К асимптотической теории течения вблизи задней кромки эллиптического профиля Текст научной статьи по специальности «Физика»

Т о м XI

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

198 0

М 4

УДК 532.526.5

К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ЗАДНЕЙ КРОМКИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

Г. Л. Королев

Исследуется ламинарный поток несжимаемой жидкости в окрестности задней кромки тонкого эллиптического профили при больших числах Рейнольдса (Ие). Толщина ирофиля предполагается величиной порядка Яе-' 16, что, как показано ниже, соответствует режиму перехода безотрывного обтекания к течению с отрывом в окрестности задней кромки профиля. В результате численного решения системы соотношений для области свободного взаимодействия найдено значение асимптотического критерия подобия, соответствующее появлению отрыва потока.

Классическим примером течения, которое не может быть полностью описано в рамках теории пограничного слоя, является течение в окрестности задней кромки тонкого профиля. Для пластины эта теория дает решение Влазиуса. Однако, чтобы удовлетворить условию нулевого трения в следе, необходимо ввести вдоль оси следа тонкий подслой [1). Вертикальная составляющая скорости, индуцируемая этим подслоем, имеет особенность при стремлении к задней кромке. Поэтому в следующем приближении по числу Яе она вызывает во внешнем невязком потоке отрицательный градиент давления, который ведет себя также особым образом. Учет этой особенности приводит к появлению в окрестности задней кромки пластины области свободного взаимодействия [2, 3). Численный расчет для этой области выполнен в работе [4]. В работах [5] и [6] проведено исследование воздействия на течение вблизи задней кромки неблагоприятного градиента давления, обусловленного углом атаки пластины или толщиной профиля, имеющего угловую заднюю кромку. Для этих задач в работах [7) и [8( были численно найдены асимптотические значения угла атаки и толщины профиля, при которых впервые происходит отрыв потока.

Настоящая статья посвящена исследованию течения в окрестности задней кромки тонкого эллиптического профиля и влияния его толщины на течение в рассматриваемой области. В отличие от профиля с угловой задней кромкой эффект толщины эллиптического профиля не приводит в нервом приближении к появлению неблагоприятного градиента давления на профиле. Однако за профилем поток ускоряется, так как градиент давления в первом приближении здесь отрицательный. Учет влияния этого эффекта на распределение давления приводит в последующем приближении к появлению положительного градиента давления на профиле. Показано, что для значений толщины профиля порядка Ие-7"6 эффект торможения потока на профиле проявляется одновременно с эффектом разгона, обусловленным влиянием задней кромки в области свободного взаимодействия.

Постановка задачи. Рассмотрим обтекание тонкого эллиптического профиля двумерным потоком вязкой несжимаемой жидкости (рис. 1). Отнесем все размеры к хорде профиля /, компоненты

< < I I г ■ -

Рис. 1

вектора скорости—к скорости на бесконечности 1)^, а приращение

давления р—рх — к величине р£/«, где ¡> — плотность жидкости.

Ь' I

Число Рейнольдса задачи определим как Ре =—-—. V —кинематический коэффициент вязкости.

Пусть х, у —ортогональная система координат, связанная с нулевой линией тока, а х, у — декартовая система. Начало координат совпадает с задней кромкой. Уравнение для профиля эллиптической формы запишем в виде

у-~2-У— х(1 + х), - 1 < л- < О,

где т —малый параметр, зависящий от числа Рейнольдса (■: — О при Ие -» по).

Тогда для распределения давления на профиле и в следе получаем, используя результаты для тонкого профиля |9], следующие выражения при х->-0:

Р — 'Р 1 -г .. . , |

/,, = -1. * <0, (1)

/>, = -( 1-х-"2), х>0. )

Пограничный слой на профиле и в следе удобно рассматривать в переменных Мизеса:

* = оЧ\ 5 = Ре-12,

= + ____

1/= 5(1/,-ИУ, -ПК, + ...), Р =* 'Рх + + • • • + "2 Рз + Ъ'Ра +

Тогда для нулевого приближения получим

д1Гр__д_(п ди0\.

дх ~ [и<> ) ' и0 1 при Ч" — -ь эо;

и0(х, 0) = 0 при х <0;

дЦ о

дЧ' ч=о"

= 0 при ДС>0.

При л-<0 получаем для £У0 решение Блазиуса, которое при дг-* — 0 имеет вид

(4)

причем при Ч" 0

И —п №1/9__1_ 1Г? I

иоо—аоч 15 в„

В следе, для того чтобы удовлетворить последнему условию из (3), введем вязкий подслой [1]:

и0

VI

х ' ^о

(5)

Подставив (5) в (3), получим уравнение для определения функции /0

~3"/о з" т'/о~ (/«/о)'»

/0(0) = 0 при -г) - + со, Из уравнения неразрывности

о 1 I/ _;/ ¿'«о

и0 ' 0

(6)

получаем, что при *<0 функции л„ и регулярны, а при а: > 0 в подслое п0=х1'3 Л'0(ч)» гДе величина Л'0 определяется из уравнения

(7>

Из (6) и (7) найдем асимптотическое разложение для функции

Лг0(т() при г, - + <50

При Ч'~1(х>0) л0 = г(ЧГ) + ^0(х)+... .

Сращивая решение для я0 при Чг->-0(г^-—с решением для л„ в подслое, получим

<70 (х) = с„х] \

причем из численных результатов [2|, следует, что с0=0,892(а5 2)-13-Ю

Можно получить также, что при Ч' -* 4- со

Ц,- А"23. (8)

Сращивая (8) с внешним потенциальным потоком, найдем краевое условие для определения рг при |х|-*0:

оа

(9)

Рассмотрим теперь задачу для функций периого приближения:

= + V* "г У+'и х (и0 Щ;

4а. в о-

ш и>

СГ,(х,0)=0; х<0; а»- | Т=о ' х ^ •

(10)

Из соотношений (1), (4) и (10) следует, что при х— 0 решение для и} и 1/, регулярно. При х>0 градиент давления имеет особенность, поэтому при дс->-+0 и Ч' — 1 течение является локально невязким

U0Uí-\~Jc-^>*+gl^V)+... . (11)

Это решение не удовлетворяет условию отсутствия трения вдоль оси следа. Поэтому необходимо ввести вязкий подслой, где

и01\ х~зп и'1 - - ———— . •

х V» '

£/,-*-»•/.(«Г*"2®).

Подставляя эти выражения в (10), получим:

- ~т /0/1 - 4 =Т+/.СЛ/.Г+/. (/о /;)';

(0) = о.

Из асимптотического выражения для /, при ^->- + 00 путем сращивания его с решением (11) найдем:

= ЧГ-*« —1+ . .. при Ч'->0.

На основании уравнения неразрывности имеем

___У± 1/ —и <>!1*.а.1] /1о\

Ж— и* ' дх дх •

В подслое //] = х-5,6Л^, (т)) + •

-'о

, ЛГ,<0)-0. (13)

Из (13) получим асимптотическое выражение для А', при

Т-+0

В локально невязком потоке при Х-++0 и Ч' — О

1х~ 1/2

"о

Сращивая решение для «, в невязком потоке с решением для n^ в подслое, получим

?,(*) = с, х-5'6.

Вертикальную составляющую скорости теперь можно найти на основании второго из уравнений (12)

V, = —с, дг-11/6 4- . . . при Ч' — + оо.

Сращивание с внешним потенциальным потоком дает выражение для вклада в величину давления разгоняющейся части потока:

5

Рк — тМ— *)-"• + . . . при х-*—0. (14)

Область свободного взаимодействия. Рассмотрим разложение (2) для величины давления на профиле при х-*— 0. Из соотношений (1), (9), (14) следует, что при лс~884 четвертый член в выражении для давления становится по порядку величины равным второму члену, если т— 87*. Третий член />8= — 2/х оказывается внепорядковым. Если х>878, то четвертый (или третий) член в выражении для давления становится много больше второго, и отрыв неизбежен. Поэтому рассмотрим случай, когда - = 878где х0 — величина порядка единицы, характеризующая относительную толщину профиля. В этом случае из условия сращивании в основной части пограничного слоя получим:

и = и'о + + + £/? + .. . ; л- = 63<л:*; <р = 8«Г; р —14'р* + Ьзар*2 + Vя р; + . .. ;

V = 8'р VI + • . • ; я = 8 (я* 4- 814я* + ...).

Подставляя эти разложения в уравнения Навье—Стокса, найдем

и1-и'о{Чу, и1(А+р\ = «,(Ч"); р' = р\(X*); (15)

= «о(Ч*); «; = «:(х*); Ъ^и'о-дп'/дх*; (16)

и'0и*з + р1 = Н5(Ъ-).

Сращивание величин ¿/о, и Нъ при х -* — оо дает

¿УГ,(Ч-) = ^0(Ч); А/,(Ч') = 0; («■)-%(» +0(ЧГ)) при ч-о.

С другой стороны, при л* — + оо и Ч" О

Н, (ЧГ) - т„ (</, «Г- 3 4 + 1 + 0 («Р)),

поэтому необходимо из всего семейства решений для /, выбрать такое, где ¿/, = 0. Таким образом, постоянная с, определяется однозначно и равна 0,327 (—/2)-5/3.

Рассмотрим теперь вязкую область, в которую приходит тонкий подслой при х ~ 834. В этом случае разложение имеет вид

«Г = б3 2 Ч"*; д: =

у* + . . . ;

V = 83'4 V* + . . . ; + . . . , р = р* + . . . .

Подставляя это разложение в уравнение Навье — Стокса, получим

и дх* ' дх" —и дЧ * ^ ^Г^)' дЧГ* и'

дп* 1 дп* V*

¿4'* — ¿7» ' дх* U*

(17)

Сращивание решения в этой вязкой области с верхним слоем и решением слева при х* — — со дает краевые условия, необходимые для интегрирования системы (17):

и* = а0 Ч'ч/2 + . . . при «Р* - + оэ; ¿/* —авУ 1Я+... при а* - - со.

Для замыкания системы необходимо рассмотреть внешний потенциальный поток, где согласно сращиванию с внешним решением при .V* -»> +• ос разложение имеет вид:

х = &*х*, у = Ь3*у*, +... ,

Решение для этой области показывает, что давление и наклон линий тока при >* = 0 связаны интегральным соотношением

р,.(х*,0) = ± JJ^yiA.

Из соотношений (15) и (16) можно получить, что в основной части пограничного слоя в области свободного взаимодействия в первом приближении наклон линий тока и давление передаются поперек пограничного слоя без изменения. Поэтому

V^(x\ 0)=Yo'(x*)+ lim

Р\ * (х*, о) = Р*(Х*),

Т* | X* | "2, **<0,

0, х* >0.

у; (*•>«{

Сделаем следующее групповое преобразование и перепишем поставленную задачу в ортогональной системе координат:

д.* = я- 5,4 х, у* = а~ 3'4 К, и*

а14м,

1'* = а-3«у,

р* = ач*р„, Уо = а~34 У0, а =

Тогда

да

дХ

V

1ч

дУ

¿р.

с1Х

д'и

дуг ;

ди ду _р.

дх ' <*>' —и;

н(лг, 0) = 0 при х<0;

О при х > 0;

аи дУ

¿7 = У 4

I > =о

при У -»4- о° или А'

оо;

А' (О — У0(0

—ж

= —Иш

X

V и

м-

Уп

| 2а | А" |1г, А<0,

0,

р _ 1^892 2/3 зКЗ

р.'-лХ-ч'^Щ- А'-23 -3 VI

А>0;

. , А — — со;

А" -* 4-

ос.

(18)

Входящая величина а является критерием подобия задачи

1/8

(19)

Результаты расчета и обсуждение. Численное интегрирование поставленной задачи проводилось в переменных завихренности и

функции тока «» = ди^У, Ч'= \ 1)<1У\ \ о

с использованием метода

установления, в котором условие взаимодействия выполняется на каждом временном слое [10]. Расхождение результатов такого расчета для случая « = 0 с результатами, полученными в [4], не превышает 2%.

На рис. 2 представлено распределение давления р# вдоль области свободного взаимодействия при различных значениях параметра подобия а.

На рис. 3 слева дано распределение трения на стенке профиля, а в правой части рис. 3—распределение скорости вдоль оси следа. Отрицательные значения трения и скорости соответствуют области отрыва потока.

Картина течения для случая а = 3 изображена на рис. 4. Заметим, что отрыв потока впервые происходит при а =1,8.

В окрестности передней кромки профиль представляет параболу, пограничный слой на которой в первом приближении не

Рис. 2

отличается от пограничного слоя на пластине. Поэтому входящая в критерий подобия задачи величина а может быть определена из решения Блазиуса. Она равна а =■ 0,33206. Таким образом, для любого тонкого эллиптического профиля можно указать число Рей-нольдса (Реотр), когда впервые на его поверхности возникает ламинарный отрыв. Число Ре01р в зависимости от относительной толщины профиля 2-е равно 5,25 •т-167.

Интересно отметить отличие полученного параметра подобия (19) для области свободного взаимодействия от найденных в работах [5] и (8). В этих работах критерий подобия определяется как отношение характерного размера (приведенной толщины или угла атаки) к величине трения в положительной степени. Такая разница объясняется, по-видимому, тем, что на эллиптическом профиле, в отличие от упомянутых выше задач, в первом приближении градиент давления отсутствует и основную роль играет эффект разгона потока за профилем в следе.

Из расчетов видно, что область свободного взаимодействия не устраняет разрыва в величине трения на нулевой линии тока. Это сглаживание происходит в меньшей по размеру области, где

Автор благодарит В. В. Сычева за руководство работой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Goldstein S. Consenting some solutions of the boundary-layer equations in hydrodynamics. .Proc. Cambridge Phil. Soc*., vol. "26, N I, 1930.

2. Messiter A. F. Boundary layer flow near the trailing edge a flat plate. SIAM J. App. Math., vol. 18, N 1, 1970.

3. S tewartson K. On the flow near the trailing edge of a flat plate. Mathematica, 1969, II, 16.

4. Jobe С. E., Burgraf O. R. The numerical solution of the asymptotic equations of trailing edge flow. Proc. Roy. Soc., London, A, vol. 540, N 1620, 1974.

5. Brown S. N.. Stewartson K. Trailing-edge stall, .J. Fluid .Mech." vol. 42, part. 3, 1970.

6. Riley N., Stewartson K. Trailing edge flows. .J. Fluid .Mech"., vol. 39, part. 1, 1969.

7. Chow R, Melnic R. E. Numerical solutions of the triple-deck equations for laminar trailing-edge stall, Proc. 5th Int. Conf. Num. Meth, in Fluid Dyn., Lecture Notes in Physics, 1976, vol. 59.

8. Рубан А. И. К асимптотической теории течения вблизи задней кромки тонкого профиля. .Ученые заииски ЦАГИ\ т. 8. J« 1, 1977.

9. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М., .Мир", 1967.

10. Королев Г. Л. Численное решение асимптотической задачи об отрыве ламинарного пограничного слоя от гладкой поверхности. .Ученые записки ЦАГИ", т. 11, № 2. 1980.

Рукопись поступила 10/VII 1978 г.