Изучение асимптотики собственных значений одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2п-го порядка на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.43

ИЗУЧЕНИЕ АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ ОДНОЙ РЕГУЛЯРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ПОРОЖДЕННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ 2п -го ПОРЯДКА НА ПОЛУОСИ

© 2008 г. Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева

Дагестанский государственный университет, 367025, Республика Дагестан, Махачкала, ул. Гаджиева, 43а, tamila. usup@mail. ru

Dagestan State University, 367025, Makhachkala Gadjieva St., 43a,

tamila, usup@mail. ru

Получены асимптотические формулы для собственных значений одной регулярной краевой задачи.

Ключевые слова: асимптотика, краевая, собственные значения, регулярный, нерегулярный, спектральный параметр, весовая функция.

Asymptotics of own meanings of one regular boundary problem born by the differential equation of the 2n-th order on the semi-axis. Keywords: asymptotic, boundary, own meanings, regular, irregular, spectral parameter, weight function.

1. Постановка задачи

Аналогично убеждаемся, что при к = п,2п — 1 соВ пространстве I2 (0.x) рассмотрим краевую за- ответствующие экспоненты не принадлежат I2 (0.x).

дачу, порождаемую дифференциальным уравнением

(-1)" + ((х) - Я2пр{х) }(х) = g(x), х> 0,

dx2n 1 -1

7Т

0 < arg А < —

Так как /(x)gI (0, со) 5 то приходим к условиям

Су, — Cfi+\ — • • • — С'

2и—1

= 0.

(2)

(1)

которые равносильны соотношениям

.....V......, J 0. ./ п.ъ, 1. (3)

Запись Wj ((-Уо_____Vj_____У2п-\ , означает, что в оп-

и краевыми условиями: /(1> (0) = 0, у = 0,п -1.

Будем считать в дальнейшем, что функции ределителе Вронского отсутствует функция у] (х).

?(х)еС[0а], р(х) е , при х>а, р(х) = 1,

д(х) = g(x) = 0 , при 0 < х < а р(х) > 0.

Обозначим через у/. (х. Л) линейно независимые решения уравнения (1), которые при х> а совпадают с функциями е'"'1'1^. Будем полагать, что нумерация корней (- корни степени 2п из (1)) определяется соотношением Яс(1/хр()) < ЯсИ/лр^ )<...< ЯсИ/хр^,, \),

- h„. 2и

где <рк = iwk

к = 0,2п -1, 0 < argA < — .

2 п

(Л = а+1т). Тогда при х>а общее решение уравнения (1) будет определяться равенством

2и-1

Дх,А) = ^ Скеа^х . к=0

Л

Пусть к = 0, и -1, 0 < arg Я < — . При этих услови-

ях Rs(iÄwk) = |A|cos| arg Я + + —

кл

= -|/l|sin[ argA н--] < 0 .

Поэтому при к = О, п -1 exp(;/iw£x) е L (0,со).

Чтобы определить решение /(х, Я) в промежутке [0, а], нужно решить спектральную задачу H0 :

l{f) = Ä2np{x)f{x)+g{x), 0 < х < а. Uj{f) = f{J){0) = 0,

I "-» I- =0,

j = пЛп-1, где /(/) = (-1 )nf(-2n\x) + q{x)f{x) .

В дальнейшем будем различать два случая: р(а) ф 1 - регулярный, р(а) = 1 - нерегулярный.

Цель настоящей работы - изучение асимптотики собственных значений задачи H о в регулярном случае.

Для уравнения 2-ш порядка аналогичная задача (р(х) = 1) рассматривалась в работах Т. Редже [1] и А.О. Кравицкого [2], для уравнений 4 и 2n -го порядков [3-6].

2. Асимптотические формулы для решений уравнения

/(/) = Ä2np(x)f(x) .

Заметим, что в силу условия р(х) > 0 неравенства

Re(/^0)<Re(//lf'1)<...<Re(/^2w-i) и

Re(z'w02) < Re(iwxÄ) <...< Re(z'w2„_i/l) (4)

равносильны.

Как известно [7], всю комплексную плоскость Ä = a+iT можно разбить на 4п секторов с вершиной

n

n

в точке Л— О таким образом, что для каждого сектора Т различные корни могут быть упорядочены так, что для Л е 7} выполняются неравенства (4).

Сектор Тк на плоскости Я определяется посредством неравенств:

кл , кл л , „--—-— <argЛ< — + —, к = 0,2л-1. п п 2п

Введем Tk , которые получаются из Tt

(к = 0,2п -1) путем зеркального отображения относительно вещественной оси в плоскости Л. Рассмотрим уравнение

1{/) = Л2пр{х)/{х). Справедлива следующая лемма.

(5)

Лемма 1. Пусть Л&Тк {Тк),к = 0,2п-\ и м>к удовлетворяют соотношениям (4). Тогда существуют 2п линейно независимых решений у/. (х. Л) уравнения (5), регулярных при достаточно большом |л| и

таких, что при 5 = 0,2п -1 равномерно по 0 < х < а выполнены равенства:

y[s\x,Ä) = (<PkWe 1

Äjipkdx (s)e о

A0+J A1s + •••

(6)

где А0 =

P

2n—\ 4n

Ah

Pk(x)

-c +

Pk(x)Aö

Pk(x)

C 2

(

Ai= ~Aoi o

,4

C2n A0 3C2n PkA0 C2n PkA0 Cin <Pk C\n <p2k c\n vi

зс24й PkM 1

r1

C2n

<Pk

An

■dt...

Доказательство. Я.Д. Тамаркин [8, с. 69-71] показал, что для каждого сектора Тк (Тк) существует (2п-1) раз дифференцируемая фундаментальная система решений уравнения (5), асимптотика которой при

формулой ук (х, Л) ~

I —> 00

X

X\<pkdx

-в

о ti

задается А Ах)

к = 0,2w -1.

Будем искать решение уравнения (5) в виде

-Я I Ф: -<-1\ ук{х,Л) = е 0

тогда у^\х,Л) = Y.CI

Ao+4 Ai(a) + -^ Ai(a) +... Л Л2

f * \U)

Äjipkdx

J= 0

(v r) 4V~J) 4V~J) A J) +——+ 2 +...

x-

У(к\хЛ) =

j=о

f * \U)

X\(pkdx

A(y-j)

AtJ)

л

2

Подставляя полученные соотношения в (5), со-

к кращая на Л2"р(х)е

A\<pkdx

и приравнивая к нулю коэффициенты при одинаковых степенях Л, получаем 1.2 пА'0 2п(2п-1)<р'кА0

/I .--1----= и ИЛИ

Рк

2 Рк

_ (2/1-1) <р'к

А0 ~--"---2 0 '

2 Рк

2 2пА[ 2w(2w-l)^4 2п(2п-1)А"0 Я ;--1--;--1--;--1-

Рк

2 (Рк

М

2п(2п -1)(2п - 2)(р'кАц 2п(2п -1)(2п - 2)(р"кА0

2рк

| 3 ■ 2п(2п - \){2п - 2)(2п - Ъ)(р'к А§ _0

Решая эти уравнения, находим . 1() = -

l

2п-1

Р

Ai= -AoxJ

С2п А0 , ЗС2п <РкА0 , С2п <РкАО

Г-l m2

2п (Рк

С\п (Рк с

l

2n

vi

ЗС2п Рк А0

\

С2 п

Рк

1 ,

— dt.

что и доказывает лемму 1.

В регулярном случае, как будет показано, достаточно брать в асимптотических формулах только первый член Ао, поэтому асимптотика решений уравнения (5) примет вид

yk'h хЛ)=(Ра )(s) в

(s)

Äj<Pkdx

An+O\ -

s = 0,2n -1.

3. Подготовительные леммы

Рассмотрим определитель А (Л) Д(А)= \ük (yj )|

(7)

\кJ=Ч,2n-\

Спектром задачи Я0 будем называть совокупность всех чисел Л, для которых А (Л) = 0. Эти числа называются собственными значениями спектральной задачи Н 0.

Изучим определитель А (Л). Предварительно докажем лемму.

Лемма 2. Краевые условия (3) равносильны краевым условиям:

2И ______

и У (Л - I (1м>уЛ)2п-ку{к-1\а,Л) = о , ./ п.ъ, 1 . к=1

o

в

0

0

0

o

0

в

Доказательство. Так как система функций yk (х, Л)

фундаментальна, то /^'(аД) = X .

k=l

2n

,(J)l

;=0,2и-1.

Умножим эти соотношения на (¿>с1/2)2л 1 7 и просуммируем по у.

Получим /и) (а, Л)(!Ч>уЛ)2п-1--* = 7=0

2я-12и , ... о 1 ■

7=0 ¿=1

Положим в левой части этой формулы 1 + / = к, а в правой части поменяем порядок суммирования. Тогда

к=1

2и 2и-1 ,, „ ,

= 1С4 I у{к;\а,Л)(муЛ) -1. к=1 у=о

В силу леммы 1 у^\а,Л) = (iwkÄ)yj> х

(8)

.

iw^lр (x)dx

Ло(а) + 2n

поэтому (8) можно

преобразовать к виду У /а' ''(д./)(/и гл)2" к = £=1

2и P(x)dx 2п-1 , . . .

0 V г,, ^^ -и,/

к

¿=1

2и-1 Так как X WV

7=0

2и-1-i /

^ . "»Л»-' —

2n

7=0

0, уф к, 2п

-, v = £,

то окончательно получаем ¿/(/' ''(д./Н/и^л)2" к =

к=\

= ЦЛ)2"'1 Суе^Ы ■ —, где Л = { ^О^х.

О

Из этой формулы видно, что Су = 0 равносильны условиям:

£=1

В п. 1 было показано, что условия Су = 0

1¥у=0, V = я. 2я -1. Лемма 2 доказана.

Пусть Я расположено в каком-нибудь фиксированном секторе Тк или Тк . Составим всевозможные суммы вида + )], где -различные корни степени 2п из единицы, причем упорядоченные так, что для всех ЛеТк (или Тк ) выполнены неравенства 11е( 1'н>оЛ) < Ие(пЦА) <... < п-\Л).

Нумерация зависит, разумеется, от выбранного сектора.

Обозначим S] = Р1с|/л( и'), + и'(',+| +... + \\-2п_\)];

5*2 =~&£\}Л(м>'п_1 +м>'п+1 + ... + м>2„-1)\; Я, - аналогичные суммы, отличные от 51 и ^ .

Лемма 3. Выполняются соотношения: ^ > ^;

^ >5" +|Я|зт—, м>'п=м>к, ч>'„-\=-Щ, ЛеТк,

п

К =-щ> 4-1 =щ>

Доказательство. Пусть ЛеТ0 , т.е. 0 < argЯ <

< — ; в этом случае все w'-, п< / < 2п — 1. находятся

2п

среди \rv. /-7 < .v <2п — \ (нештрихованные ws соот-

ветствуют нумерации ws = е " ). Так как Rc(7/i<r'/) = - Im(äw'j) , умножение на Л поворачивает

л

корни против часовой стрелки на угол 0 < arg Л < —

2 п

и указанные выше корни имеют самые большие ~R.e(iЛwj), потому что все находятся в нижней полуплоскости. Нетрудно видеть, что w'n = wn = -1,

w'n-l=w0 =1-

Рассмотрим суммы ,S'|. S2 и Sj при

S2=S1- Re[/A(w; - = si + ImA(-l -1) = = <Si - 2Im/l = - 2|Я|sin(argA).

Так как 0 < агц Л < — , то .V] > Л2 . Любую сумму 2п

Б у можно получить из 51 заменой одного или нескольких корней (п < < 2п -1) на м?'р (0< р<п—1).

Будем считать, что эти замены происходят последовательно, причем первая может быть любой, кроме замены м>'п на \\''п \ (такая замена использована при получении Б 2).

Докажем, что первая замена уменьшит 51 не

меньше чем на Ыбш— , а последующие (если они

п

будут) не увеличат сумму

= -^[^(^й+Л -™Р2)] = +Ъе[1Л(м>Р1 +м>р2)] =

яРА . ( лР2 ~

вт! ал--+51П ал--

п I п

= SX-

лР\

Если Р, > 1, то —<а + —-<л--, 0<сс +

n

2 п

лРп л

--<л--, a = argx.

п 2 п

Если Р2 > 1, то 0 < а + <л~— , — <а + п 2 п п

лРп л

--— <л--. (Одновременно 1\ и Р2 не могут

п 2 п

обращаться в нуль). Отсюда

о

xe

n

яР,

ТгРп

sm| ал--- I + sinl а л--— I > mm

.ж ж sm — ;2sin — п 2 п

. 7t

= sin— .

п

Sj < Si - |/l| sin —.

При последующих заменах Sjl —>■■■Sj

справедливы те же рассуждения, только р и р могут одновременно обращаться в нуль. Поэтому справедлива оценка + + + > 0 ,

<5,- ; <5,- и т.д.

л ' л л "

Окончательно получим, что Sj < .S'| -|/.|sin — .

М1 М2

Tk \п-к\ . | Г 1, если 1 < к < п \п-Щ + \ [-1, если п +1< 2п

ЛеТк n~k~ i , 1 [ 1, если ^ к < п-1 \п-к- 1Ы [-1, еслип<к< 2п-1

Справедливость леммы доказывается с помощью простых подсчетов.

4. Асимптотика собственных значений задачи Н

В (7) Uk(yj) = yf\0), £ = ö;«-T, J 0.2;/ 1:

in

Uk<3>j)= X (iwkÄ)2n-ry(f 1}(аД), k = n,2n-l.

r=l

Определим асимптотику элементов определителя А(Л) при |/1| —»со (ЛеТк,Тк).

Во всех случаях при к = 0, и -1 имеем

i

Чр 2n~ -(0)

(9)

Получим асимптотику элементов ик ) при

Случай, когда Л лежит в каком-нибудь другом секторе, разбирается аналогично.

Определим значения м>'п и \\,'п \ для различных секторов.

Для сектора Г0 м>'п=-\, = 1. Сектор Тк получается из сектора То умножением на , поэтому имеем м>к-м>'п=-\, м>к- \\?п_\ = 1, или

, 1 - , 1 -

=--= -Щ> М>П-1 = — = щ-

Для сектора 70 - 1. м>'п_1 = -1, поэтому для сектора Тк м>'п=м>к, м>'п_х = -м>к .

Зафиксируем какой-нибудь сектор и рассмотрим два множества из п чисел: М1=(м>'п,м>'п+Ъ...,м>2„-\), М2 =«_Ь<+Ь...,М/2И_1).

Лемма 4. Число корней с аргументом а: я

71 < а <2я--среди элементов множеств М \ и М2

п

определяется следующей таблицей:

к = п,2п-\ для регулярного случая, т.е. р{а)Ф 1. В силу формулы (6)

2n

Uk(yj) = I (iwkÄ)2n-ry(f-l\a,X) = 2

r=l

iw'jÄd

l

Чр 2--(a)

(iÄ)

2n-\ iw'M

12n-\ . 2n-2 t jnl \ i к + wk -Wj-^p(a) +

Чр 2-l(a)

w2"-2 ■wk wj

■W'j -2n^(ä) ; + ...+ Wj -2n^(ä)

In-1

■ 1Ч2и-1 tw'M

(iÄ)

Чр 2n-l(a)

(iÄ)

i'f2ip(ä) J-w*

2n-l iw'jÄd

i?(a)-\]

44.

0

Изучим функцию А (Л), которая определяется формулой (7) при \Л\ оо .

Нумерация функций фундаментальной системы Уу(х,Л) соответствует упорядочению чисел при

Л&Тк (Тк),к = 0,2п-\ посредством неравенств (4).

Как видно из (10), для определения асимптотики собственных значений задачи Но в регулярном случае, в силу условия р(а) Ф 1, в асимптотических формулах (4) достаточно ограничиться одним членом А0.

Приступим теперь к нахождению нулей определителя А (Л) при Щ —> со в регулярном случае. Пусть

МА)=Р 4(0).р 4 (я).(а) 2 . (11)

Подставляя формулы (9) и (10) в определитель (7), с учетом обозначения (11) получим

А С> Л(А)х Гк] = м,'*[1], к = 0~гГ-Г; ] = 0~2Й~ 1

iw'jM

Гк,-

в

i?(ä)~ f

w', ■Щр(а) -wk

'[!],£ = и,2и-1;

(12)

; =0,2/7-1

Разлагая определитель (12) по минорам последних п -строк с учетом леммы 3, получим

хв

Гк]

р(а)-1

wj -^Р(а)~ wk

[1], k = n,2n -1; j = n,2n -1

и-1

по; - 4+ifc-l) П(4-12л1р(а) - wn+i)

л ¿=2 /-0

B

и-1

wjk [1]

П«-1 -^-ОГКЧ-!2^) ~wn+i)

к=2 i=О

и и-1

■ехрря« +<+1 + пК-1-Ч-*)ПОл+/-

Л;

k, j= 0, n- 1

[1], k = n,2n -1; j = n - 1,2n — 1

x(-l/2 x

wj [1]

k = 0, n- 1 j = 0,1,...,n - 2, n

■explUO;^ +<+i + +

+ O

Выражение (13) запишем в виде А(Д) = /i(A)exp[U« +... + т4и_1)<*]х

x [(-1)Ä ^ + (-1)^ x

(13)

x ехр[/Я(м/- w'n)d] + О

I I I = n,2n—1

где А = detb^ ; B = <tet\yk \

- det

д

£=0,w-l

: - dct

к=0,п-\

0,1,.., n-2,2n '

' ]=0,и-1

Определители и 5 являются определителями Коши, а и ^ - определителями Вандермонда, поэтому отличны от нуля и вычисляются по формулам:

Л = (^о(a)(/?(a)-1)J. ПО,' -wk) ПО; ^)>

n<i<k< 2n—1 n<i<k< 2n-1

[1]

2и-1 ,-

п /о;2nM0))

(14)

B = 2^(a)^(ab1)] n(wi-wk) n(W;-Wk)x

n-1<i<k< 2n —1 n<i<k< 2n-1 j,k*n

[1]

2и-1 ,-

п /о;2^о»

i=n-1

(15)

где /(х) = (х-м>„)-(х-м>„+1)-...-(х-м>2„_0 ; ПО;-4)[1], Гй= пог-Ч)ш.

0<А<г<2и-1 0 <к<1<п

¡,кФп-1

С учетом формул (14), (15) для отношения определителей А В , получим

и-1 "и-¿=2 /=0

и и-1 ,-

по; -Ч-^)ПОи+/ +4-12Щр{а)) к=2 i-0

Так как отношение определителей WnIW'n определяется по формуле

п

w ПК-1 ~w'n-k)

^=^-[1]=(±ол_1 [1],

w' п " ПО n-w'n-k) к=2

причем знак «+» перед мнимой единицей берется при Я е'!)._. а «-» - для секторов Тк , получаем

C =

,w (-1n4 п (wn+i-wnv^cO))

Awn _ i—0

Bwn

n-1

(16)

1-0

Перейдем к нахождению асимптотики спектра задачи Н о. Имеем

«-1 -w'„)a\2t(p(x)dx

(17)

е и =С0[1],

где C0 определяется формулой (16).

Пусть ЛеТк, к = 1,п, тогда получаем

еъ^м=С0[ 1], с1 = \1 о

Решая полученное уравнение методом Хорна [9], находим корни 2тк/х! = 1 п ("о + Ъпт +()([ Л или

1

Ä'yy,

wk_ d

тж—In С0 +0

2 \т

где m = N,N+1,

N + 2,... (Ж - натуральное число).

При Л &Тк, к = О.я-1 уравнение (17) примет вид

е-2гм,кМ = Со[ц

Решая это уравнение, как и выше, находим корни

Хт=Щтл + - 1п С0+ О —||, где т = Ы, Ж +1, N4- 2,... с? ^ 2 \т))

(N - некоторое натуральное число). Так как в силу леммы 3

w„

wk , при Я G Т

- к = 02п-\,

[- м>к, при Л еТк то легко убедиться, что только при Л е Тк, к - \.п и Л<аТк, к - О.я-1. |С01 < 1, поэтому в остальных секторах может быть только конечное число собственных значений задачи Н о.

Литература

1. Редже Т. Аналитические свойства митрицы рас-

сеяния // Математика. 1963. Т. 7. № 4. С. 83-89.

e

e

; = n

2. Кравицкий А. О. О разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1966. № 6. С. 1255.

3. Гехтман М.М., Станкевич И.В. Изучение аналитических свойств ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка на рима-новой поверхности // Докл. АН СССР. 1968. Т. 182. № 1. С. 23.

4. Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойствах ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка на римановой поверхности // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201. № 5. С. 1025.

5. Айгунов Г.А. Изучение аналитических свойств резольвенты обыкновенного диф. оператора 4-го по-

рядка на римановой поверхности // Материалы VIII науч. конф. Новосибирск, 1970.

6. Айгунов Г.А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным диф. оператором 2п-го порядка на полуоси // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213. № 5. С. 10011004.

7. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.

8. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

9. Horn I. // Math. Annalen. 1897. Vol. 49. Р. 473-496.

Поступила в редакцию_16 октября 2007 г.