Оценка ядра резольвенты одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2n-го порядка на отрезке [0,a] Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.43

ОЦЕНКА ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОДНОЙ РЕГУЛЯРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ПОРОЖДЕННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ 2я-го ПОРЯДКА НА ОТРЕЗКЕ [0,а]

© 2008 г. Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева

Дагестанский государственный университет, 367000, Дагестан, г. Махачкала, ул. Гаджиева, 43а, [email protected]

Dagestan State University, 367000, Dagestan, Makhachkala, Gadjiev St., 43a, [email protected]

Получены оценки ядра резольвенты регулярной краевой задачи.

Ключевые слова: ядро резольвенты, нерегулярный, краевая, спектр, функция Грина, спектральный параметр, расширяющийся контур.

Estimation of the resolvent core of the regular boundary problem Н0 are obtained in the paper.

Keywords: core of resolvent, irregular, boundary, spectrum, function by Grin, spectral parameter, expanding sidebar.

В пространстве L [0, a] рассмотрим регулярную

В выражении Uk(g(x,t)) функционал Uk приме

TT ,, няется по переменной x.

краевую задачу Hq, порождаемую дифференциаль- 1

ным уравнением:

]2п _

d 2nf ( x)

У0(х,Л) y(o2-2)(f)

dx2

2n

0<x<a , Uj(f) = f (j)(0) = 0, j = 0,И-1, (/) - Z (2n~k) (а, Л) = 0 ,j= n,2n-1.

g(-X,t) + S(t)

U,

y'oV У0О

y2„-l(x,À)

У2п-№

(2)

k=1

где ô(t) - Вронскиан фундаментальной системы

Будем считать в дальнейшем, что функции решений уу- (х, Л) (у = 0,2« -1) при х I. знак «+» -

</(х) е С[о,а] > Р(х) е С[о а] , причем при х > а , р(х) = 1, д(х) = g(x) = О, при 0 < х < а р(х) > 0, р(а) Ф1.

В случае р(х) = 1 аналогичная задача рассматривалась в работах [1,2].

Если Л не принадлежит спектру задачи Я0, то

при х>(, «-» - при х</. Таким образом, функция Грина Л°(х,/, Л) представляется в виде отношения двух функций Н(х,1, Л), А(Л), которые, очевидно, являются целыми аналитическими функциями параметра Л в секторах '//_. (1),) при л| > И . Выше мы убедились в том, что А (Л) Ф 0, и нашли нули Л(Л) при |Я|—>со. Поэтому из представления (1) следует,

.LÀ) — функция что функция Грина R 0 (х, t, Л) спектральной задачи Hq

Грина задачи H0, определяемая формулой к\хХЛ) = {-1ТНМ)

А (Л)

(1)

где

H(x,t,Ä) =

У0(х) U0(У0) Ui( У0)

• У2п-\(х) и0(У2п-\) Щ(У2п-1)

g( x, t) U0( g) Ui( g)

и2п-1(У0)---и2п-1(У2п-1)

U2n-l(g)

есть мероморфная функция параметра Л ; ее полюсами могут быть лишь собственные значения задачи Hq . Перейдем к оценке функции Грина. Рассмотрим числитель H(x.t.Â). Выражение (2) для функции g(x, t) запишем в виде

1 2й"1 s >

Lô(t) J=о

1 2п-\

= ±т Z^wz/o.

I j=о

I j,k=0,2n-l

( +, если х > / | ^ —, если х < / ) Функционал и к применяется по переменной х. Заметим, что строки 2Д...,и + 1 соответствуют краевому условию в точке х = 0, поэтому в формуле для х, /) берем знак «-», а последние п строк соот-

0

ветствуют краевому условию при х = а, поэтому в них нужно брать знак «+».

Рассмотрим случай, когда х > /.

Столбцы при у' = 0Д,...,и-1 умножим на ^ '/. ¡(1).

iw'rÄj2^ p(s)ds

= z

г—О (/Я)

2 п

-—0(\)

а столбцы, соответствующие j = п,...,2п-1, умножим -2JJJ (у )Z (/) - -Y^^v' 2

2и-1

-iw'rÄ]2tf p(x)dx

на — 2 (/), сложим и прибавим к последнему 2

столбцу, в результате чего получим

^^ (1)

и-1

И_1 iw'rAj2tf p(x)dx

k = 0,n-\, -YJJk(yr)Zr(t)=^e ' 0( 1),

r=n r=0

r=0 2n-l

Ш) ••• щуша) - mGM®

H(x,U) =

я-1

- ия-1(~2я-1) - )(t)

r=0 я-1

Уя(?о) - ^fe-i) Х^бДОДО

r=0

(3)

^ = n,2n — 1.

С учетом обозначения (4) определитель (3) примет вид

Cif №

У2я-1(?о) и2п-1(У2п-1) IU2n_l(yr)Zr(t)

r-0

Асимптотика элементов определителя (3) будет иметь вид

p(t)dt

yj(x,Ä) = e ° 0(1),

1

0(1)

X J--X .-

0(1) e

0(1) ... '

r-0

0(1)

0(1)

0(1) e

: 2n-l "¿V-

0(1) ... - I e » 0(1)

r=n

0(1) " I-

0(1) e

0(1) ... - I e » 0(1)

0(1)

• ,-

0(1) 0(1)

I-

и-l

I« ' 0(1)

r-0

' ,-

0(1)

a l-

0(1)

0(1)

I-

и-l iK^ilP(s)ds

X e ' 0(1)

r-0

. (5)

j = 0,2«-l,

Uk {yj) = Jo(l), /г = Ö^l,

iXco'j j 2tfp(x)clx _

0 0(1), ¿ = «,2«-1,

Zj «) =

'J^

~Ъп-1

W2n—,...,~2n-1)

Так как для любого выбранного сектора выполняются неравенства: Ие(гА(р{)) < <

<... < Ие(а^_!) < 0 < ЯеО^;) <... < ЯеСгЛ^О ,

а

где <р'к = w'k ■ p(x)dx и x>t,

в определителе

W2n Cvöv-.^n- 1)

(U)

(и-1)(2и-1)

U(wq +... + Wj +... + W2B_!) j 2qp(t)dt

i) ч(2и-1)и

(¿лу

dt

-0(1) =

-iw'jX)2!fp(f)dt _ e 0

Введем обозначения

m =

n(n—1)

= (A)^

(5) все элементы ограничены константой и |Я(х,/Д)|<С1|ЛА)|.

Такое же соотношение можно получить аналогичными рассуждениями и при х < /.

Дадим оценку для ядра резольвенты спектральной задачи Я0 в рассматриваемом случае

#(*,/, А)

R (x,t, Л)

-0(1).

А(А)

|Q/(A)|

-+n(2n—1)-2^ 1

exp

(4)

2и—1 а --

/А X \2Щp(x)dx к~п О

C2/i(AK

С, Я

C[1] + e

—2n+l

atyn-1- w'nd

В^гчислим асимптотику элементов последнего столбца определителя (3), имеем

и-1

lyr(x)Zr(t)= £е

г=0 г=0

„_1 iw'rA\24p(t)dt "'г о

-iw'rAj2!fp(x)dx

С[ 1] + е

-Ш „(2»-1)+^11

где /i(A) = p 4(0)• р 4 (a).(U) 2 ;

О'А)

2^ 1

-0(1) =

с3 =

Qor2n+1 _С1//7 4 (0)

Зи+2 4

Зи+2

С2/3 4 (0)

(-1)"С2

е

о

/—н

/—н

п

-1 ¿»^.[^(^л

г-Я

e

e

-

rn

e

e

e

e

О

о

е

о

e

о

Оценим знаменатель снизу на некоторой системе контуров Г\д .

Сделаем замену переменных: для сектора Т^ 5 = /М'к , ДЛЯ '//■ - 5 = -Хм'р- . При ЭТОМ сектор Т). (или Тк) отобразится на То, и знаменатель примет

вид

С[1] + е

2isd

sgT0

d = S 2'4p(x)dx . Зафикси-

руем 0 < « < 1 и разделим сектор 70 при |.sj > Y на две области: Im.s < ^с .v ^. Im.s > ^с .v " (рисунок).

/

Im кЦПе з)"

/ / <£

Im s=(Re s-'f'

Определим контур I \д условием 2d Re s = 2л N + ^j-argC (N>N0, N0 - натуральное число), R= + -^J- - N>N0.

Tu

В области Im.s < ^c .v ^ на контуре I

N

s =

4>, argC

d 2 d L 4 > arg С

- i Im s =

d

2 d

\+ю4[-

а-1

■ —2ü?Ims - ie

C[ 1] + e2isd = e'argC [|l| Отсюда видно, что на контуре

2 isd

C[l] + е

>МХ >0.

Пусть Im.s > ^с s^ . В этом случае

-2 d Im s

• о

при Res —>+со. Поэтому вне достаточно большого

2 isd

круга

С[ Ц + е

>М> 0.

Окончательная оценка ядра резольвенты на контурах I д- в рассматриваемом регулярном случае будет

иметь вид

R (x, t,Ä)

<С\Л\ 2"+l, Сф 0, Я е Гд?.

Лемма. В комплексной плоскости А = <т+/г существует последовательность расширяющихся

дЯ°(хХЛ)

замкнутых контуров I д , на которых -——

сх'

равномерно по ()<х<а. 0 < / <а допускает оценку

dRö(x,t,Ä)

dx

<С\Л[2п+,+1, 0 < 7 < 2/7 — 1.

Доказательство. Имеет 8R°(x,t,Ä) H(x,t,X)

место равенство

дх1

8'H(x,t,Ä) dxl

А(Л)дх' \х) .

где

г=0

ик(у,-)

2/7-1

- TUk(yr)Zr(t)

Uk (у,)

/7—1

ZUk(yr)Zr(t)

r=0

(6)

Для определенности рассмотрим случай х>1. Асимптотика элементов определителя (6) та же самая, что и в (3), кроме элементов первой строки. Поэтому найдем асимптотику для элементов лишь первой строчки в определителе (6).

f п-1

у)п{х,Л) = ^Л)(1)е (l)

Uw'jj2tf p(t)dt

0(1), j = 0,2«-l.

£y(l)( x)Zr (t ) =

r=0

i .-

, * I- -iw'Ap'J p(x)dx

= ЦЛ)'Ъе 0 -—-0(1) =

/•=0

(W

2п-1

n-1,

iw'rA]2^p(s)ds

= i

42/7-

=¡=5-0(1).

г=0 (¡ЛУ

Повторяя дословно все те же самые рассуждения и выкладки, приведенные нами при / = О, получим доказательство леммы.

Литература

1. Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойствах ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора 4-го порядка на римановой поверхности // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201. № 5. С. 1025.

2. Айгунов Г.А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2и-го порядка на полуоси // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213. № 5. С. 1001-1004.

Поступила в редакцию

12 октября 2007 г.

r=n

0

e