CC BY
9НАУЧНЫЕ СТАТЬИ
Гидрометеорология и экология № 3 2017
УДК 551.515.532.5.18
Канд. техн. наук И.Г. Гуршев 1
ИЗМЕНЕНИЕ МАССЫ ПЕСКА В ВОЗДУШНОМ ПОТОКЕ ВО ВРЕМЯ ПЕСЧАНОЙ БУРИ
Ключевые слова: масса песка, песчаная буря, уравнения
Получено уравнение изменения массы песка в двухфазном потоке во время песчаной бури на основе рассмотрения процесса поступления частиц песка в поток и их выпадения из потока. Решение уравнения даёт функцию для расчета увеличения массы песка в приземном слое атмосферы во времени M = M0exp[л(t -t0)] при
использовании начальных условий t = t0 , M = M0. Выполнены числовые оценки временного роста массы песка. Определяется минимальный размер подвижных частиц песка, проникающих в воздушный поток при появлении критической скорости ветра.
Выявление связей между характеристиками частиц песка и переносимой во время песчаной бури массой песка является важной задачей. Для решения этой задачи необходимо предварительно получить уравнение изменения массы песка в двухфазном потоке. Вывод уравнения будем выполнять для выделенных из общей массы полидисперсного песка частиц с размером х .
Пусть лежащие на песчаной поверхности частицы песка имеют размер х , критическую скорость ик , а также скорость свободного гравитационного падения ^ . Пусть число таких частиц будет N . Во время
песчаной бури, на некоторой высоте над песчаной поверхностью появляется критическая скорость воздушного потока. По порядку величины эта высота составляет 10-2 м [4]. Измерения показывают, что значение критической скорости потока имеет порядок ик ~ 1 м-с"1. Согласно исследованиям [2, 4] по достижении ветром критической скорости ык, лежащие на поверхности частицы песка поступают в воздушный поток. Таким обра-
1 г. Санкт Петербург, Россия
41
зом, возникает поток твёрдого вещества, который характеризуется величиной массового расхода.
Одна частица песка во время поступления в воздушный поток переносит вещество через величину площади, равной площади сечения этой частицы. Площадь сечения S частицы пропорциональна квадрату размера
х этой частицы, т.е. £ = ах2 . Здесь а - безразмерный коэффициент. Массовый расход вещества q при переносе его одной частицей равен
q = рах ик, (1)
где р - плотность вещества частицы песка.
Обозначив квадратными скобками, размерность величины q, получим что равенство (1) имеет размерность массового расхода [5, 6], т.е.
кг • м2 • м кг
щ] =-3-= — . Плотность вещества р определяется как частное от
м • с с
деления массы частицы т на объём частицы V . С другой стороны, объём
частицы V связан с её размером X следующим образом V = ах3. Таким образом, массовый расход вещества равен
ах 2и,т ти, q =-3— =-^. (2)
ах х
Выражение (2) имеет размерность массового расхода, т.е. кг • м кг
=-= —. Умножая обе части равенства (2) на число частиц N ,
м • с с
поступивших в воздушный поток, получим формулу массового расхода вещества q1 при переносе его N -ым количеством частиц песка
,г Nmщ Ми,
q1 = Щ =-- =-- . (3)
х х
Величина М = Nm является массой всех частиц с размером х в двухфазном потоке, т.е. движущейся массой песка М . Выражение (3) также имеет размерность массового расхода. Таким образом, массовый расход песка, поступающего в воздушный поток с песчаной поверхности равен
Ми,
qx =-к-. (4)
х
Переносимые воздушным потоком частицы песка будут осаждаться на поверхность на некотором расстоянии от мест их попадания в поток.
42
Предположим, что масса песка М1, оставшегося в потоке, пропорциональна массе песка М попавшего в двухфазный поток, т.е. М1 = кМ , причём к < 1, безразмерная величина. Тогда масса М2 выпадающего из потока песка равна М2 = М - кМ = (1 - к)М = пМ . Здесь п < 1 - безразмерный коэффициент пропорциональности.
Массовый расход q2 выпадающего из потока песка, по аналогии с равенством (4) равен
q2 =
М 2 Wg
nMw„
(5)
Полученное равенство (5) имеет размерность массового расхода. Обозначив величину бесконечно малого интервала времени как dt, имеющего размерность времени, получаем, что произведение q1dt имеет
Ми,
размерность массы, т.е.
х
кг • м • с
м • с
= кг . Произведение q2dt
также имеет размерность массы.
Таким образом, бесконечно малое изменение массы песка dM в слое движущегося двухфазного потока за бесконечно малый интервал времени dt определяется разностью масс поступающих в поток частиц и выпадающих частиц песка
Ми nMw dM = --g-dt.
(6)
хх
Отметим, что обе части равенства (6) имеют размерность массы. Из формулы (6) получаем такие соотношения:
сМ М,
—77= — (ик - nwg ) аХ х
х =
ик -
СМ ССХ
х
= ЯМ
(7а) (7б )
(7* )
(7)
Решение дифференциального уравнения (7в) при использовании начальных условий Х = Х0, М = М 0 имеет следующий вид:
М = М 0ехр[л(х - Х0)].
(8)
43
Необходимо отметить, что размерность функции Я равна [X] = с- .
Величины ык и wg являются функциями размера частиц песка X . В работе [2, 4] обсуждается равенство следующего вида:
ик = А^, (9)
где А ~ 0,1 - безразмерная постоянная, g - ускорение свободного падения, X - размер частиц в мкм. Равенство (9) является экспериментально полученной в лабораторных условиях зависимостью и выполняется для частиц песка с размерами 70...410 мкм. В дальнейших расчетах будем использовать равенство (9).
В лабораторных условиях для скорости свободного падения частиц песка wg было получено такое эмпирическое уравнение [3, 4, 7]
wg = 6,5-Ш-2^-1,27, (10)
где g - ускорение свободного падения в м/с, X - размер частиц в мкм.
Равенство (10) выполняется для частиц песка из различный районов Аральского региона с размерами 70...315 мкм [3, 4, 7]. Отметим, что в формуле (10) величины wg и 6,5 -10 2 имеют размерность скорости. Согласно работе [6] однородные величины можно складывать и вычитать. Поэтому и число 1,27 также имеет размерность скорости, т.е. 1,27 м-с"1.
Таким образом, величина М является функцией времени t и размера частиц X . Из зависимости (8) находим значение переменной х1, определяющей экстремум функции М(/, х) . Для определения экстремума
функции М по переменной X , находим выражение для производной и выполняем условие существования экстремума [1], то есть, имеем такое равенство:
dM ^ / \ёЯ г,/ у| ~ — = М0 ^ - ^)— ехрЯ - ^ )]= 0. (11)
dx dx
сЯЯ
Так как М0 Ф 0, t - t0 Ф 0, ехр[Я^ - to)] Ф 0, то получаем — = 0
dx
В развёрнутом виде функция Я(X) такова
Я^) = А ^ - п ■ 6,5 ■10-%/^ + 1,27гсс-1. (12)
V X V X
44
Из равенства (12) получаем следующие результаты
Я = +п• 6,5_ 127п = 0 (13)
ёх х2 '
_(А _ п • 6,5 •10_2У^х = 2п • 1,27, (14)
(А _ п • 6,5 • 10_2 )2 & = 4п2 • 1,272. (15)
Из равенства (15) находим значение переменной хх, которая определяет экстремальное значение функции М , т.е.
4п 21,272
х = т:-'—гг". (16)
(А _ п • 6,5-10_2) %
2 _2 ж • с
[1 ж ■ с
х1 ] =-— = ж , так как размерность
ж • с
экспериментальной величины 1,27 равна ж • с 1. Если допустить п = 0,7, А ~ 0,1, и принять % * 10ж • с_2 , то по формуле (16) вычисляем х1 * 102 жкж. Найденное значение размера частицы находится в вышеуказанных пределах. С другой стороны, наиболее подвижными частицами песка, по-видимому, являются частицы с размерами 90...144 мкм [3, 4]. Полученное значение х1 * 102 жкж также находится внутри указанного интервала размеров, что показывает на возможность поступления таких частиц в воздушный поток при появлении в нём критической скорости ветра.
Для определения типа экстремума используем зависимость (8). Находим равенство для второй производной функции М
ё2 Я ( йЯЛ2 / \
— + | —I (^0 )
ё М „ , ч — = М 0 ^)
ё2 , ё , V и, ехр[я(г_^0)]. (17) Из равенства (13) имеем такую формулу для первой производной функции
Я( х)
— = I _ 0,5 + 0,5п • 6,5 • 10_2д/% _ 1,27п-^1. (18) ёх д/х3 ^ д/х)
Проведём числовую оценку слагаемых в выражении (18) по порядку величин для точки х1 = 102 жкж. Принимая п = 0,7 , А ~ 0,1, % * 10 ж • с_2,
получаем такие результаты:
0,5* _ 0,15 , 0,5п • 6,5 • 10^7% * 0,07 ,
45
-1,27п—^ « -0,09 . Сумма слагаемых в формуле (18) равна -0,17. Окон-^JX
чательно получаем следующее значение выражения (18) в точке x1 равное 3-10-8 > 0.
аях (-0,17^ , .л-8
аыу V 1023у
Для второй производной функции я(X) находим такую формулу
а1Я 1 Г 3А^ 3п ■ 6,5-ш-2^ + 254п 1 ^
dx2 Л/X5
4 4 Jx
(19)
у
Выполняем оценку слагаемых в выражении (19) по порядку величин для точки x1 при условии п = 0,7 , А ~ 0,1, g « 10 м ■ с~2 и получаем такие ре-
3 3
зультаты: ^ А^ « 0,23 ; - ^ п ■ 6,5 -Ш-2^ «-0,11 ;
2,54п --^ « 0,18.
Таким образом, сумма слагаемых в формуле (19) равна 0,3 и является положительным числом. Кроме того, необходимо отметить, что величина 1
также является положительной. Значит, в точке X = x1 выполняется
Щ> 0
V dx у
а я
такое неравенство —— > 0 . Так как М0 > 0 , t - t0 > 0
—Я > 0, ехр[я^ -10 )] > 0 , то из формулы (17) следует, что-— > 0 .
dx2 dx
Таким образом, функция М (X, /) имеет в точке X = x1 минимум [4].
С помощью равенства (16) находим формулу для оценки значения
функции я(X) в точке X = x1 . Согласно равенствам (9, 10) получаем
ик1 = , nwg1 = п - 6,5 -10-2 у^! - 1,27п и определяем формулу для
оценки значения я(x1), т.е.
я( x1) = иа-П^ = 3(а - п - -'0-2 )2 g. (20)
x1 5,08п
46
Проведём числовую оценку значения по порядку входящих в формулу (20) величин. В случае n = 0,7 , A ~ 0,1, g&10 м ■ с~2 находим \ & 0,0027 c—1 . Согласно формуле (8) получаем зависимость M1 = M01 exp[0,0027(t -10 )]. Приняв t -10 = 600 c , получим следующий результат M1 = M01 exp[0,0027 ■ 600] = M01 exp1,62 = 5,05M01 . Высокое увеличение первоначальной массы песка в потоке происходит за более длительный интервал времени. При t —10 = 1 час = 3600 с находим
Mx = M01 exp[0,0027 ■ 3600] = M01 exp9,7 = 16318^ M01.
Таким образом, во время песчаной бури происходит значительный рост загрязнения песчаным аэрозолем приземного слоя атмосферы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. - М.: Наука, 1981. - 720 с.
2. Бютнер Э.К. Динамика приповерхностного слоя воздуха. - Л.: Гидро-метеоиздат, 1978. - 158 с.
3. Каипов И.В., Семенов О.Е., Шапов А.П. Песчано-солевые бури в При-аралье // Гидрометеорологические проблемы Приаралья. / Под ред. Г.Н. Чичасова. - Л.: Гидрометеоиздат, 1990. - 276 с.
4. Семёнов О.Е. Введение в экспериментальную метеорологию и климатологию песчаных бурь. - Алматы: ИП Волкова Н.А., 2011. - 580 с.
5. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. - М.: Наука, 1988. - 430 с.
6. Чертов А.Г. Физические величины (терминология, определения, обозначения, размерности, единицы) / Справ. пособие - М.: Высшая школа, 1990. - 335 с.
7. Шапов А.П. Об определении гидродинамической крупности частиц реального песка // Тр. КазНИИ Госкомгидромета. - 1987. - Вып. 99. - С. 43-46.
Поступила 26.05.2017 Техн. гылымд. канд. И.Г. Гуршев
;¥МДЫ ДАУЫЛ КЕЗ1НДЕ АУА АГЫМЫНДАГЫ ;¥М САЛМАГЫНЬЩ 0ЗГЕРУ1
TYÜiHdi свздер: ^¥м салмагы, ^¥мды дауыл, тецдеу
47
KyMdbi daybin Ke3inde eKi $a3anbiy asbwda y.M canMasbinbiy 0згeрy meydeyi yy.m 6enmeKmepiniy asbrnsa mycy wdne asbrnnan Mbisy npo^cmepin yapacmbipy нeгiзiндe anmndbi. Teydeydi memy wep 6emi aya yadambindazbi y.M canMasbinbiy rndewin M = M0exp[^(t-10)]
yaybimma, anzamybi mapmmapdb t = t0 , M = M0 , yondany apybinbi
ecenmey $yn^uacbin 6epedi. K.m canMazbi yaybimmbiy ecyiniy candmy Qagamympbi opmndandm. №eKmi wen wbrndaMdbizbi nauda 6omanda aya asbiMbina enemin wbinwbwanbi y.M 6enmeKmepiniy MunuMandbi enmeMi anbiymanadbi.
Gurshev I.G.
CHANGE OF THE SAND MASS IN THE AIR FLOW DURING
SANDSTORM
Keywords: mass of sand, sandstorm, equations
The equation of sand mass change in a two-phase flow during a sandstorm is obtained on the basis of consideration of the process of sand particles entering the flow and their precipitation from the stream. The solution of the equation gives a function for calculating the increase in the mass of sand in the surface layer of the atmosphere in time using the initial conditions. Numerical estimates of the temporary increase in the mass of sand are performed. The minimum size of mobile sand particles that penetrate the air flow when the critical wind speed is detected is determined.
48
