Изучение поведения собственных значений и оценка собственных функций задачи типа Т. Редже в случае суммируемой весовой функции на конечном отрезке [0, a] Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.43

ИЗУЧЕНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ОЦЕНКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЗАДАЧИ ТИПА Т. РЕДЖЕ В СЛУЧАЕ СУММИРУЕМОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ [0, а]

© 2009 г. Г.А. Айгунов, Карван Х. Жвамер

Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, Р. Дагестан, 367000, [email protected]

Dagestan State University, Gadjiev St., 43a, Makhachkala, Dagestan, 367000, [email protected]

Изучается поведение собственных значений одной краевой задачи в случае суммируемых и отделенных от нуля коэффициентов и оценка собственных функций.

Ключевые слова: асимптотика собственных значений, собственная функция, верхние оценки, весовая функция, спектральная задача, суммируемая функция.

Given work is dedicated to study of the behaviour of eigenvalues of one marginal problem in the event of summing and wrought from zero factor and estimation eigenfunction.

Keywords: asymptotics of eigenvalue, eigenfunction, upper estimations, weight function, spectral problem, summing function.

Пусть 0 <а <<ю, 0 <т<М<<х - фиксированные числа; Ь+ [0 а] - совокупность всех суммируемых

на сегменте [о, а] функций р(х), удовлетворяющих

условию т ^р(х)^ М. В множестве Ь+[ра] введем

обычную Ь -метрику. В дальнейшем такие функции будем называть весовыми.

Рассмотрим спектральную задачу (р(х) е Ь [0; а],

д(х) е Ь+ [0; а])

- у" (х) + ц(х)у(х) = Л2р(х)у(х), (0 < х < а), (1) у(0) = 0, у'(а) — г'Лу(а) = 0, (2)

a 2

¡Р(x)|У(x)\ dx

n1/2

V 0

= 1 ,

(3)

где Л - спектральный параметр.

Задача (1), (2) возникает в разных вопросах математической физики. Т. Редже [1], изучавший ее (в случае р( х) = 1) в связи с теорией рассеяния, показал, что если д(х) в левой полуокрестности точки а

удовлетворяет условию д(х)~Си(а—х)и , х^а—0 ; ¡и^ 0, С и, то задача имеет дискретный спектр Лп, и система собственных функций задачи (1), (2) полна в Ь[оа]. В [2] изучена асимптотика собственных значений и получены 2-кратные разложения в равномерные сходящиеся ряды по собственным функциям, из которых вытекает 2-кратная полнота собственных функций в Ь2 [0 а]. В случае уравнения 2п -го порядка

и р(х) = 1 аналогичная задача рассмотрена в [3, 4]. А для р(х) # 1 асимптотика собственных значений для

задачи более общего вида рассмотрена в [5, 6] .

Во всех этих работах асимптотика собственных значений изучена для достаточно гладких коэффициентов д(х) и р(х) .

Цель настоящей работы - изучение поведения собственных значений задачи (1)-(3) в случае суммируемых, отделенных от нуля коэффициентов д(х), р(х) и оценка собственных функций.

Сформулируем и докажем некоторые вспомогательные утверждения.

Утверждение 1. Задача (1)-(3) имеет счетное множество собственных значений, не имеющих предельных точек в конечной части комплексной плоскости.

Доказательство. Собственные числа задачи (1)-(3) являются решениями уравнения у'(а,0,0,1, Л, р) — —г'Лу(а,0,0,1,Л, р) = 0, где у(х,0,0,1,Л,р) - решение задачи (1), (2) с х0 = 0, у0 = 0 и у0 = 1 (т. е. у(0) = 0 и у'(0) = 1). Представление у(х,0,0,1,Л,р) в виде ряда по [7, лемма 1] показывает, что у(а,0,0,1,Л, р), у'(а,0,0,1,Л, р) - аналитические во всей комплексной плоскости функции. Поэтому У (Л) = у'(а,0,0,1,Л,р) — —гЛу(а,0,0,1, Л, р) - аналитическая во всей комплексной плоскости, а нули этой функции не могут иметь предельную точку в конечной части комплексной плоскости. Отсюда, если показать, что уравнение У (Л) = 0 имеет бесконечное множество решений, утверждение 1 будет доказано.

Покажем, что уравнение Y(Л) = 0 имеет бесконечное число решений. Пусть это не так, тогда существует круг радиуса R0, вне которого Y(Л) не имеет нулей. Если p(x) - гладкая функция, то известна асимптотика собственных чисел нашей задачи (нулей Y(Л)). В этом случае существует в круге радиуса R > 0 не менее чем N(R) нулей, где N(R) при R . Более того, существует единая, не зависящая от весовой функции p(x) (m ^ p(x) ^ M) функция N(R) .

Возьмем R ^ R0 настолько большим, чтобы N(R) было больше, чем количество нулей Y(Л) (это возможно в силу предположения о конечности числа нулей этой функции). Найдем число е0 = min|Y(Л)\ на

окружности радиуса R . По [7, теорема 3] найдем число S > 0 такое, что

¿Iy(i) (x,0,0,1, Л, р) — y(i) (x,0,0,1,р1)\ <

2R

если

- у(а,0,0,1,Л, р\ < R ■ ¿ i=0

y(i) (а,0,0,1, Л, р) - y(i) (á,0,01, Л, p1)

(i) i

<~° < min|Y (Л)\. Поэтому по теореме Руше Y(Л,р)

и Y (Л, р) должны иметь одинаковое число нулей в круге радиуса R . Полученное противоречие доказывает утверждение 1.

Введем обозначения: S + га = Л, u(x)^[cosp(x) + + i sin p(x)\ = y(x) (S и a - действительные числа; u( x) = \y( x)|; cp(x) = arg[y(x)]). После несложных преобразований получим, что задача (1)-(3) может быть представлена в виде

-u"(x) + {[p'(x)] + q(x)}u(x) = (S2 -u '(x)

p" (x) + 2 • p' (x) = -2Sap (x), u ( x )

u'(a) + au(a) = 0, u(0) = 0, p'(a)-S = 0,

2 а2)р( x)u(x),

(a Y'2

I J p(x)u (x)dx I = 1 .

| р(х)и 2(х)ёх I <0

Если Л - собственное число задачи (1)-(3), то у(х) ф 0 для всех х е [0, а], так как в противном случае, если у(а0) = 0 для некоторого а0 е[0, а], число Л будет собственным числом самосопряженной задачи Штурма-Лиувилля на [0, а0 ] и поэтому должно быть действительным, а задача (1)-(3) не имеет действительных собственных значений и поэтому и(х) = \у(х)\ Ф 0 .

р(х)<8. Возьмем произвольную гладкую р1(х),

удовлетворяющую неравенству \рх) -рМ^ <8. Для

нулей этой функции количество нулей Y(Л, р) в круге радиуса Я не меньше, чем N (Я). С другой стороны, Y(Л,рl) = Y(Л,р) + \^(Л,р1)-Y(Л,р)\, при этом на круге радиуса Я ^(Л,р1)-Y(Л,р)\ = |у'(а,0,0,\,Л,р)--у"(а,0,0,1,Л,р) - гЛ\у(а,0,0,1,Л,р) -у(а,0,0,1,Л,р)]< < |у '(а,0,0,1, Л, р1) - у'(а,0,0,1, Л, р)| + |Л||у(а,0,0,1, Л, р1) -

Таким образом, если показать, что задача (1)-(3) не имеет действительных собственных значений (что мы утверждали выше), то все вышеупомянутые соотношения будут доказаны.

Утверждение 2. Если Л - собственное число задачи (1)-(3), то 1тЛ отрицательна (т. е. с< 0), причем если (Л, у(х)) собственное число и собственная

функция задачи и 8 ф 0, то |у(а)|2 = -2с.

Для доказательства заметим, что если (Л, у(х)) -собственное число и собственная функция задачи (1), (2) (нормировка (3) роли не играет), то пара (Л,у(х)) -собственное число и собственная функция задачи \ - у" (х) + д(х) у (х) = Л2р( х) у( х), (0 < х < а), |у(0) = 0, у '(а) + ¡Лу(а) = 0,

(Л и у(х) - сопряженное Л и у(х)), что легко проверить, переходя к сопряженным величинам в соотношениях (1), (2). Умножая уравнение данной задачи на у(х) и интегрируя от 0 до а, получим

а а 2 а 2

-/у"(х)у(х)ёхд(х)\у(х)\ ёх =Л /р(х)|у(х)| ёх. 0 0 0 Интегрируя по частям, приходим к равенству

а а 2 а 2

- у(х)у(х)\0 +/|у'(х)| ёх+1 ц(х)\у(х)\ ёх = 0 0

— а 2

= Л2 \р(х)\у(х)| ёх.

0

Учитывая краевые условия у' (а) +1Лу(а) = 0,

— 2 а 2 а 2 у(0) = 0, имеем ¡Лу(а)| +| |у'(х)| ёх +| д(х)|у(х)| ёх =

0 0

_ а 2

= Л21р(х)|у(х)\ ёх .

0

Совершенно аналогично, умножая уравнение (1) на у(х) и интегрируя от 0 до а, можно получить со-

отношение — i

- i2\y(a)\2 + JI y' (x)\2 dx+J q(x)\y( x)\2 dx =

2

= Л2 \p{ x)\y( x) dx.

0

Вычитая из этого соотношения предыдущее, полу— 2 а 2 чим — i(\ +Л)\y(a)\ = (ЛЛ —\2)Jp(x)\y(x)\ dx, если

0

Л + ЛФ 0, то разделив на Л + Л , имеем

2 — а 2

— i\y(a)\ = (Л — Л^р^у^) dx =

= ((S + i а) — (S — i ct))J р(x)|y(x)| dx =

2

= 2/а J p(x)\y( x)| dx. 0

Из (4)

— I y(af

а =-^^-< 0 ,

a 2

2jp(x)\y(x)\ dx

0

что и требовалось доказать.

(4)

ь

0

<

0

0

0

0

Если Л+Л = 0, то (3 + га) + (8 —га) = 0, 8 = 0 ;

Л = га, Л = —га - чисто мнимые числа. В этом случае (1), (2) можно записать в виде

у" + д(х)у(х) = ~а2р(х)у(х), (0 < х < а),

1 у(0) = 0, у'(а) +ау(а) = 0,

откуда у"(х) = д(х)у(х) + а2р(х)у(х). Рассмотрим задачу Коши

¡у" (х) = д(х)у(х) + а2р(х) у(х), у(0) = 0, у' (0) = 1}. Её решение у(х) и у'(х) положительны на (0, а), так как д(х) > 0, а2р(х) > 0 . Если у(х) - решение

у( х)

задачи (1), (2), то y(x) =

У (0)

Следовательно,

ции yn (x) задачи (1)-(3) max yn (x, р)\ < C И (р)\

xe[0,ä]

1/2

Доказательство. Рассмотрим тождество 12 = У(х) • У(х) =

о

2

|y(x)| = У(х) • У(х) = J [y(s)У '(5) + y(s)У'(s)]ds =

= х^р(*:)[у (s) У' (s) + y(s) У' (s)]ds

о л/p(s)

ства p(s) ^ m следует, что

. С учетом неравен-

I / xtyfp<5}\y(s)У(s) + y(s)y'(s)|ds

Уx)\ £J-f=-£

•Jm

Jm

jp)\ y(s) У (s)| ds + jp>\ y(s)y (s)| ds

2

у(4\у' (*)|

л/т 0

Оценивая последний интеграл по неравенству Ко-

ши-Буняковского, получим

Г \И2/ \ 1 / 2

2 2 I а 2 I I а 2|

|у(х)| /р(-фСЮ| ds Цу'(^ ds . Заме-

\ту0 ) у 0 у

няя второй интеграл в этом неравенстве выражением

(8), получаем

y 2( x) £-2= Ia p(s)| y(sf ds ■Jm

1/2

А 1 а 2

И J pC*0|yC*D| dx — J g(x)|y(x)| dx

1/2

£ Щ p(s) У st ds

■Jm 0

s\/2

2

J g(x)\y(x)\ dx 0_

2 а 2

И Jp(x)\y(x)\ dx

Отсюда

|y( x

s\/2

< •

i\/2

что и до-

а 2

Jp(s)|y(s)| ds

V о

у(х) = у(х) у' (0), у (а) = у' (а) у' (0), у(а) = у(а) у ' (0) , у' (а) у" (0) + ау(а) у' (0) = 0 (второе краевое условие).

—у(а)

Отсюда у (а) + су (а) = 0, а =-< 0 . Для того

у(а)

чтобы утверждение 2 было доказано полностью, необходимо воспользоваться условием нормировки (3) и

равенством (4), которое дает значение |у(а)|2, а именно |у(а)|2 = —2а при условии 8ф 0.

Учитывая, что тах|у(х)|2 ^ |у(а)|2 и пользуясь ут-

х

верждением 2, можно доказать важное следствие, дающее верхние оценки для собственных функций задачи (1)-(3).

Следствие. Существует константа С > 0, не зависящая от д(х) и р(х), такая, что для любого собственного числа Лп и соответствующей собственной функ-

казывает следствие.

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема. Пусть p(x) е L+ [0;а], g(x) е L+ [0;а]. Тогда для задачи (1)-(3) справедливы следующие утверждения:

1. Задача (1)-(3) имеет счетное множество собственных значений, не имеющих предельных точек в конечной части комплексной плоскости.

2. Для асимптотики собственных значений задачи (1)-(3) справедливо неравенство а< 0, причем если (И, y(x)) собственное число и собственная функция

задачи и 8 Ф 0, то |У(а)|2 = —2а.

3. Существует константа C, не зависящая от g(x) и p(x), что для любого собственного числа Ип и соответствующей собственной функции y (x)

max \Уп(x)\ < C•И-п|1/2.

xe[0^]

Литература

1. Редже Т. Аналитические свойства матрицы рассеяния // Математика. 1963. Вып. 7, № 4. С. 83-89.

2. Кравицкий А.О. О разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1966. Т. 170, № 6. С. 1255-1258.

3. rexmMaH М.М. О некоторых аналитических свойствах ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четного порядка на римановой поверхности // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201, № 5. С. 1025 - 1028.

4. Айгунов Г.А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2и-го порядка на полуоси // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213, № 5. С. 1001-1004.

5. Айгунов Г.А. Спектральная задача типа Т. Редже для обыкновенного дифференциального оператора 2п-го порядка // Функц. анализ, теория функций и их приложения. 1975. Вып. 2, ч. 1. С. 21-41.

6. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2п -го порядка на полуоси // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 5. С. 14-19.

7. Айгунов Г.А., Жвамер Карван Х. К вопросу о непрерывной зависимости собственных чисел и собственных функций задачи Т. Редже от суммируемой весовой функции // Вестн. ДГУ. Естеств. науки. 2009. Вып. 1. С. 36-43.

Поступила в редакцию

12 ноября 2008 г.

х

<

х

0

0

1

0

\

£

£

0

0