Численный метод решения задачи о свободном взаимодействии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Т о м VII 19 7 6

№ 2

УДК 532.526.5

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О СВОБОДНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

А. И. Рубан

Излагается релаксационный метод решения задачи о свободном взаимодействии, применимый как для сверхзвукового течения, так и для потока несжимаемой жидкости. С помощью этого метода исследуется отрыв сверхзвукового потока в окрестности угла при больших числах Рейнольдса. Кроме того, найдено решение для области взаимодействия, возникающей при обтекании несжимаемой жидкостью угловой точки твердого тела с образованием свободной поверхности.

Область свободного взаимодействия является центральным элементом широкого класса течений, интенсивно исследуемых в последнее время. К числу таких течений относится отрыв ламинарного потока от гладкой стенки при сверхзвуковых и дозвуковых скоростях (см. [1—3]), различные случаи гиперзвукового вязкого взаимодействия [4—6], а также течение в окрестности задней кромки и точки излома обтекаемой поверхности, где область свободного взаимодействия возникает в результате разрыва краевых условий [7, 8].

Характерной особенностью этих течений, рассматриваемых при больших числах Рейнольдса, является взаимная зависимость вязкого пограничного слоя и внешнего потока, что приводит к значительному усложнению задачи интегрирования соответствующих уравнений. В результате, несмотря на исключительный интерес, проявляемый к подобным исследованиям, решения получены лишь для простейших случаев.

Целью настоящей работы является разработка достаточно быстрого метода численного решения задачи о свободном взаимодействии, применимого как для сверхзвукового, так и для дозвукового потоков. Этот метод подробно излагается в следующем разделе статьи на примере сверхзвукового течения вязкого газа около угла. Далее приводится решение для области свободного взаимодействия, возникающей при обтекании несжимаемой жидкостью угловой точки твердого тела с образованием свободной поверхности [8].

1. Рассмотрим сверхзвуковой поток вязкого газа около угла, изображенного на фиг. 1. Для описания такого течения удобно использовать ортогональную систему координат (х, у), связанную с поверхностью тела. Компоненты скорости в этой системе координат (и, v), плотность газа р и его вязкость jj. отнесем к их значениям в невозмущенном потоке, приращение давления р — р

Фиг. I

к poo VL, а все длины — к расстоянию между передней кромкой и точкой излома поверхности I.

Пусть г2 = 1/R = Нто/(р<х> Voo I) -*■ 0. Предположим, кроме того, что угол излома поверхности 0 = e1/2/z, где h — 0(1), тогда в окрестности точки О с продольным расстоянием Дх—s3'4 возникает область свободного взаимодействия. Вязкий подслой этой области (зона 1) с толщиной Ду^Е5'4 описывается следующим образом [1, 2]:

и =

где

U,

дих

дхг

даі ____________!_ . диі , dvi _ n.

1 дУі Po dxl ' Po ду\ ' дхі ' дУі '

Ui(Xj, 0) = Vi(xu 0) = 0;

ul^ayl+. .. при x, —oo или yt

oo;

P i =

(-Уо +/)'

У,-coo

(У1 У‘ \ 1 fи dv 1

I2 аУі J и'а-У'І

(1)

В этих соотношениях а, |а0, р0 представляют собой безразмерные величины трения, вязкости и плотности на стенке при Х = 1 для пограничного слоя, лежащего слева от области свободного взаимодействия. Форма тела и толщина вытеснения обозначены через у^х^ и /(*,).

Для замыкания задачи система соотношений (1) должна быть дополнена некоторым краевым условием, налагаемым на гидродинамические функции вниз по потоку (см. [9]). В данной статье используется естественное условие „успокоения потока11:

/ ->- 0 при хг

ос.

Пусть форма стенки будет:

Уо(хі):

Ню

Po ah

1/2

(2)

где

а функция не зависит от jiQ, a, h, р0, Моо.

Заметим, что угол удовлетворяет этому условию. В этом случае замена переменных:

(J-0

Po ah3

1/2

X; Уі-

Ho

р0 ah

1/2

1/2

“і “ vi — і 1 \ Рой/ 1 V Ро

1/2

VML-1

Л / =

jfo

Ро яй

V;

1/2

позволяет представить исследуемую задачу в виде:

U

ди

дХ

dU

аГАГ 1 <? К2

^ + 4y = 0; и(Х> °)=V(X, 0) = 0; U Y при А- -* — оо или Y -* со;

P — (Yo + F)',

где

F= lim

У-оо

У_____1_

2 “ У

| ) •

(3)

£ —

Л2

О при X -+ оо; критерий подобия для обтекания тел класса (2). ди

1*0 а /- 1 Введем функцию ш = -^г , тогда на стенке

дш =kP' = k(Y0 + F)".

дУ

к=о

Дифференцируя уравнение импульсов по Y, получим задачу, эквивалентную (3)

. . да> . ,7 дш ___ д2 М

U ~дХ 1 dF ~‘ ’

_ = ш; £7 = -^;

1/= —

дХ ’

to -» 1 при Y -+■ оо или А -> — оо;

дГ

= k(Y0 + Fy,

У=0

где

/7=гИш - 4) ; Ф (X, 0) = М*, 0) = 0;

F -» 0 при А -* оо.

Для всех внутренних точек расчетной сетки

{Xj, Y k], j = 1, . . . , /max! k = 1, . . . , К max

д<л „ „

представим -vf левосторонней или правосторонней разностью

ол i. k

второго порядка точности в зависимости от знака скорости U (см. [10]). Для области значений U £(—0,01; 0,01) вводится линейный переход одной схемы в другую. Производные по Y аппроксимируются центральными разностями.

Перейдем теперь к условию взаимодействия: 4^ =

у=о

= k(Y о + F)". Поскольку именно это условие ответственно за передачу возмущений „вверх по потоку11 [9], для соблюдения условия Куранта, Фридрихса и Леви производную F"(X) можно представить центральной или правосторонней разностью. При изучении течений с отрывом, когда поток меняет свое направление, очевидно, следует предпочесть первую из этих аппроксимаций.

Полученную систему разностных уравнений будем решать методом релаксаций [11]. Для нулевой итерации положим, например, “У, к = 1. Пусть известно (/— 1, . . . , Ушах— 1; k=\, . . . ^ Ктах) для і-й итерации, тогда соотношения '}(Х, 0) = 'і>у(А, 0) = 0, Фуу = ю позволяют найти <]>/, *, а, следовательно, и F j для этих же точек. Толщина вытеснения Fj при у = Ушах определяется краевым условием „успокоения потока". Значение завихренности на стенке «в/, і ДЛЯ j 2, . . . , УШах 1 находится по величинам о)*г)2, ш/г)3, Fj-1, Fjy Fj+1 из условия вязкого взаимодействия. Положим теперь

(В/!+11) = ГЮЛ , + (1 - г)о>У\ . (4)

После этого новое приближение вдоль каждой вертикальной линии у = 2, , Ушах—1 может быть найдено методом про-

гонки с использованием на соседних вертикалях ранее найденных значений для вихря. Во всех проведенных расчетах в этой последней процедуре использовалась нижняя релаксация с параметром, равным 0,9.

Выведем теперь необходимое условие сходимости итераций (4). Пусть имеется коротковолновая ошибка ЗУ-]0, тогда для следующей

( ди> \ j/.’(/) . t gр («)

итерации О (jjy j = k (Д^)2 , поэтому о Ь.У- Отсю-

да следует, что йУ/Д1» ^ kr-^~-bFf, и наконец hF<i+v~ rk-^~bF^.

Таким образом, из условия сходимости релаксационного процесса 18Л‘+1>К 18F<‘> I следует, что

, (Ахр 1

Г<вду-Т- (5)

Коэффициент пропорциональности а может быть определен экспериментально.

В качестве примера исследовалось течение около тела вида „искаженной гиперболы":

У m Уа* + Х* + Х 1

2 1 + ехр(—Х/а) ’

где а = 0,5.

На фиг. 2 изображены распределения трения и давления при различных значениях критерия подобия к. Картина течения для £ = 5,0 представлена в декартовых координатах на фиг. 3. Эти результаты были получены при а = 0,3 + 0,7 (<о1/^)2. Для сходимости релаксационного процесса на сетке 100X30 требуется 300—800 итераций.

Аналогичная схема, построенная для системы (3), требует, как оказалось, существенно большего времени для расчета. Кроме того, такая схема менее устойчива. Действительно, согласно (5),

параметр релаксации для пересчета давления мал, а, следовательно, расчет уравнения импульсов

Фиг. 3

Ч 8 12 X

Фиг. 2

ведется при заданном распределении давления, так что возникает опасность появления особенности в точке отрыва потока [13]. С другой стороны, увеличение значения а приводит к расходимости итерационного процесса.

2. Рассмотрим теперь ламинарный отрыв несжимаемой жидкости от угловой точки твердого тела. В этом случае в окрестности угла также возникает область свободного взаимодействия [8], течение в которой при X <^0 описывается следующей системой соотношений:

1 д2 & д2 ф ,, дф

и

дсо

~дХ

V — = —-дУ 2 дУ*

дУ-

дУ

К = —

дХ

дш

1Гу

= 2

у=о

(1Р

~1х

’Ь(Х, 0) = фу (А, 0) = 0; при

Ф ~ (— '305/8/г (71) при X — ОО,

эо;

(6)

У

здесь 71= .

' (-Х)3'8

Входящие в (6) постоянная Л2 и функция /2(т|) определяются системой

/2 -4-/^ + -г(/^2 + 1”°;

/г (0) = /г(0) = 0; /2 (т)) ^ А ° т]5 3 + . . . при т)->оо. Давление Р находится из решения следующей задачи: найти аналитическую в верхней полуплоскости функцию f(z) = P-\-iv

4—Ученые записки ЦАГИ № 2

49

такую, что f(z)^:i—izV2 при 2 -> оо, а на действительной оси Ке(/) = 0 ПРИ *>ь0 и 1т(/) = 0(Х) при ^<0. Здесь

V

в (X) = Нш

оэ

и •

О7)

Для решения этой задачи рассмотрим замкнутый контур Г, который состоит из двух полуокружностей с радиусами р, /?>р

и центром в 2 = 0, лежащих в верхней полуплоскости, и из соответствующих отрезков действительной оси. По формуле Коши для

Г I ,>1/2

Ф (2)== -----— имеем

„1/2

ф (2) = ф ^С; ф ^М: СІс = 0.

4 ' 2иг — ■? ’ .т г_ г

Складывая первое выражение с комплексным сопряжением второго, получим в результате предельного перехода /?^оо, р 0 соответствующую рассматриваемому случаю модификацию формулы Келдыша — Седова [14]

/(г) = - іг

1/2

0(<)

СІІ.

Из формулы Сохоцкого [14] для значения этого интеграла на действительной оси следует, что при ЛТ<0

р (х) = у~х

1 + — V. Р. Г _°(0-си

(В)

Система соотношений (6) — (8) представляет собой задачу для области свободного взаимодействия. Эта задача решалась методом, изложенным в п. 1. Заметим, что интеграл (8) приходится вычислять на каждой итерации.

Результаты расчета представлены на фиг. 4. Верхний график изображает распределение трения на стенке, далее показано поведение давления вдоль области взаимодействия. „Начальный“ и конечный профили скорости представлены на нижнем графике.

Интересно отметить, что эти расчеты подтверждают сделанное в [8] предположение о положительности трения на стенке при X = 0. . ’

Автор благодарит В. В. Сычева за помощь в работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 4.

2. Stewartson К-, Williams P. G. Self-induced separation.

Proc. Roy. Soc. A, vol. 312, 1969.

3. С ы ч e в В. В. О ламинарном отрыве. „Изв. АН СССР, МЖГ“,

1972, № 3. ' ’

4. Н е й л а н д В. Я. Распространение возмущений вверх по по-

току при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным . слоем. .Изв. АН СССР, МЖГ“, 1970, № 4. '

5. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1970, № 6.

6. Рубан А. И., Сычев В. В. Гиперзвуковое течение вязкого газа около крыла малого удлинения. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV,

№ 5, 1973.

7. М е s s i t е г A. F. Boundary-layer flow near the trailing edge of a flat plate. SIAM J. Appl. Math., vol. 18, N 1, 1970.

8. Рубан А. И. О ламинарном отрыве от точки излома твердой поверхности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 2, 1974.

9. Н е й л а н д В. Я. К асимптотической теории взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ“,

1971, № 4. '

10. Carter J. Е. Solutions for laminar boundary layers with separation and reattachment. AIAA Paper, N 74-583.

11. В a 30 в В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М., Изд. иностр. лит., 1963.

12. Kline berg J. М., Steger J. L. On laminar boundary-layer separation. AIAA Paper, N 74-94.

13. Goldstein S. On laminar boundary-layer flow near a position of separation. Quart. J. Mech. Appl. Math., vol. 1, part 1, 1948.

14. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функцией комплексного переменного. М., „Наука", 1973.

Рукопись поступила 51V 1975 г.