CC BY
10
УДК 517.444, 517.521, 519.22
0.В. Шестаков1
ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ РЕКОНСТРУКЦИИ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ*
В работе рассматривается задача реконструкции изображений по проекционным данным, получаемым радиолокационными станциями, в условиях математической модели, использующей сферическое преобразование Радона. Приводятся оценки точности реконструкции при использовании конечного числа сферических проекций.
Ключевые слова: сферическое преобразование Радона, радиолокационные изображения, оценки точности.
1. Введение. При формировании изображений из сигналов, получаемых радиолокационными станциями (РЛС) с синтезированной апертурой (см. [1]), волновой фронт, излучаемый антенной радара, имеет сферическую форму, поэтому полученный сигнал при данном положении антенны и в данный момент времени представляет собой интеграл от коэффициента отражения во всех точках, в которых волновой фронт встречается с поверхностью объектов. Положение антенны обычно меняется со временем вдоль прямой линии, поэтому эту координату принято называть "медленным временем", а интервал времени между передачей и получением импульсного сигнала принято называть "быстрым временем". Если геометрия местности планарна, то множество всех точек пересечения волнового фронта с объектами на местности представляет собой окружность (см. [1]). Поэтому задача формирования изображения может рассматриваться как задача обращения сферического преобразования Радона (см. [2, 3]). По аналогии с классическим преобразованием Радона будем называть сигнал, полученный при фиксированном положении антенны, сферической проекцией, т. е. сферическая проекция представляет собой функцию "быстрого времени" при фиксированном значении "медленного времени".
В работе [4] показывается, что функцию нельзя однозначно восстановить по ее сферическим преобразованиям Радона, если центры окружностей интегрирования лежат на прямой (сферическое преобразование Радона любой функции, нечетной относительно этой прямой, равно нулю). Однако в РЛС с синтезированной апертурой либо используется однонаправленная антенна (и поэтому функцию можно считать тождественно равной нулю в полуплоскости, лежащей по одну из сторон относительно прямой, на которой лежат центры окружностей интегрирования), либо две антенны для различения полуплоскостей (см. [5]). В любом случае это позволяет считать функцию коэффициента отражения четной относительно прямой, вдоль которой движется антенна (будем полагать, что эта прямая совпадает с осью ОХ).
На практике сигнал регистрируется в конечном числе точек положения антенны, т. е. сферическое преобразование Радона известно лишь для конечного числа центров окружностей (сфер), и в этом случае задача обращения уже не имеет единственного решения даже в случае классического преобразования Радона, что приводит к так называемому парадоксу компьютерной томографии (см. [6]). Этот
1 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: oshestakovQcs.msu.su
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 11-01-00515).
парадокс рассматривался в работах [6, 7], и были получены оценки близости между функциями, имеющими одинаковые или близкие проекции по конечному числу заданных направлений. В данной работе мы получим подобные оценки в случае использования сферического преобразования Радона с конечным числом центров окружностей, лежащих на конечном отрезке прямой, вдоль которой перемещается антенна.
2. Сферическое преобразование Радона. Пусть коэффициент отражения описывается функцией /(ж, у), четной по второй переменной. Будем полагать, что носителем функции /(ж, у) является круг I/ единичного радиуса с центром в начале координат. Определим сферическое преобразование Радона от функции /(ж, у) как интеграл по окружности радиуса г с центром в точке (¿,0):
Rf(t,r) = JJ ¡{х,у)йхйу.
(ж—¿)2+|/2=г2
Это определение можно переписать в следующей эквивалентной форме:
2тг
Rf{t,r) = J f(t + rcosв,rsmв)rdв. (1)
о
При фиксированном £ будем называть функцию 11/(1, г) сферической проекцией.
Существует несколько методов реконструкции функции /(ж, у) по ее сферическому преобразованию Радона. Мы будем использовать метод фурье-синтеза, предложенный в работе [8].
Определим функцию оо):
оо
Rf(t,oo) = J e~iur2Rf(t,r)dr.
Подставляя в эту формулу выражение (1) и переходя к декартовой системе координат, имеем
ОО 2-7Г оо оо
Rf(t,oo) = J e~iur2 J f(t +г cos в, г sme)rdedr = 2 J J у) dxdy =
оо
оо оо
= 2e~iu>t2 [ f е2Шхе~^х2+у2) f(x, у) dxdy.
0 —оо —оо
оо оо
—оо —оо
Пусть и = ж2 + у2. Якобиан перехода от переменных (ж, у) к переменным (ж, и) равен (2у/и — ж2) Учитывая четность функции /(ж, у), определим функцию kf(x,u):
= при 0 < ж2 < и, (2)
[О при и ^ ж2,
и продолжим ее четным образом на отрицательные значения и. Используя (2), функцию Rf(t, оо) можно переписать в следующем виде:
оо оо
Rf(t, оо) = e~iuJt2 J J e2iuJtxe~iuJukf(x, и) dxdu = e~iuJt2k}(^2too, оо),
—оо —оо
где к f (001,002) — преобразование Фурье от функции kf(x,u). Таким образом,
5 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 2
Обратив в (3) преобразование Фурье и найдя функцию kf(x,u), можно вычислить функцию /(ж, у) для у > 0 (напомним, что она четна по переменной у):
/(ж, у) = ykf(x,x2 + у2). (4)
3. Оценки погрешности при реконструкции. Описанный метод является неустойчивым. Кроме того, в реальных ситуациях можно зарегистрировать лишь конечное число сферических проекций Rf(t,r), t G Т (Т — некоторое конечное множество). В связи с этим при реконструкции функции f(x,y) необходимо использовать методы регуляризации.
На этапе обращения преобразования Фурье заменим функцию kf(ш 1,1*12) на функцию Wa(wi,w2)x
xkf(cui,Ш2), где множитель Ша(ш1,ш2) играет роль регуляризирующего окна. В результате вместо точной функции kf(x, и) получается приближенная функция kfi(T(x, и) (и следовательно, приближенная функция fa(x,y)), но метод реконструкции становится устойчивым к погрешностям. В дальнейшем мы будем использовать регуляризирующее окно вида
Пусть Fjj — класс всех неотрицательных функций f(x,y) с носителем в единичном круге U, четных по второй переменной и таких, что
оо оо
/(ж, у) dxdy = 1.
— сю —сю
Для регуляризованного метода обращения в классе Fjj можно получить оценку точности реконструкции функции по конечному числу сферических проекций. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть натуральные числа Nun выбираются так, что при п ^ оо выполнено N/n 00 и N/n2 0. Обозначим
ti = -, i = —N,... ,N.
n
Если f(x,y), g(x,y) G Fjj и сферические проекции функций f(x,y) и д(х,у) совпадают при t = ti, т. е. Rf(ti, г) = Rg(U, г) для всех ti, г = —N,..., N, тогда
,,, ч , м 2^2 (N 1\ 2 2N sup \fa{x,y) - ga{x,y)\ ^ , -г + - +-3-3 arcctg-. (5)
(х,у)еи жЛ/2аЛ \nz п/ nJaJ п
Если дополнительно предположить, что функция f(x, у) непрерывно дифференцируема, тогда
sup \f(x,y) -g„(x,y)\ < С/(тг/2)1'/2бг + 23^3 + + -j^arcctg —, (6)
(х,у)еи 71 ° \п п/ ж ° п
где
Cf = sup ||grad/(ж, у)II.
(x,y)eR2
Доказательство. Во-первых, заметим, что если f(x,y) непрерывно дифференцируема, то (см. [6])
sup I fix,у) - и(х,у) I < Cf(ir/2)1/2a,
(x,|/)GR2
поэтому (6) следует из (5).
Докажем (5). Пусть H(t, ш) = Rf(t,u) — Rg(t,u). Фиксируема; ф 0 и оценим \H(t,u))\ при |i| ^ N/n. Для любых t € [ti — 1/(2n),ti + 1/(2п)), i = —N + 1,..., N — 1, справедливо
\H(t,u)\ = \H(t,u) - Н(и,ш)\^ max \H't{t,oo)\\t - U\ < max \H't{t,oo)\/(2n),
\t\^N/n \t\^N/n
где H[(t,w) — производная функции H(t,u) по переменной t. Такую же оценку можно записать для t G [-N/n, -N/n + 1 /(2гг.)] и t G [N/n - 1/(2n),N/n}. Далее
max \H'f(t,oj)\ = тах
= тах
\t\<^N/n
—оо
оо сю
2 / {2ul}{x-t))e-^x-t^2\f{x,y)-g{x,y))dxdy
€
—oo —сю
^ тах 4 Ы
\х — 11 (/(ж, у) + д(х, у)) dxdy ^ 8 |ш| (N/n + 1).
— сю —сю
Здесь при переходе к последнему неравенству учтено, что /(ж, у) и д(х,у) принадлежат классу Fjj Таким образом,
\H(t,(jü)\ < 4|w| (N/n + 1)/п
при |i| ^ N/n. Это означает, что
(7)
kf(w 1,ш2) - кд(ш1,ш2) < 4 |ц?2| (N/n + 1 )/п
при \wi/(2w2)\ < N/n. Далее, с учетом (4)
sup \fa(x,y) - да(х,у)\ = sup \ykf^(x,x2 + у2) - yk;ha(x,x2 + у2)\ < (x,v)eu (х,у)еи
= sup (х,у)еи
(2ъ)~2 < (2тг)
= (2п)
— сю —сю сю сю
-2
— сю —сю
СЮ 2\u)2\N/n
~2( I du2
-оо -2\u)2\N/n сю
< sup \kftCr(x,y)-kgtCr(x,y)\ = (х,у)еи
е^*+"2У)(к^ШъШ2)-кд(ШъШ2))е-<г du3ldu32
kf(lül,lü2) ~ кд(Ш1,Ш2)
' е-*2^IWi)¡2 dwi
«с
doü2
-OO |o>i |>2\ui2\N/п
Оценим отдельно 1\ и 12. Имеем
kf(u} 1,ш2) - кд(ш1,ш2)
kf(ui,u2) ~ кд(ш!,ш2)
е-°2М+иЫ2<1Ш1)=11 + 12.
sup
(Wl ,OJ2)GR.
kf(wi,w2) ~ кд(ш1,ш2)
= sup (t,w)GR
Rf(t,u)-Rg(t,u)
€
сю 2ж
^ J j \f(t + r cosö, r sinö) — g(t + r cosö, r sin0)| r dddr ^
-оо 0
^ / / f(x,y)dxdy+ g(x, y) dxdy = 2.
— oo —OO
—OO —oo
Следовательно,
OO
/2 < (2тг)"2 [ d,0ü2 [ = ^ arcctg —.
J J nzaz n
-OO |wi | >2|o>2 |JV/ и 6 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 2
Далее, с учетом (7)
оо 2|а>21-N"/ п
« -2\u)2\N/n
ос ос
*'2 (S ■/** /1-1 ^ (М •(9)
—оо —оо
Объединяя (8) и (9), получаем (5). Теорема доказана.
На практике, в силу наличия шума и неточности измерений, данные регистрируются с некоторой погрешностью, которая еще больше снижает точность реконструкции функции по сферическим проекциям. Если предположить, что уровень погрешности не превосходит е, то можно получить оценку точности реконструкции с учетом этой погрешности. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть ti, г = —N,...,N, те же, что в предыдущей теореме, f(x,y), g(x,y) G Fjj, и сферические проекции функций f(x, у) и д(х,у) при t = U отличаются не более чем на е G (0,1), т. е.
sup |Rf(ti,r) - Rg(ti,r)| < e re R.
для всех ti, i = —N,..., N, тогда
,,, ч , м £ 2^2 (N 1\ 2 2 N
sup \fa(x,y) -9ЛХ,у) < -2 + Ч/" 4 ~ + ~ + ~2~2 arCCtg-• (10)
(.x,y)eu 71(7 71 ' о \nz nj 7rzaz n
Если дополнительно предположить, что функция /(ж, у) непрерывно дифференцируема, тогда
2 л/2 (N 1\ 2 2Л;
(х,у)еи
sup^\f(x,y)^g<J(x,y)\ ^С/(п/2)1/2а + ^ + (5 + n) +^arCCtgV' (И)
Доказательство. Если f(x,y) непрерывно дифференцируема, то так же, как в предыдущей теореме, показывается, что (11) следует из (10).
Доказательство оценки (10) проводится по такой же схеме, что и в теореме 1, однако теперь, учитывая тот факт, что f(x,y) и д(х,у) принадлежат классу Fjj, имеем
sup \H(ti,u)\ ^ 2:\
WGR.
Следовательно, при |i| ^ N/n
\H{t,u))\ = IH{t,oo) - Н(и,ш) + Н(и,ш)I < IH{t,oo) - Н(и,ш)I + 2е <
«S 2r + max \H't{t,u))\\t - tH\ < 2e + max \H't(t,u)\/(2n),
и вместо (7) при |i| ^ N/n имеет место неравенство
\H(t,w)\ < 2е + А\ш\ (N/n + 1)/п. Далее, рассуждая, как в теореме 1, получаем (10). Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Soumekh М. Synthetic Aperture Radar Signal Processing with MATLAB Applications. John Wiley & Sons, 1999.
2. Andersson L.-E. On the determination of a function from spherical averages // SIAM J. Math. Anal. 1988. 19. N 1. P. 214-232.
3. Redding N.J. SAR image formation via inversion of Radon transforms // Proc. of the Intern. Conf. on Image Processing. Singapore, 2004. P. 13-16.
4. Agranovsky M. L., Quint о E. Т. Injectivity sets for the Radon transform over circles and complete systems of radial functions // J. Funct. Anal. 1996. 139. P. 383-413.
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2011. № 2
13
5. Hellsten H. Inverse scattering analysis of diffraction limited SAR // IEEE. Trans. Ant. Prop. 1990. 38. N 10. P. 1517-1522.
6. Khalfin L. A., Klebanov L.B. A solution of the computer tomography paradox and estimating the distances between the densities of measures with the same marginals // Ann. Prob. 1994. 22. N 4. P. 2235-2241.
7. Шестаков О.В., Савенков Т. Ю. Оценка расстояния между плотностями вероятностных мер, имеющих близкие проекции // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2001. № 4. С. 44-46.
8. Redding N.J., Newsam G.N. Inverting the circular radon transform // DSTO Publications Online. 2001. DSTO-RR-0211 (http: //hdl.handle.net /1947/3375).
Поступила в редакцию 14.06.10
ACCURACY ESTIMATES FOR RECONSTRUCTION OF RADAR IMAGES Shestakov O. V.
This paper deals with the problem of reconstructing synthetic aperture radar images in the frames of mathematical model based on spherical Radon transform. Some accuracy estimates for reconstruction when using finite number of spherical projections are obtained.
Keywords: spherical Radon transform, radar images, accuracy estimates.
