Излучение цилиндра, возбуждаемого нитью стороннего тока Текст научной статьи по специальности «Физика»

V. V. Leontyev, M. A. Borodin

Saint Petersburg state electrotechnical university "LETI" L. I. Bogin

Central research and development institute named acad. A. N. Krylov

Electromagnetic waves low grazing angle forward scattering from rough surface

The method which describes the electromagnetic waves low grazing angle forward scattering from rough surface is suggested.

Radiolocation, radiocommunication, low grazing angle, forward scattering, rough surface

Статья поступила в редакцию 25 декабря 2006 г.

УДК 538.30:516.6

И. Н. Зражевская

Центральный научно-исследовательский институт им. акад. А. Н. Крылова

Излучение цилиндра, возбуждаемого нитью стороннего тока

Рассматривается излучение бесконечного цилиндра, возбуждаемого нитью стороннего тока, параллельной его оси. Строгое решение задачи проводится методом собственных функций в дуговых координатах, введенных автором ранее1. Полученное решение позволяет выявить особенности первичного поля и вычислить характеристики направленности кругового и эллиптического цилиндров, возбуждаемых электрическим сторонним током, в плоскости их нормального сечения.

Бесконечный цилиндр, резонанс излучаемого поля, распространение электромагнитных волн, характеристики направленности

Рассматривается бесконечный цилиндр, возбуждаемый нитью стороннего электрического тока, параллельной оси цилиндра, направленной вдоль оси z . Необходимо определить излучаемое электромагнитное поле, удовлетворяющее уравнениям Максвелла и граничным условиям. Пространство вне цилиндра, поверхность которого определяется уравнением yi = а, однородно и изотропно с параметрами si, а^ = 0. Составляющие векторов напряженности полного поля находятся методом собственных функций в дуговых координатах [1].

Поскольку цилиндр возбуждается нитью тока, поперечное сечение которой стягивается до нулевого вокруг некоторой точки на плоскости z = const, то объемную плотность тока удобно описывать с помощью дельта-функций. В этом случае плотность стороннего синфазного электрического тока в дуговых координатах

jz = J3z 8 (4- b) 8 (s2-g) (1)

выражается через линейную плотность тока, протекающего по нити J3 , и дельта-функции 5 (•) радиальной s' и угловой s'i дуговых координат точки на плоскости, через кото-

1 См.: Зражевская И. Н. Уравнения Максвелла в дуговых координатах // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2002. Вып. 1. С. 3-11.

14 © Зражевская И. Н., 2007

рую проходит нить тока. Нить стороннего тока, параллельная оси z цилиндра y = а, расположена в окружающем его пространстве на координатной цилиндрической поверхности y = р (т. е. в>а, рис. 1). Сторонний ток jz

возбуждает единственную составляющую Az векторного потенциала электромагнитного поля, независимую от координаты z и удовлетворяющую в дуговых координатах неоднородному уравнению [1]:

(а2Az!dsl) + (а2aJdsl) + k2Az =-jz (si,), (2)

где дуговые координаты изменяются в пределах 0 < si < -¡2 < S2 < ¡2 и определяются выражениями

У1

si = J hi [x, У2 (ф) = const] dx; 0 < y <+o>;

0

ф

S2 = Jh2 [У1 = const, У2 (x)] dx; 0 < ф < n; (3)

0

n

¡2 = \h2 [У1 = const, У2 (ф)] dФ. 0

Здесь У1, У2 - криволинейные ортогональные координаты на плоскости z = const;

hi, h2 - метрические коэффициенты Ламе; k2 = ю2цв = ю2цв'[1 -iа/(юв')] - волновое число; ц, в' - абсолютные значения магнитной и диэлектрической проницаемостей; а -удельная электрическая проводимость среды. Зависимость от времени определяется функцией exp (+mt).

Составляющая векторного потенциала, возбуждаемая электрическим сторонним током (1), связана с составляющими векторов электромагнитного поля следующим образом [1]:

Ez = -m^Az, Hi = dAzlds2; H2 = -(dAzldsi); Ex = E2 = Hz = 0. (4)

Граничные условия для Az на поверхности цилиндра yi = а , разделяющей две среды, необходимые для получения общего решения уравнения (2), вытекают из граничных условий для касательных составляющих векторов электромагнитного поля Ez и H2 (4):

Hi ( Апад + Аотр ) = H2Апр ; (дАпад /ds1) + (дАотр/ds1) = (дАпр/ds1)2 (5)

при si (У1 =а ) = a; - ¡2 (а ) < S2 < ¡2 (а ), где

z

Jz

--I--

-Ч--

•Г "

J У =Р

I/

! У1 =а

s2

»Jq

__ _j_90 /г

s1

У-

•1-180

"270 s Рис. 1

Ф

2 Индексы "пад", "отр" и "пр" указывают на падающую, отраженную и прошедшую волны соответственно.

a = (а) = J\ [У2 (ф) = const]dy^, 0 <ф<л; ¡2 (а) = jhj [y\ = a,yj (ф)]dф. 0 0 Первичное поле стороннего источника. Составляющая векторного потенциала Az первичного поля, возбуждаемого нитью электрического тока с плотностью jz (1), является частным решением неоднородного уравнения (2). Непериодическая функция стороннего тока задана на плоскости z = const в промежутке значений -¡2 (в) < sj < ¡2 (в), где п

¡2 (в) = \h2 [У 1 = P, У2 (Ф)] dФ - полупериметр нормального сечения координатной цилин-0

дрической поверхности yi = р, на поверхности которой расположена токовая нить, плоскостью z = const. Поскольку jz является четной функцией ¿2, она может быть разложена в ряд Фурье по косинусам:

q 2 ¡2 (Р)

jz (sl, s2 ) = q0 +Z qm cos [wm (P)s2]; qm (s1) = Т7в\ I jz c0s [wm (P)s2] ds2 , (6)

2 m=1 ¡2lPJ 0

где wm (p) = mn/¡2 (P) - собственные значения задачи.

Использование основного свойства S-функции при вычислении интеграла (6) дает

qm (s1) = J S (s1 - b){cos [Wm (p)g\/h (P)}, (7)

где

P Ф0

b = s1 (P) = \h1 [ Уl, У2 ( ф )=const ] dy1; g = s2 (Ф0) = J h2 [ У1 = P, У2 ( ф )]d ф (8) 0 0

- расстояния вдоль криволинейных координатных линий ¿1 и ¿2 до точки У1 = р; У2 = У2 (Ф0 ) на плоскости z = const, через которую проходит нить линейного тока.

Решение для составляющей векторного потенциала первичного поля Az = Апад записывается в виде аналогичного разложения:

5 (s )

Апад (s1, s2 ) = 2 + ^ Rm (s1)cos (wms2) . (9)

m=1

Подставив (6), (7) и (9) в уравнение (2), придем к обыкновенным дифференциальным уравнениям для коэффициентов разложения:

Rm + kmRm = -qm , (10)

,2 ,2 2

где km = k - wm - волновые числа парциальных волн номера m, распространяющихся вдоль радиальных координатных линий ¿1 в рассматриваемой среде.

Частные решения для коэффициентов разложения определяются методом вариации произвольных постоянных в общих решениях однородных уравнений, соответствующих (10). Вид частных решений, полученных в системе криволинейных координат: 16

^(* >=+и» км Ж]

■ехр[^-кт (р)ъ]}, Ъ < ¿1 + ехр [кт (р)Ъ - кт\ ]}, Ъ > > О,

указывает на два важных свойства первичного поля. Эти решения описывают парциальные волны, бегущие в двух направлениях. Верхняя строка - "уходящие" волны, расходящиеся от цилиндрической поверхности У1 = р, на которой расположена нить стороннего

тока. Эти волны определяют характер поля при ¿1 > Ъ : оно удовлетворяет условию излучения в дальней зоне (при ). Нижняя строка - "приходящие" волны, сходящиеся к началу координат, вокруг которого предполагается расположение возбуждаемого полем этих волн цилиндра у = а. При этом движение парциальных волн вдоль радиальных координатных линий ¿1 существенно зависит от характера данных линий и соответствующей им метрики (см. формулы (3)). Поэтому несмотря на то, что вычисление первичного поля заданного стороннего тока происходит в неограниченном пространстве, оно непосредственно связано со свойствами криволинейных координат, выбираемых в зависимости от формы тела, вторичное поле которого необходимо определить.

Помимо этого выражение (11) для коэффициентов разложения описывает резонансные свойства парциальных волн первичного поля, поскольку стоящее в знаменателе произведение кт (р)¡2 (Р) = ¡2 (Р)\/к2 -^ (Р) = п^(к/2 (р)/п)2 -т2 в среде с малыми потерями обеспечивает максимальное значение амплитуды той гармоники этого поля, целое число полуволн которой укладывается на полупериметре нормального сечения цилиндрической координатной поверхности у = р, т. е. если ¡2 (р) = т X/ 2.

Составляющая векторного потенциала первичного поля, распространяющегося от координатной поверхности у = р к началу координат, в соответствии с (9) и (11) представляется формулой

Лпад (¿1, ¿2 ) =

^ [+ ГГ^а^'ехр{-'[кт (в)Ъ-кт^,]}). 02)

Это выражение описывает сумму парциальных волн, бегущих вдоль радиальных линий ¿1, и волн, расходящихся в обе стороны от нити тока (фо ± ф) навстречу друг другу

вдоль угловых координатных линий ¿2 (в) и образующих при резонансе одной из них стоячую волну.

Возбуждение цилиндра первичным полем стороннего источника. Решение для составляющей векторного потенциала Л2, учитывающее влияние граничной цилиндрической поверхности у = а, представляется в виде такого же разложения (ср. с (9)):

Ко (¿1,4)

Лг (¿1,¿2) = ^ 1 + X Кт (¿1,¿1)СОВ(и^2), (13)

т=1

т. е. Л2 представляет собой либо сумму первичного и вторичного полей в первой среде, либо (при < а) поле во второй среде, прошедшее внутрь цилиндра. Коэффициенты разложения (13) являются общими решениями уравнений (10) и определяются граничными условиями задачи (5).

Общее решение уравнений (10) в первой среде (¿1 > а) будет

к1ш (% ) = Щт (% ) + Вт ехР (-к1т^1), (14)

где &1_т — коэффициенты разложения первичного поля, падающего на граничную цилиндрическую поверхность (нижняя строка (11)), а постоянные Вт характеризуют волны вторичного поля, отраженного от цилиндра и распространяющегося в бесконечность. При этом предполагается, что граница раздела сред вдали от излучающей системы отсутствует, а следовательно, отсутствуют и волны, приходящие из бесконечности.

Если свойства второй среды таковы, что отражением от второй (дальней) границы раздела сред внутри цилиндра можно пренебречь (при достаточно высокой проводимости а 2), решения во второй среде (¿1 < а) имеют вид

К2т (¿1) = Вт ехР ( +1к2тЧ ), (15)

где постоянные Бт характеризуют волны, прошедшие внутрь цилиндра > = а .

Граничные условия для коэффициентов разложения (14) и (15) следуют из граничных условий для составляющей векторного потенциала (5):

= М-2К2т; Щт/Ж1 = ^2тМ1 (16)

при = а.

Удовлетворив условия (16), получим £>т = (т/^2 )(а Ь) ехР [-к2т (а)а]; Вт = гт&т (а Ь) ехР [_+1кЫ (а)а] , (17) где Ят (а, Ь) - значения коэффициентов разложения (11) на поверхности цилиндра > = а;

^ = 2Ч2т/ (Ч2т + Чт ), гт = (Ч2т - Чт )/(Ч2т + Чт ) и Чт ) = кт (а) - коэффициенты прохождения внутрь цилиндра, отражения от него и поверхностное сопротивление для парциальных волн номера т при возбуждении цилиндра электрическим сторонним током. Если цилиндр >1 = а обладает идеальной проводимостью (^ ^ ), то гт = -1.

Формулы (11)—(17) позволяют записать общее решение для составляющей векторного потенциала полного поля в первой среде3, наблюдаемого на произвольном расстоянии ¿1 > Ь от цилиндра > = а :

Л (¿1, ¿2 ) = кеХР^ + 2 С05 [^ (в) * ] "»( ) ^ ехр (-к^ )1, (18)

^ ; ^0 2^/2 (в) т=1 кт (в)¡2 (в) ^ п т 1 \

где

бо = ехр (+гкЬ ) - го ехр [+гк (2а - Ь )];

бт = ехР \_+1кт (Р)Ь]- гт ехР |+г' [2кт (а)а - кт (в)Ь]}.

3 Далее индекс, указывающий на номер среды, в которой вычисляется поле, опускается.

18

Составляющие векторов излучаемого поля, возбуждаемого нитью электрического тока, связаны с составляющей векторного потенциала AZ (18) соотношениями (4). При наблюдении

этого поля в дальней зоне (s ^ да), где km ^ k [1], составляющие векторов поля имеют вид

Ez =-WH 2 = - J, Wk exp (-kj ) + £ [ "m №)g ]«"(Wm»2 > 1 .

z 2 ,z 1 U12k?2 (P) m=1 km (e)l2 (P) -m f (20)

H _, , exp(~/fa|) +2 eos ["m (e)g] sin (wms2 > Q

Hl - l2 ^m km (P)l2 (P) Q"

Из формул (20) следует, что вычисление вторичного поля, излучаемого цилиндром, возможно лишь при условии, если расстояние от возбуждаемой сторонним током поверхности y1 = в до границы раздела сред y = а относительно невелико и обусловлено неравенством km (в)b < 2km (а)a . По-видимому, возбуждение вторичного поля излучения цилиндра возможно только при выполнении этого условия.

Составляющие вектора поля, излучаемого бесконечным цилиндром, возбуждаемым нитью гипотетического магнитного тока, параллельной его оси, могут быть получены выполнением описанных ранее преобразований. При этом объемная плотность стороннего магнитного тока должна быть записана в виде

jz = Jmz 8 (S{- b ) 5 (4- g), (21)

где JM - линейная плотность магнитного тока; b и g представлены формулами (8). Единственная составляющая векторного потенциала Az , возбуждаемая этим током, удовлетворяет уравнению (2), а составляющие векторов поля, излучаемого цилиндром, связаны с составляющей Az соотношениями [1]: Hz = -irosAZ ; E1 = -dAZ¡ds^ ; E2 = +dAZ¡сЦ ;

H1 = H 2 = EZ = 0.

Граничные условия на поверхности цилиндра У1 = а для Az , вытекающие из граничных условий для касательных составляющих векторов поля Hz и E2, в этом случае имеют вид s1 (Anm + A0Tp) = s2Ajjp; dA^/+ 3A0Tp/= dAnpjпри s1 (a) = a .

Составляющие векторов излучаемого поля Hz и E2 в дальней зоне описываются формулами, аналогичными (20):

Hz = — E2 = J k exp (-iks1 J-Q-, + g C0S W (P) g ] C0S( Wms2 ) Qm 1 Z W 2 M-W n 1 {2k/2 (P) m=1 km (p)/2 (P) ^j' (22)

_ _ + . exp (-iksx) cos [wm (p) g] sin (wmS2 ) Q

El MZ l2 hm km (p) l2 (p) Qm •

где Qo и Qm определяются по (19). Однако входящие в них коэффициенты отражения имеют другие значения: rm = (zim - z2m )/(z2m + zim ); zm (a) = Wkm (a)/k. Поэтому если цилиндр возбуждается первичным полем магнитного тока и обладает идеальной проводимостью (^2 ^ да, Z2m ^ 0), то rm = +1.

Выражения (20) и (22) для поперечных составляющих поля (Ez, H2 в (22) и Hz, E2 в (22)) в дальней зоне позволяют вычислить характеристики направленности кругового и эллиптического цилиндров, возбуждаемых сторонним током с объемной плотностью (1) или (21).

Характеристики направленности цилиндра. Далее приведены результаты расчета характеристик направленности идеально проводящего цилиндра, возбуждаемого нитью электрического тока, параллельной его оси. Расчеты велись в двух системах координат -в системе кругового и в системе эллиптического цилиндров.

В системе координат кругового цилиндра y = r(0<r < ), y2 = ф(0<ф<л), Уз = z метрические коэффициенты \ = 1, ^ = r , h-$ = 1; длины дуг (см. (3)) ^ = r, S2 = гф , S3 = z; полупериметр нормального сечения цилиндра ¡2 =nr .

В системе координат эллиптического цилиндра y = ch (u), 0 < u <+ro, У2 = cos (ф),

0< ф < п, Уз = z ; метрические коэффициенты \ = h2 = fyl sh2 (u ) + sin (ф) (2 f - межфокусное расстояние), /23 = 1; длины дуг выражаются интегралами (3):

u --

sl = f í\ sh2 (x) + sin2 (y)dx - вдоль радиальной координаты u;

0

s2

u --

= f Ы sh2 (u) + sin2 (x)dx - вдоль угловой координаты ф ;

¡2 = 2 /еЬ (и) Е [еЬ 1 (и )] - полупериметр нормального сечения эллиптического цилиндра,

где Е (•) - полный эллиптический интеграл второго рода. При расчетах удобно перейти от значений координаты и к отношениям длин осей эллипса е в соответствии со следующими соотношениями: и = агеШ (е); еЬ (и ) = - е ; sh (и) = е - е , 0 < е < 1.

Выражение (20) для поперечных составляющих векторов поля излучения цилиндра в дальней зоне может быть записано в виде Е2 = -ЖИф = -Зэ (Жк/п) ехр (-¡кг )Ет (а, Ь, фо, ф),

где

Ь ( .,ггЛ Г (ъъ^ лгг.^ c°s(mP)cos(тф) Fm = — {exp (+1NB) + exp [ +1 (2MC - NB)J} + ^-, v -:

2B m=1 VB2 -m2

xp (+/Wb2 - m2 ) + exp +i (2mVc2 - m2 - N\Ib2 - m2 )_}; причем в системе координат кругового цилиндра M = 1; N = 1; C = ka; B = кЪ; P = 0 (фо = 0), а для эллиптического цилиндра M = na//2 (а); N = пЪ//2 (ß); С = к/2 (а)/п;

B = к/2 (ßVп; P = ng (Фо )//2 (ß).

Характеристики направленности представлены на рис. 2-5 зависимостью относительного модуля амплитуд А = |F|/|F| max и аргумента Ф = arg (F) от угла ф при заданном

значении B - C = (к/ п) [l2 (ß) -12 (а )] = 0.01.

20

0

А

0.5

0 30 60 90 120 150 ф,

Ф, рад 1 2

2 "П п

0 ]

- 2 г

- 4 1 1 1 1

0 30 60 90 120 150 ф,

А

0.5 0

90 120 Ф, рад

2

0

- 2 - 4

150 180 210 240 ф,

-1--2 ■

90 120

Рис. 2

150 180 210

Рис. 3

240 ф,

На рис. 2 и 3 представлены зависимости характеристик направленности эллиптического цилиндра от изменения формы (соотношения длин осей эллипса его нормального сечения): е = 1/2 (кривая 1), 1/3 (кривая 2), 1/4 (кривая 3). Нить стороннего тока располагалась на цилиндрической координатной поверхности, полупериметр нормального сечения которой В = 212 (Р)/^ = 9 99 . Графики на рис. 2 построены для ф0 = 0, на рис. 3 - для ф0 = л/2.

На рис. 4 и 5 характеристика направленности кругового цилиндра, возбуждаемого нитью тока, расположенной при ф0 = 0 (кривая 1), сопоставлена с характеристиками эллиптического цилиндра при ф0 = 0 (кривая 2) и ф0 = л/2 (кривая 3). При этом отсчет значений для кривых 1 и 2 велся от ф0 = 0, а для кривой 3 - от ф0 = л/2. Расчеты приведены для двух значений В = 2/2 (Р)/% : 1.99 (е = 3/4) (рис. 4) и 5.99 (е = 1/3) (рис. 5). Поскольку при расположении нити тока при ф0 = л/2 резонанс наступает только при четных значениях В, то и характеристики при ф0 = 0 для удобства сопоставления вычислялись при тех же значениях.

А

0.5

90 120 150 ф-ф0, Рис. 4

А

0.5

2........3

90 120 150 ф-ф0, Рис. 5

3

О

О

3

о

о

0

0

о

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 2======================================

Из приведенных на рис. 2-5 характеристик направленности кругового и эллиптического цилиндров видно, что число лепестков этих характеристик в точности совпадает с заданным числом полуволн B = 21 2 (Р)/X резонирующих парциальных гармоник, укладывающихся на полупериметре нормального сечения цилиндрической координатной поверхности y = р независимо от формы данного сечения. Это можно считать подтверждением отмеченного ранее механизма формирования первичного поля стороннего тока в направлении угловых координатных линий ^2, а именно: возникающие в окружающем возбуждаемый цилиндр пространстве стоячие парциальные волны обусловлены наложением двух волн одинакового номера, идущих навстречу друг другу по обе стороны от нити тока, расположенной в точке ф = фд цилиндрической координатной поверхности y = р . Стоячие волны устанавливаются во всем диапазоне азимутальных углов. Поэтому поле таких волн падает на возбуждаемый цилиндр не только с направления ф0, но и со всех азимутальных ракурсов ф0 ± ф, где ф изменяется от 0 до 180°.

Следует также отметить, что амплитуда поперечных составляющих векторов поля, излучаемого цилиндром, возбуждаемым нитью тока (как электрического, так и магнитного), не зависит от расстояния ¿1 до точки наблюдения в дальней зоне. Амплитуда продольной составляющей вектора этого поля обратно пропорциональна расстоянию, поскольку в данной области полупериметр нормального сечения цилиндрической фазовой (и, одновременно, координатной [2]) поверхности ¡2 (¿1 ) = nr . Таким образом, распространение поля, излучаемого цилиндром, возбуждаемым нитью тока, параллельной его оси, имеет тот же характер, что и поле излучения тела конечных размеров, возбуждаемого поперечным к направлению распространения сторонним током [3].

Библиографический список

1. Зражевская И. Н. Уравнения Максвелла в дуговых координатах // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2002. Вып. 1. С. 3-11.

2. Зражевская И. Н. Электромагнитное возбуждение выступа на плоскости кольцевой щелевой антенной. СПб. 2004. 19 с. Деп. в ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова 26.05.04 № ДР-3943.

3. Зражевская И. Н. О некоторых свойствах электромагнитного поля излучения // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2005. Вып. 4. С. 3-15.

I. N. Zrazhevskaya

Central research and development institute named acad. A. N. Krylov Radiation of the cylinder excited by indirect current filament

Radiation of the infinite cylinder excited by indirect current filament which is parallel to cylinder axis is examined. The vigorous decision of a problem is spent by a method of own functions in the arc coordinates entered by the author earlier. The derived decision makes possible to reveal peculiarities of a primary field and to calculate direction characteristics of the circular and elliptic cylinders excited by electric indirect current in their normal section plane.

Infinite cylinder, radiated field resonance, electromagnetic waves propagation, orientation characteristics

Статья поступила в редакцию 16 марта 2006 г.