Экспоненциальное преобразование Радона случайных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

В. Г. Ушаков, О. В. Шестаков

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ1

(кафедра математической статистики факультета ВМиК)

1. Введение. Проблема определения вероятностных характеристик двумерных случайных функций по характеристикам одномерных проекций с учетом поглощения возникает в задачах однофотон-ной эмиссионной томографии при исследовании биологических и других объектов. Основной особенностью этих задач является то обстоятельство, что состояния (реализации) функции, описывающей объект, меняются случайным образом во время процесса получения проекций. Это приводит к тому, что восстановление даже одной реализации случайной функции обычными томографическими методами невозможно.

В работах [1-4] рассматривается задача определения вероятностных характеристик двумерных случайных функций по характеристикам одномерных проекций без учета поглощения. Показывается, что в общем эта задача характеризуется сильной неоднозначностью, и если не накладывать ограничений на вид реализаций случайной функции, то содержательные результаты удается получить лишь в том случае, когда случайная функция имеет не более чем счетное число состояний. В работе [4] для класса таких функций разрабатывается метод восстановления распределений двумерных случайных функций.

В данной работе задача определения вероятностных характеристик случайных функций рассматривается с учетом поглощения. Коэффициент поглощения предполагается известным и равным константе ¡i. Такая постановка задачи приводит к проблеме обращения так называемого экспоненциального преобразования Радона [5].

2. Постановка задачи. Формально постановка задачи, рассматриваемой в настоящей работе, следующая. Имеется двумерная случайная функция £(х,у) — стохастический объект. Всюду ниже мы предполагаем выполнение следующих условий: 1) £(х,у) почти наверное (п.н.) интегрируема:

у) G Ll(R2)-, 2) у) имеет компактный носитель (без потери общности будем считать, что этим носителем является единичный круг U = {(х,у) G R2 : х2 + у2 ^ 1}). Функции, совпадающие всюду, за исключением множеств нулевой лебеговой меры, будем считать эквивалентными. Таким образом, знак "=" обозначает эквивалентность в норме L1.

При выполнении этих условий определены проекции функции £(х,у) с учетом поглощения — одномерные случайные функции вида

&4t)= I e»x-e±f(x)dx, (0,t)ez, (1)

x-k>=t

где в = (— sin (p, eos <*p), Z = S1 X R, a S1 — единичный круг в R2. Преобразование вида (1) называется экспоненциальным преобразованием Радона. Заметим, что если ¡i = 0, то мы имеем классическое преобразование Радона.

Многие результаты теории классического преобразования Радона обобщаются на экспоненциальное преобразование Радона. Пусть / — преобразование Фурье функции /. Проекционная теорема обобщается на экспоненциальное преобразование Радона следующим образом:

= + (2)

т.е. одномерное преобразование Фурье функции i?/LÍ/(0,í) по второй переменной задает двумерное преобразование Фурье функции f(x) на некоторой поверхности в С2.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 04-01-00671, 02-01-00949).

В задачах стохастической томографии предполагается, что имеется некоторая информация о вероятностных характеристиках, учитывающих поглощение проекций (всех или некоторого множества). Задача состоит в нахождении определенных вероятностных характеристик случайной функции у).

Первый вопрос касается однозначности соответствия между рассматриваемыми характеристиками двумерной случайной функции и ее проекций. Как и в случае отсутствия поглощения, этот вопрос может возникать, например, в следующих формах.

1. Можно ли однозначно определить совместные распределения £(£1,2/1), • •. ,£(хп,уп), если известны совместные распределения £^(¿1), • • - Ддя всех т = 1,2,... и всех <р 6 [0,7г)?

2. Можно ли однозначно определить дисперсии если известны дисперсии для

3. Можно ли однозначно восстановить дисперсии если известны все совместные распределения величин ^^ (¿1),..., ^^ (¿т) для всех т = 1, 2,... и всех <р 6 [0,7г)?

4. Имеется ли связь между "изменчивостью" (величиной дисперсии) двумерной случайной функции в некоторой точке и изменчивостью проекций в точках, являющихся проекциями этой точки? (Данная постановка очень важна в биологических приложениях.)

Мы не рассматриваем проблему восстановления математического ожидания двумерной случайной функции по математическим ожиданиям учитывающих поглощение проекций, поскольку, как легко видеть, эта проблема эквивалентна обычной (нестохастической) томографии:

3. Общий случай. Контрпримеры. В данном разделе мы приведем несколько утверждений, относящихся к сформулированным в предыдущем разделе вопросам 1-4 и показывающих, что в общем случае ответы по крайней мере на вопросы 2 и 4 отрицательны. По-видимому, в общем случае отрицательными будут ответы и на вопросы 3, 4, хотя пока не удалось построить соответствующие примеры. В следующих двух разделах, однако, будет показано, что удается выделить довольно широкий класс случайных функций (достаточный, в частности, для биологических приложений), когда вероятностные характеристики двумерной случайной функции могут быть полностью восстановлены, если (полностью) известны вероятностные характеристики некоторого множества проекций.

Утверждение 1. Существуют две случайные функции £1 (х,у) и^2(х,у), определенные в единичном круге х2 + у2 ^ 1, такие, что 0(^1 (ж, у)) ф Б(^2(ж,у)) для всех х и у, удовлетворяющих неравенству х2 + у2 < 1, в то время как (£)) = (¿)) для всех <р 6 [0, тг) и £ 6 Я1.

Доказательство. Пусть щ(х,у) и г]2(х,у) — два однородных и изотропных случайных поля таких, что Ещ(х,у) = Ег]2(х,у) = 0, Т>(г]1(х,у)) = 33(772(ж, у)) = 1. Предположим, что ковариационная функция р\{Ь) случайной функции щ(х,у) положительна и убывает при £ > 0, а для ковариационной функции р2 (£) случайной функции г]2(х,у) выполняется соотношение = гДе с > 1. Пусть г]о(х,у) — случайное поле вида щ(х,у) = и/(х,у), где г/ — случайная величина, не зависящая от г]2(х,у) и принимающая значения: —1 и 1 с вероятностью 1/2 каждое, /(ж, у) — сферически-симметричная функция, положительная при х2 + у2 < 1 и равная нулю при х2 + у2 ^ 1. Ниже мы докажем, что эту функцию можно выбрать таким образом, что все условия утверждения будут выполнены.

Положим

1]1 (х, у) при X2 + у2 ^ 1,

щ(х, у) + Г]0(х, у) приж2+г/2^1,

О, в противном случае.

в противном случае.

Докажем, что существует сферически-симметричная, положительная (при х2 + у2 < 1) функция /(ж, у) такая, что дисперсии всех проекций случайных функций £1 (х,у) и £2 (х,у) совпадают. В силу симметрии достаточно рассмотреть случай <р = 0. Имеем

л/г^т5"

£1(2:, Ь)е^хс1х

= Е

-л/Т^Т5" л/г^т5"

= Е

л/г^т5"

(ж, Ь)е^хс1х

-л/Т^Т5"

л/Г^Т5"

= Е I I =

л/Г^г уД—р

и аналогично

- л/Т^Т5" - л/Г^Т5"

- л/Г^Т5" - л/Т^Т5"

- л/Т^Т5" - л/Т^Т5"

Таким образом, если мы докажем, что существует двумерная сферически-симметричная функция /(ж, у), положительная при х2 + у2 < 1, и такая, что ее проекции удовлетворяют соотношению

л/Г^г л/Г^Т5

1/2

(3)

- л/Т^Т5" - л/Т^Т5"

то это будет означать, что случайные функции £1(2:,?/) и £2 (х,у) удовлетворяют условиям утвержде-

ния.

Заметим, что р\ (и — у) — р\ (с (и — и)) положительна для всех и и», следовательно, правая часть (3) — положительная (при < 1), одновершинная, симметричная функция t. И поэтому из леммы 2 работы [2] следует, что существует положительная (при х2 + у2 < 1) сферически-симметричная функция д(х,у), проекции которой без учета поглощения удовлетворяют соотношению (3). Далее, определим сферически-симметричную функцию

/(х,у) =

2 д{х,у)

(е\/{х2+у2) е-л/(ж2+У2))

Рассмотрим проекции с учетом поглощения от функции /(ж, у). Из симметричности следует, что достаточно рассмотреть только случай <р = 0. В силу симметрии имеем

'1—г- VI— г

J ¡(х1г)е»хс1х= J ¡{х,г)е~»х<1х.

Следовательно, л/Г^Т5"

л/Г^Т /

-л/Т^ л/Г^

л/Г^Т5 /

-л/г^т5" л/г^т5"

л/г^т5"

J ¡(х,Ь)е»хс1х=^ У J ¡(х,г)е~^х(1х = J д(х, Ь)<1х = (*).

-л/т^р

-л/Т^Т5

-л/Т^Т5

-л/Г^Т5

Тем самым утверждение 1 доказано.

В ряде биологических задач бывает достаточно установить, в каких точках значения реализаций двумерной случайной функции имеют большой разброс по сравнению с другими точками. Другими словами, нет необходимости восстанавливать численные значения дисперсии, а достаточно на качественном уровне указать те точки, в которых значения дисперсии относительно велики. В связи с

этим возникает вопрос о связи величины разброса значений реализаций в некоторой точке с величинами разброса реализаций проекций с учетом поглощения в проекциях этой точки. Следующие два утверждения показывают, что в общем случае такая связь отсутствует.

У т ве рж д е н и е 2. Существует случайная функция у), ж2+ у2 ^ 1, такая, что все учитывающие поглощение проекции наиболее изменчивой точки (точки, имеющей максимальную дисперсию) являются наименее изменчивыми точками соответствующих одномерных учитывающих поглощение проекций функции £(х,у).

Доказательство. Пусть г/ — случайная величина такая, что

Ет] = О, В(1]) = 1.

Положим

ф{х,у) =

1 — 2^/ж2 + у2, если у/х2 + у2 ^ — если | < у/х2 + у2 ^ 1,

О, если у/х2 + у2 > 1,

ф(х,у) =

2 ф(х,у)

Рассмотрим следующее случайное поле:

Мы имеем

(ел/{х2+у2) е-л/(ж2+У2)) £(х,у) = г]ф(х,у).

Щх,у) = о,

В ^{х,у)) = Ее{х,у) = ф2{х,у),

таким образом, точка (0,0) является наиболее изменчивой точкой случайного поля £(х,у) (0(0, 0) > > \ф(х,у)\, следовательно, Б(^(0,0)) > Б(^(ж,?/)) при всех (ж, у) ф (0,0)). Докажем, что все учитывающие поглощение проекции этой точки имеют нулевую дисперсию:

в(еы(о)) = о.

В силу симметрии достаточно доказать это утверждение для одного значения (р, скажем <р = 0. Имеем

Г]ф(х, 0)е^х(1х

= Ет/2

ф(х,0)е"х<1х

ф(х,0)е"х<1х

-1

-1

-1

ф(х, 0)-йх

ф(х, 0) йх

= 0.

В то же время В(^°'(£)) ф 0 для всех Ь ф 0 (Щ < 1). Действительно, если ^ 1/2, то ф{х^) < 0, поэтому

л/Г^ -л/Г^Т5"

и

л/г^т5"

ф(х, Ь)е^хс1х

-л/Т^Т5"

> 0.

(4)

Пусть 0 < < 1/2, тогда

л/Г^Т5" л/ь1^ л/Г^Т5"

ф(х,Ь)е^хс1х = / ф(х,£)---¿х = / ф(х,£)йх.

-л/Г^Т5" -л/Т^Т5" -л/Т^Т5"

Далее точно так же, как в работе [1], можно показать, что

л/Г^Т5"

-л/Т^Т5"

при 0 < < 1/2, и опять (2) выполняется. Этим завершается доказательство утверждения.

У т в е р ж д е н и е 3. Существует случайная функция у), х2 + у2 ^ 1, такая, что все учитывающие поглощение проекции наименее изменчивой точки (точки, имеющей минимальную дисперсию) являются наиболее изменчивыми точками соответствующих одномерных учитывающих поглощение проекций функции £(х,у).

Доказательство аналогично доказательству предыдущего утверждения.

4. Класс Т случайных функций. В настоящей работе рассматривается следующая модель. Пусть Т — множество всех двумерных случайных функций у) вида

йх,У) = Л(ж>2/)>

где /1 (ж, у), /г(ж, у),... — последовательность интегрируемых функций, определенных в единичном круге II = {(ж, у) 6 И.2 : ж2 +у2 ^ 1}, а V — случайная величина, принимающая целые положительные значения.

Случайные функции из класса Т есть не что иное, как дискретные случайные элементы в пространстве ¿1(С7), и их вероятностная структура полностью определяется распределением, т.е. набором

(Л(ж, у), /2(ж, г/),. ..;Р1,Р2, ■ ■ ■),

оо

где р1 = Р(£(х, у) = /¿(ж, у)), г = 1,2,..., ^ Рг = 1- Распределение у) будем обозначать Р^.

¿=1

Оказывается, что в рамках этой модели, как и в случае отсутствия поглощения, рассмотренного в работе [1], распределение двумерной случайной функции полностью определяется распределениями проекций. Однако если для модели без учета поглощения удалось разработать алгоритм реконструкции распределения двумерной случайной функции по распределениям проекций [4], то в модели с учетом поглощения пока удалось лишь установить принципиальную возможность такой реконструкции.

Теорема. Пусть у) 6 Т, г](ж, у) 6 Т и

= Р^С.)

для всех а 6 А С [0, тг), где Л — бесконечное множество, тогда

Р€ = Рц-

Другими словами, в классе Т распределение любой двумерной случайной функции однозначно определяется распределениями любого бесконечного множества проекций.

Для доказательства теоремы нам понадобится следующий вариант теоремы единственности для аналитических функций нескольких переменных, приспособленный для удобства использования в томографических задачах.

Лемма. Пусть /(г, и) и д(г, и), г, V 6 С, — две комплексные функции двух комплексных переменных, каждая из которых аналитична в С2, и пусть /2, • • • — последовательность различающихся

кривых вида üj0í + , (9, s) G Z, i = 1, 2,..., принадлежащих С2. Если /(z, v) и g(z, v) совпадают

оо

на множестве L = 1J /¿, то они совпадают для всех (z,v) G С2. ¿=i

Доказательство. Заметим, что функция h(u,9) = f(u9-\- ifiO^) — g(u9-\- ifiO^) является аналитической функцией от переменных uj, 9 [5]. Фиксируем произвольное ujq G R. Функцию ho (9) = h(üJo, 9) можно разложить в ряд

оо

ho(9)= J>ro(0),

т = О

где Рт(9) — однородный многочлен степени то [6]. По предположению ho (9i) = 0, i = 1, 2,... . Имеем

оо

ho(t9i) = tmPm{9i) = 0 для всех г = 1,2,... и всех t.

m = 0

Ни один многочлен, не равный тождественно нулю, не может обращаться в ноль на бесконечном множестве следовательно, рт = 0 для всех то, и /го(#) = 0.

Далее, из того, что h(üJo,9) = 0 для любого ujo G R, следует, что h(üJo,9) тождественно равна нулю. Лемма доказана.

Доказательство теоремы.

Итак, пусть А С [0, тг) бесконечно и = РцЧ> для всех tp G А. Предположим, что Р£ ф Рц. Это значит, что существует функция /(ж, у) G такая, что

У) = /(ж, У)) Ф Р{ц{х, у) = /(ж, у))

и, следовательно,

1Ш®, у) = у)) - у) = f(x' y))\ = S>0.

Обозначим через fi(x, у), /2(ж, у),... значения случайного элемента £(ж, у), отличные от /(ж, у) (считаем, что эти значения располагаются в порядке убывания вероятностей Р(£(ж,у) = /¿(ж, у))) и аналогичные значения г](х,у) через <71(2:, у),д2(х, у),... (также в порядке убывания вероятностей Р(т](ж, у) = д{(ж, у))) (таким образом, /(ж, у) ф /¿(ж, у) и /(ж, у) ф д{(ж, г/), г = 1,2,...). Для каждого

фиксированного ¿ = 1,2,... пусть A¿ обозначает множество всех tp G А, для которых

/*(*)=/»>

и соответственно — множество всех ¡p> Е А, для которых

r{s)^gf{s).

Каждое из множеств A¿ и конечно (быть может, пусто). Действительно, поскольку функции /(ж, у), fi(x,y) и gi(x,y) имеют компактные носители, их преобразования Фурье f(uj,t), fi(uj,t) и gi(uj,t) в силу теоремы Пэли-Винера допускают аналитические продолжения в С2. Если для некоторого i множество Ai (или В i) бесконечно, то в силу проекционной теоремы для экспоненциального преобразования Радона f(oj,t) и fi(uj,t) (gi(uj,t)) совпадают на бесконечном множестве кривых вида üj9í + ifi9j-, {9, s) G Z. Поэтому в силу леммы /(w,í) = /¿(w,í). Полученное противоречие с предположением, что f(oj,t) ф fi(uj,t), доказывает, что A¿ конечно. Таким образом, множество

п

сп = У(Агияг) ¿=1

конечно для любого га, следовательно, множество А \ Сп непусто. Возьмем произвольное tp G А \ Сп. Поскольку /v(s) ф i= 1,..., га, для этого (р, то

оо

у) = f(x, у)) ^ P(e(s) = fv(s)) íC Р(£(ж, у) = /(ж, у)) + Р(£(ж, у) = /г(ж, у)),

а значит,

со

\P(£p(s) = fp(s))-P(Z(x,y) = f(x,y))\^ P(Z(x,y) = fi(x,y))<£ 1,".

i = n-\-1

где 0 при п —> ос.

Аналогично

ос

\P(^(s) = r(s)) - Р(ф,у) = f(x,y))\ <: Р(ф,у)=9г(х,у)) <е2,п.

i = n-\-1

Поскольку = r(s)) = P(^(s) = r(s)), то

\P(Z(x, у) = f(x, у)) - Р(ф, у) = f(x, у)) | ^ |Р(£» = Г (*)) " Р(£(а, у) = f(x, у)) I +

+ |P(^(s) = /») - Р(т?(Ж,у) = /(а,у))| ^ 2г„,

где еп = max(ei;„, в2,п) и может быть выбрано сколь угодно малым. Но по предположению

Ш{Х, У) = f(x, у)) - Р(г,(х, у) = f(x, у))| = 5 > о. Полученное противоречие доказывает теорему.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Liu W., Frank J. Estimation of variance distribution in three-dimensional reconstruction. I. Theory // J. Opt. Soc. Am. A. 1995. 12. P. 2615-2627.

2. Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Восстановление вероятностных характеристик многомерных случайных функций по проекциям // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2001. № 4. С. 32-39.

3. Шестаков О. В. О единственности восстановления вероятностных характеристик многомерных случайных функций по вероятностным характеристикам их проекций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2003. № 3. С. 37-41.

4. Shestakov O.V. An algorithm to reconstruct probabilistic distributions of multivariate random functions from the distributions of their projections // Journal of Mathematical Sciences. 2002. 112. N 2. P. 4198-4204.

5. Федоров Г.А. Вычислительная эмиссионная томография. М., 1990.

6. Каннинг Р., Рос с и X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М., 1969.

Поступила в редакцию 12.07.04

УДК 533.6

Развитие моделей и методов вычислительной аэрогидродинамики / П а с к о-нов В.М., Лебедев М.Г. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. № 1. С. 5-17.

Приведен обзор работ по численному моделированию проблем аэрогидродинамики, выполненных в лаборатории моделирования процессов тепломассопереноса факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ в период с 1995 по 2005 гг. Описаны результаты исследований вязких и невязких течений жидкостей и газов, включая обтекание тел при наличии и отсутствии вдува через поверхность, течения в каналах и струях, взаимодействие волновых фронтов с различными препятствиями, проблемы космической газодинамики.

Ил. 10. Библиогр. 30.

УДК 519.632+517.518

Аппроксимации в усиленных пространствах Соболева для некоторых трехмерных областей с нерегулярной границей / Дьяконов Е. Г. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. № 1. С. 17-24.

В работе изучаются свойства усиленных пространств Соболева С1'1 (У(3); Х(2у), строящихся на базе классического пространства ((3) для ограниченной области (3 С С Н3 с, вообще говоря, нелипшицевой границей Г; У(3) = д. Это вызывает особые сложности при описании соответствующих следов (в частности, на Г) для элементов из IV-}((3)- Усиленные пространства Соболева суть некоторые неоднородные модификации (Ф)> в которых на данных двумерных многообразиях X^ имеется большая гладкость следов, чем в (<Э).

Главные результаты работы связаны с конструкциями пространств С1'1, позволяющими установить нужные прямые и обратные теоремы о следах элементов в случае некоторых типов трехмерных областей с нерегулярной границей. Получены и теоремы об аппроксимациях элементов этих необычных энергетических пространств при помощи гладких функций.

Ил. 1. Библиогр. 11.

УДК 517.958:533.9

Модернизированный численный метод расчета МГД-равновесия плазменного шнура в токамаке / Вознесенский В. А., Сычугов Д. Ю. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. № 1. С. 24-29.

Проведена модернизация классического алгоритма расчета МГД-равновесия плазмы в токамаке. Улучшения связаны с изменением структуры вложенных циклов, которое стало возможным после появления современных ЭВМ с большой оперативной памятью. Кроме того, предложена основанная на методе хорд автоматическая оптимизация итерационных параметров. Методические расчеты показывают, что новый алгоритм работает на порядок быстрее старого.

Ил. 2. Библиогр. 9.

УДК 517.958:535.14

О роли спектрального инварианта при компьютерном моделировании нелинейного распространения фемтосекундных импульсов / Волков А. Г., Трофимов В. А. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. № 1. С. 29-35.

В работе рассматривается влияние спектрального инварианта на точность разностного решения при компьютерном моделировании распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде. Показано, что некоторые условно консервативные разностные схемы (сохраняющие соответствующие инварианты при определенных соотношениях шагов) дают неограниченный рост решения, которое развивается на более коротких трассах при уменьшении шага по продольной координате. Другие условно-консервативные схемы, которые при достаточно мелких шагах дают совпадающие с консервативной схемой результаты, приводят к неограниченному росту сеточного решения при наличии возмущения в начальном распределении комплексной амплитуды для достаточно больших шагов сеток. Причина такой эволюции сеточного решения заключается в несохранении спектрального инварианта для соответствующей схемы. Ил. 2. Табл. 1. Библиогр. 7.

УДК 519.6

О достаточности принципа максимума Понтрягина в некоторых оптимизационных задачах / Никольский М.С. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. № 1. С. 35-43.

В статье для оптимизационных задач с фиксированным временем рассмотрены два вида краевых условий: 1) левый конец фиксирован, правый конец свободен; 2) на концевые условия наложены ограничения типа равенства и неравенства. Для обоих видов краевых условий получены достаточные условия оптимальности принципа максимума Понтрягина. Основными требованиями являются требования вогнутости и выпуклости функций, участвующих в формулировке принципа максимума Понтрягина. Произведено сравнение двух типов достаточных условий оптимальности, полученных в статье. Рассмотрены некоторые примеры. Библиогр. 15.

УДК 517.977

Необходимые условия оптимальности для дискретных задач оптимального управления / Арутюнов A.B., Маринкович Б. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. № 1. С. 43-48.

Рассматривается дискретная задача оптимального управления с концевыми ограничениями. Получены необходимые условия оптимальности первого и второго порядка, справедливые без априорных предположений нормальности. Библиогр. 8.

УДК 519.2

Экспоненциальное преобразование Радона случайных функций / Ушаков В.Г., Шестаков О. В. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. № 1. С. 49-55.

В работе исследуется задача восстановления вероятностных характеристик многомерных случайных функций по характеристикам проекций с учетом поглощения. Показывается, что если не накладывать каких-то ограничений на характер случайности многомерной функции, то задача характеризуется сильной неоднозначностью. В то же время если потребовать, чтобы случайная функция принимала не более чем счетное число состояний, то возможно восстановить ее распределение по распределениям проекций. Библиогр. 6.