К асимптотической теории обтекания угловых точек контура твердого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIV 1 983 №5

УДК 532.526.5

К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБТЕКАНИЯ УГЛОВЫХ ТОЧЕК КОНТУРА ТВЕРДОГО ТЕЛА

И. Г. Фомина

Исследуется двумерное течение вязкой жидкости около стенки, имеющей область большой кривизны. Анализ этого течения проведен на основе метода сращиваемых асимптотических разложений, примененного к решению уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса. Рассмотрен случай, когда взаимодействие между пограничным слоем и внешним потоком отсутствует. Найден критерий подобия задачи как для течения несжимаемой жидкости, так и для случая сверхзвукового течения. Произведен расчет, в результате которого найдено распределение трения вдоль поверхности стенки при различных значениях параметра подобия.

Обтекание твердой поверхности, имеющей точку излома, является классическим примером течения, для которого теория пограничного слоя Прандтля является непригодной. В этом случае в окрестности точки излома поверхности образуется область свободного взаимодействия, где, в отличие от классической теории пограничного слоя, пограничный слой и внешний поток должны рассматриваться совместно. В связи с этим анализ течений подобного рода обычно проводится на основе исследования решений уравнений Навье — Стокса. При больших числах Рейнольдса анализ часто проводится с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений.

Изучение структуры течения в окрестности точки излома поверхности впервые было проведено в работе [1]. Дальнейшее развитие для случая несжимаемой жидкости эта теория получила в работе [2]. В результате было установлено, что область свободного взаимодействия, возникающая в окрестности точки излома поверхности, имеет протяженность порядка Ие-38 (Ие—число Рейнольдса) и состоит из трех слоев. Это, во-первых, пристеночный слой толщиной 0(Не_5/8); основная часть пограничного слоя, толщина которой О (Ие_1/2); и, наконец, внешний потенциальный поток, имеющий поперечный размер порядка Ие“3,8. Нижний пристеночный слой является вязким и описывается обычными уравнениями Прандтля, основная же часть пограничного слоя оказывается локально-невязкой. Когда угол излома поверхности становится

порядка Ие-’/4, происходит зарождение отрыва потока. Аналогичная структура течения реализуется и в окрестности точки отрыва потока от гладкой поверхности как для несжимаемой жидкости [3],. так и в случае ламинарного отрыва сверхзвукового потока [4, 5].

В настоящей работе исследуется обтекание твердого тела, контур которого имеет область большой кривизны. Протяженность этой области будем считать величиной по порядку много большей, чем протяженность области свободного взаимодействия. В связи с этим пограничный слой не будет влиять в основном приближении на внешний поток и градиент давления, воздействующий на пограничный слой, можно считать известным из решения для внешнего невязкого потока. Как будет показано ниже, схема течения будет трехслойной, так как основная часть пограничного слоя является локально-невязкой, а эффекты вязкости и нелинейности проявляются лишь в тонком пристеночном слое.

1. Рассмотрим поток вязкого газа около тела, контур которого имеет большую кривизну в окрестности некоторой точки О (рис. 1).

Рис. 1

Ось х ортогональной системы координат х, у направим вдоль поверхности стенки. В дальнейшем будем использовать безразмерные переменные. Для этого расстояние вдоль осей хну отнесем к характерному размеру I. Компоненты скорости в данной системе координат обозначим через и и и и отнесем их к скорости набегающего потока Vcc, а приращение давления (по отношению к его значению в невозмущенном потоке), обозначенное через р, к удвоенному скоростному напору poo V^. Плотность газа р и вязкость ¡д. будем считать отнесенными к их значениям в набегающем потоке рот и ¡loo соответственно. Протяженность области искривления стенки Дх обозначим через е и будем считать, что е С 1, однако s достаточно велико для того, чтобы пограничный слой, образующийся вдоль поверхности стенки, не взаимодействовал С внешним ПОТОКОМ [1], Т. е. S > Re_3/8, • где Re = poo Koo//fioo — число Рейнольдса.

Асимптотическая теория такого течения при Re -»оо строится с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений, примененного к анализу уравнений Навье —Стокса. Предварительно, однако, полезно провести некоторые рассуждения для выяснения структуры течения в области искривления стенки. Выберем угол 0 (см. рис. 1) таким образом, чтобы градиент давления dp/dx в рассматриваемой области был по порядку величиной, много

большей единицы; тогда основная часть пограничного слоя, где £/~ 1, будет локально-невязкой. В связи с этим около стенки должна существовать более тонкая область, в которой существенны силы вязкости. Кроме того, в пристеночном слое может проявиться эффект нелинейности продольного уравнения импульсов: А и — и. Если силы вязкости окажутся сильнее эффекта нелинейности, то профиль скорости в основном приближении будет неизменным и отрыва потока произойти не может. Если же нелинейная область будет невязкой, то для нее справедливо уравнение Бернулли и при возрастании градиента давления квадрат скорости должен стать отрицательным. Следовательно, пристеночный слой должен быть одновременно и нелинейным, и вязким.

Таким образом, в рассматриваемом течении можно предположить существование трех областей с различными свойствами. Это, во-первых, область внешнего невязкого потока, затем основная часть пограничного слоя толщиной О (Re-1-) и, наконец, вязкий и нелинейный пристеночный слой.

2. Приступим к более подробному анализу течения в каждой из указанных областей. Начнем с вязкого слоя (обл. 3 на рис. 1).

Из продольного уравнения импульса следует, что в этой области

(i)

здесь г — протяженность области изменения угла наклона стенки от 0 до 6.

Условие сращивания с исходным пограничным слоем, лежащим перед рассматриваемой областью, дает

и ~ Ке1;2у. (2)

С учетом нелинейности пристеночного слоя Да~м из первого соотношения в (1) получим

и ~ А а — V Р ■ (3)

Из соотношений (1) и (2) для и имеем

и ~ А и ~ г13. (4)

Уравнение неразрывности позволяет получить оценку для v:

■о—f у. (5)

Таким образом, из соотношений (2)—(5) следует, что для области 3 справедливы следующие асимптотические представления параметров течения:

М = -ь . . . , V ==> Re-1/2s-i-3-y3 + . . . , 4-. . . ;

Х — гх:., j/=Re-,2£13y3;

из уравнения энергии следует, что р И ¡J- в пристеночном слое, где скорости малы, можно считать некоторыми постоянными величинами Re0 и fi0. При этом система уравнений, описывающих течение в зоне 3, принимает вид:

и ÍÍÍ1 4 7) -Éffl 4- JL — -Ü2_ д' и3

'3 дхч г * dy¡¡ Т Rc„ dx* Re0 ду\ ’ ^

да, , dv^ n дх* ‘ dyi

} (6)

3— «Ученые записки ЦАГИ> № 5

33

Кроме того,-имеет место условие прилипания и Ах*., 0) — ъв (х%, 0) == 0,

начальное условие при х% — со

иъ = ау g .

(9)

и условие на внешней границе вязкого слоя

«з = ауг + А (х*) + . . . при уд + °о ,

(Ю)

первый член которого является следствием малости изменения продольной составляющей скорости и в основной части пограничного слоя, а второй можно получить при подстановке данного предельного решения в систему уравнений (7).

3. Основная часть пограничного слоя (область 2 на рис. 1) имеет характерные размеры ДЛ'—з и у~Ие-1/2. Вид предельного решения (10) для вязкого слоя позволяет определить вид разложения для продольной составляющей скорости и для области 2

Второе уравнение импульса показывает, что величину давления можно считать постоянной поперек основной части пограничного слоя.

Таким образом, на основании (И) —(13) для области 2 имеем

Интегрируя систему (15) и используя условие сращивания с (Ю), находим 1

Вид функций ио(у2) и РоСу2) определяется из условия сращивания с решением Блазиуса при'*й -> — оо .

и = и0(Уо) + ï1 Зи21 (•**, у2) г ... ■ Уравнение неразрывности дает оценку для v

v ~ Re-1^-2'3,

(И)

(12)

а уравнение энергии — вид разложения для плотности

р=Ро Су*) + *1/3 р21 (^с*. л')+ —

(13)

и = 13о (у2) + s1'3 и31 + . . . , v - Re-’P + • ■ -

Р = в2/3/72 + . . . , р = Ро ( Уї) + S1 3 Р21 + • - • ,

х — ех%, у = Re~1/2j/2.

(14)

Подстановка (14) в систему уравнений Навье —Стокса дает

(15)

ии — а“1 А (Хц.) , v2 = — а~1

Р21 = д-1 л (л-*) , р2=р2 (х%).

Таким образом, относительно основной части пограничного слоя можно сказать, что она является локально-невязкой и играет пассивную роль, поскольку перепад давления и наклон линий тока передаются без изменений поперек данной зоны.

4. Для замыкания задачи необходимо рассмотреть еще внешний поток (область 1 на рис. 1). Система уравнений, описывающая течение в зоне /, будет обычной системой линеаризированных уравнений Эйлера. В случае сверхзвукового внешнего потока верна формула Аккерета, описывающая локальную зависимость между давлением и наклоном линии тока:

Уи

Ущ

(16)

где Уп(х) — форма обтекаемого тела, Моо — число М в невозмущенном потоке.

Для несжимаемой жидкости

1 +со

yw (О

Я J t — А'*

—;СО

dt.

В настоящей работе рассматривалось обтекание тела, имеющего форму

Ую(х^ = Ь/ю(х„). (17)

Здесь 6 *= $2/з е, fw У_f_ ¿2 ) _

В сверхзвуковом случае афинные преобразования х% - a“2 Re0~1/2 X, ys=a~l Reo-1'2 Y,

u3 = Re¿"1/2 U, v3 — ¡x0 a Reo*1'2 V

приводят краевую задачу для вязкого подслоя (7) — (10), (16) для заданной формы тела (17) к виду

дЦ

дК

dU

ÓY

dp

Тх

(PJJ д¥‘ ’

U = Y

дХ 1 д У ¿/ = V = 0 при у = 0,

. . при X -* — со или Y -> + оо р = аFw (А'),

(18)

где Рю (X) = X + VX2 +\, а а = 0/2[1оаНе0' (М» — 1 ] — критерий

подобия рассматриваемой задачи.

При обтекании стенки потоком несжимаемой жидкости для области 3 имеет место следующая задача:

щ = г>3-=0 при У8 = 0,

«3 = ауа 4 . . . при х* -* — оо или уъ

+м

Ую

X*

Р'

После замены переменных

хй = а~2 X, у3 = а~} У,

и? — и, у, = аУ

система (19) принимает вид

ои

и

дХ

- V

ди

йр

дУ 1 с1Х

дП)

дУ?

ди , дУ дХ + дУ

■О,

и= У +

ІІ — V = 0 при у = 0, при X -» — со или У -> + сю ,

г а Г

МО

X

(19)

(20)

где критерий подобия а = 0/2а2.

5. Краевые задачи (18) и (20) решались численно с помощью схемы Крэнка—Никольсона. На рис. 2 представлены кривые зависимости распределения трения т на стенке при разных значениях

параметра подобия а.для случая сверхзвукового обтекания стенки. Кривые имеют минимум, величина которого уменьшается; при = 0,386 трение на стенке впервые обращается в ноль в точке ^ = 0,39. Аналогичные кривые для случая несжимаемой жидкости при положительных а изображены на рис. 3., При этом а# = 0,605, Х0 — — 0,52. Картина распределения т для краевой задачи (20) при ос<0 представлена на рис. 4. Критическое значение а* = —1,455, а Л"0=1,88. Таким образом, в случае обтекания стенки несжимае-

мой жидкостью при —1,455 < а <0,605 реализуется безотрывный режим обтекания.

Важными характеристиками рассматриваемой задачи являются распределение производной трения -Л. вдоль поверхности тела, вычисленное при я = я*, и зависимость квадрата минимального

Рис. з

Рис. 4

значения трения т^п от величины Да = а — а#. Аналитические выражения для данных зависимостей были получены в работе [6]. Так, для распределения давления справедлива формула

' — аи\Х — Хп [ , Х^Ха.

Из кривых для представленных на рис. 5, можно получить, что величина а0 для сверхзвукового случая (кривая /) равна 0,42, для обтекания несжимаемой жидкостью вогнутых тел (кривая 2) о0 = 0,61 и для а* = — 1,455 (кривая 3) а0 = 0,23.

Рис. 6

Наконец, на рис. б изображена зависимость t^in от величины Да. Как показано в [6], эта зависимость будет линейной

’•min — Сі у Дй.

Определяя коэффициент пропорциональности, нетрудно получить значение а, для каждого из рассматриваемых случаев (нумерация кривых аналогична нумерации для рис. 5). При этом для кривой / — а, = — 2,86, для кривой 2 — = — 1,18 и для кривой

3— а1 = 1,35.

ЛИТЕРАТУРА

1. Stewartson К. On laminar boundary layers near corners. — Quart. J. Mech. Appl. Math., 1970, vol. 23, pt. 2.

2. P у 6 a h А. И. К теории ламинарного отрыва жидкости от точки излома твердой поверхности. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. VII, № 4.

3. Сычев В. В. О ламинарном отрыве, — Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 3.

4. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке газа. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.

5. Stewartson K.. Williams P. Q. Self-induced separation.— Proc. Roy. Soc. Lond,, A., 1969, vol. 312.

6. Рубан А. И. Особое решение уравнений пограничного слоя, непрерывно продолжимое через точку нулевого поверхностного трения. -Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 6.

Рукопись поступила 1611V 1982 г.