CC BY
41
УДК 537.622.5
К ВОПРОСУ О ПРИРОДЕ ДРОБНЫХ ПЛАТО НАМАГНИЧЕННОСТИ ВО ФРУСТРИРОВАННЫХ КВАНТОВЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМАХ
© В. Е. Синицын*, И. Г. Бострем
Уральский государственный университет им. А. М. Горького Россия, 620083 г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51.
Тел.: +7 (343) 269 44 31.
E-mail: valentine. sinitsyn@usu. ru
Низкоразмерные гейзенберговские спиновые магнетики с фрустрирующим взаимодействием являются объектом интенсивных исследований в современной экспериментальной и теоретической физике. В недавно синтезированных соединениях BIPNNBNO были обнаружены аномалии магнитных свойств, наблюдаемые в виде так называемых «дробных плато» на кривой намагничивания. В настоящей работе построена численная модель соединения BIPNNBNO и путем прямого расчета получена кривая намагничивания, на основании которой сделаны выводы о природе отмеченных аномалий.
Ключевые слова: низкоразмерные системы, антиферромагнетики, модель Гейзенберга, фрустрация, кривая намагничивания, плато, спиновая щель.
Введение
Низкоразмерные гейзенберговские квантовые спиновые системы с фрустрацией являются объектом интенсивных исследований современной физики. В органических радикалах, состоящих только из легких элементов, плотность электронов изотропна и они могут считаться идеальными гейзенберговскими спинами.
Органическое соединение В1РК№ВКО и родственное ему РГМВКО были синтезированы японскими исследователями в 2003 г. [1]. Магнитная структура таких соединений представляет собой двумерную решетку, а взаимодействие может быть описано в рамках изотропной модели Гейзенберга (анизотропия пренебрежимо мала). В1РК№ВКО/Р1МКО - далеко не единственные синтезированные на сегодняшний день двумерные соединения (см., например, [2]), однако, их отличительно чертой является наличие так называемого «фрустрирующего» взаимодействия, в данном случае -взаимодействия с соседями, следующими за ближайшими (ппп).
Кристаллическая структура В1РККВКО (в рамках настоящей работы мы будем говорить именно о нем) - орторомбическая (группа Pbcn) [1]. Ферримагнитные цепочки органических магнитных молекул формируются вдоль Ь-оси кристалла благодаря внутри- и межмолекулярному антиферромагнитному обменному взаимодействию; два типа антиферромагнитных обменных взаимодействий вдоль а-оси кристалла связывают цепочки в двумерную структуру. Молекула В1РКЫВКО [1] содержит три спина £ = /4, два из которых связаны сильным (согласно [1], около 860 К) ферромагнитным взаимодействием и, таким образом, формиру-
ют один спин £ = 1. Взаимодействие между ним и оставшимся спином £ = /4 - антиферромагнитное, по величине - порядка 26 К. В данном случае, фру-стрирующим является взаимодействие между двумя спинами £ = 1, расположенными вдоль а-оси кристалла [1]. Величины антиферромагнитных межмолекулярных обменных интегралов для В1РКЫВКО к настоящему времени не определены.
Кривая намагничивания для соединения В1РКЫВКО [1] демонстрирует ряд особенностей. Во-первых, это плато основного состояния (также известное как «спиновая щель»), наблюдаемое по характерному пику на экспериментально измеренной кривой магнитной восприимчивости. Во-вторых, два «дробных плато» намагниченности - горизонтальных участка, наблюдаемых на уровне 1/3 и 2/3 намагниченности насыщения (для полей 7-22 Т и 25 Т). Плато на уровне 1/3 намагниченности насыщения имеет естественное объяснение: до его достижения увеличение магнитного момента системы может идти за счет ферромагнитного упорядочения молекул со спином £тЫ = /4; дальнейший же рост намагниченности возможен лишь в том случае, если какие-то из молекул перейдут в состояние с полным спином £т01 = 3/2, что сопровождается скачком энергии (см. ниже). Причины наличия спиновой щели в квантовой магнитной системе с полуцелым спином остаются невыясненными, равно как и причины появления второго плато на уровне 2/3 намагниченности насыщения. В работе [1] высказано предположение, что его существование обусловлено фрустрирующим взаимодействием в соединении В!РКЫВКО.
Рис. 1. Модельный кластер из N = 32 узлов, а-ось реального кристалла ориентирована по вертикали. Нумерация узлов в цепочках а,с - слева направо, в цепочках - справа налево.
* автор, ответственный за переписку
Методика расчета и основные результаты
Для численного моделирования процесса намагничивания системы BIPNNBNO и объяснения отмеченных аномалий был выбран уединенный кластер из 16 молекул, содержащий N = 32 спина (в пределе бесконечно большого внутримолекулярного ферромагнитного обмена), представленный на рис. 1. Поскольку мы не обладали достоверными данными о величинах антиферромагнитных интегралов Jb J2 и J3, на первом этапе было решено ограничиться решением модельной задачи, для которой J1 и J3 были выбраны равными 0.5 и 0.25 внутримолекулярного обмена JAF, соответственно, а величина фрустрирующего взаимодействия J2 варьировалась в пределах от 0 до 0.125 JAF. В дальнейшем все энергетические величины будут также приводиться в единицах обменного интеграла JAF.
Гамильтониан представленной на рис. 1 модельной системы в рамках изотропной модели Гей-зенберга может быть записан в виде: H = Ha + Hb + Hc + Hd + Vab + Vbc + Vcd + Wac + Wbd (1)
Предполагаются открытые граничные условия. Первые четыре слагаемых - гамильтонианы цепочек - имеют следующую форму:
Ht = JAF ^SknSk(ß+i) + J1 ^SknSk(n+2), k = a, b, c, d. (2)
n=1,4,7,10 n=2,5,8
Межцепочечное взаимодействие между спинами 4 (ближайшими соседями) имеет вид:
= J3 ^ SknSkX13-n), k = a, b, c; k = b, c, d. (3)
и=2,5,8,11
Наконец, фрустрирующее взаимодействие двух спинов S = 1 может быть описано таким гамильтонианом:
Wkk. = J2 ^ Skn Skw , k = a, b; k = c, d. (4)
n=1,4,7,10
Для решения поставленной задачи, т.е. нахождения собственных энергий и состояний гамильтониана (1) был выбран разработанный нами метод точной диагонализации с учетом спиновой SU(2)-симметрии для двумерной изотропной модели Гей-зенберга, подробно изложенный в [3, 4]. Мы не ставим перед собой цели представить здесь алгоритм во всех деталях, но в интересах дальнейшего изложения будет полезно осветить основные моменты метода. Особенность алгоритма вычислений состоит в постепенном укрупнении исследуемого кластера до необходимых размеров. При этом матрица гамильтониана на каждом этапе строится на базисе функций полного спина S. Такой подход позволяет не только классифицировать по S состояния квантовой системы, но и сформулировать эффективный алгоритм отбора на каждом этапе тех промежуточных состояний, которые дадут максимальный вклад в целевое состояние системы. Таким образом, проблема экспоненциального роста размерности гильбертова пространства по мере увеличения размеров системы смягчается, и предлагаемый метод точной диа-гонализации приобретает черты ренорм-группового.
Схема сложения моментов при укрупнении системы была выбрана следующим образом:
1. Молекула.
2. Пара молекул.
3. Цепочка (две пары молекул).
4. Пара цепочек (а+Ь или с+ф.
5. Кластер из четырех цепочек ((а+Ь)+(с+ф).
Такая схема сложения обеспечивает постепенное включение взаимодействий: JAF в молекуле, JAF и J1 в цепочке, JAF, J1 и J3 в паре цепочек и JAF, J1, J3 и J2 в модельном кластере из четырех цепочек на этапе 5. Это, в свою очередь, позволяет отследить появление особенностей кривой намагничивания (плато) для каждой подсистемы и, таким образом, понять их природу.
В связи с последним замечанием интересно отметить, что «кривая намагничивания» одиночной молекулы ВГРКЫВКО уже имеет вид двухступенчатого плато на «уровнях» 1/3 и 2/3 намагниченности насыщения. Действительно, молекула, состоящая из спинов = 1 и = 4, может принимать два состояния: с Бто1 = 1/2 и 5тЫ = 3/2, характеризуемые энергиями Е1/2 = ^ар- и Е3/2 = 1/2 JAF, соответственно. При индукциях магнитного поля, удовлетворяющих условию g^BBsat0 < 3/2 JAF, молекула находится в состоянии 5то1 = 1/2, при больших полях намагниченность скачком меняется до 3/2 («намагниченности насыщения»). Исходя из JAF = 26 К, для Бха° получаем значение 28.5 Т, что весьма близко к экспериментальному значению поля насыщения Ба = 28 Т. Исходя из этого, можно сделать вывод, что величина межмолекулярного обмена J\ и внутрицепо-чечных J2 и J3 в действительности много меньше JAF.
Одиночная молекула легко поддается точному расчету, также как пара молекул и цепочка (в последних случаях под «точным» подразумевается численный расчет на полном базисе). Однако, уже на шаге 4 (пара цепочек) размерность гильбертова пространства (с учетом вырождения по магнитному квантовому числу т) составляет 243872 состояния, что делает невозможным точное решение задачи для такой системы (по крайней мере, на имеющейся в нашем распоряжении вычислительной технике). В связи с этим обстоятельством для пары цепочек было выполнено усечение базиса по схеме: для каждого значения полного спина пары 5аЬ (5аЬ = 0...12), отбираются состояния цепочек с 5а и 5Ь, удовлетворяющими правилу треугольника 5 - < ^ < ^ + ^,
и отвечающие минимальным значениям энергии. Такой набор оказывается оптимальным для представления целевых низкоэнергетических состояний укрупненной системы [3-4]. Таким образом, размерность гильбертова пространства для пары цепочек удается сократить до ЫаЬ = 23783 векторов, то есть чуть менее 10% исходной. Расчеты на пробных базисах с различными ЫаЬ < 23783 выявляют, что относительная погрешность в вычислении энергии, вызванная таким усечением базиса, не превышает 0.23%.
Рис. 2. Кривая намагничивания для нефрустрированной системы, составленной из пары спиновых цепочек.
Кривая намагничивания для пары цепочек, построенная по энергетическому спектру по методике Такахаши [4], представлена на рис. 2. Поскольку основное состояние пары цепочек является немагнитным, кривая начинается с намагниченности а = 0. На кривой можно выделить ряд характерных особенностей:
1. Присутствуют два из трех плато намагниченности (на уровне 1/3 и 2/3 атах), экспериментально наблюдаемых во фрустрированной системе. Однако, ширина этих плато сравнима, тогда как на эксперименте плато-1/3 существенно шире плато 2/3. Количественного согласия с экспериментом для модельной системы, интегралы для которой были взяты во многом произвольно, конечно, ожидать нельзя, но сам факт существования плато на уровне 2/3 намагниченности насыщения в системе без фрустрирующего взаимодействия (а в паре цепочек оно отсутствует по построению) позволяет отвергнуть гипотезу авторов работы [1] о том, что его причиной является фрустрация.
2. Несмотря на то, что основное состояние пары цепочек имеет спин 5аЬ = 0, на кривой намагничивания отсутствует плато основного состояния.
3. Помимо двух «экспериментальных» плато на кривой намагничивания наблюдается также два «паразитных» (на уровне примерно 0.5атах и 0.9атах), отсутствующих в реальном соединении.
Размерность гильбертова пространства для полного кластера, составленного из цепочек (а+Ь)+(с+й), насчитывает (с учетом усечения на этапе 4) около 3.5 млрд. состояний. Здесь также применялось усечение базиса по сформулированной выше схеме, и в базисе, на котором производился окончательный расчет, было оставлено МаЬсс/= 87146 векторов. Варьирование ЫаЬсс1 показало, что относительная погрешность в вычислении энергетического спектра на таком базисе превышает 1.63%.
Кривые намагничивания полного кластера для предельных случаев = 0 (фрутстрирующее взаимодействие отсутствует) и = 0125JAF = 0.573 («сильное» фрустрирующее взаимодействие) приведены на рис. 3 и 4. Нетрудно видеть, что с изменением происходит как количественное, так и качественное изменение кривой намагничивания:
1. С увеличением появляется отчетливое плато основного состояния, наблюдаемое экспериментально. Ширина этого плато А, равная ширине щели в спектре возбуждений кластера, монотонно увеличивается с ростом У2 (рис. 5). Следует отметить, что в рамках поставленной задачи не проводилась экстраполяция величины щели на термодинамический предел и рис. 5 отражает ее динамику для конечного кластера.
2. Начало и конец плато на уровне 1/3 и 2/3 намагниченности насыщения сдвигаются, но незначительно.
3. С увеличением У2 «паразитные» плато становятся видны более отчетливо.
Рис. 3. Кривая намагничивания для полного кластера в отсутствии фрустрации.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 4. Кривая намагничивания для полного кластера с максимальной фрустрацией (0.125 JAF).
Рис. 5. Зависимость ширины плато основного состояния от величины фрустрирующего взаимодействия.
Обсуждение результатов и выводы
Расчет спектра и кривой намагничивания для конечного кластера системы ВШЫЫВЫО с модельными значениями обменных параметров межмолекулярного и межцепочечного взаимодействий позволяет дать ответы на некоторые вопросы об особенностях поведения указанного соединения. Так, узкое плато на уровне 2/3 намагниченности насыщения не связано с фрустрирующим взаимодействием в системе, поскольку оно наблюдается уже на кривой намагничивания пары цепочек, взаимодействие с соседями, следующими за ближайшими, вдоль а-оси в которой невозможно в принципе. Для появления такого плато можно предположить следующий механизм: нетрудно видеть, что намагниченность о = 2/3отах достигается в случае, когда одна половина молекул находится в состоянии £т01 = 1/2, а другая - в £тЫ = 3/2. Расчет подтверждает, что энергия (и внутри-, и межцепочечного) взаимодействия двух молекул в состояниях £то1 = £тЫ2 = 3/2 выше, чем в случае £то/ = 1/2, £ты2 = 3/2. Таким образом, системе оказывается энергетически выгодным переводить в состояние £т01 = 3/2 те молекулы, которые не соседствуют с другими молекулами в состоянии £т01 = 3/2. Точка о = 2/3отах соответствует «шахматному» упорядочению; при необходимости дальнейшего увеличения намагниченности в состояние £т01 = 3/2 переходят ближайшие соседи, что вызывает скачок энергии.
Появление щели в спектре ферримагнитного кластера с полуцелыми спинами узлов, вероятнее всего, свидетельствует о существенной перестройке основного состояния спиновой системы при включении фрустрирующего взаимодействия. Щелевой спектр, в частности, характерен для системы с основным состоянием типа «спиновая жидкость» [6]. Для того, чтобы сделать окончательные выводы о природе щели и типе основного состояния двумерной спиновой системы В1РЫЫВЫО, требуется произвести расчеты различных корреляционных функций, однако, это логично делать не для модельной
системы, а после выяснения реального отношения обменных интегралов в соединении BIPNNBNO.
Остается невыясненным вопрос о природе «паразитных» плато на кривой намагничивания цепочек и кластера. Среди возможных причин их возникновения следует упомянуть:
• Эффект конечности модельной системы. В этом случае плато должны пропасть при переходе к термодинамическому пределу. Однако наложение периодических граничных условий для модельного кластера не привело к исчезновению «паразитных» плато.
• Артефакт модели, а точнее - отношения обменных интегралов, которое взято целочисленным: JAF : J1 : J3 = 4 : 2 : 1. Возможно, значения для J1, J2 и J3 являются попросту завышенными - в пользу этой гипотезы говорит тот факт, что на экспериментальной кривой магнитной восприимчивости видны дополнительные пики (обозначающие плато на кривой намагничивания), однако, они сравнительно малы. Соотношение же ширин плато-1/3 и 2/3, вычисленных для модельной системы, оказывается существенно большим, чем в реальном соединении и, возможно, при масштабировании обменных параметров до реальных «паразитные» плато станут не видны.
Как бы то ни было, вопрос о природе «паразитных» плато в настоящий момент остается открытым и требует дополнительного исследования.
Настоящая работа была выполнена при поддержке Программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE).
ЛИТЕРАТУРА
1. Goto T., Mushnikov N. V., Hosokoshi Y., Katoh K., Inoue K. // Physica B. 2003. V. 329. P. 1160-1161.
2. Hosokoshi Y., Nakazawa Y., Inoue K. // Phys. Rev. B. 1999. V. 60. P. 12924-12932.
3. Sinitsyn V. E., Bostrem I. G., Ovchinnikov A. S. // J. Phys. A: Math. Theor. 2007. V. 40. P. 645-668.
4. Бострем И. Г., Овчинников А. С., Синицын В. Е. // ТМФ. 2006. Т. 49. №2. С. 262-280.
5. Sakai T., Takahashi M. // Phys. Rev. B. 1991. V. 43. P. 13383-13393.
6. Anderson P. // Mat. Res. Bull. 1973. V. 8. P. 153-160.
Поступила в редакцию 16.10.2009 г.
