CC BY
16
МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА
УДК 517.43
О 2п -КРАТНОМ РАЗЛОЖЕНИИ В РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОЙ НЕСАМОСОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ
В НЕРЕГУЛЯРНОМ СЛУЧАЕ
© 2011 г. Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева
Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, Махачкала, 367025, dgu@dgu.ru
Dagestan State University, Gadjiev St., 43a, Makhachkala, 367025, dgu@dgu.ru
Исследуются вопросы разложения в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной задачи. Рассмотрены регулярный и нерегулярный случаи. Получены результаты для нерегулярного случая. Основной результат статьи заключается в определении класса функций, для которого возможно 2п-кратное разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям. Явно найдены коэффициенты данного разложения в случае простых собственных чисел. Новизна результатов состоит в том, что рассмотренный нерегулярный случай является более общим, из него вытекают все ранее полученные результаты.
Ключевые слова: ядро резольвенты, нерегулярный, краевая, спектральный параметр, разложение в равномерно сходящиеся ряды, функция Грина, расширяющийся контур, собственные функции.
The article is dedicated to questions of the decomposition in row on eigenfunction one unselfassociate problems. They are distinguished regular and irregular events given problems and are received results for unregular event. The main result of the article is concluded in determination of the class function, for which possible 2n-multiple decomposition in evenly-reconverginging rows on own function. Also obviously founded factors given decompositions in the event of simple own чисел. Result novelty of given article consists in that that considered irregular event is more general, from which result all earlier got results.
Keywords: mre of resolvent, unregular, boundary, spectral parameter, decomposition in evenly reconverginging rows, function by Grin, expanding sidebar, eigenfunctions.
В пространстве Ь [0, а] рассмотрим краевую задачу Но, порождаемую дифференциальным уравнением:
( X)nd2nf(х) +
dx
2n
q(х) - X2np(х)|/(х) = g(х), 0 < х < a ,
Uj (f) - f (j)(0) = 0, j = 0, n -1
2n
•j - )
(1)
Uj (f) " i (aj tf -1f(2n-k)(a, X) = 0 , j
Цель настоящей статьи - определение класса функций, для которых возможно 2п -кратное разложение в ряд по собственным функциям данной задачи.
Введем класс функций , удовлетворяющих ус-
ловиям
: f (х) е СЦ a], ц = 2nm, m - некоторое нату-
= п,2п -1.
v - - ^
к=1
Будем считать в дальнейшем, что функции д(х) е С[р, а], р(х) е С[0,а], причем при х > а , р(х) = 1, д(х) = g(x) = 0; при 0 < х < а р(х) > 0. Случай, когда р(а) ф 1 будем называть регулярным, р(а) = 1 - нерегулярным.
В дальнейшем будем рассматривать нерегулярный случай.
Для п = 1 аналогичная задача, когда р( х) = 1, рассматривалась в [1, 2], где в [1] показано, что система собственных функций задачи полна, и изучена асимптотика собственных чисел этой задачи; в [2] указан класс функций, допускающих разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям задачи. Для уравнений 2п -го порядка случай, когда р( х) = 1, рассмотрен в [3, 4].
ральное число; f(k)(0) = f(k)(a) = 0 , k = 0,2n -1 ;
(
m daq p p
\(k)
(0) = 0, k = 0, n -1
V У
( m dar. )
m där
u.T>f
p p
(a) = 0, k = 0,2n -1
Лемма. Пусть функция f (x) e Dц , p(x), q(x) e C^ ^
(i = 2,2n ). Тогда для любого целого положительного
числа m справедливо тождество: f -p)= - f ( )
X2n
I
I
\
У
-I
Р
' r öäg л РР
m—1
- £ —--
rtl k(r+1)2n
' m öäg л
R0 1 i..1if
РР
k
2nm
(2)
Грина (т.е. существует обратный оператор Ь-1 ).
Л 0
Применив к обеим частям (1) оператор Ь-1 , получим
f (x) = 1 R0 (x, t, k)f (t) — X20np(i)f (t)
dt.
о
Разделив это тождество на Лд", получим (2) при т = 1, т. е.
(3)
k
Чтобы полностью доказать лемму, для Я°1/(х)
напишем равенство, заменив / на — I/ в формуле (3)
Р
V Rkif-if kf k2n k2n
Это выражение для Rlf подставим в (3)
(4)
pOrf пЛ_ f (x) , 1 R0(f 'Р) =
f (x) p \ к -Р f -----1--
V Rki|-if
i 2n
i 2n
k2n k4n
к
4n
(5)
— if в формуле (4) Р
+
1 if1 if 1 R0i
1 i(-if Р -Р
k
2n
Это выражение Rj°i| — if | подставим в (5)
Rk (f Ф-Т--£
if
k2n k4n
Hn
1if1if
Р -Р
R,0i
if—i/
Р -Р
k
2n
k
2n
—if 1 iM Rkif
f (x) Р Р -Р ) , -
1 i| V
Р -Р V
k2n k4n
Л6п Л6
Повторяя эти рассуждения т раз, придем к (2).
' т дад ^
16n
Доказательство. Из определения класса функций
Бц следует, что /(х) удовлетворяет краевым усло- Здесь I виям задачи Н00. Пусть Л = Лд - регулярное значение, тогда при этом значении Л о существует функция
1 il-v
Р Р
(x) есть значение в точке x резуль-
тата применения (т -1) -й итерации оператора I к
функции — I/.
Р
Пусть Ну - ганкелева матрица 2п -го порядка, у которой элементы с суммой индексов V равны 1, а остальные - нулю. Нумерация элементов начинается с нуля.
Ькл(Л,ц) = ЛН2п-2-к-Мт, к,1 = 0,...п -1, (6) Л = [1,Л,...,Л2п-1 ], М = [1,ц,...,Ц2п-1 ],
С = [€к/] = ^1^21(1) • ^11(1)-1 , ^ (Л, ц) = [Иы, €к/] . Элементы матрицы Гп (Л, ц) - однородные полиномы по Л и ц степени не выше 2п - 2.
Теорема. Пусть /у (х) е БЦ , у = 0,2п -1 ,
ц = 2пт и д(х), р(х) е С^-^ . Тогда при т > п +1 эти
функции допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям фр (х) задачи
Нд вида
fj (x) = £ Cpk> (x) , (j = 0,2n — 1 ). (7) p=1
a 2n—1 „ . ,
Jcpp(t)p(t) £ k2pn—j—1 • fj(t)dt
0_j=0_
2пЛ2п-1 • /р(/) •фд № + ФрД(а)^п (Л р, Л р )®Тд(а) о
в случае простого полюса Л р ,
Фр,1 (а) = [фр(й),...,фр!-1)(а)]; ^(Лр,Лр) определяется
формулой (6).
Доказательство. Определим функцию
Для 11/ I напишем равенство, заменив / на
2n—1 £ :
k=0
Fj (x, k) = • £ k2n—k—1 • Rk (fk (xMx)),
у = 0,2п -1 .
Используя лемму, перепишем (8) в виде
2п-1 /к (х)
Fj (x, k) = £
k=o k
k—j+1 Sj
+ g/(x, k) ,
(8) (9)
где g/ (x, k) =
' r öäg l ^ m öäg Л
1 i Р Р Р Rki Р Р
1
2n—1 . , ,m _
= £ kJ—k—1 £
k'£0 r££1 k2nr kk—J+1+2n(m—1) .
/
/
+
\
V
Р
+
a
Р
Р
1
+
1
+
+
Рассмотрим интеграл
In = т— f Fj (x, X)dX, ,
2л/ г
Г W
(10)
R0( x, t, X)
< с| X
2n2 —2n+1
Подставим в (10) выражение (9)
In = fj (x) + f gj (x, X)dX,
2л/ г"
r M
(11)
(12)
1
2n—1m—1 p
где f gj (x, X)dX = f Z Z
1 f.-fk P l P
J > л t '¡к — j+1+2nr Гк к=0 r=1 X J
-dX —
2n
— f Z
— , lp P ,)dX .
Гд,
¿=0 хк—J+1+2n(m—1)
Так как у - к ф 2пг ( г > 1 ) ( у - к < 2пг ), то к - у +1 + 2пг ф 1 , поэтому в силу теоремы Коши можно заключить, что
2n—.^P '-P й )
Z , V , .—r)dX .
f g,dX
< f igji • dX<
Г,
< C1N
2n2 —2n+1
|dX|
f
P N 2n(m—1)—j+1
где функция ^у (х, X) определена по формуле (9), а Г^ - последовательность расширяющихся контуров в комплексной плоскости X, на которых ядро резольвенты Я°(х, t, X) допускает оценку [5]
jy2n(m—1)—j—2n + 2n—1
с
с
N2n(m—1)—2n—2n 2+2n N 2n(m—n—1)
Поэтому достаточно положить, что m > n +1. Тогда равномерно по x е [0, a]
f gjdX^ 0 при N ^да . (13)
rN
С другой стороны, как и выше, получим равенство lim IN =Z Re (x, X)) . (14)
N ^да
X—Xa
f gf (x, X)dX — - f Z , , о , „
jV ' 7 f Z Xk—j+1+2n(m—1)
iN iN k=° X
В силу теоремы Коши и оценки (11) на контурах rN выполняется неравенство:
Сопоставляя (12) и (14), убеждаемся в справедливости разложения (7). Теорема доказана.
Литература
1. Редже Т. Аналитические свойства матрицы рассеяния // Математика (сб. переводов). 1963. Т. 7, № 4. С. 83-89.
2. Кравицкий А.О. О разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1966. № 6. С. 1255.
3. Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойств ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четного порядка на римановой поверхности // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201, № 5. С. 1025.
4. Айгунов Г.А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2 п -го порядка на полуоси // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213, № 5. С. 1001-1004.
5. Гаджиева Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2я-го порядка на отрезке [0,а] // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 6. С. 8-9.
Поступила в редакцию
16 сентября 2010 г.
<
<
<
Г
N
Г
N
