ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТА ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ПРОСТОГО ПОЛЮСА λ0 И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.43

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТА ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ПРОСТОГО ПОЛЮСА Л0 И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ

© 2012 г Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева

Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, 367025, [email protected]

Dagestan State University, Gadjiev St., 43a, Makhachkala, 367025, [email protected]

Рассматривается одна несамосопряженная задача, для которой ранее было показано, что ядро резольвенты является мероморфной функцией спектрального параметра X. Более того, полюса ядра резольвенты X) образуют счетное множество точек X , причем,

кроме, быть может, конечного числа, все полюса функции Я (х^, X) простые. Поэтому в некоторой окрестности простого полюса Х0

главная часть функции Грина Е°(х^, X) задачи имеет вид с (Х — Х )—Ф (х)ш (1). В данной статье указан способ, позволяющий находить

0 0 0 0

(.. ^ 1 \ -элЛлии м и^дш ОМГ\ г г 1 N 1

коэффициент щ (а следовательно, и вычет ядра резольвенты) в случае простого полюса Хп одной несамосопряженной задачи.

Ключевые слова: ядро резольвенты, регулярный, нерегулярный, краевая, спектральный параметр, разложение в равномерно сходящиеся ряды, функция Грина, расширяющийся контур, собственные функции, простой полюс.

It is considered one unselfassociate problem, for which early was shown that kernel of resolvent is an meromorfh function spectral parameter X.

Moreover, pole kernel of resolvent R0(x,t,X) form the counting ensemble a point moreover x , except final number, all pole to functions

k

R0(x,t,X) - simple. So, in a certain vicinities of the simple pole X0 main part to functions of Grin R0(x,t,X) problems is of the form of

С (X — X )—ф (x)w (t) ■ In given article we shall indicate the way, allowing find the factor (but, consequently, and deduction kerne, of resolvent) in 0 0 0 0 the event of simple pole X0, one unselfassociate problems.

Keywords: сore of resolvent, regular, unregular, boundary, spectral parameter, decomposition in evenly reconverginging rows, function of Grin, expanding sidebar, eigenfunctions, simple pole.

В пространстве ь2[0, а] рассмотрим краевую задачу функций, которые допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям

Н0, порождаемую дифференциальным уравнением:

(-1)

n d2nf(x)

dx

2n

q(x) -X2np(x)lf (x) = g(x)

If (

0 < x < a,

Uj(f) -f(j)(0) = о, j = 0П-1,

Uj (f) - 1 (to j Xf-1f (2n-k)(a, X) = 0, k=1

j = n,2n — 1.

Будем считать в дальнейшем, что q(x) е C

Р(x) е C[ona] =

[0,а]

причем при х > а, р(х) = 1, д(х) = g(х) = 0, а при 0 < х < а р(х) > 0. Случай, когда р(а) ф 1, будем называть регулярным, р(а) = 1 -нерегулярным. При п = 1 аналогичная задача, когда р( х) = 1, рассматривалась в [1-2]. В [1] показано, что система собственных функций задачи полна и изучена находить коэффициент щ0 (а, следовательно, и вычет асимптотика собственных чисел, в [2] указан класс ядра резольвенты) в случае простого полюса X 0 .

задачи. Для уравнений 2п-го порядка случай, когда р(х) = 1, рассмотрен в [3-4].

В [5] показано, что ядро резольвенты спектральной задачи Вц является мероморфной функцией спектрального параметра X . Более того, заключаем, что полюса ядра резольвенты Я°( х, t, X) образуют счетное множество точек X ^, причем, кроме конечного числа,

все полюса функции Я°(х^,X) простые. Поэтому в некоторой окрестности простого полюса X 0 главная часть функции Грина Я°(х, t,X) задачи В 0 имеет вид

Щo(X—Xo)—1Фo(x)yo(t) [6].

В этой формуле ш (Л - собственная функция со-

0

пряженной спектральной задачи В *.

0

В данной статье будет указан способ, позволяющий

Теорема. Пусть все собственные числа Х спек-

п

тральной задачи Н однократны и Х = 0 не является

собственным числом.

Тогда разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям р (x) задачи H

fj (x) = Е CpÄJpcpp (x), ( J = 0,2n -1 ) (1)

p=1

W (Ä) =

W (Ä) W (Ä)

11 12

W (Ä) W (Ä)

21 22

Линейные формы условий и (у,Х) получаются

V

заменой V -го столбца матрицы Ш(X) столбцом

(2п-1)

[у(а),...,у (a)].

Введем векторные обозначения для краевых значений

(п-1)

У (а) = [У1 (а), У (а)], У (а) = (у(а), ...у ) (а)), „ , л , ("), л (2п-1).

у2(с) = (у (с),...,у (с)) , V(У,Х) = V (у,Х), V (у,Х)] ,

V (у,Х) = (и (у,Х),...и (у,Х)),

1 0 п-1

V (у,Х) = (и (у,Х),...ии (у,Х)) .

2 п 2п-1

В этих обозначениях спектральная задача Н за-

(2)

пишется в виде

{2п

1[у] = Х р(х)у(х), (0 < х < а) У (0) = 0, К (у,Х) = 0

Обозначим через Х собственное значение спек-

р

тральной задачи Н , через р (х) - соответствую-

0 р

щую собственную функцию, нормированную каким-нибудь способом.

Введем вектор-строку Лр = [1,Хр,...ХрП 1] и век-'-функцию / (х) = [/ (х),...,/ (х)] .

0 2п-1

В этих обозначениях формула (1) перепишется в виде

/(х) = Е СрРр (х)Лр (0 < х < а). (3)

р=1

Для доказательства теоремы потребуется формула Лагранжа для дифференциального выражения 1(у):

а Т Т

| (1(у)г - у1 (г)) ёг = У(а)Бг (а) - У(0)Бг (0) , 0

2п

в которой у(х), г(х) е С , матрица Б порядка 2п

(0,а)

и коэффициенты С вычисляются явно и единствен- имеет вид

но. В (1) / (х) е Б , у = 0,2п -1 ; ¿ = 2пт;

У И

¿1-1

я(х), р(х) е С , т > п +1.

[0,а]

Доказательство теоремы будет разделено на несколько этапов.

Пусть со ,о 1 - различные корни степени

2п из единицы, упорядоченные таким образом, что со = -о . Из чисел IХо (V = 01,...2п-1; Х -

2п-1-V V V

комплексное число) составим матрицу Вандермонда Ш(Х). В дальнейшем будем также пользоваться разбиением матрицы Ш(Х) на квадратные блоки

B = (-1)

B =

1

0 -1

1 0 (-1)n-1

0B

-B

На побочной диагонали матриц Б и Б^ стоят

т

единицы с чередующимися знаками, а символ (.) означает транспонирование.

Кроме того, нам понадобятся следующие леммы: Лемма 1. Вектор-строки У (а) и V (у,Х) при Хф 0 связаны соотношением

Y (а) = -

1

V(y,Ä)W (Ä) .

йе ш (Х)

Для формулировки леммы 2 введем обозначения. Н - ганкелева матрица 2п -го порядка, у которой

V

элементы с суммой индексов V равны 1, остальные -нулю. Нумерация элементов начинается с нуля. Положим

(Х,И) = ЛН2п-2-к-IМТ, к,I = 0,...п-1, Л = [I,Х.,...)?"-1], М = [\и,...и2п-1], (4)

-1

С = [с ] = Б Ш (1) Ш (!) ; р (Х, И) = с ].

к1 1 21 11 п к1 к1

Элементы матрицы Ж (Х,и) - однородные полип

номы по Х и и степени не выше 2п - 2.

Лемма 2. Если для векторов У (а), ^ (а) выполнены условия V (у, Х) = V' (г, ¿И) = 0 , то при Х, и ф 0

Т Т

У(а)Бг (а) = (и-Х)У (а)Ж (Х,¿)Z (а) .

1 п 1

Лемма 3. Если р (х), р (х) - собственные

р я

функции задачи (2), отвечающие простым собственным значениям Хр, Хд ; Фрд (а), Ф?д (а) - вектор-

(п-\) (п-1)

строки: [р (а),...,р (а)], [р (а),...,р (а)], то

р р я я

та

ЛрНпЛч |рр (х)рч (х)р(х)ёх + 0

+ О рЛ (а)Рп (Х р, Х ч )0 дЛ (а) = Гр 5 рЧ,

где г ф 0 при всех р ; 5 - символ Кронекера.

р ря

го

1

0

0

1

0

Предполагая леммы 1-3 доказанными, установим справедливость теоремы.

п

Пусть вектор-функция /(х) е С имеет 2 различных представления в виде ряда (3) по собствен-

п

ным функциям задачи (2), сходящимся в С . Вы-

(0,а)

читая почленно эти ряды, получим

[0,...,0] = Е C p (x)A .

^Г p=1 p p p

(5)

Выражение (10) имеет смысл, если Хф 0. Подставим это выражение в билинейную форму

т

У(а)Бг (а)

Y (a)BZ (а) = Y (а) х

1,wh (Ä),W21(Ä)

B

Z/ (а). (11)

Ряд сходится в С , и не все С равны нулю;

(0,а) р

пусть С ф 0. Умножим (5) справа на

я

г "у

I пЛтрч (х)р(х) и проинтегрируем от 0 до а

Исследуем выражение в фигурных скобках, для чего воспользуемся явным видом матрицы В:

0 Б ' 1

. Получим

B =

- B

0

1,W1T1\ä), W?1(Ä)

0 B1

- вт 0

W?1(tiW{il(v)

0 = Е CpЛ p 1 „Лq jp p (x)pq (x)p(x)dx .

(6)

Ряд (5) продифференцируем почленно к раз (к = 0,...п-1) и положим х = а :

= бш21 (и)ШП (И) - ШТ- (Х)Ш21 (Х)Б. (12)

Покажем, что матричные элементы слагаемых в правой части (12) являются мономами положительной степени по и и Х .

[0,...,0]=Е CpPp\а)Лр .

Р^

(7)

Умножим ряд (7) справа почленно на I 2п-2-к-IЛ^Скр^а , а затем просуммируем по к и I от 0 до п -1. Получим

го Т

0 = Е С Ф (а)Ж (Х ,Х )Ф (а). (8)

р=1 р рЛ п р я я1 Сложим почленно ряды (8) и (6)

го

0 = Е Ср х

\р=1

х|л р Н „К я/р р (х)рч (х)р( х)ёх + 0 рЛ(а)Рп (Х р, Х ч )0 тдЛ(а)

Согласно лемме 3, член в фигурных скобках отличен от нуля лишь при р = я, следовательно, правая часть не равна нулю, а левая равна, что невозможно. Таким образом, разложение / ( х) в ряд по собственным функциям единственно. Теорема доказана.

Доказательство леммы 1 непосредственно следует из определения краевых условий и (у,Х) и теоре-

V

мы о разложении определителя по элементам столбца.

Доказательство леммы 2. Запишем утверждение леммы 1 в блочном виде: [ У (а), У (а)] =

-[V (y,Ä), V (y,Ä)]

det W (Ä) 1 ^ 2

T T

W (Ä) W (Ä) 11

T T

W (Ä) W (Ä)

21 22

Действительно,

W (м) = k1

(M®0 )

„ k„-„

(*м® J

„-1

„ k„-„

(i߮0 )

k„-1

(iM® )

„-1

k„-1

k = 1,2.

Тогда получим, что

п(п -1) -1 9

Ш , (И) = (¡и) 2 х

11

1+...+n-1 0+...+„-2

(iM) ... (iM) gn ,

00 0,„-1

1+...+„-1 0+...+„-2

(iM) g ,n ... (iM) g , ,

„-1,0 „-1,„-1

00

„-1,0

,. ,-„+1 (iM) g

0,„-1

Л-„+1 (iM) g

„-1,„-1

-1

В W (m)W (M) = 1 21 11

2n-u м C

00

м C

0,„-1

„r,

M C

W1T1 (X)W21(Ä)A1 =

„-1,0

л 2„ Ä C00

MC

„ -1, „ -1

. (13)

-0n-1

Ä„C

„-1,0

.. ÄC„-1,„-1

. (14)

Докажем, что матрица С = [с ] симметричная.

kl

Если V (y, Ä) = 0, то

-1

[Y (а), Y (а)] =-

1 2V yJ detW(Ä) 1

т т V (y,Ä) ■[W1 }(Ä), W} ¿Ä)] .(9)

Используя (9), выразим Y (а) через Y (а):

[ Y (а), У (а)] = Y (а)

т 1 т 1,W (Ä), W (Ä) 11 21

(10)

для этого положим ¿и = Х = 1. С = В Ш (1)Ш (1).

1 21 11

т

Докажем, что С - С = 0 . В самом деле

Т т _1 Т 1 Т Т

С - С = В Ш (1Ш (1) - Ш (1Ш (1)В = 1 21 11 1

Т 1 Г Т Т ТТ 1 —1

= ш (1)\Ш (1)В Ш (1) - Ш (1)В Ш (1)№ (1). 11 I 1^1 21 21 1 1Г I 11

1

х

го

1

1

p=1 0

х

Достаточно показать, что равно нулю выражение в фигурных скобках. Вычислим его в явном виде

W (ц) = k1

{im ) 0

„ kn-n

(im )

n-l

kn-n

(im ) 0

kn-l

(im )

n-l

kn-l

, k = 1,2,

T T TT

W (1)5 W (1) - W (1)5 W (1) = 11 1 21 21 1 11

(iwo)n-1 - (imo)n-2

(-1)' (imo)0

(im , -1)n-1 - (im, -1)n - 2 ... (-1)г (im, -1)

n - 2

1(ф ) = X"р(х)ф , 1(ф ) = XX"р(х)ф ;

Р Р р ч ч ч

Ф Р,1 = [ф Р (0),...,ф(рп—11)(0)] = 0,

Фч,1 = [фч (0),...,фЧп—11)(0)] = 0, V (ф ,Х ) = 0, V (ф ,X ) = 0.

2 Р Р 2 ч ч

Используя лемму 2, получим в этом случае равен-

2п 2п а ство (X — X )\ф (х)ф (х)р(х)Сх +

Р ч 0 Р ч

+ (X Р —X« )Ф рЛ(а)Е" (X _, X. )Ф Тд(а) = 0.

(im ) 0

(im )

n-1

(im )

0

2n-1

.. (im ,)

n-1

2n-1

п—1 п

m m -m

k l k l

п-2 п-1 п-1 0 2п-1

m +... + (-1) m m

kl

■0Г

,2п-1

п-1 п п-2 п-1 1хп-1 0 2п-1

m m - m ю^ +...+ (-1) m^i

п-1 п п-2 п-1 п 0 2п-1

-m m -m +...+ (-1) m^m^

k,l=0,...,п-1

2п-1

k,l

Так как а2 = 1, — а = а , то получим выра-

к 2п—1—к

жение общего элемента матрицы Ь в следующем виде:

к ,1

и п-1 п 0 2п—1

(—1) Ь = а а + ...+ а а +

к,1 к 2п—1—1 к 2п—1—1

п п-1 0 2п-1

+ m m + ...+ m m

2п-1-1 k 2пk

m

(

\0

2п-1-l

m

v k

f

+...+

\ 2п-1

2п-1-1

m

V k у

Так как X ф x , делением этого равенства на

р ч

(X — X ) получаем требуемый при р ф ч результат.

р ч

Пусть теперь ф (х) - собственная функция задачи

(2), соответствующая простому собственному значению X , а у(х, X) - решение задачи

причем мы предполагаем,

2п

I(у) = X р(х)у + g (х) 7 (0,Х) = 0,К (у,Х) = 0

что Лф X , но находится в достаточно малой окрестности X , в которой нет других собственных значений; g(x) - непрерывная функция, для которой

а

1 g(х)ф (х)Сх = 1. (15)

0 0

Применим к у(х, X) и ф (х) формул Лагранжа с

учетом леммы 2. Получим

2п 2п а (X —X ) | у(х,Х)ф (х)р(х)Сх +1 +

0 0 0 + (Х — Х0 Ж (а, Х)^П (X, Х0 )Ф?д (а) = 0 . (16)

Выразим у(х, X) через функцию Грина задачи (2)

Поскольку а , а - различные корни степе-

к 2п—1—1

ни 2п из 1, выражение в скобках равно нулю. Из этого следует, что с = с .

к1 1к

Окончательно из (11)-(14) получаем

Y(a)Z (a) = Y (a) х

(ц2"-1 -X2n-1)С

00

(ц" -X")C

0, n-1

(ц" -X")C

n-1,0

(ц-X)C

n-1, n-1

T

Z (a) = 1

= (р — Х)У (a)F (Х,д)Z (а), где для Ж (Х,/и) спра-

1 п 1 п

ведливы формулы (4).

Доказательство леммы 3. Допустим сначала, что

р ф ч и ф (х), ф (х) - собственные функции задачи

р ч

(2), отвечающие различным собственным значениям

X , X . К функциям ф (х), ф (х) применим фор-

Р ч Р ч

мулу Лагранжа и воспользуемся условиями:

у(х,Х) = 1 О(х,4;Х) g (#)С#. (17)

0

Уже было отмечено, что функция Грина задачи (2) -мероморфная функция X, и в окрестности простого собственного значения X она в силу леммы 2 имеет

вид G( x, X) =

ф (х)ф(4)

-- + О (х,4;Х), где г ф 0;

г (X —X) 1 0

0 0

О (х,#;Х) - голоморфна по X в данной окрестности. Подставим это выражение в (17) и учтем (15). Полу-

ф (х) а

чим у(х, X) = —0-- + 1О (х, 4; .

г (X —X) 0 1 0 0 0

Используя дифференциальные свойства функции Грина, нетрудно получить соотношение

1

®0,1(a) +1 (1), X^X0 .

У1(а, X) =-

Гэ(Х0 —X)

Подставим эти выражения в (16) и перейдем к пределу при X ^ X

х

0

г

х

2п-1

1

k

a

х

(y2n _y2n ^

lim

X—^X 0

X - Xr»

/фо(х)р( x)dx +

+ 001(a)Fn(X0,X0)Фо,1 (a) = П) * 0

Так как

12n -i2n x - x0

x — xf)

= лт л!, то лемма 3 доказана.

п 0

Одновременно получена формула для вычисления вычета резольвенты спектральной задачи В в случае

простого собственного числа С = г 1.

0 0

Таким образом получен явный вид С в разложе-

р

нии (1) в случае простого полюса X :

р

а 2п—1 2п— I—1

ф (t)р(t) х X 1 • /_ (ОС

0

p

j

=0 р

j

C =-

P 2я-1 a 2 T

2nX ' J P(t) ф (t)dt + Ф (a)F (X ,X )Ф (a)

p n P P'1 n P P P'1

("-1),

где Ф (а) = [ф (а),... ф (а)], Ж (X ,Х ) опреде-

Р,1 Р Р п Р Р

ляется формулой (4).

Литература

Редже Т. Аналитические свойства матрицы рассеяния // Математика: сб. переводов. 1963. Вып. 7, № 4. С. 83-89.

Кравицкий А.О. О разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1966. № 6. С. 1255.

Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойствах ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четного порядка на римановой поверхности // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201, № 5. С. 1025.

Айгунов Г.А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2 п -го порядка на полуоси // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213, № 5. С. 1001-1004.

Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2п -го порядка на отрезке [0, а] // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2008. № 6. С. 5-7.

Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград, 1917. 308 с.

Поступила в редакцию

12 апреля 2011 г

a

0