Принцип Гюйгенса-Френеля в строгой формулировке Фурье Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 2======================================

A. F. Kardo-Sysoev

Physical technical institute named A. F. loffe (Saint Petersburg) A. D. Frontsuzov

Compani "Radar-MMS" (Saint Petersburg) A. N. Flerov

Baltic state technical university "Voenmekh" named D. F. Ustinov (Saint Petersburg) Super directive gain in case of radiation of ultra wide band short pulse signals

It is shown, that in the case of ultra wide band short pulse (UWBSP) signal, the peak directive gain strongly differs from average gain. It is shown that in case of radiation of ultra wide band short pulse signals directive gain is far higher than in harmonic wave having period of the fluctuation to equal duration bipolar UWBSP.

Ultra wide band short pulse signal, the peak directive gain, bipolar ultra wide band short pulse signal, super directive gain

Статья поступила в редакцию 20 марта 2009 г.

УДК 538.30:516.6

И. Н. Зражевская

Центральный научно-исследовательский институт им. акад. А. Н. Крылова (Санкт-Петербург)

| Принцип Гюйгенса-Френеля в строгой формулировке Фурье

Рассмотрено строгое решение задачи о первичном поле нити тока, облучающей удаленный бесконечный цилиндр. Установлено, что решение, выполненное методом Фурье в дуговых координатах, представляет картину поля, в основании которой лежат идеи Гюйгенса о вторичных источниках и идеи Френеля об интерференции излучаемых ими волн. На примере рассматриваемой задачи показано, что вторичные источники первичного поля, возбуждаемые на вспомогательной волновой поверхности, охватывают всю поверхность облучаемого цилиндра. Благодаря этой особенности первичного поля, облучающего выпуклое тело, вторичное поле на всей его поверхности подчинено законам отражения Френеля.

Первичное поле, вторичные источники, интерференция волн, законы отражения

Решение граничных задач электродинамики методом Фурье, проведенное в дуговых координатах [1], позволило проанализировать процесс формирования первичного поля, облучающего выпуклое тело. В результате стало очевидным, что метод Фурье дает строгую математическую формулировку свойств этого поля, основанную на идеях Гюйгенса-Френеля. В настоящей статье это показано на частном примере облучения бесконечного цилиндра нитью тока, параллельной его оси. Для иллюстрации общности идей указанных подходов решению Фурье предпосылается краткое изложение построений Гюйгенса, касающихся вторичных источников, и соединенного с ними представления Френеля об интерференции излучаемых волн.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Согласно принципу, сформулированному Х. Гюйгенсом в 1678 г. [2] и многократно описанному в фундаментальных курсах оптики и электромагнитных волн (см., например, [3]-[5]), каждую точку сферической поверхности, до которой дошло излучение первичного (точечного) источника, можно рассматривать как источник вторичных сферических волн. Огибающая этих вторичных волн определяет волновую

12

© Зражевская И. Н., 2009

поверхность в любой последующий момент времени. Принцип Гюйгенса основан на чисто геометрическом построении огибающих волновых поверхностей и подразумевает только прямолинейное распространение световых лучей. Однако представление Гюйгенса о том, что каждая точка некоторой (вспомогательной) волновой поверхности служит самостоятельным источником вторичных волн, оказалось исключительно плодотворным.

В 1818 г. А. Френель объединил идею Гюйгенса о возбуждении вторичных источников первичного поля и принцип интерференции когерентных волн, выдвинутый Юнгом. Френель показал, что синтеза этих двух принципов достаточно, чтобы объяснить явление дифракции на краю и на небольших отверстиях в плоском экране. Принцип Гюйгенса-Френеля, предусматривающий суммирование элементарных сферических волн, возбуждаемых вторичными источниками, позволил решить ряд задач с помощью построения "зон Френеля" при условии, что в каждой точке исходной волновой поверхности амплитуда и фаза вторичных источников заданы.

Уточнение принципа Гюйгенса-Френеля принадлежит Кирхгофу (1882 г.), который полагал, что этот принцип можно считать приближенной формой интеграла однородного волнового уравнения, выражаемого формулой, полученной при помощи теорем Грина. Однако формула Кирхгофа дает возможность вычислить дифракционное поле в точке его наблюдения лишь в том случае, если значения амплитуды и фазы вторичных источников интерферирующих сферических волн на произвольно заданной замкнутой поверхности известны. За неимением точных значений этих величин их назначают в значительной мере произвольно исходя из приближенных физических представлений.

Метод Фурье. Рассматривая дифракцию на отверстии в плоском непрозрачном экране, Френель полагал, что падающее на отверстие поле далекого от него источника действует так же, как если бы экран отсутствовал. Формула Кирхгофа, удобная для приближенного решения задач дифракции на плоских поверхностях с резкими краями, основана на том же предположении. Задание падающего поля в виде плоской волны оказалось хотя и небезупречным, но действенным способом приближенного решения большого и важного класса дифракционных задач.

Исследование явления дифракции на выпуклых телах различной формы также проводится при облучении этих тел удаленным источником первичного поля. Поэтому и в данном случае исходят из тех же приближенных соображений, полагая, что на поверхность дифрагирующего тела падает плоская волна [6]. Однако поле, излучаемое первичным источником, может считаться локально плоским на большом расстоянии от него только в случае, если оно распространяется в свободном (безграничном) и однородном пространстве. Утверждение, что оно остается плоским и вблизи выпуклого тела, облучаемого удаленным источником, из полученных решений не следует и является лишь предположением. Поэтому решения граничных задач методом Фурье, удовлетворяющие уравнению Гельмгольца и граничным условиям, но использующие указанное представление о характере первичного поля [7], [8], также приводят к приближенным результатам. Однако сложность аналитической формы решений, получаемых методом Фурье в ортогональных криволинейных координатах, затрудняет выяснение степени допустимости принятого приближения.

Упростить решение Фурье позволяет использование параметризованных переменных, которые могут быть названы дуговыми координатами [1], [9]. Они позволяют радикально упростить исходные уравнения электромагнитного поля, приведя уравнения Максвелла для составляющих векторов поля к каноническому виду, присущему им в декартовых координатах. Дуговые координаты представляют собой смещения вдоль координатных линий Sp, p = 1, 2, 3, на криволинейных поверхностях, образуемых системой ортогональных криволинейных координат yp, служащих параметрами дуговых координат.

Упрощение исходных уравнений Максвелла для составляющих векторов поля обязано присущим дуговым координатам локальным масштабам - коэффициентам Ламе hp вдоль

всех координатных линий Sp на криволинейных поверхностях yp = const. Это свойство

дуговых координат обусловлено "переносом" коэффициентов Ламе из уравнений Максвелла в структуру используемых переменных. Запись уравнений Максвелла в указанных координатах позволяет без затруднений разделить эти уравнения для каждой составляющей векторов поля в ортогональной системе координат yp , а также ввести в любой из них

векторные потенциалы по единому правилу.

Далее приводятся условия задачи и ее решение методом Фурье в дуговых координатах для первичного поля нити тока, расположенной в пространстве, окружающем бесконечный цилиндр2.

Условия задачи в дуговых координатах. Для фиксации положения нити стороннего тока относительно цилиндра и в дальнейшем для удобства формулировки граничных условий на его поверхности вводится цилиндрическая система координат yi, У2, Уз = z (рис. 1, а), где yj - радиальная координата, описывающая поверхность облучаемого цилиндра уравнением yj = а, а координатную поверхность,

на которой расположена нить тока, уравнением yj = Р (Р > а) ; y2 - угловая координата, являющаяся функцией угла ф (0 < ф < л:), а ось z системы цилиндрических координат совпадает с осью облучаемого цилиндра. Нить электрического синфазного стороннего тока jz, параллельная оси z, возбуждает единственную составляющую векторного потенциала электромагнитного поля Az

(Aj = A2 = 0), независимую от координаты z и удовлетво-

—к—'

ф = -90°

jz (b, g) s2 = l2/2

s2

S2 = 0

s2 =-12/2

б

Рис. 1

ряющую в дуговых координатах неоднородному уравнению [9]:

a2 Az I as2+a2 Az I asf+k2 Az = -jz (sb S2)

2 Решение этой задачи для вторичного поля бесконечного цилиндра, облучаемого нитью тока, приведено

в [10] и [1]. 14

(1)

где 0 < si < да и -¡2 < s2 < ¡2 - дуговые координаты; k2 = ш2дв = ш2дв'[1 - i (о/шв')] - волновое число (ш - угловая частота электромагнитных колебаний стороннего (первичного) источника; д, в' - абсолютные значения магнитной и диэлектрической проницаемостей среды распространения волны; о - ее удельная проводимость); зависимость векторов поля от времени определяется функцией exp (mt) . Дуговые координаты определяются выражениями (рис. 1, б)

У1

si = j hi [x, У2 (ф) = const] dx, 0 < y <

0 ф

s2 = jh2 [У1 = const, У2 (x)] dx, 0 < ф < л;

0 л

l2 = jh2 [У1 = const, У2 (Ф)] dФ-

(2)

ч2\

0

В выражениях (2) hi, h2 - метрические локальные коэффициенты Ламе; yi, У2 - ортогональные криволинейные координаты на плоскости z = const; ^ - полупериметр нормального сечения цилиндрической координатной поверхности У1 = const плоскостью z = const.

Составляющие векторов поля магнитного типа (относительно радиальной координаты его распространения si), возбуждаемые нитью электрического тока jz, связаны с векторным потенциалом Az выражениями [9]:

Ez = -ikWAz; Hi = dAz/&2; H2 = -(dAj dsi); Ei = E2 = Hz = 0, (3)

где W = yj^/в - волновое сопротивление свободного пространства.

Граничные условия для векторного потенциала Az на поверхности цилиндра У1 = а, облучаемого первичным полем (3), вытекают из граничных условий для касательных составляющих векторов Ez и H2 :

Mi ( Апад + Аотр ) = M2 Апр ; ^Апад / ^si + 5Аотр/5si ^пр/ 5si-Первичное поле в криволинейных координатах. Составляющая векторного потенциала Az первичного поля, возбуждаемого нитью стороннего тока jz , является частным решением неоднородного уравнения (i).

Полагая, что диаметр поперечного сечения нити тока близок к нулю, плотность тока jz может быть представлена дельта-функциями. В дуговых координатах sp объемная

плотность стороннего тока, постоянного вдоль координаты z,

jz (sbs2) = Jz§(si -b0)§(s2 -g) (4)

3 Индексы "пад", "отр", "пр" указывают на падающую, отраженную и прошедшую волны соответственно. В дальнейшем поля падающей и отраженной волн именуются также первичным и вторичным (или рассеянным) полями соответственно.

выражается через линейную плотность протекающего по нити тока Jz и дельта-функции в точке пересечения линий sj и S2, лежащих на плоскости z = const, где

Р Фо

b0 = s1 (р) = jh1 [УЬ У2 (ф = Фо )] ; g = s2 (Фо ) = j h2 [У1 = Р У2 (ф)] dФ .

0 0

Для получения частного решения уравнения (1) функция первичного источника jz (4) представляется в виде ряда Фурье по собственным функциям соответствующего ему однородного уравнения Гельмгольца. Собственные колебания возбуждаются на замкнутой цилиндрической поверхности yj = Р в интервале значений -/2 (Р) < S2 < I2 (Р), где I2 (Р) - полупериметр нормального сечения этой поверхности плоскостью z = const. Поскольку функция jz четная по переменной S2 , она может быть разложена в ряд Фурье по косинусам:

Jz (Sj, S2) = а0 + i ат (Sj) cos [Wm (Р) S2 (Р)]; (5)

ао + 2 i

m=1

2 /2 f, г ЛЛ^.о,* ^C0S [ Wm (Р) g]

am (s1 ) = Щ) j Jz c0s[wm (Р)x]dx = 2Jz5(s1 -b0)-Щ)-, (6)

где wm (Р) = mn//2 (Р) - собственные значения на поверхности У1 = Р .

Это разложение представляется суперпозицией гармоник - бесконечным спектром парциальных первичных волн, распространяющихся навстречу друг другу от одного и того же источника - нити тока, лежащей на этой же поверхности. Колебания таких волн когерентны, а следовательно, интерферируют между собой, создавая стоячие волны. Распределение стоячих волн на координатной поверхности y1 = Р (вспомогательной - по терминологии Гюйгенса) является распределением "вторичных" источников первичного поля, дающих начало дальнейшему волновому процессу. При этом поверхность y1 = Р , как и любая другая замкнутая координатная поверхность У1 = const в дуговых координатах, является поверхностью равных фаз, т. е. волновой поверхностью [1].

Решение для составляющей векторного потенциала Az представляется разложением, аналогичным (5):

Az (S1, S2 ) = + I Rm (S1) cos [Wm (Р) S2 (Р)] . (7)

m=1

Коэффициенты Rm этого разложения определяются подстановкой рядов (5) и (7) в уравнение (1) и приравниванием коэффициентов при собственных функциях cos [wm (Р) S2 (Р)]. Это приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям вида

Rm + kmRm = -qm , (8)

,2 ,2 2

где кт = к - wm - волновые числа парциальных волн номера т, распространяющихся

вдоль радиальных координатных линий Sj (k - волновое число, характеризующее частоту вынужденных колебаний первичного источника jz; wm - собственные значения, обусловливающие частоты собственных колебаний, возбуждаемых на волновых поверхностях yj = const, ортогональных к направлениям радиальных линий Sj).

Частные решения уравнений (8) определяются методом вариации постоянных:

Р

где b = |hj [yj, y2 (ф) = const] dyj - величина в общем случае переменная, зависящая от 0

угла ф, определяющего точки координатной линии S2 , проходящей через заданную точку

Из решения для коэффициентов разложения (9) векторного потенциала (7) следует, что первичное поле переносится в окружающее пространство вторичными парциальными волнами, берущими начало на волновой поверхности, возбуждаемой вторичными источниками, и распространяющимися вдоль радиальных линий ^ цилиндрической системы

координат. При этом парциальные волны распространяются от поверхности л = Р в двух радиальных направлениях - как в сторону бесконечных значений Ь < ^ < , так и в сторону начала координат Ь > 1 > 0.

Верхняя строка (9) - "уходящие" волны, расходящиеся от этой волновой поверхности в сторону однородного и безграничного пространства, где поле этих волн удовлетворяет при к^ ^ ^ условию излучения в дальней зоне и может считаться локально-плоским.

Нижняя строка - "приходящие" волны, сходящиеся к поверхности облучаемого тела, находящегося в окрестности начала координат. Как бы далеко от первичного источника облучаемое тело ни находилось, область вблизи от него нельзя назвать дальней зоной в привычном для этого понятия смысле. В отличие от поля в области дальней зоны, образуемой расходящимися волнами, структура поля сходящихся волн неоднородна - она имеет локальный характер. Это означает, что поле в каждой точке данной области зависит от формы и материала выпуклого тела. Заметим, что при облучении выпуклого тела с непрерывно меняющейся кривизной локальные свойства первичного поля в наибольшей степени проявляются вблизи его "острых" краев, где и возникают "краевые эффекты". В этом случае вполне

или, принимая во внимание (6),

(9)

первичного тока Sj = Ьз (yj = Р, y2 = ф0, z = const).

адекватной характеру поля сходящихся волн оказывается локальная метрика дуговых координат, обусловленная локальными масштабными коэффициентами Ламе (2). Далее приводятся выражения для векторного потенциала и составляющих векторов первичного поля только в области сходящихся волн, падающих на облучаемое тело, т. е. при Ь > > 0. Составляющую векторного потенциала (7) в этой области определяет нижняя строка (9):

Л

А (% ¿2 ) = 'Л

ехр [-/'к (Ь - ¿!)]

V

2112 (Р)

+|, [^^^¿2(Р)] ехр{-' [1» (Р)Ь -]}'

Это выражение представляет значение А2 на произвольном расстоянии между первичным источником и цилиндром у: = а.

При значительном удалении источника первичного поля (т. е. при кЬ ^ да, когда к12 (Р) = лкЬ ^да ) имеем к» (Р) Ь ^ кЬ ^ да и к» (Р) 12 (Р) ^ Щ (Р)^да, что позволяет

ехР [-/к» (Р) Ь] т

вынести сомножитель --—. . из под знака суммы. Тогда выражение для состав-

к» (Р) 12 (Р)

ляющей векторного потенциала первичного поля примет вид

А (¿1 ¿2 ) = -•!2 еХР [Г ) | 2 + 2 С°8 [(Р) 8] С°8 [(Р) ¿2 (Р)] ехР (+^»¿1) |. (10)

2 [ т =1 ]

Переход от векторного потенциала (10) к выражениям для составляющих векторов первичного поля выполняется соотношениями (3):

Е2 = — Jz ехр ЬкЪ) Д + 2 С°в [Ыт (Р) 8] С°в [Ыт (Р) ¿2 (Р)] ехР (+^»¿1)[;

2 [ »=1 ]

Н2 = 2 Л { 2 ^ С°в [Ы» (Р) 8] С°в [Ы» (Р) ¿2 (Р)] ехр (+/к»*1) |

I»=1

(11)

Н1=- к^Р)ехр (Ъ/кЪ) {»^ [ (р) 8 ] sin [ (р) ¿2 (р)] ехр (+^»¿1 )|.

Выражения (11) для составляющих векторов первичного поля представляют суперпозицию сходящихся парциальных волн, распространяющихся вдоль радиальных линий ¿1 в области Ъ > ¿1 > 0. Эта область занимает пространство между двумя волновыми поверхностями - от вспомогательной поверхности у1 = Р, возбуждаемой вторичными источниками Гюйгенса, до поверхности облучаемого тела У1 = а > 0 . Пути распространения волн, ортогональнык к волновым поверхностям, в геометрической оптике называют лучами, определяемыми как траектории, удовлетворяющие принципу Ферма. Следует отметить, что метод Фурье, использованный при определении выражений для первичного поля (11), (12), позволил:

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 2

• установить связь между заданным сторонним источником первичного поля и заменяющей его суперпозицией вторичных источников;

• однозначно определить значения амплитуд и фаз первичных волн на возбуждаемой ими волновой поверхности у1 = Р ;

• установить характер распространения парциальных волн, сходящихся от волновой поверхности у1 = Р к поверхности облучаемого тела.

Отсюда можно заключить, что метод Фурье при решении такого рода задач прямым путем приводит к строгой математической формулировке основной идеи принципа Гюйгенса-Френеля.

Сопоставление задачи, решаемой приближенно в предположении, что на выпуклое тело падает плоская волна [6], с задачей об облучении бесконечного цилиндра первичным полем удаленного от него источника, решаемой строгим методом разложения по собственным функциям в дуговых координатах, приводит к следующим выводам.

В случае, когда исходят из того, что выпуклое тело облучается плоской волной с заданного направления, на поверхности тела образуется две зоны - освещенная и теневая (с полосой полутени между ними). Основанием для применения приближенного метода обычно служит малость тех или иных параметров, присущих задаче. Одним из них является длина волны в пустоте в сравнении с главными радиусами кривизны поверхности облучаемого тела. В предельном случае малых длин волн на освещенной стороне тела могут быть применены законы геометрической (прямолинейной лучевой) оптики. При этом поле, отраженное от поверхности тела, с большой точностью подчиняется законам отражения Френеля. Однако за пределами освещенной зоны приближения, даваемого геометрической оптикой, оказывается недостаточно, и возникает проблема дифракции - огибания волной облучаемого препятствия, приводящая к большим затруднениям в выборе метода ее решения.

Метод Фурье, используемый при строгом подходе к решению поставленной задачи, изменяет установившееся представление о характере первичного поля, облучающего выпуклое тело. В процессе решения этой задачи становится очевидным, что сторонний источник первичного поля в согласии с принципом Гюйгенса сначала "выполняет" промежуточную функцию, которая состоит в возбуждении вторичных источников данного поля на некоторой (вспомогательной) волновой поверхности. И уже от этой поверхности распространяются парциальные волны, сходящиеся к облучаемому телу. Поле сходящихся волн освещает всю его поверхность, не оставляя на ней теневых участков. Вследствие такой особенности формирования первичного поля понятие о дифракции в "узком" смысле [6], рассматриваемой как огибание границы раздела между освещенной и теневой областями, теряет смысл.

Закономерности первичного поля, описываемые решением, полученным методом Фурье, характеризуются дифракцией в "широком" смысле, трактуемой как явления, происходящие при распространении волн в неоднородной среде [11].

Неоднородность среды, нарушающая прямолинейное распространение волн источника излучения (точечного или линейного), вызывается присутствием в ней облучаемого тела [12]. Присутствие тела в поле источника влечет за собой возбуждение в окружающем

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 2======================================

его пространстве вторичных источников Гюйгенса, дающих начало волнам, сходящимся к поверхности этого тела. При этом локальными, т. е. неоднородными свойствами обладают в равной степени как структура сходящихся волн первичного поля, так и окружающее облучаемое тело пространство (среда), отнесенное к дуговым координатам.

Возбуждаемое в этих условиях вторичное поле, как следует из [10] и [1], описывается коэффициентами отражения Френеля. Отражение поля по законам Френеля составляет основной закон геометрической (лучевой) оптики, определяющий амплитуды полей на границе раздела сред. Лучами, вдоль которых распространяются парциальные волны как падающего (первичного), так и отраженного (вторичного) полей, служат радиальные координатные линии, ортогональные к замкнутым координатным поверхностям рассматриваемой системы криволинейных координат, которые в дуговых координатах служат волновыми поверхностями.

Список литературы

1. Зражевская И. Н. Решение задач электродинамики в дуговых координатах. СПб. 2008. 75 с. - Деп. в ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова 28.03.08. DP № 4115.

2. Гюйгенс Х. Трактат о свете / ОНТИ НКТП. М.-Л., 1935. 171 с.

3. Ландсберг Г. С. Оптика. 5-е изд. Т. 3. М.: Наука, 1976. 926 с.

4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 855 с.

5. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М.: Сов. радио, 1957. 581 с.

6. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов. радио, 1970. 517 с.

7. Ваганов Р. Б., Каценеленбаум Б. З. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982. 272 с.

8. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.-Л.: Энергия, 1967. 376 с.

9. Зражевская И. Н. Уравнения Максвелла в дуговых координатах // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2002. Вып. 1. С.3-11.

10. Зражевская И. Н. Рассеяние цилиндра, облучаемого полем нити тока // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 4. С. 3-13.

11. Горелик Г. С. Колебания и волны. М.: Гос. Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1959. 572 с.

12. Хайкин С. Э. Волны // Физический энциклопедический словарь. Т. 1. М.: Сов. энцикл., 1960. С. 312-316.

I. N. Zrazhvskaya

Acad. A. N. Krylov central scientific research institute (Saint-Petersburg)

Huygens-Frenel principle in the Fourier strict formulation

Vigorous decision of a problem on a primary field of a thread of the current irradiating the remote infinite cylinder is considered. It is established that the decision executed by a Fourier method in arc coordinates represents a field picture based on Huygens ideas about secondary sources and on Frenel ideas about an interference of these sources radiated waves. On an example of a considered problem it is shown that secondary sources of primary fields cover the whole surface of irradiated cylinder. Owing to this feature of the primary field irradiating a convex body, a secondary field on its whole surface submits to Frenel reflection laws.

Primary field, secondary sources, waves interference, reflection laws Статья поступила в редакцию 10 марта 2009 г.