Асимптотической теории течения вблизи задней кромки тонкого профиля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том VIII 1977

№ I

УДК 532.526.5

К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ЗАДНЕЙ КРОМКИ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ

А. И. Рубан

Исследуется ламинарный поток несжимаемой жидкости в окрестности задней кромки тонкого профиля при больших числах Ре. Толщина профиля предполагается величиной порядка Ке_1/4, что соответствует режиму перехода безотрывного обтекания к течению с отрывом потока в области свободного взаимодействия. В результате численного интегрирования системы соотношений, описывающих такие течения, найдено значение асимптотического критерия подобия, соответствующее появлению отрыва.

Поток в окрестности задней кромки тонкого профиля или пластины является одним из наиболее известных примеров течения, которое не может быть полностью описано в рамках теории пограничного слоя. Вдоль пластины эта теория дает решение Блазиуса, так что поток в пограничном слое подходит к задней кромке с положительным трением на твердой поверхности. С другой стороны, на оси следа трение равно нулю. Исходя из этого, в работе [1] в рамках теории пограничного слоя было показано, что продолжение решения для пластины за ее заднюю кромку требует введения тонкого подслоя вдоль средней линии следа. Вертикальная составляющая скорости, индуцируемая этим следом, имеет особенность при стремлении к задней кромке. Поэтому давление во внешнем потоке в следующем приближении (по числу Рейнольдса Ие) также имеет особенность, вызывая в пограничном слое изменения, нарастающие при приближении к задней кромке.

В результате в окрестности задней кромки появляется область свободного взаимодействия [2, 3]. Численное решение задачи для этой области было найдено в работе [4]. Результаты расчета показывают, что в области свободного взаимодействия трение вдоль поверхности пластины остается всюду положительным и растет при приближении к задней кромке.

Настоящая работа посвящена исследованию влияния толщины профиля на течение в рассматриваемой области. Толщина профиля

предполагается величиной порядка Ие-14. В этом случае эффект разгона потока, обусловленный наличием задней кромки, проявляется одновременно с эффектом торможения потока, который является следствием ненулевой толщины профиля [5]. Аналогичные результаты для течения в окрестности точки излома твердой поверхности были получены в работе [6].

Постановка задачи. Область свободного взаимодействия. Рассмотрим симметричное обтекание тонкого профиля двумерным потоком несжимаемой вязкой жидкости (фиг. 1). В настоящей работе используется ортогональная система координат (А, У), связанная с нулевой линией тока. Размеры отнесены к длине профиля I, компоненты скорости — к ее значению'в набегающем потоке Vоо,а приращение давления р роа— к рЗдесь р — плотность жидкости.

Пусть е2 = Re-1 =• v/L‘0Co 0. Предположим, что для угла раствора задней кромки имеет место соотношение

0 — г12 2 Л.

Здесь А — некоторая положительная постоянная.

В этом случае в окрестности задней кромки лежит область свободного взаимодействия [2, 3} длиной 0(е3''4). Эта область состоит из трех слоев. Нижний пристеночный слой толщиной 0(е5/4) является вязким и описывается уравнениями Прандтля. Для внешнего слоя, который является потенциальным потоком с толщиной 0(е3’4), верна обычная линейная теория. По этой теории давление определяется через величину наклона линий тока, вызываемой вязким подслоем. Таким образом, задачи для пристеночного слоя и внешнего потенциального потока должны решаться совместно. Средний же слой толщиной О (s) переносится вдоль потока как целое и не влияет в основном приближении на распределние толщины вытеснения.

Заметим, что. единственным отличием рассматриваемого здесь течения от потока в окрестности точки излома твердой поверхности [6] является наличие следа, где условие прилипания должно быть заменено на условие равенства нулю трения вдоль нулевой линии тока. Это означает, что течение в области свободного взаимодействия описывается следующим образом:

Y

Фиг. 1

X

U ÈH- о- \7 яи ',п да и Æ.

éX or ал дуз ’ дХ дТ

(1)

U = У + . . . при X -* — оо или У оо, V ( X, 0) — 0, Ü(X, 0) = 0 при Х<0; Цг = 0 при * > 0;

на действительной оси

\rnf- Уо + О, р(Х) = ие/,

где

и /(г) аналитична в верхней полуплоскости,

/= -1пг +0(1) при 2 -»■ оо.

Критерий подобия а определяется соотношением

а = Л/а1/2,

где а — безразмерная величина трения на стенке при X — 0 для пограничного слоя, лежащего слева от области свободного взаимодействия.

Численный расчет. Численное интегрирование задачи для области свободного взаимодействия проводилось с помощью метода конечных разностей, причем решение соответствующей системы алгебраических уравнений находилось с помощью „двойной релаксации“: релаксации решения во внутренних точках расчетной сетки и релаксации краевого условия.

Соотношения (1) для пограничного слоя представим в виде

Здесь и = ди!дУ — завихренность потока. Кроме того, введена функция г = и — У; А (X) — величина, входящая в асимптотическое выражение для функции тока

Введем {Х]\ Ук} и предположим, что в узлах сетки известно распределение завихренности {(«^)й} функции и скорости вдоль

оси следа { (С/|р=»о )/’} на г'-й итерации; тогда соотношения (3) определяют распределение функции тока Новое значение

---------- — Я (л Л2 ел

где

при У + оо;

(2)

г(Х, 0) = 0 при *<0; т{Х, 0) = 0 при *>0.

Ь = -^-У* + А(Х) У-^1пУ + . . . при + оо.

Функция тока <|» определяется соотношениями

№ 0) == О, §(Х, 0)=и_ .

оУ2 о У у=о

(3)

вихря {<“£+й1)} находится по [А<р] из уравнений импульса и неразрывности (релаксация во внутренних точках сетки);

ак 1 + ьк^ь + Скш(/Л+1 + = 0, к = 2, , N — 1, (4)

'и'-" =4№Л + “Г.”!-1. ЛГ-1. (5)

Д У

Здесь коэффициенты ак, Ьк, ск определяются через а (1к

является, кроме того, функцией завихренности.

Производная дт/дХ аппроксимируется левосторонней или правосторонней разностью в зависимости от знака продольной скорости [7, 8]. Значения завихренности на рассматриваемой вертикали считаются неизвестными, а для соседних вертикалей используются ранее найденные значения завихренности.

Для решения уравнений (4), (5) выберем прогоночные соотношения в виде:

,'к к ^ I * = 2, . . . , М

■ г* = + Ои ]

Тогда внешнее краевое условие системы (2) дает

' Г N ' г N

Теперь уравнения (4), (5), используемые в точках к = Ы—1, ...2, позволяют получить значения прогоночных коэффициентов для этих же точек. Рассматривая, наконец, уравнение (5) при к = 1 и используя прогоночные соотношения для к — 2, получим, что при Х<0

—=■ С2 + 2—(¡2 ___

= —---------2----- • )/‘+5> = °*

^?2 4“ 1 — —--

д у

при Х^>0

Это и позволяет получить новое распределение завихренности {«5*+*)} вдоль каждой вертикали.

Новое приближение для функции находится из условия

взаимодействия с внешним потенциальным потоком:

СО

(У0 — Л)"=- —

40 Я .1

—О©

Здесь использовалась описанная в работе [6] процедура (релаксация краевого условия).

Расхождение результатов такого расчета для случая а = 0 с результатами, полученными в [4], не превышает 1,5%.

На фиг. 2 представлено распределение приращения давления Др вдоль области свободного взаимодействия. Интересен случай а =— 0,5, когда эффекты разрежения и поджатия потока приблизительно уравновешивают друг друга. На левой части фиг. 3(А'<0) изображено распределение трения на стенке при различных значениях критерия подобия я, а на правой части этой фигуры приведена скорость на оси следа. Отметим, что отрицательные значения трения на стенке и скорости вдоль оси следа соответствуют области

Фиг. 2

Фиг. 4

¿7,4 х

Фиг. 3

отрыва потока. Через л;, у здесь обозначены декартовы координаты. Картина течения для <х = — 3,0 изображена на фиг. 4. На фиг. 5 показана зависимость величины трения на конце профиля от критерия подобия а. Видно, что отрыв впервые происходит при а = — 2,6.

Обсуждение результатов. Результаты расчета показывают, что в общем случае область свободного взаимодействия не устраняет разрыва в трении на нулевой линии тока, который возникает на задней кромке профиля. Это сглаживание происходит в меньшей по размеру области (X—УНе_3/4), где течение описывается полными уравнениями Навье — Стокса.

Сделаем некоторые замечания относительно используемого численного метода. Во всех проведенных здесь и ранее в [6] расчетах процедура релаксации краевого условия оказалась сходящейся. Существенные ограничения, однако, накладывает требование сходимости решения во внутренних точках сетки: итерацион-

ный процесс становится расходящимся при достаточно больших зонах отрыва. В данной работе, например, не удалось добиться сходимости для я, равного — 3,5.

Автор благодарит В. В. Сычева за руководство работой, Г. Л. Королева за помощь в проведении расчетов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Goldstein S. Concerning some solutions of the boundary layer

equations in hydrodynamics. Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 26, part. 1, 1930. '

2. S t e w a r t s о n K. On the flow near the trailing edge of a flat plate. Mathematika, N 16, 1969.

3. Messiter A. F. Boundary-layev flow near the trailing edge of a flat plate. SIAM J. Appl. Math., vol. 18, N 1, 1970.

4. J о b e С. E., В u r g g r a f O. R. The numerical solution of the asymptotic equations of trailing edge flow. Proc. Roy. Soc. London, A, vol. 340, N 1620, 1974.

5. Riley N., Stewart son K. Trailing edge flows. J. Fluid Mech., vol. 39, part 1, 1969.

6. Рубан А- И. К теории ламинарного отрыва жидкости от точки излома ївердой поверхйости. »Ученые записки ЦАГИ, т. 7, № 4, 1976.

7. Klineberg J. М., StegerJ. L. On laminar boundary-layer separation. A1AA Paper N 74 — 94.

8. Carter J. E. Solutions for laminar boundary layers with separation and reattachment. AIAA Paper N 74 — 583.

Рукопись поступила 29jl ¡976 г.