О единственности восстановления вероятностных характеристик стохастических изображений, формируемых радаром с синтезированной апертурой* Текст научной статьи по специальности «Математика»

14 декабря 2011 г. 11:19

ТЕХНОЛОГИИ

О единственности восстановления вероятностных характеристик стохастических изображений, формируемых радаром с синтезированной апертурой1

Ключевые слова: случайные функции, сферическое преобразование Радона, радиолокационные изображения

Рассматривается эсщача реконструкции вероятностных характеристик стохастических радиолокационных изображений по вероятностным характеристикам их сферических проекций. На примере ковариационной функции показывается, что в общем случае зсщача не имеет единственного решения.

Шестаков О.В.,

МГУ им М.В. Ломоносова, кофедра математической статистики факультета ВМК;

Институт проблем информатики РАН, oshestokov@cs.msu.su

1. Введение

Задача формирования изображения из сигналов, получаемых РЛС с синтезированной апертурой, может рассматриваться как эсюача обращения сферического преобразования Радона и реконструкции функции, описывающей коэффициент отражения (см [ 1 ]). По аналогии с классическим преобразованием Родона будем называть сигнал, полученный при фиксированном положении антенны, сферической проекцией.

В работе [2] показывается, что функцию

нельзя однозначно восстановить по ее сферическим преобразованиям Родэна, если центы окружностей интегрирования лежат на прямой (сферическое преобразование Радона любой функции, нечетной относительно этой прямой, равно нулю). Однако в РЛС с синтезированной апертурой либо используется однонаправленная антенна, либо используются две антенны для различения полуплоскостей (см [3]). В любом случае, эю позволяет считать функцию коэффициента отражения четной относительно прямой, вдоль которой движется антенна (будем полагать, что эта прямая совпадает с осью ОХ).

В раде приложений функцию, описывающую коэффициент отражения, необход имо считать случайной (например, если объекты на местности перемещаются случайным образом). При этом основной особенностью является то обстоятельство, что состояния (реализации) функции, меняются случайным образом во вре-

мя процесса получения сигналов радара. Это приводит к тому, что восстановление даже одной реализации случайной функции обычными методами невозможно. Основной интерес в такого рода задачах представляют собой вероятностные характеристики функции, описывающей коэффициент отражения.

В работе (4] разрабатывается метод восстановления распределения случайной функции, описывающей коэффициент отражения, в предположении, что эта функция имеет не более чем счетное число состояний. В данной работе исследуется вопрос о единственности реконструкции вероятностных характеристик функции, описывающей коэффициент отражения, при отсутствии такого предположения. На примере ковариационной функции показывается, что в общем случае задача реконструкции вероятностных характеристик не имеет единственного решения.

2. 11ос1 иконка шличи. Пусть коэффициент отражения описывается функцией /(х,у)€ С0' (/?’), четной но второй переменной. Будем полагать, что носителем функции /(л\у) является круг и единичного ралиуса с центром в начале координат. Определим сферическое преобразование Радона от функции /{х,у) как интеграл по окружности ралиуса г с центром в точке (/,0) :

Л/(/,г) = \ /(х.уУЬ^.

(Х-Пр+У*-!*

')то определение можно переписать в следующей ж ни валентном форме:

/?/(/,г)= + гсо$0%гь\х\0)ги0.

В настоящей работе мы рассматриваем следующую задачу. Имеется двумерная случайная функция £(дг,г). почти все реализации которой удовлетворяют условиям, накладываемым

на функцию /(.\Г*у)- Требуется восстановить определенные вероятностные характеристики \ ) по вероятностным характеристикам /?ч(/,г). Эта задача может принимать различные формы, например:

1. Можно ли однозначно определить совместные

распределения дт, , V,).....£(*„, уп), если известны

совместные распределения /?£(/,/; О г1Я

всех т = 1,2,... и всех / € (—•оо,оо)?

2. Можно ли однозначно определить дисперсии Од*;)]. если известны дисперсии ЦОД/.Г)] для всех / € (-00,00) и всех г е (0, х) ?

3. Можно ли однозначно определить дисперсии

О[£(дг,>0]* сс;,и известны все совместные распределения для всех

т - I ,2,... И всех / е (-00,00) ?

* Работа выполнена при финансовой поааержхе РФФИ (гранты 11-01-00515а и 11-ОЇ-] 2-26-офи-м], а также министерства образования и науки РФ (государственный контракт № 14740.11.0996).

32

Т-Сотт #4-2011

ТЕХНОЛОГИИ

Мы не будем рассматривать задачу восстановления математического ожидания двумерной случайной функции но математическим ожиданиям сферических проекций, поскольку >та задача эквивалентна задаче обращения сферического преобразования Радона в исстохастичсском случае:

К/?»(/,г) = Е | £(x,y)dxdy= J E£(x,y)dxdy.

3. Контрпример. В данном разделе мы покажем, что для восстановления дисперсии

(и ковариационной функции) случайной функции недостаточно знания ковариационных функций всех сферических проекций, а поскольку существуют случайные функции, вся вероятностная структура которых определяется математическим ожиданием в каждой точке и ковариационной ф\ нкцией, это означает, что в общем случае ответы на вопросы 1-3. сформулированные в предыдущем параграфе, отрицательны.

Утверждение. Существуют две случайные функции £'(х,у)

и £"(х,у). определенные в единичном круге U. такие, что их ковариационные функции не равны:

при (xt,y\,x,,y,)eU*U, в то

время как ковариационные функции всех сферн-ческих проекций совпадают: /;Л"(/;.г,) l‘K“ir,,r,) для всех I е [0,-Не) и

(r,.r:)6R:.

Доказательство. Пусть E^(.r,v)= 0 для всех

(х,у) 6 U. Тогда ковариационная функция двумерной

случайной функции £(х,у) сеть функция от 4-х переменных вида

К(х„у),х:.у:) =Е<*(х,,у, )£(*,,у,),

(xl,yl,x,,y1)eUx(/.

Ковариационные функции сферических проекции связаны с ковариационной функцией £(.r, J') следующим соотношением:

/^/С(г,,г,)=ЕЛ^(/,г| )Rc(t,r:) =

= Е j^(l + г, cos в,,г, sin в, )rld0] х

О О

х (t + r; cos вг, г, sin 0: )r:d02 =

2я2я

- J \т> + г, cos ft,, г, sin ft, )г,^ X

О и

х (f+ r, cosft.r, sin ft,)r,]r/0,(/ft, =

2я2я

- | |л.'(г +Л, cos#,, г, sin et,l + г, cos#,,/-, sin ft, )x

о 0

xrtr:de,de:.

Характеристическим свойством ковариационной функции является неотрицательная определенность. Таким образом, если ввести интегральное преобразование

Р, ,K(rl,r,) = J |К(/, + /;cosftl,rlsinftl,f, +

о о

+ г, cos ft. г, sin ft, )rtr:d0yde,, то вопрос о единственности восстановления ковариационной фмікцин случайной функции по ковариационным функциям ее сферических проекций сводится к вопрос) единственности восстановления неотрицательно определенной функции K{xv\\,x,.y,) при {x.,y.,x,,y2)eUxU по ее интегральному преобразованию /’, К{г,,г:). заданному на множестве Л/= (/,=/,}.'Определим "квадратичное" преобразование Фурье:

^/(<а„гл)= fje " V[ 'P,^K(r^)dr{drv

•К—Л

Имеем

))l\e’^^x

-*-* о о

х KU: +r\ costf,,/; sintf,.f, +г, cos ft, г, sin ft )i\i\dO,dO:d

-4c "vr-т;' J J j-J^ -vr- r"v _v:.,

X eH 'dx{dy,dx,dyv

Сделаем следу ющую замену переменных:

//, = х\ + yf, И, = X; + Vj.

Таким образом.

х, = х,, у, = фі, -xf, X, = X,, у, = ,]и:-х; и

dxldyldx1dy2 =—. | -г dx^i^dx.du-,.

4-^и, -x:t yjи, -X|2

Определим функцию

Kt{,x,.u,.x г.и:)-

Л'(Х|,^/»| - х'; ,x. ,yjn, — х,~)

Vм і “ хі Vй: “ х:

при 0 < .г,2 < и, и 0 < Х; < и,. О

в противном случае.

Поскольку функция АГ(Х|,У,,Х,,У,) четна по переменным у, и у,. нужно рассматривать только положительный квадратный корень.

Используя определение функции А',(Х,,И,,Х;,1/,). можно переписать функцию />Щоу^.ы. ) н

следующем виде:

T-Comm #4-201 1

33

ТЕХНОЛОГИИ

^лК(<ц.ад)=е'''1'' | Л ^ "''*|'"Л’л-|(х],|/1.дг:,ы,)х

х Кх ( -2<у,/, , й)х ,-2<»,/,, /у, ), где функция х /С, (дг,, м,, х2, и 2 )*/г,</м,*/г:<Лл

представляет собой преобразование Фурье от функции

/С|(дТ|,!/,,дг2,1/2). Сделаем следующую замену переменных:

V, С08С?, = -22ц/,, (Ц = V, ЭШф?,, V, С08^; = -2*ц/2, ГУ, = V, бшф?2.

При ЭТОМ |

Пусть С с £/ *(/ - произвольное ком-нактное множество, симметричное относи-тельно плоскости {.г, = дг:, М, “ м,}. И пусть К у €С‘ (К1) - произволь-ная симметричная относительно пар переменных (.V,,//,) и (дч,1/:) функция.

В работе (5) показано, что существует функция

ЛГ,(дг,»,дг2,и2) € Ср (К4) • симметричная отиоси-телыю нар переменных (*,,!/,) и (х2,и,). такая что се носитель

принадлежит множеству С/ х С/. Ку — К2 на множестве О и А'|(у|создл^$|одл’3со$ф>:.у;$тф’;)в0 на множестве М\—{ф\-<рЛ- Причем С. К} и /С2 можно построить таким образом, что АГ,(х,,11|,дг2,112)зв0 при //, > лг* или и, £дг;.

Следовательно, существует функция

ДГ(х,,>'|,х2,акг)€СХ(К4)* ,,е Раниая гождественно

нулю, симметричная относительно пар переменных (.Г,,.У,) и (*,,>%) и такая, что Р, л К(г}9гг)ш0 при /, = Л и (ггг2)е К

Любая функция К(х1% .У,,*2,>2)€ С,*(К4). определенная на множестве (У х£/ и симметричная относительно пар переменных (лг,,^,) и (^2,>*2), может быть представлена в виде разности неотрицательно определенных функций К\х,,у,.д;ич) и К'ХХу'Уу^у*).

Следовательно. существуют неот-рицателыю определенные функции и

К' (Х\*У1->Х2*У2)% являющиеся ковариационными функциями некоторых слу чайных фу нкций £'(д:,у) и

4”(х*у)' такие что 1С(х1%угх2,у2) * К’\х.,у,,х2,у2), но ^А"(г,г,) ^ Р1К’\г],г,) для всех /е[б,+о6) и (г|,г2)€й::

Утверждение доказано.

Таким образом, знание ковариационных функций сферических проекций ис позволяет однозначно восстановить ковариационную функцию самой случайной функции.

Кроме того, поскольку функция К достаточно произвольна, ее можно выбрать такой, что К(х,у,х9у) не равна тождественно нулю на V х I/, и тгот пример показывает, что знания ковариационных функций сферических проекции недостаточно и для однозначного восстановления дисперсии случайном функции.

Литература 1. SoumeMi М. Synlhefic Apertue Rodor Signal Processing wflh MATIAB Applications. John WJey & Sons. 1999.

2 AgranovJc/M.l,GWrtoET.Injediviysebforlhe Radon frctisfonn ewer circles and complete systems of radial luncfcns//J. Fund. And. 1996.139.R383-413.

3 Helsten К Inverse scattering andysis of dffrac-lion bmited SAR // IEEE. Trans. Ant. Prop. 1990. 38. N 10. R 1517-1522.

4 Шестсжсв О. В. Восск>*овпе**1е вероятностных распределе«*й стохастических р<здиал°кацион-ных изображений//Вестн Моск. ун-та Сер. 15. Вы числ. магем. и киберн. 2010. № 3. С 23-29.

5 Шестой» О. В. О единственности восстановления вероятностных характеристик многомерных случайных функ1*1й по вероятностным характеристикам их гроеюий // Вестк Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2003. № 3. С 37-41.

The uniqueness of the probability characteristics of stochastic reconstruction images generated by a synthetic aperture radar

Shestakov O. V.

Abstract

The task of reconstruction of the probability charoderisScs of stochastic radar imoges wi£t their probabilistic characteristics of spherical projections is considered. On the example of the covariance function is shown that in general the problem has no unique solution.

References

1. Soumekh M Synfieiic Aperture Radar Signd Processing wrth MATIAB Apptcations. John WJey & Sons. 1999.

2. Agranovsky M. L, Quinto E T. hjedh/ity sets for the Rodon transform over circles and complete systems of radid fundons //J. Fund. AnaL 1996. 139. R 383 413.

3.Hefl5tenH. Inverse scattering analysis of dflradion limited SAR //IEEE Trans. Ant. Prop. 1990.38.N 10.R 1517 1522.

4 She^akov O. V Recovering of probabity distributions of stochastic radar images [VossJanovfenie veroycrtnosteyh rospredelen^ stohasicheskih radiolokcisionnyh izo-brazhenij ]// testn. Mosk. unto. Sec. 15. Vychtsl. matem. i Idbem. 2010. № 3. C 23-29.

5. Shestakov O. V On uniqueness of the probability characterislics of mufcivanate random fundons with probabfatic characteristics of their projections [O yedinstvennosti vosstanovteniyo veroyatnostnyfi haraberisA mnogomemyh sluchajnyh funkfcij po veroyatnostnym horokteristikam ih proektsij] // Vesta Mosk. uivta. Ser. 15.

34

T-Comm #4-2011