Регулирование плоскостности прокатываемых полос на базе математической модели распределения продольных напряжений Текст научной статьи по специальности «Физика»

Bagramyan T.E. OPTIMAL RECOVERY OF FUNCTIONS FROM INACCURATE RADON TRANSFORM

The problem of optimal recovery of a function in the Schwarz space from its inaccurate Radon transform is considered. The accuracy of optimal recovery and a family of optimal methods are obtained in explicit form.

Key words: Radon transform; optimal recovery.

УДК 62-531.2

РЕГУЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТНОСТИ ПРОКАТЫВАЕМЫХ ПОЛОС НА БАЗЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ

НАПРЯЖЕНИЙ

© С. М. Бельский, И. П. Мазур, В. И. Дождиков, В. Б. Васильев

Ключевые слова: плоскостность; самоуравновешенная эпюра; принцип Сен-Венана; коэффициент ослабления амплитуды.

Проанализировано продольное и поперечное распределение самоуравновешенной составляющей упругих напряжений в полосе, а также коэффициент ослабления амплитуды. Результаты использованы для разработки новых методов для регулирования плоскостности прокатываемых полос.

Проблема формирования геометрических характеристик полос остается одной из основных в листопрокатном производстве. Неравномерность распределения по ширине полосы переднего натяжения и неоднородность температурного поля вызывает изменение распределения выходных скоростей течения металла [1]. Напряжения, вызванные неравномерностью выходных скоростей полосы, при снятии натяжения превращаются в остаточные, что приводит к формированию таких геометрических дефектов как "краевая" и "центральная" волна. Для компенсации неравномерности остаточных напряжений на некотором расстоянии от очага деформации по известной эпюре удельных натяжений в полосе на выходе из клети необходимо приложить компенсирующую самоуравновешенную эпюру продольных напряжений. Тем самым появляется возможность управлять плоскостностью прокатываемых полос.

Постановка задачи

В соответствии с принципом Сен-Венана амплитуда неравномерности компенсирующих удельных натяжений уменьшается с удалением от места их возникновения, поэтому возникает вопрос о зависимости коэффициента ослабления амплитуды самоуравновешенной эпюры продольных напряжений, приложенных к какому-либо сечению прокатываемой полосы, от расстояния до этого сечения. Для решения поставленной задачи воспользуемся методом, аналогичным описанному в [2], но с некоторыми отличиями: вместо растягивающей нагрузки приложим к сторонам прямоугольной пластинки единичной толщины, длиной 2а и шириной 2Ь, самоуравновешенную нагрузку, распределенную по параболическому закону (рис. 1). Энергия деформации такой пластинки для плоского напряженного состояния запишется следующим образом:

Введение

[<т% + а‘2 — 2vaxay + 2(1 + v) r%y] dxdy,

(1)

где - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона.

х = ±а : т0у = 0, аХ = Б

1 _ (У)2 3 \ь)

У = ±Ь: т0у = °, аУ = °.

х

<(У)

А

У

Рис. 1. Схема нагружения и граничные условия

Для односвязной границы, как в нашем случае, распределение напряжений не зависит от упругих постоянных материала пластинки [2], поэтому полагаем V = 0 и вводим функцию напряжений ф. Подставляя в выражение (1) соотношения теории упругости

ах

получим следующее выражение:

[ь (с2ф\2 /с2ф\2 + 2( д2ф\

]-ь \ду2 ) V дх2 ) V дхду)

ду

, ау

д2ф

дх2

д2ф дхду’

(2)

2Е ~^~ь

йхйу.

Метод решения

Возьмем в качестве функции напряжений выражение

Б 2 Б у4 + (х2 - а2)2 (у2 - Ь2)2 (аі + а2х2 + азу2 + ...) ,

6У 12Ь2'

которое удовлетворяет граничным условиям, а неизвестные коэффициенты, в соответствии с методом Рэлея-Ритца, находятся из условия

^ = °,

даі

(3)

где г = 1...п. Для повышения точности расчетов примем г = 5, тогда функция напряжений имеет следующий вид

Ф(5) = ^у2 - 12Ь2у4 + (х2 - а2)2 (у2 - Ь2)2 (аі5) + а25)х2 + а35)у2 + а45)х4 + а^у4^

Б

Тогда условие (3) запишется в виде системы пяти уравнений:

^ііаі5) + Аі2а2а25) + Аі3а2а35) + Ам а4а45) + Аі5а4а55) = а^ь?

А2іаі5) + А22а2а25) + А2за2а35) + А24 а4а45) + А25а4а55) = арц?

А3іаі ) + А32а2а2 ) + А33а2а3 ) + А34а4а4 ) + А35а4а5 ) = аь

а,

А4іаі ) + А42а2а2 ) + А43а2а3 ) + А44а4а4 ) + А45а4а5 ) = аЪ А5іаі5) + А52а2а25) + А53а2а35) + А54 а4а45) + А55а4а(5) =

а

4 „Я

5 а4ь2 ’ 5 а4ь2 ’ 5 а4ь2 ’ 5 а4ь2 ’ 5 . а4ь2 ’

(4)

где

.64 256 Ь2 64 Ь . . ... „. „ . .

Аіі = “Т" + Г . Аі2 = 77 + 77 _Г ’ А

7

49 а

7а

\ . /64 64 Ь4\ /64 Ь2 64 Ь6\

У’ і2 = ^77 + 49 а4 у . і3 = ^49 а2 + 77 а6) ’

Аі4 =

64 х 3 256 Ь2 64 Ь4

+ 77-------+

77 х 13 49 х 33 а2 49 х 3 а4

49 а4

64 Ь4

49 3 а4

+

256 Ь6 64 х 3 Ь8 \

+

(64 64 Ь2) . (

А2і = (їг + т а?)’ А22 = (

64 х 3 256 Ь2 64 х 3 Ь4

+ ттг^г +

49 х 33 а6 77 х

( 2 6

13 а8) ’

А24 =

А25 =

256

+

11 х 13 77 а2 7

512 Ь2 64 53 Ь4

а

/64 Ь2 64 Ь^\ .

= ^77а2 + 77а6у ’

+

11 13 13 33 а2 3 77 а4

64 64 Ь4

’А32 4 77 + 77 04

)’А32 =0

64 Ь4 64 х 3 Ь8

+

77 3 а4 77

13 а8 /

А34 =

64 х 3 77 х 13

+

64 Ь4\ 7 х 33 а4)

А33 =

64 х 3 Ь2 256 Ь4 64 х 3 Ь6

7 а2 + ~Г7 а4 + 11 х 13 а6

. /(

’ А3і = \Т + 11 а^)

64 Ь

/53 х 64 Ь4 512 Ь6

35 V 7 х 33 а4 + 33 х 13 а6 + 11 х 13 а8

( 64 9

64 + 64 Ь4 ^ ) ’

А4і =

11 13

256 Ь2 64 Ь4

~Ї7 а2 + У а4

.

( 64 х 9 Ь2 64 Ь6 ) (

43 = \77 х 13 а2 + 77 а6 у ’ 42 V

64 х 3 512 Ь2 64 х 53 Ь4

11 х 13 + 11 х 13 а2 + 77 а4

.

А44 =

(

64 х 21 256 х 9 Ь2 64 х 643 Ь4

11 х 13 х 17 + 77 х 13 а2 + 77 х 13 а4

.

а ,64 х 3 Ь4 256 Ь6 64 х 3 Ь8

45 13 х 77 а4 + 77 х 33 а6 + 77 х 13 а8

(

64 256 Ь2 64 х 9 Ь4

А5і = I -----------------==- ~7 +

7 77 а2 + 11 х 13 а4) ’

64 64 х 9 Ь4

А52 Пп + ТТхГэ ^ ’А53 = 1

53 64 Ь2

+

512 Ь4 64 х 3 Ь6

+

77 а2 11 13 а4 11 13 а6

.

А54 =

(

64 3

+

А55 =

13 х 77 33 х 77 а2

643 х 64 Ь4 256 х 9 Ь6

+

256 Ь2 64 х 3 Ь4

+

.

+

77 х 13 а4,

64 21 Ь8

13 х 77 а4 13 х 77 а6 11 х 13 х 17 а8

.

ГЛ (5) (5) ^ (5) 2 (5) 5 (5) 2 (5) 5 (5) 4

Сделав замену переменных а\ = хі ^52 . а2 а2 = х2 052> а3 а2 = х3 а5ь2. а4 а4 =

_™(5) 5 .

хл аь.

а

(5) 4 (5) 5 ҐА\

а4 = х5 ащ, получим из (4) следующую систему уравнении:

: х3 а4Ь2 . ал

5

А1іх15) + ^12 х2> + Лізх^ + А14х^ + ^15х^ = 1

А2іх15) + ^22 х25) + А23х35) + А24х45) + ^х5^ = 1

А3іх15) + ^32 х25) + А33х35) + А34х45) + А35х55) = 1

А4іх15) + ^42 х25) + А43х35) + А44х45) + А45х5^ = 1

А5іх15) + ^52 х25) + А53х35) + А54х45) + ^х5^ = 1-

„(5)

(5)

(5)

(5)

(5)

Решая (5) и используя (2), получим выражение для функции распределения продольных напряжении по длине и ширине пластинки:

а,

(5) = с

ГУ-

1 - (-У

3 \ь)

- 12С

х

(5)

+х25)

х2

(5)

Ш2 (

1 - ©2

-'-у

(

- 2 (5) х 4 (5)

ь) + х4 и + 4

-2 С I -

а

1 -1х-)2

-а/

Шш (ь У( ?)

8х35) + 16х55) (-

- )2

( 1- X

\ и /

х

(5)

+ 6х

(5)

©2 (

ъ)

(6)

Назовем коэффициентом ослабления амплитуды самоуравновешенной эпюры К(х) отношение величины амплитуды на расстоянии х от места воздействия к величине исходной амплитуды

ах (х) \у=о - ах (х) \у=ь

К (х) =

(7)

ах (х = а) \у=о - ах (х = а) \у=ъ '

Зависимость этого коэффициента от расстояния рассчитали при помощи выражения (6). Результаты расчета представлены на рис. 2: тонкой линии соответствует случай а/Ь = 1, штрих-пунктирной - а/Ь = 2, толстой - а/Ь = 3.

Анализ результатов расчета показывает, что протяженность зоны влияния самоуравновешенной составляющей эпюры продольных упругих напряжений не превышает 1, 6Ь. Следовательно, продольные упругие напряжения, возникшие в полосе шириной В на расстоянии Ь от очага деформации, необходимо учитывать для анализа течения металла, если Ь < 0, 8В.

(а-х)/Ь

Рис. 2. Зависимость коэффициента ослабления К(х) от расстояния

2

х

х

х

і

2

2

2

х

х

2

3

5

Регулирование плоскостности

Рассмотрим методику регулирования плоскостности прокатываемых полос, основанную на следующем положении: если к выходному сечению очага деформации приложить неравномерную эпюру напряжений, то возникшая неравномерность скоростей течения металла на выходе очага деформации компенсирует эту неравномерность напряжений.

Допустим, что полоса на выходе клети находится под воздействием суммы двух эпюр продольных напряжений: постоянного переднего а\ и неравномерной самоуравновешенной с амплитудой Аа, способствующую краевой волнистости прокатываемой полосы (рис. 3, кривая 1).

Рис. 3. Принцип регулирования плоскостности прокатываемых полос

Для компенсации этой неравномерности к выходному сечению очага деформации необходимо приложить самоуравновешенную эпюру переднего натяжения Аа*омп (рис. 3, кривая 3). Это вызовет течение металла, компенсирующее Аа*омп. После снятия Аа*омп в полосе возникнут остаточные напряжения Аа*, равные по амплитуде Аа*омп, но противоположные по знаку (рис. 3, кривая 4), которые в свою очередь компенсируют Аа. В результате такого воздействия в полосе исчезнут остаточные напряжения (рис. 3, кривая 5).

Если компенсирующая эпюра переднего натяжения создается в сечении полосы, находящемся на некотором расстоянии от очага деформации, то необходимо учесть принцип Сен-Венана и увеличить амплитуду создаваемой неравномерности (рис. 3, кривая 2):

Аак

Аак*

К (хо) ’

где хо - расстояние между местом создания компенсирующей эпюры и выходным сечением очага деформации.

Выводы

Разработана математическая модель распределения продольных и поперечных напряжений в полосе от приложения самоуравновешенной эпюры напряжений. На базе разработанной модели предложена методика регулирования плоскостности прокатываемых полос путем создания компенсирующей эпюры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бельский С.М. Влияние формы эпюры переднего удельного натяжения на распределение давления прокатки и выходных напряжений по ширине полосы // Известия вузов. Чёрная металлургия. 2008. № 1. С. 43-46.

2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. / Под ред. Г.С.Шапиро.- 2-е изд. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1979. 560 с.

Поступила в редакцию 10 ноября 2012 г.

Belsky S.M., Masur I.P., Dozhdikov V.I., Vasilyev V.B. ROLLED STRIPS FLATNESS CONTROL ON THE BASIS OF MATHEMATICAL MODEL OF LONGITUDINAL STRESSES DISTRIBUTION

The longitudinal and transversal distribution of the self-balancing component of elastic stresses in the rolled strip was analyzed as well as the amplitude attenuation coefficient. The results of this analysis are used for a design of new rolled strips flatness control methods.

Key words: flatness; self-balancing diagram; St Venan principle; amplitude attenuation coefficient.

УДК 517.9

ВОЗМУЩЕНИЕ ВЫПУКЛОЗНАЧНОГО ВОЛЬТЕРРОВОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ВОЛЬТЕРРОВЫМ ОПЕРАТОРОМ,

НЕ ОБЛАДАЮЩИМ СВОЙСТВОМ ВЫПУКЛОСТИ И ЗАМКНУТОСТИ ЗНАЧЕНИЙ

© А. И. Булгаков, А. А. Григоренко

Ключевые слова: возмущение вольтерровых операторов; локальная разрешимость; продолжаемость решений; априорная ограниченность; квазирешения.

Изучается включение, правая часть которого состоит из суммы значений выпуклозначного вольтеррового оператора и суперпозиции однозначного вольтеррового оператора и многозначного вольтеррового отображения, значения которого являются выпуклыми по переключению подмножествами в пространстве суммируемых функций. Для такого включения сформулированы теоремы разрешимости и продолжаемости решений, получено основное свойство квазирешений таких включений. Изучено включение, зависящее от параметра, принадлежащего метрическому пространству.

Возмущенное включение для многозначных отображений определено в работах [1-6], как включение в пространстве непрерывных функций, правая часть которого является алгебраической суммой значений двух многозначных отображений одно из них имеет замкнутые выпуклые образы, а второе имеет значения не обладающие этим свойством. Для таких включений в этих работах получены их основные свойства, при этом многозначное отображение, определенное правой частью этих включений, вообще говоря, может не являться