Оптимальное восстановление функций по неточно заданному сферическому преобразованию Радона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО НЕТОЧНО ЗАДАННОМУ СФЕРИЧЕСКОМУ ПРЕОБРАЗОВАНИЮ РАДОНА

© Т.Э. Баграмян

Ключевые слова: оптимальное восстановление; сферическое преобразование Радона; преобразование Минковского-Функа.

Исследуется задача оптимального восстановления функции на сфере 8^-1 по ее неточно заданному (в среднеквадратичной метрике) сферическому преобразованию Радона. Определяется класс функций, имеющих ограниченную ^2 -норму степени сферического Лапласиана (—Д)а/2 . Формулируется и доказывается теорема, в которой устанавливается погрешность оптимального восстановления и семейство оптимальных методов.

Сферическое преобразование Радона : Ь2(§а-1) —> Ь2(§а-1) переводит функцию на сфере 8й-1 во множество ее интегралов по пересечениям сферы со всевозможными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Каждое такое подмногообразие определяется следующим уравнением:

<£,х>=0, |£| = 1.

Таким образом, все множество подмногообразий параметризуется точками единичной сферы £ € 8й-1. Заметим, что диаметрально противоположным точкам отвечает одно и то же подмногообразие. При й = 2 это интегральное преобразование называется преобразованием Минковского-Функа.

Рассмотрим пространство Ь2(8а-1), й ^ 3. Для его элементов имеет место представление в виде ряда Фурье по ортонормированной системе сферических гармоник

/(х) = £ £ /к,П‘(х), N(1)=(21 + й-2У + 1 - 3)!, I > 1, N(0) = 1.

1=0 к=1 !( )!

Определим оператор (—Д^)а/2 (сферический Лапласиан) формулой

го N (I)

(-Д*)а/2/(х) = £ /ыУк(х), й =1(1 + й — 2), а> 0.

1=0 к=1

Обозначим через Ш следующий класс

Ш = {/ € Ь+(8а-1) : ||(-Д5)а/2/||^-1) < 1},

где Ь+(§а-1) — пространство четных квадратично интегрируемых функций.

Пусть для каждой функции / € Ш мы знаем ее сферическое преобразование Радона, заданное с погрешностью. А именно, известна функция д € Ь2(8а-1), такая что

/ — д||ь2(§—) ^ д-

2442

По этой информации требуется восстановить функцию f. Назовем методом восстановления произвольное отображение m : L2(Sd-1) L2(Sd-1). Погрешностью метода называется величина

e(5,m) = sup ||f - m(g)||L2(Sd-l).

x€W, g€b2(Sd-1)

II Дэ f—gllL2(sd-1)^

Из всего множества методов нас будут интересовать те, на которых достигается погрешность оптимального восстановления

E (5) = inf e(5,m).

m:L2(Sd-1)^L2(Sd-1)

da

Рассмотрим множество точек плоскости {(xi,yi)}f=0, задаваемых формулами xi = ^2",

Vi = mr, где m2l = 2n(d-2)/2 г^+г-1)/2) — собственные числа сферического преобразования

Радона, соответствующие сферическим гармоникам степени 21. Пусть xs <5-2 ^ xs+i, s ^ ^ 0, тогда положим

т Ув+1 ув т Увхв+1 Ув+1хв

М1 = -----------, М2 = -------------------.

хв+1 хв хв+1 хв

Теорема1. Погрешность оптимального восстановления равна

Е(д) = ^т1 + М.2&2.

Методы

го N(I)

т(д)(х) = ^ X] а гк1(х)

1=0 к=1 21

где дк1 = f§d-1 д(х)У1(х)йх, а числа щ удовлетворяют условиям

М2 , V Т1Т2 х / т . т

-----т + £ т-~\ — У х1т1 + .2 — у1)

ai = -— + ei ^\lxiAi

Aixi + —2 -ixi + —2 V yi

ei € [-1; 1], являются оптимальными.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баграмян Т.Э. Оптимальное восстановление функций по их неточно заданному преобразованию Радона // Вестник Тамбовского Университета. Серия Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. № 1. С. 15-17.

2. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление операторов по неточной информации // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 2. Исследования по выпуклому анализу. Владикавказ, 2009. С. 158-192.

3. Micchelli C.A., Rivlin T.J. Lecture on optimal recovery // Lecture Notes in Mathematics. Numerical Analysis.—Lancaster: Springer; Berlin/Hidelberg, 1984. С. 21-93.

Bagramyan T.A. OPTIMAL RECOVERY OF FUNCTIONS FROM INACCURATE DATA ON THE SPHERICAl RADON TRANSFORM

We study the problem of optimal recovery of functions on the sphere Sd_1 from its inaccurate data (in the mean square metric) on spherical Radon transform. We define a class of functions with bounded L2 -norm of a degree of spherical Laplacian (—Д)а/2. We formulate and prove theorem which establishes the error of optimal recovery and the family of optimal methods.

Key words: optimal recovery; spherical Radon transform; Minkowski-Funk transform.

2443