Изучение влияния краевых эффектов в расчетах термодинамических средних на низкоразмерных спиновых соединениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.611:2 ББК 22.3

ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ КРАЕВЫХ ЭФФЕКТОВ В РАСЧЕТАХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СРЕДНИХ НА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СПИНОВЫХ

СОЕДИНЕНИЯХ Боярченков А.С.

Статья относится к области исследования низкоразмерных магнитных соединений. В работе был проведен расчет энергетического спектра 1-мерной ферримагнитной цепочки и зависимость намагниченности от величины внешнего магнитного поля. Оказалось, что вид зависимости совпадает с известным из литературы, но даже для размера системы в 8 спинов все еще сильно влияние краевых эффектов.

В последнее время низкоразмерные соединения и методы расчетов для их описания пользуются особым интересом у специалистов. Помимо значительного практического приложения подобных материалов, они также интересны большим количеством интересных физических явлений, наличие которых обусловлено существенным влиянием квантовых эффектов на поведение низкоразмерных систем.

Одним из наиболее интересных явлений является наличие т.н. плато намагниченности - участков зависимости величины намагниченности М от величины внешнего приложенного магнитного поля Н, на которых М=со^ для некоторого диапазона Н. Классическая трактовка задачи позволяет объяснить наличие только одного-двух плато, кроме того, она не позволяет объяснить наличие спонтанной намагниченности системы при отсутствии приложенного поля.

Существующие способы расчетов с применением квантово-механических методов позволяют описать существенно большее количество явлений, но результаты расчетов при помощи разных методов не всегда точно совпадают друг с другом. В настоящей работе исследуются причины различия результатов расчета термодинамических средних для квази-одномерной ферримагнитной цепочки Б=(1, 5/2), полученные методами точной диагонализации и методом, описанным в [1].

Вкратце, метод точной диагонализации заключается в том, что мы преобразуем гамильтониан (1) всей системы (в нашем случае 8 спинов с открытыми граничными условиями, здесь ^величина обменного интеграла, - операторы спинов 5/2 и 1 соотв.) при помощи операций сложения моментов.

Далее мы объединяем энергетические уровни по значению полного спина и диагонализуем матрицу гамильтониана, в результате, для каждого подпространства, характеризующегося значением полного спина системы, мы получаем энергетический спектр.

Для расчета термодинамических средних мы пользуемся общеизвестными выражениями, например, для расчета намагниченности:

(1)

(2)

Понятно, что для учета внешнего магнитного поля уровни энергий спектра необходимо расщепить, например, согласно нормальному эффекту Зеемана. Таким образом, для нерасщепленного уровня с энергией Е1 и проекцией спина во внешнем поле Н мы запишем

18

раздел ФИЗИКА и ТЕХНИКА

Или, считая |хБ=1, к=1 (эффективно учету поля Н и температуры Т в энергетических единицах)

Е1,т(Ь)=Б1-2шЬ (4)

Естественно, многократный (для построения графиков зависимостей) расчет ТД средних для системы, спектр которой насчитывает порядка 105 линий, кроме как на компьютере произвести не удастся. В процессе подобного расчета для повышения точности вычислений удобно сначала упорядочить уровни энергий спектра по возрастанию, а затем, сместив все уровни на Е0 такое, что еЕ1' лежит вблизи максимального возможного машинного числа, производить суммирование, начиная с наименьшего значения энергии - с целью эффективного использования всего доступного диапазона значений машинных типов, а так же для избежания проблемы т.н. «машинного ноля». Можно даже ограничиться лишь учетом энергий от Е0 до (Е0 + К), где К = 1п (10000), например - считая статсумму с точностью до 4 значащих цифр, но к заметному выигрышу во времени расчета такое упрощение не привело.

Применение вышеописанных способов увеличения точности расчета позволило произвести вычисления для температур ниже 0,001 ]", где J - величина обменного интеграла в гамильтониане, что позволило увидеть небольшое плато намагниченности на уровне Б2=8.

Обсуждение результатов расчетов.

Полученные результаты расчетов изображены на рис. 1(а-г) в виде зависимостей М от Н для различных значений температуры Т. Для сравнения использовались результаты расчетов [1] (рис 2(а-г)). Из приведенных графиков видно, что метод точной диагонализации хорошо «схватывает» особенности исследуемой системы -налицо целый набор плато, соответствующих целым значениям проекции спина группы. Теория предсказывает, что даже в отсутствие внешнего магнитного поля, система должна иметь некоторую спонтанную намагниченность - это следствие особенности основного состояния, не являющегося неелевским. На графиках мы видим, что все зависимости все-таки начинаются с М=0. На самом деле, это - разумный результат, поскольку для наличия спонтанной намагниченности системе необходимо наличие какого-либо выделенного направления. В рамках нашей модели, изначально система имеет лишь одно выделенное направление - вдоль цепочки спинов, поэтому направление спонтанной намагниченности (ансамбля систем) неопределенно. Как только появляется даже достаточно малое магнитное поле (пороговое значение поля определяется температурным размытием), систем сразу же ориентируется по нему и намагниченность резким «скачком» становится ощутимо большой - как правило, выходит на одно из возможных плато. Расчеты спектра показывают, что минимальная энергия достигается в подпространстве спина Б=8, что означает, что спонтанная намагниченность основного состояния должна равняться 8. Проводя расчеты для больших значений Т, мы получали первое плато на Б=9. Повышение точности расчетов и, как следствие, получение возможности расчета зависимостей для низких Т, позволило нам обнаружить и небольшое плато, соответствующее основному состоянию. Как и ожидалось, повышение температуры Т ведет к размытию границ плато и, при достижении какого-то критического значения, к их исчезновению. Тем не менее, количество плато, обнаруженных на графике значительно превышает количество плато в [1]. Самое «широкое» плато в нашем случае соответствует Б=9, а в [1] - Б=8. Причина этого в том, что для такой системы граничные эффекты все еще являются ощутимыми и конечность размеров системы вносит свой вклад, хотя даже для расчета методом точной диагонализации для группы из 8 спинов, потребовалось проведение достаточно объемной аналитической и вычислительной работы. Таким образом, можем предположить, что при дальнейшем увеличении размеров системы для метода точной диагонализации, мы будем постепенно приближаться к результату [1] (по крайней мере, наиболее существенное плато будет соответствовать Б=8 как в [1]). Выяснилось также, что для адекватного расчета намагниченности достаточно всего лишь 5-7 низлежащих уровней для каждого из спиновых подпространств, что позволит и в дальнейшем при подобных расчетах учитывать небольшое число уровней.

В заключение, автору хотелось бы поблагодарить фонд некоммерческих программ «Династия» за оказываемую финансовую поддержку.

■= О 'р ^ 7 й

Рис. 2 ( а)

Рис, 1с

>И

Рис.. -И

гп

26

У»

fpl

Рис. 2с.

Рис 1а,2а - Т=0,05J; рис. 1б,2б Т=0,П; рис. 1в,2в Т=0,Ш; рис. 1г,2г Т=0^, Т - температура, выраженная в энергетических единицах, J - величина обменного интеграла.

ЛИТЕРАТУРА

1. И.Г. Бострем, А.С. Боярченков, А.А. Коновалов, А.С. Овчинников, В.Е. Синицын К вопросу о квантовом плато намагниченности в металл-органических квазиодномерных ферримагнетиках // ЖЭТФ, 2003, том 124 вып. 3(9), стр. 680-690.