Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171006.htm.

ART 171006 УДК 378.147:517.521

Кандаурова Ирина Евгеньевна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный тех нический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва 1г1зкап6591 @та1!.ги

Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов

Аннотация. В статье демонстрируется методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов, дана наглядная схема их исследования. Работа охватывает материал, достаточный для освоения части раздела «Числовые ряды», который связан со знакопеременными числовыми рядами. Рассчитана на студентов технических специальностей, однако будет полезна всем, кто интересуется теорией рядов. Представляет собой рекомендации в виде задач и примеров для подготовки к практическим занятиям, контрольным и рубежным работам, экзаменам, выполнения домашних заданий; также даны задачи для самостоятельной работы. Материал статьи может быть использован преподавателями, ведущими практические занятия. Автор предполагает, что читатель владеет основными понятиями теории бесконечно малых и больших величин, их сравнения, различными способами вычисления пределов, знаниями, связанными с исследованием на сходимость знакоположительных рядов.

Ключевые слова: знакопеременный числовой ряд, необходимый и достаточные признаки сходимости, условная и абсолютная сходимость, признаки Лейбница, Дирихле, Абеля.

Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.

Рядом в математике называется выражение вида ах + а2 + аъ +......., составленное

из чисел, занумерованных в определенном порядке, которые называются членами ряда. Многоточие, в котором и заключается суть ряда, указывает, что выражение не имеет последнего слагаемого, за каждым слагаемым всегда стоит следующее. Таким образом, ряд есть бесконечная сумма.

Четкое определение сходимости ряда, основанное на понятии предела последовательности частичных сумм, появилось лишь в конце XIX в. Тогда же началось систематическое изучение рядов. Заметим, что все рассмотренные ряды имели ясный и вполне определенный закон образования их членов. Обычно ряд задается формулой п -го члена ряда аи, его называют общим членом ряда. Из этой формулы подстановкой вместо п определенного значения - номера члена ряда - находят слагаемое, имеющее этот номер.

При сложении конечного числа слагаемых всегда получается определенный числовой результат, вычислить же сумму бесконечного числа слагаемых, вообще говоря, не сможет ни человек, ни машина, поскольку процесс сложения членов ряда (по самому определению) никогда не кончается. Поэтому записанное выше выражение - это лишь некий математический символ, которому надлежит придать определенный смысл [1].

Если все члены ряда ап > 0, то ряд называется знакоположительным, если же

все члены ряда ап > 0, то ряд называется строго положительным. Сумма первых п слагаемых называется частичной суммой ряда; ах + а2 + а3 +.......+ ап = . Для положительного ряда очевидно, что £и+1 = + аи+1 > , т. е. последовательность частичных

ISSN 2304-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

ниегп

issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171006.htm.

научно-методический электронный журнал

сумм оказывается возрастающей. Вспоминая теорему о пределе монотонной последовательности, приходим к следующему основному в теории положительных рядов утверждению.

Положительный ряд всегда имеет сумму. Если эта сумма конечна, то ряд будет сходящимся; а если бесконечна, то ряд - расходящийся. Все признаки исследования знакоположительных рядов на сходимость и расходимость основаны на этой теореме. Основные определения, формулировки и признаки исследования на сходимость таких рядов представлены в литературе [2-4].

Ряды, члены которых могут иметь произвольные знаки, называются знакопере-

œ

менными. Пусть имеем знакопеременный ряд ^а (ап имеют произвольные знаки).

п= 1

ад

Ряд, составленный из модулей членов этого ряда, обозначим ^|а„|. Между этими ря-

П I

n=1

дами существует связь.

Определение. Если сходится ряд X |аи|, то сходится и знакопеременный ряд

œ

n |

n=1

^ ап , и он называется абсолютно сходящимся. Знакопеременный ряд ^ап называ-

n = 1 n=1

ется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов X |ап| (тео-

n= 1

рема об абсолютной сходимости).

œ

Из расходимости ряда X |а„| нельзя сделать вывод о сходимости или расходи-

n

n= 1

мости ряда Xк . Он может сходиться или расходиться.

n = 1

œ œ

Определение. Если знакопеременный ряд Xк сходится, а ряд X|ап| расходится,

-n—„------, - ^ |ащ

n=1 n=1

то ряд исходный ^ а называется неабсолютно сходящимся или условно сходящимся.

п = 1

Из сказанного следует:

ад

1) исследование знакопеременного ряда ^ аи на сходимость удобно начинать

n

n = 1

œ

с исследования на сходимость ряда из модулей ^|аи|, потому что сразу можно полу-

п=1

чить ответ;

2) исследовать знакопеременный ряд на сходимость - значит ответить на вопрос, сходится ли ряд, и если сходится, то как - абсолютно или условно. Первоначальная схема исследования может иметь вид:

œ œ

XKl * сходится ^ Xк - исходный ряд сходится абсолютно

n =1

расходится ^ исходный ряд надо исследовать дальше.

ниегп

issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171006.htm.

научно-методический электронный журнал

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена ряда имеют противоположные знаки. Знакочередующийся ряд можно запи-

сать в виде ¿(- \)nan, an > 0.

n= 1

Основным свойством абсолютно сходящегося числового ряда является возможность перестановки членов этого ряда без изменения сходимости, т. е. свойство, в силу которого от перестановки членов в абсолютно сходящемся ряде сумма не меняется [5].

Теорема. Если ряд ^сходится абсолютно, то любой ряд ^, полученный

n m ' п I—I / J n

n=1 n=1

из ^ изменением порядка следования членов, тоже сходится абсолютно. Более

n

n=1

того, он имеет ту же сумму.

Условно сходящийся ряд содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, так как в противном случае он сходился бы абсолютно. И теорема о перестановке членов ряда для таких рядов несправедлива. Приведем пример.

Пример 1. Найдем сумму ряда 1 - — + - - - + - -...... Этот ряд сходится к числу

2 3 4 5

1п 2. В самом деле, по формуле Маклорена имеем:

2 3 4 п

1п (1 + х) = х - Х- + х- - Х- +.....+ (- 1)п+1 - + ^ (*), где |*п+1 (х)<-^-, (0 < X < 1).

2 3 4 п 11 п +1

Положив в этой формуле х = 1, получим, что исследуемый ряд сходится к числу

1п 2. Ряд из модулей расходится как гармонический. Тогда исходный ряд сходится

условно к 1п 2 .

Рассмотрим теперь ряд, полученный из исходного перестановкой членов:

i -1 - !|+

V

2 4

1 1 1

-----| +......+

3 6 8

I

k=1

V

f 1 О

1 1 1

V 2n -1 4n - 2 4n у k=

+.

I

4k - 2 - 2k +1 (2k - 1)(4k - 2) 4k

2(2k -1) 4k

1 1 1 1

2 1V 2k -1 2k У 2

111 1 1

1 -- +---+...... | = -ln 2 .

V 2 3 4 У 2

После перестановки членов ряда получилась половина суммы исходного ряда. Итак, в неабсолютно сходящемся числовом ряде от перестановки его членов сумма ряда может меняться и переставить члены можно таким образом, что получится сумма ряда, равная наперед заданному числу.

„ 1111 Более того, можно доказать следующий результат: если в ряде 1 — +---+ —

2 3 4 5

...... члены ряда переставить так, чтобы после группы п последовательных положительных членов стояла группа q последовательных отрицательных членов, то сумма

ряда будет равна 1п 2 +11п п.

2 q

Для знакочередующихся рядов существует меньше признаков для исследования на сходимость, чем для знакоположительных рядов.

ниегп

issn 2304-i20x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171006.htm.

научно-методический электронный журнал

Признак Лейбница. Если все члены знакопеременного ряда 1)па„ моно-

n= 1

тонно убывают по абсолютной величине ая+1 <an (n = 1,2,3,....) и общий член ряда стремится к 0 (lim аи = 0), то ряд сходится.

Замечание. При замене суммы ряда сходящегося знакочередующегося ряда суммой n его первых членов ошибка не превышает абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда, т. е. \Rn\ < an=1.

Все три условия признака Лейбница: 1) знакочередование членов ряда, 2) монотонное убывание членов ряда, 3) lim аи = 0 - существенны [6].

Полезные советы. При доказательстве на монотонную убываемость членов

a

ряда можно воспользоваться следующими приемами: 1) -n±1 < 1, 2) ая+1 -ая < 0,

an " "

3) a = f (n)^ f (x) - и показать, что f '(х) < 0.

При исследовании знакочередующегося ряда на сходимость можно предложить следующую наглядную схему:

К-l)nan 1)

. n n\ n

-1) a = > a

сходится ^ данный ряд сходится абсолютно

расходится

an * 0 an ^ 0

признак Лейбница

>(-1)

nan

не выполняется

выполняется

данный ряд расходится по необходимому признаку

надо исследовать структуру данный ряд ряда, так как пр. Лейбница не яв- сходится условно ляется необходимым

Кроме признака Лейбница при исследовании знакопеременных числовых рядов используются признаки Дирихле и Абеля.

Признак Дирихле. Знакопеременный ряд X апЪп сходится хотя бы условно, если:

п=1

ад

1) частичные суммы Бк = XЪ ограничены, т. е. |В„| < С,п = 1,2,3,....;

п=1

w

n=1

n=1

n=1

n=1

w

ниегп

issn 2304-120X Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171006.htm.

научно-методический электронный журнал

2) числа а, (п = 1,2,3,...) образуют монотонную последовательность, стремящуюся к 0.

Замечание. Признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле.

ад п

В самом деле, XапЪп = Х(-1^-1 а > 0,Ъ = (- 1/-1, и для полученного ряда вы-

n=1

к=1

полнены все условия признака Лейбница.

Признак Абеля. Ряд >anbn сходится хотя бы условно, если:

n=1

w

1) сходится ряд > bn ;

n=1

2) числа а образуют монотонную ограниченную последовательность.

Разберем теоретический материал на примерах [7, 8].

ад (_1)п(п-1)

Пример 2. Исследуем на сходимость ряд Х(—„— .

п=1 3

(- 1)п(п-1)

Составим ряд модулей >

3

w ^

. Этот ряд сходится по признаку Коши:

n=1 3

lim = lim n — =1 < 1. Тогда исходный ряд сходится абсолютно по теореме об абсо-

n^w n^w У 3n 3

лютной сходимости.

Пример 3. Исследуем на сходимость ряд >(- 1)n

2n +1 3n +1

Составим ряд модулей >

(-1)

2n +1 3n +1

К

2n +1 1 V 3n +1,

По признаку Коши lim

2n +1) f 2n +1) 2 и n

-I = lim I-I = — < 1. Ряд модулей сходится по ра-

3n +1J n^w^ 3^ +1J 3

дикальному признаку Коши. Тогда исходный ряд сходится абсолютно по теореме об абсолютной сходимости.

Пример 4. Исследуем на сходимость ряд >(-1)

n=1

^n2 +1 > v n - 2 J

Составим ряд модулей >

in2 +1 ^ v n - 2 J

Используем необходимый признак:

lim

n^w

v+1 ^

n2 - 2

= lim

n^w

n211 + Л

n 2i1 --

= 1 ^ 0. Необходимый признак не выполняется, lim a ^ 0.

Ряд не удовлетворяет и признаку Лейбница. Исходный ряд расходится.

ад (_ 1 )п+1

Пример 5. Исследуем на сходимость ряд X ( )

w

n=1

n

n=1

n

n

n=1

n

n=1

n

2

n^w

2

n

n=1

ниегп

issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171006.htm.

научно-методический электронный журнал

Составим ряд модулей ^

(-1)"+1

4ñ

ад ^

. Этот ряд расходится как ряд Дирихле

и=1 V n

с p =1 < 1. Тогда исходный ряд проверяем по признаку Лейбница: общий член ряда

2

стремится к 0 lim an = lim = 0; члены ряда монотонно убывают. Покажем это, соста-

n^w и^го д/n

вив функцию, по которой образуются члены ряда, если n = 1,2,3,...... Эта функция

1 1 f (x ) = . Ее производная f '(x ) =--^ < 0, что показывает монотонную убывае-

Vx 2Ы x3

мость членов ряда, если вместо x подставлять n = 1,2,3,...., то есть каждый последующий член ряда меньше предыдущего члена.

Ряд сходится условно, так как он удовлетворяет признаку Лейбница, и при этом ряд модулей расходится.

ад ^

Пример 6. Исследуем на сходимость ряд V(- l)n-1 —.

„=i n

Составим ряд модулей ^

(- 1)п 11 n

ад ^

= V —. Это ряд гармонический, он расходится.

n=1 n

Ряд модулей расходится. Тогда исследуем исходный ряд по признаку Лейбница.

Проверим выполнение двух пунктов этого признака: 1) общий член ряда стремится к 0 lim аи = lim1 = 0; 2) покажем монотонную убываемость членов ряда. Для

я^ад я^ад n

этого составим функцию, по закону которой получаются члены ряда / (х )=1. Ее про-

X

изводная / '(х ) = —1 < 0, а значит, каждый последующий член ряда меньше предыду-

Пример 7. Исследуем на сходимость ряд ^an sin na при условии, что невозрас-

;=-— << X

щего члена.

Ряд удовлетворяет признаку Лейбница, поэтому он сходится. Но эта сходимость условная, так как ряд модулей расходится. Ряд сходится условно.

ад

>n n=1

тающая последовательность \an }ад=1 стремится к 0.

Если a = 2ят, т е Z, то sin 2тп = 0 при всех n е N и ряд сходится.

ад

Пусть a^ 2жт,m е Z. Докажем, что частичные суммы ряда ^sin na ограничены

n=1

ад

i—* _ a a a

в совокупности. Пусть Sn sin na. Тогда sin— Sn = sin—sin a + sin—sin2a +.... +

n=1 222

. a . 1

+ sin —sin na = — 2 2

í

a 3a i 1 cos--cos— | + —

2 2 J 2

í

3a 5a | 1

cos--cos — | +......+ —

2 2 j 2

у 2 2 j 2 у 2 2 j 2 у

1 ( a (2n + 1)a| (n + 1)a . na cos--cos —-— | = sin --— sin-

(2n - 1)a (2n + 1)a

cos----cos --—

22

У 2 2 J 2 2

.. . a „ (n + 1)a . na

Итак, sin — S = sin —-sin-.

2 2 2

n=1

ниегп

issn 2304-120X Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171006.htm.

научно-методический электронный журнал

_ а

Отсюда, учитывая, чтоаФ 2rnn, m е N и, следовательно sin — ф 0, получаем

2

. (n + 1)а . „ na sin --sin 2 — ^

В =-2-—, ^-■ Таким образом, для любой невозрастающей по-

a sin — 2

a

sin — 2

следовательности {ап}, являющейся бесконечно малой при n ^ да, и любом а е R ряд

ад

Xa sin na удовлетворяет условиям признака Дирихле и поэтому сходится.

n

n=1

Пример 8. Исследуем на сходимость ряд Z —т=a arctg n.

n=1 yin

n=1

W

^ sin na

Из предыдущего примера следует, что ряд X—=— сходится при

n=1 yin

любом ae R

поскольку последовательность не возрастает и является бесконечно малой. Возрастающая последовательность {аг^ п}ад=1 стремится к у при п ^ад. Следовательно,

в силу признака Абеля исследуемый ряд сходится при любом а е Я.

Подводя итог, сформулируем основные положения методики исследования на сходимость знакопеременных рядов:

1. Исследовать знакопеременный ряд на сходимость - это значит ответить на вопрос, сходится ли ряд, и если сходится, то как - абсолютно или условно.

ад

2. Исследование знакопеременного ряда Xа на сходимость полезно начи-

n n = 1

W

нать с исследования на сходимость ряда из модулей XKI, применяя необходимый

n

n=1

и достаточные признаки.

3. Если на втором этапе доказана сходимость ряда из модулей, то исходный ряд сходится абсолютно по признаку абсолютной сходимости. Если ряд модулей расходится, то используем далее признак Лейбница, Дирихле или Абеля, и если они выполняются (общий член ряда при этом стремится к 0 и члены ряда монотонно убывают), то данный ряд сходится условно. Если признаки не выполняются, то надо исследовать структуру ряда, так как эти признаки не являются необходимыми. Если общий член ряда не стремится к 0, то исходный ряд расходится

4. Если расходимость ряда модулей доказана по необходимому признаку, то ответ готов - исходный ряд расходится.

Для самостоятельной работы и повторения практического материала можно предложить следующие задачи [9, 10].

Исследовать на абсолютную и условную сходимость данные знакопеременные числовые ряды:

f (-1)"1 . ^ cos "a . у (- 1)" ' " . у (-1)" 'lnVn. у (-1)". у (-1) ¿2"-V" ' Ъ> 2" ' tilOOn +1 ' ti уШ ' ti (3" - 2)' i(2n - 1)3n - 1-3• 5• ....(2"-1). ^ (-1)" . v(-1)" ■ vi iV^ * -V (-1)^n ™

У(_ 1)n13•5• ....(2n-1). Z V-1 . . y(- 1)n.Z

n=1 5• б• V• ....(n + 4)' n=2 n + ln2 n ' ln6V^' Z 2Vn'tí 2n n+1

ниегп

issn 2304-i20x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171006.htm.

w «+1 10

n

научно-методический электронный журнал

ж

\n w

V(-1) \; v(-Г-^; V(- 1)n; V3rr(- 1}V;¿T77

n=1 n! 2vn 3 Vn arctg 4n «=W" + (-

(-1)"

n = 2 n^(ln n + 5)3 n + 2

V(- 1)n

n=1

n! .

(2n);

V (-1)n-1

arctg3

(n -1)3

n=1

n4 + 3n2 + 2

V (-1)n-1

n

n=1

2n2 +1

V (-1)n-1

n=1

(n3 - 1)2

w / 1 \n+1 j/,9 w

v чм-; v (-1)n

5

n-1

n=1

w

17 2

n + n

(n -1)! n=1

\ n-1

w 1 w i Л \n w

; V(-1)Wtg1;V(-1)n-1 (—гJ ;V(-1)

n n=1 V2n + 1 „=1

-1 2n • n!.

n n=1

1 1

n

V( 1Y-12n1a ж ■ V ( 1)n-1 (n- 1)3 ; V ( 1)n 1 g 1 ■ V ( 1)n-1 1 •4 • 7-(3n- 2) ■ V(-1) 2tg- ■ V(-1) „4 , ^ , о V(_1) ntg7n V(_ ) 7• 9•11...(2n + 5) ■

n=1

n4 + 3n2 + 2'

w 1 w f 1/t \ w w

V (-1)n cos1 ■ V (-1)n-1 [-^tJ ; V (-1)n И-1) ■ V (-1)

n=1 n n=1 V n + 2' n=1 n=1

43

5

n-1

v

(-1)

n(2n+l)

n=1

n3

( n-1)!

w r\ n

; V (-1)n--;

n=1

n3

n

n

; V

(-1) n+1 n

1 . Vf-1 V-1 (n 1) ■ V t _i4"-1 n .У/ I\"-1

1 'v ( 1) 4 -> 2 ( 1) / im'V ( 1) / im'v 17 2

Inn n4 + 3n2 + 2 (n +1)! (n +1)! t! n + n2

Возможные варианты контрольной работы по теме «Числовые ряды»:

1. Исследовать сходимость рядов:

1. V ln[1 +1J

n=1

2 V

w • 2

sin na

n=1

w

3. V (-1)n(^2 -1)

n=1

w

4. V (-1)n

n=1

w

(3n)2

5. V (-1)n-1

n

n=1

(n +1)!

1.

2.

3.

4.

5.

n=1

2. Исследовать сходимость рядов: 5n + nЛ

5n + 2.

X ч 2 n2

w / о ^ 2'

( 3n

V

1V 3n - 3^

1 (n- 1)3

V ( 1)n

n=1

w / 1 \n+1 ,„9

n4 + 3n2 + 2

(-1) n+1 n9

— 17 2

n=1 n17 + n2

V ( 1)n

5

n 1

(n-1)!

1. V

3. Исследовать сходимость рядов: ln(n!)

4. Исследовать сходимость рядов: 1

n=1

n

n=3

n ln n ln ln n

" ln100 n пж

2. V-sin-

n=1

w

n 4

n+1

^ (-1)" . пж

Vsin

"=1 2

n + 1

3. v

(-1)

(-1)"

2

n=1 (2" -1)2

w "("-1) ^

2

4. v (-1) 2 "2 [1 —

n=1

w

n

n

5- V

(-1)

"-1

"=1

(2n-1)3"

n=2

w

V

"=1

w Vw

V" + (-1)"

(-1)" sin2 n

(-1)

n

"(2 n+1)

n

ln n

n

w

n=1

n

n=1

2

w

n=1

w

n

2

n

1

w

n=1

w

w

1

"=1

Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость знакопеременных числовых рядов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V8. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171006.htm.

Ссылки на источники

1. Маркушевич А. И. Ряды. Элементарный очерк. - М., 2013. - 32 с.

2. Власова Е. А. Ряды / под ред. В. С Зарубина, А. П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 673 с.

3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. - 575 с.

4. Апарина Л. В. Числовые и функциональные ряды. - СПб.: Лань, 2012. - 160 с.

5. Власова Е. А. Указ. соч.

6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. - М.: Физматлит, 2006. - 607 с.

7. Григорьев Е. А. Числовые и функциональные ряды. Теория и практика. - СПб.: Научный мир, 2005. -216 с.

8. Сборник задач по высшей математике / К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко. -М.: Айрис Пресс, 2007. - 379 с.

9. Григорьев Е. А. Указ. соч.

10. Сборник задач по высшей математике / К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко.

ISSN 2304-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Irina Kandaurova,

Senior Lecturer, Moscow N. E. Bauman State Technical University, Moscow [email protected]

Research methodology on alternating number series convergence

Abstract. The article demonstrates the research methodology on alternating number series convergence, providing a clear scheme of research. This work covers material sufficient for the section part "Number series" learning, which relates to alternating number series. It is intended for engineering students, however, it will be useful to anyone interested in the theory of series. The article presents recommendations in form of tasks and examples for practical classes preparation, control work, homework, exams. There are also tasks for independent work. The article can be used by teachers conducting practical classes. The author presumes that the reader knows the basic theoretical concepts of infinitely small and large quantities, their comparison, different ways of calculating limits; possesses knowledge necessary for positive number series convergence study.

Key words: alternating number series, necessary and sufficient conditions for convergence, conditional and

absolute convergence, Leibniz, Dirichlet, Abel signs.

References

1. Markushevich, A. I. (2013). Rjady. Jelementarnyj ocherk, Moscow, 32 p. (in Russian).

2. Vlasova, E. A. (2000). Rjady, Izd-vo MGTU im. N. Je. Baumana, Moscow, 673 p. (in Russian).

3. Piskunov, N. S. (2006). Differencial'noe i integral'noe ischislenija. T. 2, Integral-Press, Moscow, 575 p. (in Russian).

4. Aparina, L. V. (2012). Chislovye i funkcional'nye rjady, Lan', St. Petersburg, 160 p. (in Russian).

5. Vlasova, E. A. (2000). Op. cit.

6. Fihtengol'c, G. M. (2006). Kurs differencial'nogo iintegral'nogo ischislenija. T. 2, Fizmatlit, Moscow, 607 p. (in Russian).

7. Grigor'ev, E. A. (2005). Chislovye i funkcional'nye rjady. Teorija ipraktika, Nauchnyj mir, St. Petersburg, 216 p. (in Russian).

8. Lungu, K. N. et al. (2007). Sbornik zadach po vysshej matematike, Ajris Press, Moscow, 379 p. (in Russian).

9. Grigor'ev, E. A. (2005). Op. cit.

10. Lungu, K. N. et al. (2007). Op. cit.

Рекомендовано к публикации:

Утёмовым В. В., кандидатом педагогических наук; Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 25.06.17 Получена положительная рецензия Received a positive review 13.07.17

Принята к публикации Accepted for publication 13.07.17 Опубликована Published 13.08.17

www.e-koncept.ru

© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2017 © Кандаурова И. Е., 2017