образом, множество

оо

с = (j(^U^)

г= 1

имеет меру нуль, следовательно, множество Т\С непусто. Возьмем произвольное t € Т\С. Поскольку для этого t выполнено Rf(t, г) ф. Rfi(t, г), i = 1,2,..., следовательно,

P(mt,r) = Rf(t,r)) = Р(С(ж,у) = /(ж, у))

и аналогично

P(RV(t,r) = Rf(t, г)) = Р(ф,у) = /(ж, у)). Полученное противоречие доказывает теорему.

3. Группировка сферических проекций. Как следует из предыдущего пункта, если случайная функция принимает не более чем счетное число состояний, то возможно восстановить ее распределение, зная распределения сферических проекций на множестве Т положительной меры. В этом пункте будет разработан метод разделения множества зарегистрированных сферических проекций на группы, соответствующие различным состояниям случайной функции. Для удобства будем полагать, что Т представляет собой некоторый отрезок [ii, ¿2] •

Для простоты рассмотрим класс функций, имеющих всего два состояния. Обобщение на любое конечное число состояний очевидно, а для случая счетного числа состояний можно произвести процедуру "усечения" распределений сферических проекций так же, как это делается в [7].

Пусть случайная функция £(ж, у) принимает значения fi(x,y) и /2(ж, у) с вероятностями pi и р2 соответственно. Предполагается, что известны распределения сферических проекций для всех фиксированных t G [¿1,¿2] (для каждого t G [¿1,^2] известны функции Rfi(t,r), г = 1,2, являющиеся проекциями функций /¿(ж, у), / 1.2. и реализующиеся с вероятностями pi и р2). Причем, вообще говоря, заранее неизвестно, какому состоянию случайной функции соответствует данная реализация сферической проекции (Rfi(t,r) может быть проекцией /2(ж, у), a Rf2(t,r) — проекцией fi(x,y)). Необходимо распределить функции Rfi(t,r), г = 1,2, для всех t G [¿1,^2] по группам так, чтобы каждая группа состояний проекций относилась к одному состоянию случайной функции.

Если р1 ф Р2, тогда распределение по группам можно произвести на основании вероятностей состояний проекций (для всех £ € значение Дреализующееся с вероятностью р\, относится к первой группе, а значение г), реализующееся с вероятностью р2, — ко второй).

В случае, когда р\ = = 1 /2, метод группировки проекций основан на использовании некоторых свойств сферических проекций.

Лемма 1. Пусть 11/(1, г) — сферическая проекция функции /(ж, у), имеющей носитель в круге II, тогда интеграл

сю

(г) = J г2кЕ/(1, г)йг, к = 0,1..., (5)

о

называемый 2к-м моментом сферической проекции Д/(£, г), представляет собой многочлен от I степени не выше чем 2к. Доказательство.

СЮ СЮ 2-7Г

J г2кЕ/(1,г) <1г= ! Г2к I ¡(г + гсо8в,г8шв)гйвйг =

сю сю

((ж - г)2 + у2)к/(х,у) (1х(1у = J ! (ж2 + у2 - 2x1 + г2)*7(ж,у) ёхёу.

—сю —сю —сю —сю

Указанные интегралы существуют, так как функция /(ж, у) имеет носитель в круге II. Последний интеграл, очевидно, представляет собой многочлен от £ степени не выше чем 2к. Лемма доказана. Лемма 2. Пусть функция/(ж, у) имеет носитель в круге II, тогда при фиксированном I € [¿1, ¿г]

Д/(*,г) = О

при г € (0, оо) тогда и только тогда, когда

сю

J г2кЕ/(1,г)ёг = о (6)

о

для всех к = 0,1,... .

Доказательство. Поскольку функция /(ж,у) имеет носитель в круге II, при фиксированном £ € [¿1, ¿2] функция 11/(1, г) имеет компактный носитель. Следовательно, интеграл в (6) на самом деле имеет конечные пределы. Условие Д/(£, г) = 0 эквивалентно тому, что

сю

J д(г2)Е/(1, г) ёг = О

для любой непрерывной функции д(г), имеющей компактный носитель. В свою очередь любую такую функцию можно равномерно приблизить многочленом. Лемма доказана. Используя приведенные леммы, можно построить метод группировки. Сначала вычисляются интегралы

сю

! В.ш,г)йг, ¿ = 1,2, (7)

о

при фиксированном £ € [¿1, ¿2]- Если эти интегралы отличны друг от друга, то, поскольку их значения не зависят от £ (они представляют собой многочлены нулевой степени), можно произвести группировку, основываясь на этих значениях. Для каждого £ € [¿1,^2] вычисляя интегралы по г от Е/\(1, г), г = 1,2, мы относим сферическую проекцию Е/\(1,г) к той или иной группе в зависимости от того, чему равно значение интеграла. В результате в каждой группе окажутся сферические проекции Е/\(1,г), £ € [¿1,^2]; интегралы от которых по г равны одному и тому же значению.

Если интегралы в (7) совпадают, то рассматриваются моменты В силу леммы 2 если

все моменты двух функций совпадают между собой, то эти функции эквивалентны. Значит,

14 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3

если сферические проекции г), ¿ = 1,2, различны, то найдется номер т, для которого моменты

¿ = 1,2, различаются. Поскольку моменты являются многочленами от значит, они либо тождественно равны, либо пересекаются в конечном числе точек. Пусть точка £ € [¿1, ¿г] выбрана таким образом, что в ее окрестности разность между функциями 2т-х моментов проекций Д/г(£, г), г = 1,2, по модулю больше некоторого 6. Вычислив значения «Т^™-®^), ¿ = 1,2, в 2т + 1 близких точках tj из этой окрестности, можно разделить эти значения на группы, соответствующие каждому состоянию случайной функции (если разности — и ~ имеют разный знак, то

значения и соответствуют разным состояниям случайной функции и следует поме-

нять местами и Д/2(^+1,г)). Затем можно найти явный вид функций моментов

г = 1,2, от переменной Для этого нужно решить следующие две линейные системы уравнений:

2 то

=->»(т)(*Д ¿ = 0,...,2т, (8)

п=0

и найти коэффициенты йт,п многочленов, которыми представляются функции

Системы (8) решаются с помощью того же метода, который используется при выводе интерполяционного многочлена Лагранжа (подробности можно найти в [8]). В результате имеем

2 то 2 то

= П < = 1.2. (9)

¿=0 к=0,кфз 3 к

Далее, вычисляя значение для каждого £ € [¿1,^2] по формуле (5), относим сферические

проекции к той или иной группе в зависимости от того, со значением какой из функций (9) в точке I совпадает это вычисленное значение.

После распределения проекций по группам можно восстановить каждое состояние случайной функции (а значит и ее распределение) с помощью обычных формул обращения (см., например, [2]).

4. Повышение устойчивости метода группировки при наличии погрешностей в сферических проекциях. В практических ситуациях проекции задаются не точно, а с некоторой погрешностью. Погрешности возникают вследствие несовершенства оборудования, регистрирующего проекции, случайных помех при измерении, ошибок интерполяции и других причин.

В данной работе мы будем предполагать, что сферические проекции каждого состояния случайной функции £(х,у) заданы с погрешностью, не превышающей заданного уровня е:

|ДЛ(*,г)-Д/?(*,г)|<е, г € [о, оо], ¿ = 1,2,

где Д/®(£, г) — проекции, измеренные с погрешностью.

В этом случае значения моментов сферических проекций вычисляются с погрешностью

оо

I г2го(ДЛ(*,г)-Д/?(*,г))йг

Рь

о

Рь

2 то

|Д/<(*,г)-Д/?(*,г)| йг<

£ Г

2 то I

(¿Г <

2то+1

£1-г

2т + 1

(10)

где р^ — радиус носителя г) при фиксированном £ € [¿1, ¿2] •

Следовательно, можно считать, что интегралы в (7) не совпадают, и производить группировку сферических проекций на основании значений этих интегралов, если выполнено условие

Рг

(Д/г(*,г)-Д/?(*,г))<*Г

> 2рге

для некоторого £ € [¿1, ¿2]- Если это условие не выполнено, то можно считать, что интегралы совпадают и разница между ними возникает за счет погрешностей.

Для оценки погрешности, с которой вычисляются функции моментов сферических проекций, воспользуемся известной оценкой погрешности интерполяции многочленами Чебышева (см. [8]). Посчитаем по формуле (5) моменты в чебышевских точках tj на отрезке [¿1, ¿2], г = 1, 2, ] = 0,..., 2т.

Всего существует 22то+1 способов распределить значения ), г = 1, 2, по двум группам (на прак-

тике число 2т + 1, как правило, невелико). Обозначим через И множество всех возможных распределений и решим системы уравнений

2 т

} ^ am,n^j = Jjh (tj)i

п=О J

г^ = 1 или 2 в зависимости от /г, $ = 0,..., 2т, для всех Л. из Н. В результате получим 22то+1 функций (обозначим их через

претендующих на роль функций моментов г = 1, 2. Если предположить отсутствие погрешно-

стей, то достаточно, перебирая функции 1^(1), проверять, равно ли значение 1^(1*) какому-либо из значении

г = 1,2, вычисленных по формуле (5), в произвольно выбранной точке I* € [¿1,^2]; отличной от точек При том Л,*, при котором равенство имеет место, 1^(1) совпадает с одной из

г = 1,2, для всех £ € [¿1,^2], поскольку многочлены степени 2т, совпадающие более чем в 2т + 1 точках, тождественно равны.

В случае же наличия погрешностей для функции 1^(1), претендующей на роль функции момента г = 1 или г = 2, в силу (10) должно выполняться

или

(в+ 1 ln(2т))

J^\t)-Am\t) (в+ 11п(2т)),

где р = max pt (см. [8]). Если е достаточно мало, то существует всего 2 распределения Л-i и /i2 из Я,

для которых эти неравенства справедливы при всех t G [¿1,^2]- Для этих распределений многочлены i = 1,2, и будут приближениями для функций J^m\t).

Описанный метод является более трудоемким, чем метод, предложенный в предыдущем пункте,

но при этом в случае наличия погрешностей он дает более точное приближение функций моментов,

что позволяет надеяться на более точное восстановление состояний случайной функции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Soumekh М. Synthetic Aperture Radar Signal Processing with MATLAB Applications. John Wiley & Sons, 1999.

2. Andersson L.-E. On the determination of a function from spherical averages // SIAM J. Math. Anal. 1988. 19. N 1. P. 214-232.

3. Agranovsky .\l. I... Quint о E. Т. Injectivity sets for the Radon transform over circles and complete systems of radial functions // J. Funct. Anal. 1996. 139. P. 383-413.

4. Hells ten H. Inverse scattering analysis of diffraction limited SAR // IEEE. Trans. Ant. Prop. 1990. 38. N 10. P. 1517-1522.

5. Ушаков В. Г., Ушаков Н.Г. Восстановление вероятностных характеристик многомерных случайных функций по проекциям // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2001. № 4. С. 32-39.

6. Шестаков О. В. О единственности восстановления вероятностных характеристик многомерных случайных функций по вероятностным характеристикам их проекций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2003. № 3. С. 37-41.

7. Shestakov O.V. An algorithm to reconstruct probabilistic distributions of multivariate random functions from the distributions of their projections // J. Math. Sci. 2002. 112. N 2. P. 4198-4204.

8. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.; JL: ГИТТЛ, 1949.

Поступила в редакцию 08.12.09

RECONSTRUCTION OF PROBABILISTIC DISTRIBUTIONS OF STOCHASTIC RADAR IMAGES Shestakov O. V.

Paper deals with the problem of reconstructing probabilistic distributions of random functions, which describe images dynamically formed by synthetic aperture radar. For the certain class of random functions the uniqueness of the solution is proved and reconstruction method is developed.

Keywords: random functions, spherical Radon transform, radar images.