Оптимальное восстановление функций по их неточно заданному преобразованию Радона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И ВКЛЮЧЕНИЯ

УДК 517.51

ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ИХ НЕТОЧНО ЗАДАННОМУ ПРЕОБРАЗОВАНИЮ РАДОНА

© Т. Э. Баграмян

Ключевые слова: преобразование Радона; оптимальное восстановление.

Рассматривается задача оптимального восстановления функции из пространства Шварца по неточно заданному (в среднеквадратичной метрике) преобразованию Радона. Получены явные выражения для погрешности оптимального восстановления и семейства оптимальных методов.

В общем случае задача оптимального восстановления состоит в наилучшем приближении значения линейного оператора на некотором множестве по информации, являющейся значениями другого линейного оператора (называемого информационным), заданными с погрешностью в той или иной метрике (см. [1], [2]). Рассмотрим пространства Шварца быстро убывающих функций S(Rd) и заданный на нем оператор (—А)а/2 : S(Rd) ^ L2(Rd) ,

а ^ 0, определяемый формулой (-A)a/2f (£) = |{|а/({), где f — преобразование Фурье f. Определим класс функций W = {f € S(Rd): ||(—А)а/2f ||L2(Rd) ^ 1}. В качестве информационного оператора рассмотрим преобразование Радона — оператор, ставящий в соответствие функции множество ее интегралов, взятых вдоль всевозможных гиперплоскостей в Rd , Rf (в, s) = fxd=s f (x)dx, (в, s) € Z = Sd-1 x R1. Такой оператор применяется для моделирования различных томографических процессов и подробно изучается в теории компьютерной томографии [3]. В теории оптимального восстановления информационные операторы этого типа рассматривались ранее в [4] и [5]. Предположим, что функция Rf известна с погрешностью 8, т. е. дана функция д € L2(Z), такая что llRf — gHb2(z) ^ 8, 8> 0. Задача состо-

ит в нахождении оптимального метода восстановления функции f € W по информации д. Под методом восстановления понимается произвольное отображение m : L2(Z) ^ L2(Rd) , а погрешностью метода называется величина

e(8,m)= sup llf — m(g)llL2(Rd).

f eW,g&L2(Z)

\\Rf -g\\b2(Z)<:5

Погрешностью оптимального восстановления называется наименьшая из погрешностей всех возможных методов

E (8)= inf e(8,m).

m:L2(Z )^L2(Rd)

Метод, на котором достигается погрешность оптимального восстановления, называется оптимальным методом восстановления.

Рассмотрим функции

x(a) = (2п)l-dad-1+2aX[o,^)(^), У(а) = (2п)1-dаd-1X[0,^)(а), а € R-

Положим

т (d-1)(d-2) (d — 1^ ^ 4а ~ (d-1)(d-2) 2а . 2(1-d)

Д1 = (2п) d-i+2a -8 d-i+2a, Д2 = (2п) d-i+2a ---------------------------8 d-i+2a.

d — 1 + 2а d — 1 + 2а

Теорема. Погрешность оптимального восстановления равна

Г “ “ (d-1)(d-2) 2а

E(8) = у Л1 + \282 = (2п) 2(d-1+2a) 8 d-1+2a.

Методы

где

ma(g)(&e) = (2n)(1 d)/2a(a)fa (а), ge(s) = g(в,s),

I Л2 аау Л1Л2 / Л Л \

а(а) = I Л / \+ е(а) Л , ,—^ V х(а)Л1 + Л2 — У(а) I Хр^)^ уЛ1 х(а) + Л2 Л1х(а) + Л2 I

е(а) € L^(R) и принимает значения на отрезке [—1,1] , являются оптимальными.

ЛИТЕРАТУРА

1. Michelli C.A., Rivlin T.J. Lectures on optimal recovery // Lecture Notes in Mathematics. Numerical Analysis Lancaster, 1984. Berlin, Hidelberg: Springer, 1984. P. 21-93.

2. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление операторов по неточной информации // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Исследования по выпуклому анализу. Владикавказ, 2009. Т. 2. C. 158-192.

3. Natterer F. The mathematics of computerized tomography. Stuttgart: John Wiley & Sons, 1986.

4. Logan B.F., Shepp L.A. Optimal reconstruction of a function from its projections // Duke mathematical journal. 1975. V. 42. № 4. P. 645-659.

5. Баграмян Т.Э. Оптимальное восстановление гармонической функции по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования // Владикавказский математический журнал. 2012. Т. 14. № 1. С. 22-36.

Поступила в редакцию 10 ноября 2012 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-31140).

Bagramyan T.E. OPTIMAL RECOVERY OF FUNCTIONS FROM INACCURATE RADON TRANSFORM

The problem of optimal recovery of a function in the Schwarz space from its inaccurate Radon transform is considered. The accuracy of optimal recovery and a family of optimal methods are obtained in explicit form.

Key words: Radon transform; optimal recovery.

УДК 62-531.2

РЕГУЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТНОСТИ ПРОКАТЫВАЕМЫХ ПОЛОС НА БАЗЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ

НАПРЯЖЕНИЙ

© С. М. Бельский, И. П. Мазур, В. И. Дождиков, В. Б. Васильев

Ключевые слова: плоскостность; самоуравновешенная эпюра; принцип Сен-Венана; коэффициент ослабления амплитуды.

Проанализировано продольное и поперечное распределение самоуравновешенной составляющей упругих напряжений в полосе, а также коэффициент ослабления амплитуды. Результаты использованы для разработки новых методов для регулирования плоскостности прокатываемых полос.

Проблема формирования геометрических характеристик полос остается одной из основных в листопрокатном производстве. Неравномерность распределения по ширине полосы переднего натяжения и неоднородность температурного поля вызывает изменение распределения выходных скоростей течения металла [1]. Напряжения, вызванные неравномерностью выходных скоростей полосы, при снятии натяжения превращаются в остаточные, что приводит к формированию таких геометрических дефектов как "краевая" и "центральная" волна. Для компенсации неравномерности остаточных напряжений на некотором расстоянии от очага деформации по известной эпюре удельных натяжений в полосе на выходе из клети необходимо приложить компенсирующую самоуравновешенную эпюру продольных напряжений. Тем самым появляется возможность управлять плоскостностью прокатываемых полос.

Постановка задачи

В соответствии с принципом Сен-Венана амплитуда неравномерности компенсирующих удельных натяжений уменьшается с удалением от места их возникновения, поэтому возникает вопрос о зависимости коэффициента ослабления амплитуды самоуравновешенной эпюры продольных напряжений, приложенных к какому-либо сечению прокатываемой полосы, от расстояния до этого сечения. Для решения поставленной задачи воспользуемся методом, аналогичным описанному в [2], но с некоторыми отличиями: вместо растягивающей нагрузки приложим к сторонам прямоугольной пластинки единичной толщины, длиной 2а и шириной 2Ь, самоуравновешенную нагрузку, распределенную по параболическому закону (рис. 1). Энергия деформации такой пластинки для плоского напряженного состояния запишется следующим образом:

Введение

(1)