К теории ламинарного отрыва жидкости от точки излома твердой поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И Т о м VII 197 6

№ 4

УДК 532.526.5

К ТЕОРИИ ЛАМИНАРНОГО ОТРЫВА ЖИДКОСТИ ОТ ТОЧКИ ИЗЛОМА ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ

А. И. Рубан

Исследуется ламинарный отрыв несжимаемой жидкости от точки слабого излома твердой поверхности при больших числах Рейнольдса. Найден асимптотический критерий подобия, позволяющий судить о наличии зоны отрыва. Излагается новый релаксационный численный метод, дающий возможность рассчитывать течения со стационарной срывной зоной, лежащей в области свободного взаимодействия.

Ламинарный отрыв жидкости или газа от твердой поверхности обычно исследуется с помощью соответствующих решений уравнений Навье — Стокса. Наиболее прямым методом отыскания таких решений является численный анализ. К настоящему времени созданы эффективные разностные схемы, позволившие получить решение целого ряда задач. Эти схемы, однако, не дают ясного представления о механизме отрыва при больших числах Рейнольдса. Более того, они являются расходящимися в этом наиболее интересном и важном случае. В настоящей работе поэтому используется асимптотический (Ие^оо) анализ отрывных течений. Заметим, что плоская пластина, поставленная под нулевым углом атаки, не вызывает отрыва потока. С другой стороны, обтекание несжимаемой жидкостью поверхности, имеющей угловую точку, сопровождается образованием срывной зоны; для этого случая течение исследовалось в работе [1]. Целесообразно поэтому рассмотреть течение около тела с малым углом излома поверхности.

В данной работе найдены углы, начиная с которых возникает отрыв потока, приводятся решения для течений с замкнутыми стационарными срывными зонами, лежащими полностью в области свободного взаимодействия. Кроме того, излагается новый численный метод, с помощью которого были получены эти результаты.

1. Постановка задачи. Течение перед точкой излома поверхности. Рассмотрим двумерное течение вязкой несжимаемой жидкости около тела с угловой точкой О (фиг. 1).

Введем две системы координат: декартову х, у и ортогональную X, У, связанную с поверхностью тела. Все размеры, как обыч-

но, отнесем к характерной длине тела L, компоненты скорости — к ее значению в набегающем потоке Vx, а приращение давления р — Р& к ?Vlo- Здесь р — постоянная плотность жидкости.

Пусть s2 = Re-1 = v/Z, Vx -> 0. Предположим кроме того, что угол излома поверхности 6=о(е)А, где о(е)-*0 при е-»0, а постоянная А может быть как положительной, так и отрицательной.

Если О (а) в, то решение для зоны / (см. фиг. 1), где х~у— I, очевидно, следует искать в виде

It == 1

(1.1)

Подставляя (1.1) в уравнения Навье — Стокса, получим, что функция

/і (г)=р1(х, у) + &1(х, у)

является аналитической функцией комплексного переменного г = = х + іу, причем на поверхности тела при |л|-»0

Vx(x, 0) =

h при дс<0; 0 при x'^>Q.

Отсюда следует, что асимптотическое разложение решения для зоны 1 имеет вид

/і (г) = — 1п г-\-Ь 4- 0(1) при г -* 0.

%

Здесь Ь — действительная постоянная, определяемая глобальным решением для рассматриваемой зоны. Таким образом, давление на стенке определяется соотношением

Pi{x, 0) = —ln|jc|4-^ + 0(l) при 1 х | — 0.

(1.2)

Пограничный слой, лежащий вверх по потоку от точки излома поверхности (зона 2), удобно описывать в форме Мизеса:

X = X; ф «= г¥;

и=и1 + зи\ + ги\± . . . +аиД+ . . . ;

Л = 6/І2 Н- 3~/І2 Яг . ■ . “I- ^2 "Ь • • • >

У=еК® + зеї^ + г2 VI + . . . +аг2 V* +- .. . !

Р = зр\ ~Ь + ... 4" <з&р\ + . . . . . ■ ,.

(1.3)

ди% л I лди\I, „ „

= ^ И » Ь и*(Х, 0) = 0; и°2(Х, оо)=1;

Тогда длянулевого приближения получим:

т1-Л-(гРдЛ]

дХ — дУ д¥

дп2 1 п п п дя2

±; п%(Х, о) = о;

и2

Решение этой задачи (см., например, [2]) является регулярным в окрестности точки О. В частности, при X -» — 0

1Л(Х, Ф) = и?(ЧГ) + ( — Х)(А1т+ . . . ,

где £/“ = а0¥!.''2 — -1^-^ + . и|1 = а1«’1/2+ ... при «' -> 0.

10 #0 -

В соответствии с этим функция VI также раскладывается в ряд Тейлора при X -> — 0. Последнее означает, что потенциальный поток в зоне / подвергается в этом приближении регулярному воздействию со стороны пограничного слоя. Следовательно, р1(Х) не имеет особенности в окрестности угловой точки. На этом основании нетрудно получить, что при X ->- — 0

С/| = £/?(¥) + (-*) £/221(ЧГ)+ ,

где и? = Ь0 ЧГ'/з + . . . ; гД1=&,Чг1'2 4- ... при - 0.

Рассмотрим теперь задачу для величин первого приближения

й (и°,иЬ + ^=1А^(1Аи1) + и\* 1г=°- О-4)

дХ ^ т й - ^ I 2 <№ д¥ ) ' дЧ?

Поскольку р\ не зависит от вертикальной координаты, то из сращивания с выражением (1.2) получим, что др\1дХ = к^Х 4- ■ • • при X —* — 0. Таким образом, градиент давления имеет особенность в окрестности точки О, это означает, что при ЧГ —1 (подзона 2 а) течение является локально невязким. Действительно, из (1.4) следует, что

1Аи1 + -^\п(-Х) = <?(Щ-\-0(Х1п(— X)) при Х+ -0. (1.5)

Здесь <р(ЧГ)— функция, определяемая глобальным решением задачи для зоны 2.

Для удовлетворения условию прилипания на стенке и\{Х, 0) = 0 следует рассмотреть еще лежащую на дне зоны 2 вязкую подзону 2 Ь, для которой должны быть выполнены соотношения

д / Т1о , ,1ч 1 Ь2 п

дх-(и2и<1) (_Х)~ ЦП > (*-6)

где

Из соотношений (1.6) следует, что для этой вязкой подзоны (Д = а0(-ху*^+ . . . ; ^ = (-*)-^(г()4-. • . ;ч = —|р.(1.7) В результате подстановки (1.7) в (1.4) получим:

4- «о (*11/2 е)' = 4- + г‘12 ^1;2 еУ'' £ (°>= °-

Асимптотическое разложение решения этого уравнения при Г) -» оо имеет вид

2- 4;1пт‘ + ^+°(гг3-). (1.8)

В этом выражении коэффициент при экспоненциально возрастающем члене положен равным нулю из условия сращивания с решением в зоне 2а. Константа входящая в (1.8), определяется условием £(0) = 0.

Сращивая выражения (1.5) и (1.8), получим

?(’1Г)= т" 4■1п,Р + а0Яг+ . . . приУ-О. ^

Рассмотрим теперь уравнение неразрывности в первом приближении:

Ж*.0) = 0. 0-9)

Из соотношений (1,7) и (1.9) следует, что для вязкой подзоны 2 Ь

п1 = ( — Х)-'13М(ц)+ ... при А'-—0, (1.10)

Подставляя (1.10) в (1.9), получим

№ О) =-----§- ; Д/(0) = 0. (1.11)

Ч Ч

Выражения (1.8) и (1.11) позволяют получить асимптотическое разложение для функции N(4) при ^ оо

УУ(71) = Слг + 0(7)-1'21пу1), Сдг — постоянная. (1-12).

Соотношения (1.5), (1.Ю) и (1.12) показывают, что функция п\(Х, Ч7) при ¥—1 (подзона 2а) представима в виде

п1==(— Х)-1'3 «2° (Ч7) + 1п ( — .Л') п\1 (¥) 4- п\2 (¥) . . . при X ->■ — 0.

В результате подстановки этого выражения в (1.9) и сращивания с (1.12) получим

п£°(¥) = Слг.

Вертикальную составляющую скорости можно теперь найти из второго уравнения неразрывности:

п дг& , . дп*1 п дп\

Отсюда следует, что функция VI является регулярной в окрестности точки О, а

= 0(— X)-' при Ф” -> оо. (1.13)

Сращивая (1.13) с внешним потенциальным потоком, получим краевое условие для определения давления.

В результате

р\ {X) = А„ ( -X) -,/л -Ь О (— X)-1 при Л"-* -0.

Отсюда, наконец, следует, что для подзоны 2 а [Д~ ( — Х)~413, для подзоны 2Ь £/|~(— Л')-5'3.

Таким образом, при X-1; г/5 — 1п(— X); и\*

для ’Р ■

иі

1; иІ~{~Х)-^ для

и\

л-~

М-*)1'3; іЛ'

X)*3.

'(-ху

-5/3

(1.14)

2. Область свободного взаимодействия. Из соотношений (1.3) и (1.14) следует, что при Л'~£3/4 четвертый член разложения величины и, который индуцируется вторым членом этого разложения посредством давления в зоне 1, становится по порядку величины равным второму члену. Это означает, что в окрестности

Фиг. 2

точки О с продольным размером Ь.Х ~ в3/4 расположена зона свободного взаимодействия, в которой пограничный слой и внешний потенциальный поток взаимно обусловлены. Причем если о(е) по порядку величины не превосходит г112, то для всех Х^>&314 разложения (1.3) остаются равномерно точными.

Рассмотрим сначала случай а = е1/2. Тогда из условия сращивания с подзоной 2 а следует, что для основной части пограничного слоя области взаимодействия (зона 4 на фиг. 2):

и.

X = £3/4 Xф = е¥4;

■ иЧ+г'1Чпги\ + в'1Ю1+ . . . ; 1Л

в»/а у* 4

П =еЛ^4 + в5/4Л^1-

зл

(2.1)

Кривизна обтекаемой поверхности определяется соотношением

^1/2 Ь.х ■

м

<ІХ

° (£)

' (\Х '

Чтобы не рассматривать зону, лежащую в малой окрестности точки О, будем предполагать (как и в [3]), что длина области скруглення стенки АХ^>е, но АХ <Оэ/4, тогда &<С>~1/2. Подставляя (2.1) в уравнения Навье — Стокса, получим:

^-С/40(Т4); и1 = и\(Фй р4 = /М*4); І/ЇУІ+А^Ф^);

Л^2=Л^5(¥4);

и

о >

к

С1Ы\

и 4°

ах.

(2.2)

Для нахождения функций СЦ^), и4(^\) и Ф^) срастим величину и2!2-\-р для исследуемой зоны и подзоны 2 с. В результате получим, что

£/$(*) = !#•(¥); Ф(«г) = ?(ЧГ) + й.

Рассмотрим теперь вязкую пристеночную зону 5 области свободного взаимодействия, в которую приходит при А'~е3/4 подзона '2Ь\

Х = **1*ХЬ; ф = £3/2 ЧГ5; = £і,4 и5; я==вб/4^в.

V = £3/4 1/6; р = ВІ/2 ІП е + е>/2р5.

Подставляя эти выражения в уравнения Навье — Стокса, получим:

иь = ^5 — (Уь ди>

дх6 ' дх5 0 дчг5 \ ° <№5

І^. = Л. дРь _р дчг6 и5 ’ дх5 иь ’ <ж6 '

(2.3)

Сращивание решения в зоне 5 с решениями в зоне 4 и подзоне 2Ь позволяет получить краевые условия, необходимые для интегрирования системы (2.3):

= а0 (— Х&У3 V72 + • • • при Хь -* — оо ^ = * ) ; (2.4)

,т _ 1Т,1/2 , 1пЧ?5 а0Ве-{-Ь— ръ

и а ао ^5 +-^-^уГ+ +---ПРИ ¥5-00. (2.5)

В последнем разложении можно оставить только первый член, поскольку он определяет остальные единственным образом.

Продифференцируем теперь первое уравнение неразрывности (2.3) по Хъ: .

д ( дмч \— д ( 1 )

\ дХь ) дХь \ иь) •

<№6

Это означает, что

дХй 3 дХй \ий) о

Этот интеграл, как видно из (2.5), сходится при ЧР*Б -9- со. Следовательно, существует предел отношения У5/и5 при ЧГд —»ооэ

который, согласно (2.2), передается без изменения через зону 4.

Заметим, кроме того, что давление не меняется поперек зон 4 и 5:

Соотношения (2.3) — (2.5) в ортогональной системе координат: связанной с поверхностью тела, имеют вид

и диь _1_ У диь + ЛРь — д*иь . ди* I <^^5 _ 0.

5 дХь 5 дгл ЛХЬ ду2 ’ дХь ^ дУ6 ’

4

иъ—аУь-\---- при Х5 -»■ — оо или К5 -* оо [ а : иь(Х&, О)=К5 (Хь, 0) = 0.

Введем, наконец, функцию

' 0(Хв) = Ит ~ .

Г5->оо иь

Для замыкания системы соотношений, описывающих область свободного взаимодействия, необходимо еще рассмотреть внешний потенциальный поток (зона 6), где, согласно условию сращивания с зоной 1, решение следует искать в виде

•* = в3,4*в; у = е3'4ув; v = e'U3vв-\-.^^■•; . . .

р = в»/2 1п в - + г'»рй + и - 1 - в'/2 1П е+ • • -

В результате подстановки (2.6) в уравнения Навье — Стокса нетрудно получить, что функция

/в (*) = Ра + м 6, г = л:6 + гув

является аналитической в верхней полуплоскости.

Сращивание зоны 6 с зонами 1 и 4 показывает, что

/в(г) = -^-1п2-{-& + 0(1) приг-*со,

а на действительной оси

1ш/6 - у; да 4- с (Х5)\ Ие/е = ръ да.

Здесь К0ТО — форма обтекаемого тела, записанная в переменных зоны 5:

V ,у\ \НХъ при ^<0;

= при ^5>0.

В результате группового преобразования

Х^а-^Х- Уъ=*аг**У\ 2 == от*:* г\ У0 = а--4 ?0;

__ ____________

ий = а1/4(У; 1/5 = а3/41/; А = а1'2 1п а;

/6 = а1/2/+й---|^-1па; 0 = а1/20.

Система соотношений, описывающая область свободного взаимодействия, принимает вид

ГГ дЪ , и ди Ор , д* и ди , дУ п

Ж"ь'дГ-и;

и — Т + ••• при Л' -» — оо или У -> оо;

(/(*, 0) = У(Д 0) = 0;

/(г) аналитична в верхней полуплоскости;

7= -г- 1пг-Ь 0(1) при г -*■ оо; ^2-7^

а на действительной оси

1ш/== У0 + в; р(Х)=* Ие/;

где е = Ит~; Уо = (а^ при ^<0;

и I 0 при X > 0.

(2.6)

Входящая в (2.7) величина а = к/а11'2 является критерием подобия. Система соотношений (2.7) была впервые сформулирована Стюартсоном [4].

Функцию тока, как обычно, определим посредством соотношения

V

тогда при X

оо

•Ь = (_ *)2/3-1_52 + а/гД5) +

(- X)11

1/3

где

и

52/б +^ = 0; /й (0) = /* (0) = 0;

/* = Аь$ -- — 1п 54 Вь ■-}-------------- при я —* оо;

соответственно при X -* + оо

:2/3 1

+аЛ(з) -Г • • • (5=_^

х11г

где

/:+4 в*/; - 4-=о; л (О) =/; (0)=о;

Л -

(2.8)

(2.9)

Заметим, что одним из линейно независимых решений уравнения (2.8) является возрастающая при я -* оо экспонента, коэффициент

при которой, как указывалось выше, должен быть положен равным нулю. Поэтому/й (5) определяется условиями /ь (0) = /* (0) — 0 единственным образом. Найдем теперь третье краевое условие для функции Для этого заметим, что при уоо

±У* + А(Х)У

~\п У±В{Х)

Подставляя (2.10) в (2.7), получим соотношение

Л2 Ч-/7 — в = с°пк1,

(2.10)

из которого следует искомое краевое условие для

Ве = Вь.

Результаты расчета функций /6 и /е представлены на фиг. 3.

3. Численный метод. Численный эксперимент показывает, что релаксационный метод, описанный в [5], дает решение задачи (2.7) лишь в диапазоне значений а, соответствующих безотрывному обтеканию угла. В остальных случаях этот метод оказывается расходящимся. Предлагается поэтому для течений с дозвуковым внешним потоком (зона 6) использовать релаксационный процесс, являющийся результатом синтеза идей, изложенных в работах [6] и [7]. Соотношения для пограничного слоя (2.7), (2.10) удобно при этом представить в виде (см. [5])

гт даз , тт дш д2 ш дЪ 1

и —= V -=гг = —^ = ш ~ I;

дХ дУ дУ2 дУ

и — -4=- ; г = и-У;

дУ дХ ’

За

!+' ..

Согласно [7], на_г-й итерации по заданому распределению функций Л(г) (X) и ш (X, У) можно найти улучшенное приближение_для <о(Л', У), а следовательно, определить градиент давления р'(Х) = = да>/дУ\у=0 на этой итерации. Заметим теперь, что в соответствии с (2.10) <3 (X) = —А'(X), поэтому (см., например, [8])

00

й" =------ Г си, где а = Уй{Х)-А (X). (3.1)

71 . t — X

— 00

Соотношения (2.8) и (2.9) определяют значения с1(Х) на крайней правой и крайней левой границах расчетной сетки. Используя эти значения и соотношения (3.1), находим й(X), а следовательно, и функцию Л*— У0 — й.

Как и [5], будем использовать нижнюю релаксацию

Л(,+1)= гА% -+• (1 — г) Л(г).

Все приведенные ниже результаты получены при г = 0,05. На фиг. 4 представлены распределения трения и давления для положительных а, т. е. в случае обтекания выпуклого тела. Интересно отметить, что отрыв в этом случае происходит за углом. Картина течения для а = 7 изображена на фиг. 5. Для случая отрицательных а соответствующие результаты представлены на фиг. б. Наконец, из фиг. 7, на которой приведена величина минимума трения на стенке в зависимости от а, следует что безотрывное обтекание реализуется лишь при — 2,0 < а <5,7.

Это, естественно, означает, что при всех а е12 течение является безотрывным.

В заключение заметим, что приведенная здесь схема сходится в два-три раза быстрее схемы, изложенной в [5], последняя, однако, является более предпочтительной для случая сверхзвукового внешнего потока.

Автор благодарит В. В. Сычева за руководство работой.

ЛИТЕРАТУРА

9 5 6 а % A. V\. О ланичарном отрыве от точки излома твердой поверхности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 2, 1974.

2. Сычев В. В. О ламинарном отрыве. Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 3.

3. Нейланд В. Я. К асимптотической теории плоских стационарных сверхзвуковых течений со срывными зонами. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 3.

4. Stewartson К. On laminar boundary layers near corners. Quart. J. Mech Appl. Math., vol. 23, pt. 2, 1970.

5. Рубан А. И. Численный метод решения задачи о свободном взаимодействии. „Ученые записки ЦАГИ", т. 7, № 2, 1976.

6. J о b е С. Е., Burggraf О. R. The numerical solution of the asymptotic equations of trailing edge flow. Proc. Roy. Soc. Lond. A. vol. 340., N 1620, 1974.

7. Carter J. E. Solutions for laminar boundary layers with separation and reattachment. AIAA Paper N 74 583.

8. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., „Наука", 1973.

Рукопись поступила 7jX 1975 г.