CC BY
12
9. Fibich G., Tsynkov S. High order two-way artificial boundary conditions to nonlinear wave propagation with back-scattering // J. Comput. Physics. 2001. 171. N 2. P. 632-677.
10. Те реш и h Е.Б., Трофимов В. А., Федотов M. В. Консервативная разностная схема для задачи распространения фемтосекундного импульса в нелинейном фотонном кристалле с неотражающими краевыми условиями // ЖВМиМФ. 2006. 46. № 1. С. 161-171.
11. Трофимов В. А. Инварианты распространения фемтосекундных импульсов в фотонных кристаллах // ЖВМиМФ. 2001. 41. № 9. С. 1429-1433.
УДК 519.2
О. В. Шестаков
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ
ПО ЕЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМУ ПРЕОБРАЗОВАНИЮ РАДОНА
ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПРОЕКЦИЙ1
(кафедра математической статистики факультета ВМиК)
1. Введение. Проблема обращения экспоненциального преобразования Радона, которое отличается от классического преобразования Радона наличием экспоненциального множителя у интегрируемой функции, возникает в задачах однофотонной эмиссионной томографии [1]. По полному набору экспоненциальных проекций можно единственным образом восстановить функцию, описывающую объект. Однако на практике известно лишь конечное число проекций. В этом случае единственность не гарантирована даже когда коэффициент поглощения в экспоненциальном множителе равен нулю (т.е. при обращении классического преобразования Радона). Для этого случая доказана теорема, утверждающая, что если известны проекции объекта по конечному числу направлений, то существует другой объект, имеющий такой же носитель и такие же проекции по данным направлениям, что и первый объект, и совершенно произвольную структуру на любом компактном множестве, содержащемся внутри носителя первого объекта. Эта теорема приводит к так называемому парадоксу компьютерной томографии, поскольку томографы позволяют получать пригодные для практической цели изображения. Этот парадокс решается в работах [2] и [3] путем сглаживания искомой функции плотностью стандартного нормального распределения, которая выступает в роли регуляризатора. Также получены оценки близости функций, имеющих одинаковые или близкие проекции по конечному набору заданных направлений. В данной работе такие оценки получены для экспоненциального преобразования Радона.
2. Экспоненциальное преобразование Радона. Пусть функция /(2:1,2:2), описывающая объект, имеет компактный носитель. В данной работе мы будем полагать, что этим носителем является круг II с единичным радиусом и центром в начале координат. Кроме того, будем считать, что функция /(2:1, Х2) неотрицательна и нормирована, т.е. интеграл от нее по всей области, где она отлична от нуля, равен единице. Множество всех таких функций обозначим за Г¡7. Экспоненциальным преобразованием Радона для коэффициента поглощения д > 0 и функции /(2:1,2:2) называется преобразование вида
Поступила в редакцию
22.03.06
ОС
Rfifi^Pi s) — / efit f(s cos Ф + £ sin s sin cp — t cos cp) dt, s G R, G [0, 2îr).
— oc
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 05-01-00535, 04-01-00671).
Заметим, что если ц = 0, то мы имеем классическое преобразование Радона. По аналогии с классическим преобразованием Радона при фиксированном <р будем называть функции R^f^cp, s) экспоненциальными проекциями. Сопряженным оператором к оператору Rц является оператор обратного проецирования, задаваемый преобразованием вида
2 7Г
R*g(x 1,ж2) = J e»{xiSÍníp-X2COSÍp)g(p,x1cosp + X2smp)dp, (x1,x2)E~R2. о
Многие результаты теории классического преобразования Радона переносятся на экспоненциальное преобразование Радона. Пусть / — преобразование Фурье функции /. Проекционная теорема обобщается на экспоненциальное преобразование Радона следующим образом:
rf¿f((p, uj) = f(uj cos ip ijd sin (p, uj sin ip> — ifj, cos ip>). (1)
To есть одномерное преобразование Фурье функции R^f^cp, s) по второй переменной задает двумерное преобразование Фурье функции f(x\,x2) на некоторой поверхности в С2. Формула обращения экспоненциального преобразования Радона выглядит следующим образом:
f = 2(2тг (2)
где I,— обобщенный потенциал Рисса:
I 0, иначе.
3. Оценка расстояния между плотностями, имеющими одинаковые экспоненциальные проекции по конечному числу направлений. Пусть Fjj — множество всех неотрицательных нормированных функций с компактным носителем в единичном круге
U = {(жь ж2) G R2 : х\ + х\ ^ 1},
фа- — плотность нормального распределения:
фа = (27г<72)-1 ехр(—(ж2 + х\)1 (2а2)), (жьж2) G R2,
а / * фа и д * фа (/, д G Fn) — свертки фа с / и д.
Теорема 1. Пусть N = 2га, где га — натуральное число, и в\,..., #дг — направления на плоскости R2, выбранные следующим образом:
вj = (v3,-l)/(v2 + l)1'2, j = 1,..., п,
в3 = (l,v3_n)/(v2_n + l)1'2, J = га + 1,..., 2га,
где
vk = cos(ir(2k — 1) / (2п)), k = l,...,n.
Если экспоненциальные проекции функций fug (f,g G F;y) no прямым в направлениях в3 (j = 1,... ... , N) совпадают, тогда
sup I/ * ф<Т{хг,х2) - g * ф<г(ЖЬ ж2)| ^ —e2^ I —- + д--— .
(h,X!)6Rj П V2(T ° /
Доказательство. Пусть в = (cos íp, sin íp). Зафиксируем произвольное uj и рассмотрим разность
(<~р) = f(uj cos íp + i¡i sin íp, uj sin íp — i¡i eos íp) — g(uj eos íp + i¡i sin íp, uj sin íp — i¡i eos íp) .
По теореме о центральном сечении для экспоненциального преобразования Радона = 0 при
j = 1,..., N. Для любого ipi ^ ip ^ <-Pi+i по теореме Лагранжа имеем
\К{Ч>)\ = \К{Ч>)\~ \K{<Pj)\ ^ \К{Ч>) ~ К{<Рз)\ ^ ( max \Ш'ш{<р)\ + max \<р - ^
max K(<p)\-,
где и Qh^^cp) — это действительная и мнимая части функции Ь,'ш{<р). Оценим \Ь'ш(ср)\:
со оо
hl(<p)= J J (f(xi,x2) - g(x1,x2))e-t(-xiuc0síp+x^sin^+i"(-xisiníp-^c0s^x
— ОС —ОС
X (iu(x 1 sin (f — X2 cos (f) + fl(x 1 COS (f + X2 sin (f)) dx\dx2.
Следовательно,
ос ОС
K(<P)\^ I I \f(x1,x2)\ + \g(x1,x2)\e^si^-^cos^\u(xlSmV-x2coSV)\ +
— ос —ос
+ \fi(xi eos cp + x2 sin cp) I dx\dx2 ^ / / |/(¿£i, Ж2) | + ^2) | eA/(M + dx\dx2 — 2е^(|а;| + //).
— ос —ос
Здесь учтено, что /, д £ 1?и. Получаем, что для любого (р £ [0, 27т)
(3)
Далее, используя формулу обращения, имеем I/ * ф<т(х1,х2) - д * ф<т{х 1,х2) \ =
2тт
1
J dtp J eibjiyXl cos LpJrX2 sin sin V-X2 cos ip) x
О М>Аг
2(2тг)2
2/ 2 2wn
X (/(üj eos + iji sin cj sin (p — iji cos ф) — g{uj cos cp + iji sin uj sin cp — iji cos ^ " dej
27Г CO
< Щ2 J J + du =
<
0 /Li
CO CO
,2,2
л/Ъг
= ^^ [ j du + fi J ue^ du ) <C +4h ( ^ + ^—L. ) . (4)
Теорема доказана.
4. Оценка расстояния между плотностями, имеющими близкие экспоненциальные проекции по конечному числу направлений. На практике проекции регистрируются не точно, а с некоторой погрешностью. Здесь мы будем предполагать, что эта погрешность не превосходит заданного уровня е. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть экспоненциальные проекции функций fug (f,g £ F[/) по прямым в направлениях 0j (j = 1,..., N), где 0j те же, что и в предыдущей теореме, отличаются не более чем на е, т. е. для некоторого фиксированного е £ (0,1)
IRl^f(lPj,s)-Rl,g(ipJ,s)\^£, j = l,...,N, s £ R,
тогда
е" 2
2 2 а /л
sup I/ * ф(т(х1,х2) - g * ф<т{х 1, ж2)| ^ £-т + -е2»+
(Xl,x2)eYV к о1 га
Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Однако теперь \hu((pj)\ ^ 2е при j = 1,..., N и вместо оценки (3) получаем, что для любого Lp £ [0, 2тт)
\К{ф) \ <: 2г + 4е"(М +
Далее, проводя выкладки, аналогичные (4), получаем утверждение теоремы.
Правая часть в оценке из теоремы 1 с ростом га убывает со скоростью О а правая часть в оценке из теоремы 2 с ростом га и уменьшением е убывает со скоростью 0(e) + О Фактически это означает, что регуляризация путем свертки с нормальной плотностью распределения приводит к устойчивому методу восстановления функции, описывающей объект. Заметим также, что при ¡1 = О оценка в теореме 2 превращается в оценку, полученную в работе [3] для классического преобразования Радона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Федоров Г.А. Вычислительная эмиссионная томография. М., 1990.
2. Khalfin L.A., Klebanov L.B. A solution of the computer tomography paradox and estimating the distances between the densities of measures with the same marginals // Ann. Prob. 1994. 22. P. 22352241.
3. Шестаков О. В., Савенков Т.Ю. Оценка расстояния между плотностями вероятностных мер, имеющих близкие проекции // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2001. № 4. С. 44-46.
Поступила в редакцию 10.04.06
УДК 519.86
М. Г. Фуругян, Д. В. Красовский
ПСЕВДОПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ УПОРЯДОЧЕНИЯ РАБОТ БЕЗ ПРЕРЫВАНИЙ ПО ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПРОЦЕССОРАМ
(кафедра исследования операций факультета ВМиК)
В настоящей работе рассмотрена задача составления оптимального по быстродействию расписания без прерываний в многопроцессорной системе. Разработаны псевдополиномиальные алгоритмы и методика их адаптации для задач большой размерности, основанная на декомпозиции.
1. Постановка задачи. Рассматривается вычислительная система Р = {Р1,..., Рт}, состоящая из т процессоров Р^ (] = 1,2,..., то), которые могут различаться как по быстродействию, так и по функциональным возможностям. Имеется система работ, или заданий, 5 = {Г, ||т^-||}, где Т = {Т\,.. .,Тп} — набор заданий, подлежащих выполнению; — целочисленная матрица разме-
ра га X то. Элемент т^- (т^- > 0) этой матрицы есть время выполнения задания Т{ на процессоре Р^ (1 ^ I ^ га, 1 ^ ] ^ то). Предполагается, что в каждый момент времени каждый процессор может выполнять не более одной работы, а каждая работа выполняется не более чем одним процессором. При выполнении работ не допускаются прерывания и переключения с одного процессора на другой.
