Численное решение асимптотической задачи об отрыве ламинарного пограничного слоя от гладкой поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ

Т о м XI 1 9 8 0 №2

УДК 532.526.5

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ОБ ОТРЫВЕ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ОТ ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Г. Л. Королев

Излагается численное решение задачи об отрыве ламинарного пограничного слоя при больших числах Рейнольдса для области свободного взаимодействия. С помощью предложенного численного метода показано существование решения этой задачи. Проводится сравнение с известными приближенными решениями.

За последнее десятилетие были достигнуты существенные успехи в асимптотической теории ламинарного отрыва потока жидкости или газа от твердой поверхности при больших числах Рейнольдса. В это время появился ряд работ [1—4], которые показали, что классическая теория об отрыве потока при больших числах Рейнольдса должна быть пересмотрена. Классический подход состоит в изучении поведения пограничного слоя под воздействием заданного неблагоприятного градиента давления. При этом точка отрыва считается совпадающей с точкой нулевого трения, создаваемого пограничным слоем на обтекаемой поверхности. Однако было обнаружено [5, 6], что если градиент давления в соответствии с теорией Прандтля полагать заданным, то при приближении к точке отрыва решение уравнений пограничного слоя имеет особенность и не может быть продолжено за эту точку. Учет свободного взаимодействия в окрестности этой точки не позволяет „сгладить" решение и продолжить его за точку отрыва [7]. С другой стороны, в работе [8] было показано, что если градиент давления не является заранее заданным, а определяется в некоторой окрестности точки отрыва самим пограничным слоем, то упомянутая особенность может отсутствовать. Это обстоятельство приводит к выводу, что в реальных течениях вблизи точки отрыва всегда имеет место взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком.

Решения такого типа были получены с помощью приложения метода сращиваемых асимптотических разложений к анализу урав-

нений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса. В работах [1,2] было показано, что отрыв потока в сверхзвуковом случае является самоиндуцированным и происходит в области свободного взаимодействия, которая характеризуется взаимной зависимостью между неизвестным давлением и изменением толщины вытеснения. Причем решение в окрестности точки отрыва является регулярным [9].

Как показано в работе [3], отрыв ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости (при описании предельного состояния внешнего невязкого потока в окрестности точки отрыва известными решениями струйной теории со свободными линиями тока) происходит подобно сверхзвуковому отрыву под действием больших градиентов давления, действующих на малом участке поверхности. На этом участке течение потока, описываемое грех-слойной моделью, определяется в основном нижним вязким подслоем. Промежуточный слой передает давление и наклон линий тока поперек слоя без изменения. А в верхнем слое течение является потенциальным.

Аналогичная теория была построена для описания отрыва ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости от гладкой пластины, имеющей сзади выступ [4]. Задача об отрыве потока в окрестности передней кромки пластины оказалась полностью эквивалентной общей теории отрыва от гладкой поверхности и свелась к решению уравнений пограничного слоя с условием взаимодействия.

Интересно отметить, что аналогичное взаимодействие имеет место и в целом ряде других ситуаций. В частности, теория свободного взаимодействия позволяет описать локальные зоны отрыва с замкнутыми линиями тока [10, 11].

С точки зрения численного расчета задача о свободном взаимодействии представляет известные трудности. В формулировку задачи входят уравнения Прандтля с обычными краевыми условиями, а также условие взаимодействия, выражающее связь между давлением и вытесняющим действием вязкого слоя. В сверхзвуковом случае эта связь представляется известной формулой Акке-рета. Для потока несжимаемой жидкости она может быть записана в виде формулы, соответствующей обтеканию тонкого профиля.

В сверхзвуковом потоке эта связь является локальной в том смысле, что она однозначно связывает давление с местным наклоном линий тока на внешней границе. Для течений несжимаемой жидкости связь интегральная, что значительно усложняет решение задачи.

Существующие методы решения задач с взаимодействием для несжимаемой жидкости [12, 13] основаны на итерационном процессе, в котором на каждой итерации течение в области взаимодействия определяется через некоторое распределение толщины вытеснения вязкого подслоя. Далее из уравнений Прандтля находится соответствующее этому распределению распределение давления, после чего толщина вытеснения подправляется через интеграл тонкого профиля. Или, наоборот [14], сначала пограничный слой рассчитывается по заданному давлению, а затем находится толщина вытеснения подслоя и через интеграл тонкого профиля — новое распределение давления.

Несмотря на широкое развитие этих итерационных методов, только в последнее время была сделана попытка приближенно

решить задачу об отрыве ламинарного пограничного слоя от гладкой поверхности в области взаимодействия [15]. Однако это решение обладает рядом недостатков. В области возвратного течения использованы приближенные уравнения движения—в уравнениях

был отброшен инерционный член и (и — продольная составляющая вектора скорости). Следует, кроме того, отметить, что определение параметра задачи по критерию сходимости итерационного процесса представляется недостаточно обоснованным. Дело в том, что при таком процессе малая ошибка в задании параметра подобия может привести к появлению существенных ошибок в определении гидродинамических функций.

В настоящей работе предложен новый метод расчета (метод установления), который позволяет построить точное численное решение асимптотической задачи об отрыве ламинарного потока несжимаемой жидкости от гладкой поверхности. ■

1. Постановка задачи. Рассмотрим двумерное обтекание потоком вязкой несжимаемой жидкости выпуклого тела конечной толщины, имеющего гладкий контур (рис. 1). Пусть точкой отрыва является точка О. В настоящей работе используется ортогональная система координат (X, К), связанная с поверхностью тела.

Начало координат находится в точке О. Размеры отнесены к характерному размеру тела Ц компоненты скорости — к величине ио, давление — к двойному скоростному напору р£/о, где ио — величина скорости на свободной линии тока невязкого течения, соответствующей давлению р^оР0 в зоне отрыва; р — плотность жидкости, Р0 — приведенное давление в застойной области.

Пусть е2 = -т^у- = 1^е-1 -► 0. Тогда все существующие модели

Ь и о

течений идеальной жидкости со свободными линиями тока приводят к следующему выражению для давления на нулевой линии тока в окрестности точки отрыва:

Р(Х) = Р0 — £ ( — X)112 + О (— к2 X) при X < 0;

Р(Х) = Ро + 0(Х% р>1 при А" > 0.

Здесь величина к является неизвестной константой и определяется из глобального решения задачи.

Форма нулевой линии тока при этом имеет вид:

Г = + О (Л'52).

Отсюда видно, что течение при становится физически

невозможным: в этом случае свободная линия тока пересекает поверхность тела. Случай £>0 отвергался на том основании, что

получался бесконечно большой положительный градиент давления перед точкой ^ = 0:

= :)-<■* + о <*-•).

Основная идея, позволившая построить рациональную асимптотическую теорию ламинарного отрыва от гладкой поверхности, состоит в том, что рассматриваемая постоянная k полагается зависимой от числа Рейнольдса: k = s,/8к0, где £0>0.

В этом случае вблизи точки отрыва лежит область свободного взаимодействия |3], длина которой 0(з3/4). Эта область состоит из трех слоев. Нижний пристеночный СЛОЙ ТОЛЩИНОЙ О (г5'1) является вязким, и течение в нем описывается уравнениями Прандтля. Средний слой толщиной O(s) не влияет в основном приближении на распределение толщины вытеснения. Для внешнего слоя толщиной 0(£3/4), в котором поток является потенциальным, верна обычная линейная теория. По этой теории давление определяется через величину наклона линий тока.

Течение в области свободного взаимодействия описывается следующим образом [4]:

* = £3/4a-5/4(4¿oíJ-9/8)-6,7*; 1

СО,

и -> у + -^с,_у1/2+-^-с21п.у-}- А (х) 4- ... при у -> оо,

р -* ■—| х |1/2 + а, | х |-1/2 + * • • ПРИ х — °°>

Ъ = У (— х)1/3.

Критерий подобия я определяется соотношением:

Я = (4/г0 а~9/8)8 7,

где а0 — безразмерная величина трения на стенке при Х-=0 для пограничного слоя, лежащего слева от области свободного взаимодействии.

Функции /,и константы £¿(¿=1, 2) приведены в [16], константа а{, характеризующая интегральное влияние вытесняющего действия области взаимодействия, должна определяться из решения.

Так как область отрыва является незамкнутой, то необходимо

задать асимптотический профиль возвратного течения при *->+оэ.

7=s5/4a-3 4(4Aoa-9/8}-2/7^; и = £l/4al/4 (4fco а-9/8)2/7 Ц.

V = е3/4 а3/4 (4¿0 а~9/8 )2/7 г/;

ди . ди

и-----------Ь v

дх

ду — а

ди д-о

дх 1 ду

dp

д2 и

U

dx ду2

= 0,

и (х, 0) = v (х, 0) = 0,

У + -Т M,;6/í(Tn) + -rr/2(7li)+ • • • 1[РИ

х —

Предполагается, что в области возвратного течения нет механизма (например, вдува в донную область), ускоряющего поток вдоль стенки, так что его завихренность остается ограниченной и весь профиль возвратного течения определяется подсасывающим действием вязкого слоя. В этом случае в области возвратного течения мы имеем (подробно см. в [3]):

Р — - — с\ А'-5'3 + • . • , И = Л-1'3 g0 (гг,) -У 6с0 (г;3) Х~56 + . . .

а

*3/2

при л: -> + ое и у <—^— ,

где C0 = g0(—oo).

Здесь первый член в асимптотике для и описывает слой смешения, а второй — область возвратного течения и вязкий подслой в возвратном профиле.

Функции g0 и gl удовлетворяют следующим уравнениям:

!П I 2 _// 1 !0 г\

Ко + -¿-ёоёо— =°’>

х\п

ёо (0) = ёо (0) = 0;

ёоЫ -* Г11 + • • • при т), -* + ос; т)2 = и соответственно для gl:

- *Г + (8? — 1) — 0;

(0) = ^; (О) = 0;

г! (4- °°)= 1;

здесь у8 = ух~11/12(— 6с0)1/2.

Условие взаимодействия выражается связью между давлением и наклоном толщины вытеснения формулой тонкого профиля:

*1/2 1 г Р«)+±\И1/2н(-п

А'(х) = -~Хт-Н(х) + Т ] --------------------------сИ,

—СО

где Н(х) — функция Хевисайда.

Это соотношение замыкает поставленную задачу.

2. Численный расчет. Задачу будем решать методом установления, при этом используем для условия взаимодействия неявную аппроксимацию. Постановка задачи может быть представлена в следующем виде:

дсо ди> д2 со

О) -* 1 + -f I X I -V6/; Ы + 4 1 л і “1/3Л” (’її) + • • • ПРИ * - —

4 і о

0) -> 1 + — сх у-1/2 + + . . . При у -^ + оо;

8 16 У

g'" Ы — (— 6^о)3/2*“7/4Ы + • • • при x -* + оо

(б)

со

р(0 + — 11!1/2 н (— /)

Л'(х) = — — л:1'2//(*) + -1- ] --------------------------Л; (7)

— со

А'(х)=— Нш ПРИ У “* + со; (8)

здесь 1* — функция тока, со — завихренность потока.

Решение строится следующим образом. Введем равномерную сетку х-, ук) и обозначим значения завихренности в узлах этой сетки оИ к. Максимальные значения у, & обозначены соответственно Л/Л", ЛТ. Пусть имеется некоторое распределение завихренности на временном слое Из (3) и (4) определяем распределение и1- к и V1. к. Далее решаем нестационарные уравнения пограничного слоя. Конечно-разностная схема аналогична разработанной в [17] и имеет следующий вид:

£ —}—1 I 11 /_{— 1

“А к ~ ®А к , . ; , ш/, /г “ “/-Ж, /г , , : . 0)А к “ ША Л-* _

I , J I I <71/

Af 1 1 “/■*' Д* + iV^' Ay

Ду2

где M = \ - sign (я£ ¿); £ = 1 • sign (<t/j Л).

Условие устойчивости разностной схемы (9) имеет вид:

А«-гтЧ--

і “У, ft I

Здесь аппроксимируется в зависимости от знака ul/ k левосторонней, если и* ¿>0, и правосторонней, если и}іЛ<0, разностью, а ------соответственно нижнеи или верхней в зависимости от зна-

ка vlf k. В результате получаем систему уравнений на каждой вертикали j = const относительно о/+*:

aft‘u)/jH-i+ bk'U)‘f*l + cft-M/.+ft1-i + rfA = °> k=2,NY—l, (10)

где ak, bk, ск и dk находятся из (9).

Решение системы (10) может быть найдено методом прогонки. Полагая, что выполнено условие (6) при k = NY, из (10) можно получить прогоночные коэффициенты Рк и Qk

*ttf = Pu'»№-i + Q* k = 2, МУ. (11)

Уравнение (11) показывает, что со[+1 линейно зависит от ю'.+,1

/» к } , 1 У

а следовательно, линейно зависит от ш'’*1 и значение скорости и‘:+^у на верхней границе:

+ (12>

где и находятся через Рь и

Кроме того, должно быть выполнено условие (5)

гир (А-пЧЧ-:

йх Ду Д у ' * '

Из (6), (12) и (13) можно получить, что А; связана с градиентом давления линейным соотношением [Aj = A(Xj)]:

л =о}-1£-

’ 1 Лх

*}

причем О] И РI определяются через значения прогоночных коэффициентов Рк и С}к.

Условие взаимодействия можно записать в следующем виде:

Г р(0 +— I ¿|1/2Я(-0 Г р(*) + М11/2//(— о

А'(х) — — I ------------------------сИ -\---- 1-------------------------сИ +

7 ,1 I - X ~ , 1 (-Х

А-ХтИ{х). (15)

-о ^ — лг 4

Х.чх

здесь X, и ЛГд,А, соответствуют значениям х при у = 1 и ] = ЫХ соответственно.

Взяв достаточно большие хх и хых вправо и влево от значения х=0 и проинтегрировав второй и третий интегралы,воспользовавшись асимптотическими значениями для р, получим на прямой (хи Л'д,у) следующую дополнительную задачу для определения р), А] и ах\

Хых ,

Г /МО + -г |/|1,2/У(-0 /}'(*)= — I -----------------------сИ + 0(Л!, хых, аи х), (16)

-г.

а в узлах сетки — связь между А-] и (1р

ах

х>

с/о I ^ ^ / _

(17)

3—.Ученые записки“ № 2

33

и краевыми условиями:

А, — ас31X, | 1'6 + а2с41п |л:, |,

+ \Xt\-'*, (19)

Рцх= а ХНХ3 Ч (20)

где с.3 и сА определяются через /, и /2, а (/(.*!, аь х) представляет три последние члена в (15).

Эта задача решается релаксационным методом. Беря некоторое значение аи распределение р} (например, на ¿-и временном слое) и решая уравнения (16) с краевым условием (18), получим другое распределение Л;-. Новое приближение А] берется в виде нижней релаксации

А ^ =■ А у о 5 -{- (1 -|“ 05) Ау.

Из этого распределения Л;- с помощью (17) и (20) получаем новое приближение для рр а из (19) —другое значение а,. Новое приближение для ах вычисляется также с использованием релаксации

ах = ахо^ + (1 — 05) ах.

Процесс повторяется до тех пор, пока он не сойдется с нужной степенью точности. Здесь 05 — релаксационный параметр.

Таким образом, получив новое распределение можно с помощью (12) найти величину со**1, что позволяет определить новое распределение завихренности удовлетворяющее условию взаимодействия. Затем осуществляется переход на новый временнбй слой.

Отметим, что данный численный метод может быть использован при решении нестационарных задач со взаимодействием и отрывом.

3. Численные результаты. В расчете используется равномерная сетка с шагом Д<==2,5-10“2; Ад: =1,4; Ду = 0,9, причем хх — — 56, хЛгХ. = 32; релаксационный параметр устанавливается равным 05 = = 0,04.

Численное решение системы считается найденным, если разница между значениями завихренности на г + 1 и предыдущем временном слое была меньше Ю-5. Степень сходимости промежуточной задачи (16) — (20) устанавливается аналогично

I * | < 10"5> \Aj-AjK 10-.

Оказалось, что установившиеся решения системы существуют лишь при а<1,82. В случае а>1,82 (а = 2,0; 3,5; 4,0) стационарный режим не реализуется. Изменения в величинах хх и хых, а также шага сетки не влияют на сходимость решения. Однако полученные решения для а <.1,82 имеют ту особенность, что только при а = 1,82 наклон нулевой линии тока совпадает с асимпто-

*1/2

тическим поведением Ух = —т- (ПРИ х = СМ* РИС- 2). Кроме того,

только для этого числа а не существует разрыва между найденными значениями градиента давления и асимптотическим поведением при х -> хмх.

Таким образом, лишь при одном значении коэффициента а при а 1,82 существует решение, которое можно непрерывно срастить с асимптотическим решением для функций течения. Поэтому можно сделать вывод, что в рассмотренном диапазоне изменения параметра а решение поставленной задачи существует лишь при единственном значении а = 1,82. На рис. 3 показано распределение величины трения в области свободного взаимодействия и дано сравнение между найденным точным решением и приближенным

(штрихпунктирная кривая), полученным в работе 115]. Из сравнения видно, что результаты неплохо согласуются. Разница между найденным выше значением а и полученным в работе [15] (а=1,91) объясняется различным поведением давления в области возвратного течения. Численная проверка показывает, что в области возвратного течения реализуется меньший градиент давления при данном распределении А (х), чем при расчете, когда отбрасывается

да ^ ^

инерционныи член и при /г<0.

Графики для зависимости давления и толщины вытеснения ог х даны на рис. 4 и 5. Асимптотические кривые нанесены пунктирной линией. Видно, что согласование расчетных кривых с асимп-

Рис. 4 Рис. 5

тотикой вполне удовлетворительное. Картина течения при а = 1,82 дана на рис. 6.

Таким образом, численный расчет задачи об отрыве ламинарного пограничного слоя с гладкой поверхности подтверждает существование решения в рассмотренном диапазоне параметра подобия (а<;1,82) лишь при единственном значении параметра подобия, равном 1,82. При этом особенность в точке отрыва отсутствует.

Автор благодарит В. В. Сычева за руководство работой.

ЛИТЕРАТУРА

1. НейландВ. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 4

2. Stewartson К., Wi 1 1 i a m s P. Self induced separation. „Proc.

Roy. Soc.“, vol. 312, 1969.

3. Сычев В. В. О ламинарном отрыве. „Изв. АН СССР, МЖГ",

1972, № 3.

4. Сычев В. В. Отрыв пограничного слоя от плоской поверхности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 9, № 3, 1978.

5. J1 а н д а у J1. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика сплошных сред.

М., Гостехиздат, 1944.

6. Goldstein S. On laminar boundary layer flow near a position of separation. Quart. J. Mech. App. Math., vol. 1, part 1, 1948.

7. Stewartson K. Is the singularity removable? „J. Fluid Mech.“, vol. 44, part 2, 1970.

8. Catherall D., Mangier K. The integration of the two dimensional laminar — boundary layer equations past of the point of vanishing skin friction. „J. Fluid Mech.“, vol. 26, part. 1, 1966.

9. W i 1 1 i a m s P. A reverse flow computation in the theory of self-

indticed separation. Proc. 4-th hit. Conf. Num. Meth. in Fluid Dynamics. Lecture notes in Physics, vol. 35, 1975.

10. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений. Труды ЦАГИ, вып. 1529, 1974.

11. Рубан А. И. К теории ламинарного отрыва жидкости от точки излома твердой поверхности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7,

№ 4, 1976.

12. Jobe С„ Burgraf О. The numerical solution of the asymptotic equations of trailing edge flow. Proc. Roy. Soc., London, A., vol. 340.

N 1620. 1974.

13. P у б а н А. И. Численный метод решения задачи о свободном взаимодействии. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 2, 1976.

14. Briley W., М c.D о n а 1 d Н. Numerical prediction of incompressible separation bubles. „J. Fluid Mech.“, vol. 69. part 4, 1975.

15. Smith F. The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface. Proc. Roy. Soc., London, A., vol. 356, N 1687,

1977.

16. Chow R., Melnic R. Numerical solutions of the triple-deck equations for laminar trailing-edge stall. Proc. 5-th Int. Conf. Num. Meth. in Fluid Dynamics, Lecture notes in Physics, vol. 69, 1976.

17. Рубан А. И. Численное решение локальной асимптотической задачи о нестационарном отрыве ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 18, № 5, 1978.

Рис. 6

Рукопись поступила 9\П 1979 г.