CC BY
37
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XIX 198 8
№ 1
УДК 532.526 : 533.694.71/.72 532.516.2
О ВЛИЯНИИ ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО ВДУВА НА ТЕЧЕНИЕ В ЛАМИНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
В. В. Боголепов, И. И. Липатов
Исследован процесс взаимодействия тангенциальной пристенной струи и встречного течения в ламинарном пограничном слое. Показано, что при малой высоте уступа и малом расходе выдуваемого газа течение в окрестности уступа описывается системой уравнений Навье—Стокса. Получены численные решения этой системы уравнений для ряда значений параметров, характеризующих высоту уступа и расход выдуваемого газа. Проанализирована структура течения для значений параметров, при которых индуцированное взаимодействие приводит к нелинейным изменениям поверхностного трения в области выше по течению от уступа.
Согласно асимптотической теории отрыва ламинарного пограничного слоя [1—3], независимо от причины возникновения неблагоприятного градиента давления, вблизи точки отрыва формируется самосогласованное распределение давления, индуцируемое в результате взаимо-’ действия течения в пограничном слое с внешним равномерным потоком. При наличии отрыва пограничного слоя всегда существует некоторая пристенная область, в которой газ течет навстречу основному потоку и разворачивается им за счет действия сил вязкости и давления. Поэтому крайне важным для построения теории отрыва пограничного слоя является рассмотрение такой ситуации, когда отрыв индуцируется пристенной струей, направленной навстречу основному потоку. Исследование взаимодействия пристенных струй с основным потоком имеет, кроме того, и практическое значение. С их помощью можно управлять отрывом пограничного слоя, изменять аэродинамические характеристики обтекаемых тел или уменьшать их нагревание [4—7]. Осуществляться вдув пристенной струи газа навстречу основному потоку может, например, через торец уступа на поверхности тела [8].
1. Рассмотрим ламинарное обтекание равномерным до- или сверхзвуковым потоком вязкого газа плоской пластины, на поверхности которой на некотором расстоянии / от ее передней кромки расположен обращенный навстречу потоку уступ высотой а, через торец которого вдувается газ параллельно поверхности пластины. Решим уравнения Навье—Стокса при стремлении характерного числа Рейнольдса Яеа=роЩ1/№а=Е~~2 к бесконечности (р0, и0, (Хо — значения плотности, скорости и коэффициента динамической вязкости в невозмущенном набегающем потоке). В дальнейшем используются только безразмерные величины, для этого все линейные размеры относятся к /, скорости — к
и0, плотность — к ро, давление—к р0и02, энтальпия — к щ2, функция тока — к р0и01 и коэффициент динамической вязкости — к (Х0.
Предполагается, что высота уступа а не больше характерной толщины пограничного слоя на пластине а<6~0(е). Предполагается также, что максимальная скорость вдува с торца уступа порядка характерной продольной скорости и в пограничном слое на высоте а, а температура вдуваемого газа равна температуре поверхности. Очевидно, что если скорость вдува меньше скорости в пограничном слое на высоте уступа, то влияние вдува в первом приближении будет несущественным, и задача сведется к исследованию обтекания непроницаемой поверхности. В другом предельном случае, когда скорость вдува больше скорости в пограничном слое на высоте уступа, в первом приближении необходимо рассматривать истечение струи в затопленное пространство; решение этой задачи на больших расстояниях от уступа получено в работе [9]. Поэтому будут рассматриваться наиболее общие режимы истечения, когда скорости в струе и в пограничном слое на высоте уступа одинаковы по порядку величины.
При сделанных ограничениях для построения схемы течения достаточно рассмотреть обтекание непроницаемого уступа. Если характерная высота уступа а меньше толщины пограничного слоя на пластине — а<8~0(е), то на высоте уступа продольная скорость и будет иметь порядок и~0(а/е). Тогда в возмущенной области с характерными размерами х~у~0(а) около торца уступа течение будет описываться: уравнениями Стокса при иа<е2, а<е3/2; уравнениями Навье—Стокса при иа~0(е2), а~0(е3/2); уравнениями Эйлера при иа>е2, а>е3/2.
В наиболее общем случае при иа~0 (е2), а~0(е3/2) возмущенное течение около торца уступа будет описываться уравнениями Навье— Стокса для несжимаемого газа (см., например, [10]):
^ да , ди . др ________ 1/с*2и <Э2а\
дх ' ду ’ и дх ‘ 'и ду дх 1*е ^ дх2 ' ду2 / '
+ ^ = _!_/**! + (1.1) дх ду ' ду Ие удл:2 ду*] ’ ^
дк дк ______ 1 , д2Л\
и дх ’ ® ду Ие Рг ду2у ’
Здесь все линейные размеры дополнительно отнесены к высоте уступа а1 = а/е3/2 — 0(1), скорости и возмущение энтальпии относительно ее значения на поверхности тела — к своим значениям на высоте ау в пристенной части невозмущенного пограничного слоя на пластине — Аа1 И Ва, (А и В — безразмерные значения напряжения трения и теплового потока у поверхности пластины в невозмущенном пограничном слое), давление к рууАР‘0/\ , местное число Рейнольдса Ие ру^Аа^ Рг — число Прандтля, индекс да относится к величинам у поверхности пластины в невозмущенном пограничном слое. Внешние краевые условия получаются из сращивания с пристенной частью невозмущенного пограничного слоя:
и -»■ у, к -*у при х2 + у2 -» со. (1.2)
На непроницаемой части уступа задаются обычные краевые условия непротекания и прилипания:
и = V = 0 при х < 0, у = 0; х > 0, у = 1, к = 0 при х <0, у = 0; л: = 0, 0< у < 1; х > 0, у = 1,
О-3)
и на проницаемом торце уступа задается параболический профиль продольной скорости вдуваемого газа
и = С (у2 — у), ъ = 0 при х = 0, 0<у<1, (1.4)
где С/4 — максимальное значение скорости вдува.
Краевая задача (1.1) — (1.4) решалась численно в традиционных переменных завихренности и функции тока при использовании аппрок-симационной схемы [11], численный метод описан в работе [10], там же приведены результаты расчетов и их анализ при С=0.
2. Численные решения краевой задачи (1.1) — (1.4) были получены в широком диапазоне изменения параметров подобия Ке = 0н-100 и С = 0-ь25, число Прандтля полагалось Рг = 0,71 (вопрос о существовании решений краевых задач такого типа при Ие = 0 рассматривался в работах [12, 13]).
На рис. 1—3 представлены характерные картины линий тока. При обтекании непроницаемого уступа (С = 0) перед ним образуется замкнутая срывная зона, ее размеры максимальны при Ие = 0 [10] (см. рис. 1). Очевидно, что при С>0 вдуваемый газ будет оттеснять нулевую линию тока от верхней грани уступа и передняя срывная зона уже не будет
3—«Ученые записки» № 1
33
замкнутой. Кроме того, за счет сил вязкости струя увлекает за собой газ около верхней грани уступа, и с ростом скорости вдува там появляется локальная вторичная срывная зона (см. рис. 2, Не=10, С=10). При дальнейшем увеличении скорости вдува эта срывная зона также становится незамкнутой, нулевая линия тока при отходе от нижней грани уступа приобретает наклон навстречу набегающему потоку и перед ней возникает еще одна срывная зона (см. рис. 3, Ке=100, С=10). Эволюция картины линий тока показывает, что влияние струи на течение около уступа усиливается по мере увеличения числа Ие, т. е. эти изменения происходят в большей степени под действием сил конвекции и давления, чем сил вязкости. Так, например, появление вторичного отрыва на верхней грани уступа при Ие = 0 происходит при С=15, для Ие=10 — при С= 10 и для Ке=100 — при С = 4.
Распределения напряжения трения х и теплового потока ц (в принятых обозначениях x = q=\ в невозмущенном пограничном слое у поверхности пластины, т. е. при х->—°о) по поверхности уступа для прежних характерных сочетаний параметров подобия Ие и С (кривые 1—3 соответственно) представлены на рис. 4 и 5.
При обтекании уступа из-за сужения дозвуковая пристенная часть набегающего пограничного слоя в целом ускоряется. Непосредственно перед уступом поток газа затормаживается, и при малых значениях числа Ие<1 напряжение трения т монотонно уменьшается по мере приближения к торцу уступа. При л: ^ — 1 происходит отрыв потока, т становится отрицательным и в нижней критической точке х=у = 0 т=—С. На торце уступа х резко увеличивается по мере приближения к его верхнему краю, на верхней грани уступа т по мере удаления от торца уступа сначала падает весьма значительно, но потом его изменение очень мало и возмущения распространяются далеко вниз по потоку (см. кривую 1 на рис. 4). При умеренных значениях параметров Йе—Ю и С —10 распределение х перед уступом сохраняет свой монотонный характер изменения, на верхней грани уступа появляются участки с отрицательными значениями х в области вторичных зон отрыва (кривая 2 на рис. 4).
По мере увеличения воздействия вдува на течение около уступа и при появлении дополнительной срывной зоны перед торцом уступа напряжение трения х на нижней грани уступа сначала падает до отрицательных значений около этой дополнительной срывной зоны, потом резко возрастает из-за сильного ускорения газа вдуваемой струей вдоль нулевой линии тока. И, наконец, х резко падает при подходе к нижней
Рис. 4
Рис. 5
критической точке. Вдоль верхней грани уступа газ силами трения увлекается навстречу основному потоку, и поэтому там т<0 (кривая 3 на рис. 4).
Распределение теплового потока q для случая обтекания непроницаемого уступа во многом сходно с распределением т. При торможении потока газа q на нижней грани уступа уменьшается. За счет разгона газа вдоль торца уступа q резко возрастает, и плавно спадает до своего значения в невозмущенном потоке на верхней грани уступа.
Вдув газа с температурой, равной температуре поверхности, оттесняет от поверхности более нагретый газ, что приводит в общем к уменьшению нагрева поверхности уступа. Очевидно, что при Яе=0 вдув никак не сказывается на распределении q по поверхности уступа (кривая 1 на рис. 5). При Ие>0 вдув значительно уменьшает нагревание поверхности уступа (см. кривые 2 Ке=10, С= 10 и кривые 3 Ре=100, С= 10 на рис. 5), причем изменение параметра С приблизительно одинаково влияет на изменение распределения q при различных числах Ие.
Распределение давления по поверхности тела отражает основные явления при обтекании уступа. В случае непроницаемого уступа при всех значениях числа Ие за счет торможения газа давление перед уступом возрастает. При обтекании уступа газ разгоняется, на верхней грани уступа создается разрежение, которое уменьшается вниз по потоку (см. кривую 1 на рис. 6, Ие = 0, С=0, по оси ординат отложена величина Ке-р).
При малых числах Ие<1 и СФ0, когда вдув не вызывает еще перестройки течения, возмущение давления перед уступом возрастает из-за увеличения его эффективной толщины. По этой же причине усиливается разрежение на верхней грани уступа. При больших числах Ие~10 и появлении участка разгона на нижней грани уступа возмущение давления сначала возрастает (как перед уступом), затем уменьшается на участке разгона, и потом снова подрастает перед уступом (кривая 2 на рис. 6, Не=10, С= 10). На верхней грани уступа возникает еще большее разрежение, это возмущение плавно затухает вниз по потоку. При возрастании воздействия вдува на общую картину течения возмущения давления на поверхности уступа увеличиваются (кривая 3 на рис. 6, Ке=Ю0, С= 10).
3. Известно, что при высоте уступа порядка или больше характерной толщины области свободного взаимодействия _у^О(г5/4) протя-
женность срывной зоны перед ним по порядку величины равна или больше, чем протяженность области свободного взаимодействия х > 0(е3/4) [14].
Поэтому закономерен вопрос: каким образом перестраивается течение вблизи уступа при увеличении его характерной высоты г3'2 <у ^ е5/4 ? Разумеется, при этом скорость вдува предполагается порядка характерной скорости в сдвиговой части набегающего на уступ пограничного слоя и~0(у/&). Можно предположить, что с ростом высоты уступа при е3/2 < у < £5/4 соответственно увеличивается протяженность возмущенной области течения перед уступом. Так как в этой области должны быть существенны силы вязкости и конвекции, а напряжение трения должно изменяться в своем основном порядке (т—1) — 0(1), то характерные протяженность и толщина возмущенной области течения перед уступом должны быть связаны соотношением у~0(ех1/3), г3!2 <х<е3/4- В этой области должен реализовываться, в соответствии с результатами работы [15], компенсационный режим течения, и отрыв потока должен происходить при самоиндуцированном давлении, но без передачи возмущений вверх по потоку от точки отрыва.
Таким образом, можно предположить, что возможен иной переход от невозмущенного течения в пограничном слое к течению с возвратными токами или иной вид отрыва пограничного слоя, индуцированный вдувом пристенной струи, а не неблагоприятным градиентом давления [1—3]. Тогда в начале срывной зоны должна существовать область с характерными размерами х~у~0(ет), течение в которой будет описываться решением системы уравнений Навье—Стокса вида (1.1) (теперь продольная координата х отсчитывается от точки, в которой напряжение трения т = 0). Вниз по потоку при х± = х/в3/2^оо ЭТО решение для удовлетворения условий сращивания с решением для срывной ЗОНЫ должно переходить в автомодельное, которое может быть представлено в следующем виде:
В переменных (3.1) система уравнений (1.1), внешние краевые условия (1.2) и условия непротекания и прилипания на поверхности пластины, описывающие при х^оо в течение с возвратными токами, принимают следующий вид:
Из уравнения (3.2) следует, что /"'>0 при 0<г)<оо и У" асимптотически стремится к нулю при т)->-оо. Тогда /" является монотонно возрастающей функцией и
(3.1)
(3.2)
00
о
Таким образом, решения уравнения (3.2), имеющие ограниченную вторую производную при г)—>-оо, не удовлетворяют второму внешнему краевому условию при любых значениях параметра р>0. Отсутствие
решений краевой задачи (3.2), обеспечивающих переход от невозмущенного течения в пограничном слое в область возвратных токов, свидетельствует о том, что рассмотренная схема течения или отрыв пограничного слоя, индуцированный вдувом пристенной струи, не реализуется.
Поэтому предстоит исследовать следующий переход невозмущенного течения в пограничном слое в область возвратных токов под действием неблагоприятного градиента давления около уступа при увеличении его характерной высоты. Из предшествующего анализа можно заключить, что в области с характерными размерами г3^2 < х ~у < в5/4 течение будет описываться системой уравнений Эйлера для несжимаемого газа. Во внешней, по отношению к этой области течения, области с масштабами л:~0(е3/4), г/~0(е5/4) будет реализовываться линеари-
зованный режим свободного взаимодействия. При этом индуцированный градиент давления на длинах л:~0(е3/4) в области перед уступом будет приводить к малым возмущениям в пристенной части пограничного слоя, и отрыв потока будет происходить на расстояниях г3''2 < х < е5/4 перед уступом, т. е. в области, где течение описывается уравнениями Эйлера.
По мере увеличения высоты уступа при у~0(е514) в области свободного взаимодействия с характерной протяженностью х~0(г3/4) индуцированный градиент давления будет приводить к нелинейным возмущениям функции течения в пристенной части пограничного слоя (т—1) — 0(1), и на этих характерных расстояниях вверх по потоку от уступа может формироваться область возвратных токов. В непосредственной близости от торца уступа в области с масштабами х~у~0(г514) будут осуществляться разворот струек тока и формирование профиля продольной скорости и с ненулевым значением на верхней грани уступа [16]. Для отбора единственного решения в области индуцированного взаимодействия с характерными размерами х~О (е3/4), г/~0(е5/4) в качестве дополнительного условия необходимо задавать условие затухания возмущений, вносимых уступом и вдуваемой струей вниз по потоку.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нейланд В. Я., К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.
2. S t е w а г t s о п К., Williams P. G. Self-induced separation. — Proc. Roy. Soc., A., 1969, vol. 312, N 1509.
3. Сычев В. В. О ламинарном отрыве. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 3.
4. L а с h m a n V. R. Boundary layer and flow control. Pergamon Press,
5. V i s w a n a t h P. R., Sanbaran L., N « r a s i n с h a R., P r a fa-ha A., S agdeo P. M. Injection slot location for boundary layer control in shock-induced separation. — AIAA Paper, 1978, N 78-1168.
6. I n g e r G. Theory of supersonic laminar non-adiabatic boundary layer flow past small rearward facing steps including viscous-inviscid interaction.— AIAA Paper, 1973, N 73-668.
7. JI и п а т о в И. И. Взаимодействие течения в ламинарном пограничном слое с внешним сверхзвуковым потоком при щелевом тангенциальном вдуве. — Труды ЦАРИ, 1983, вып. 2190.
8. D г i f t m у e r R. T. Thicke two-dimensional, turbulent boundary layers separated by steps and slot jets. — AliAiA J., 1974, vol. 12, IN 1.
9. А к а т н о в H. И. Распространение плоской ламинарной струи несжимаемой жидкости вдоль твердой стенки. — Труды ЛПИ им. М. И. Калинина (техническая гидромеханика), 1953, № 5.
10. Боголепов В. В. Расчет обтекания обращенного навстречу потоку малого уступа. — ПМТФ, 1983, № 2.
11. Г о с м е н А. Д., Пан В. М., Р а н ч е л А. К., Сполдинг Д. Б,. Вольфштейн М. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. — М.: Мир, 1972.
12. Ботолепов В. В. Обтекание полуцилиндрической выпуклости на поверхности пластины сдвиговым потоком вязкой жидкости. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1975, № 6.
13. Н е й л а и д В. Я. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа. — Успехи механики, т. 4, вып. 2, 1981.
14. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений. — Труды ЦАГИ, 1974, вып. 1529.
15. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Исследование локальных возмущений вязких сверхзвуковых течений. — В кн.: Аэромеханика. М.: Наука, 1970.
16. Липатов И. И., Н е й л а н д В. Я. Влияние внезапного изменения движения поверхности пластины на течение в ламинарном пограничном слое в сверхзвуковом потоке. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 5.
Рукопись поступила 25/4111 1986
