CC BY
14
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2008. № 6
УДК 517.43
ОЦЕНКА ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОДНОЙ НЕРЕГУЛЯРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ПОРОЖДЕННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ 2п-го ПОРЯДКА НА
ОТРЕЗКЕ [0,а] В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
© 2008 г. Т.Ю. Гаджиева
Дагестанский государственный университет, 367000, г. Махачкала, ул. Гаджиева, 43а, dgu@dgu.ru
Dagestan State University, 367000, Dagestan, Makhachkala, Gadjiev St., 43a, dgu@dgu.ru
Получены оценки ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи.
Ключевые слова: ядро резольвенты, нерегулярный, краевая, спектр, функция Грина, спектральный параметр, расширяющийся контур.
Estimation of the resolvent core of one irregular boundary problem are obtained in the paper.
Keywords: сore of resolvent, irregular, boundary, spectrum, function by Grin, spectral parameter, expanding sidebar.
2
В пространстве L [0, a] рассмотрим регулярную краевую задачу Ho, порождаемую дифференциальным
d2nf(x)
уравнением: (-1)*
+ [(x)-A2V(x)J(x) = g(x),
dx
2n
g(x,t) = ±
20(f)
О < Jt < a , Ujif) = /(7)( О) = 0, j = 0, n -1
2n * JKJ J - X
илл= X <э;-я5~7(2и"А)(0Д) = 0, j - n,2n -1.
Уо(хЛ)
Уо<?)
y2„-l(x,Ä)
Ä2)c>
y'm-iV
У2п-1«
где S(t) - Вронскиан фундаментальной системы ре-
к=1
Будем считать в дальнейшем, что функции д(х) е С[0;Я], р(х) е Ср " ^, причем при х > а, р(х) = 1, д(х) = g(x) = 0 , при 0 < х < а р(х) > 0, р(а) = 1,
р{к\а) = 0 , к = 1.2//-1, ар{2п\а) + Ф 0 , где а и р - некоторые постоянные.
В случае р(х) = 1 аналогичная задача рассматри- убедиться в том, что А (Л) Ф 0 . Поэтому из представ-валась в [1, 2]. Для нерегулярного случая, когда ления (1) следует, что функция Грина R0(x,t,Л) спекла) = 1, р'(а) ф О - [3]. тральной задачи Я0 есть мероморфная функция пара-Если 1 не принадлежит спектру задачи Н0, то метра А; ее полюсами могут быть лишь собственные
значения задачи Я0.
шений (х, Л) (у = 0,2п -1) при х I. причем знак «+» - при х > /. «-» - при х < /. Таким образом, функция Грина R0(x,t,Л) представляется в виде отношения двух функций Н(х.1.Л). А (Л), которые, очевидно, являются целыми аналитическими функциями параметра Л в секторах Тк (Тк ) при /.I > Н. Легко
f(x,Ä) = ¡R (x,t,Ä)g(t)dt, где R (x,t,Ä) - функция о
Грина задачи Ho, определяемая формулой
я°(ххл) = (-1ТЩхХЯ)
Получим оценку для числителя ядра резольвенты Я(х,/Д). |Я(х,/\А)| < С^ДА)!, где
п(п—1)
где
H(x,t, Л) =
А (Л)
Уо(х) ■■■ У2п-\(х) Щ(У0) - ио(У2п-0 и^Уо) ... Uxiyin-x)
(1)
-+n(2n- 1)-2n+1
ЛЯ) = (/Я) 2 exp
2я-1 а -
'Л X w'k ¡2tfp(x)dx
k=n О
~(x, t) Uo( g) Ui( ~)
U2n—\СУо) "' U 2n-\ (У2п-1) Д(Я) = \ük (yj )|
U2n-l{g)
Дадим оценку для ядра резольвенты спектральной задачи Я0 в нерегулярном случае
R 0( x, t,Ä)\ =
H(x,t,X)
A(A) 1
Q/(Я)
I j,k=0,2n-l
В выражении Uk (g(x, t)) функционал Uk применяется по переменной x .
C[l] + ea<y'n-\-w'n ß
£ |^|2n2-2n(g1+l)+l
C[l] + Л2"^2 ~qi V1 1 ~w" 4
1
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2008. № 6
Получим оценки для каждого сектора Тк, приняв во внимание [4].
I. Л <вТк , к = \,п :
с м1+(2и-2)и-М12и
С[1] + Л2пе2'Л№^
II. Л&Тк , к = п +1,2п :
R (x,t,X)
III. Л<ЕТк,к = 0,п-\\
„ I 0|1+(2и-2)и—и-А-12и
С2И
R (x,t,Ä)
C[l] + ft"e~2aWkd
IV. Я е , Л = «,2« -1:
R (x,t, Л)
сш+Л-2^
ных оценках примут вид
\П—1
СЩ + ^е2^
5 еГп
где С — —
(±'У
2n
-C(p,q), причем знак «+» перед мни-
2n- 2
2n j ( np+ 12\Р ск С 2n~(k+p-2) +
а= Z C2»C2«
р=0 f^l Р к=2 ^ \2и >
2n- 2щ12
V2n -т V2
>-2
V:
3 Z сЧт^) 1 3 Р = 2 V1 p 2
>
2n J
p+12^Р^к г-*2n-(k+p-2)
V2nV2n
\2n J
k=2
argV
+ argC d 2 d
2d
\
+ г Ims =
J+iO^"-1], 0<or<l,
s2n=N 2n-|q|-(+ ON
1+a лги . 2n 2isd
, C[lJ + s e
= e'argC J[l] + (+ О Je~2dlms
Отсюда можем заключить, что на контуре I
с[1]+Л2Ы
> А > 0, при этом, если Ims > ^Le
N 'а
то
Sq-\£2isd
• 0 при Re s
C[\\ + s2ne2lsd
со. Поэтому вне доста->В> 0.
точно большого круга
Если степень 5 отрицательна, то во всем секторе
C[1] + s2ne2isd
>у> 0.
max
к
После замены переменной знаменатели в получен-
Окончательную оценку ядра резольвенты на специальных контурах Гдг получим в следующем виде:
- С|д|2и2_2и+1 , так как
1 + (2п - 2)п-\п- к\2п 1 + (2п - 2)п - \п - к- 1|2и|
к = 1_2п к = 0_2п_~1 |
= 1 + {2п - 2)и.
Лемма. В комплексной плоскости Л = сг+гт существует последовательность расширяющихся
замкнутых контуров IV , на которых ---
дх1
равномерно по 0 <х<а, ()<(< а допускает оценку
мой единицей берется при Л е , «-» - для секторов
Тк ; С{р, ц) = ар(2п) (а) + /Зц{а) Ф 0, где
¿2 >
\2 _
к=2
д1Я°(х,1,Л)
dxl
<C\Ä\2n2~2n+l+l, 0<1<2п-\.
(причем Х(...) = 0 при /'> у), /? = (-1)и.
I
Разделив сектор 70 при |\| > V на две области: 1т5- < , 1т5- > и определив контур Гдг
условием и Яс .V = N > N0 в области
1тл < ^с .V ^ на контуре I 'у , получим
Автор выражает благодарность научному руководителю, профессору Г.А. Айгунову за постановку задачи, постоянный интерес к работе и полезные обсуждения.
Литература
1. Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойствах ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора 4-го порядка на римановой поверхности // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201. № 5. С. 1025.
2. Айгунов Г.А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2и-го порядка на полуоси // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213. № 5. С. 1001-1004.
3. Айгунов Г.А. Спектральная задача типа Т. Редже для обыкновенного дифференциального оператора 2и-го порядка // Функц. анализ. Теория функций и их приложения. Вып. 2.
4. I. Махачкала, 1975. С. 21-41.
4. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2и-го порядка на полуоси // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 5. С. 14-19.
Поступила в редакцию
29 октября 2007 г.
s =
d
