CC BY
1ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№3 (84) / 2023.
УДК 539.3
doi:10.24412/0136-4545-2023-3-44-60 EDN:JHSYGU
©2023. С.А. Калоеров1, А.В. Сероштанов2, А.Б. Мироненко3
ИЗГИБ ТОНКОЙ ЭЛЕКТРОУПРУГОЙ МНОГОСВЯЗНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
Решена задача электроупругости о поперечном изгибе полуплоскости с внутренними отверстиями и трещинами. При этом функции, голоморфные вне эллипсов, разлагаются в ряды Лорана по отрицательным степеням соответствующих переменных, а функции, голоморфные в нижних полуплоскостях, методом интегралов типа Коши выражаются через функции, сопряженные к указанным функциям. Определение неизвестных коэффициентов рядов осуществляется на основе удовлетворением граничным условиям на контурах отверстий и трещин обобщенным методом наименьших квадратов, приводящим задачу к решению переопределенной системы линейных алгебраических уравнений. Описаны результаты численных исследований для полуплоскости с различными отверстиями и трещинами. Установлены закономерности изменения напряженно-деформированного состояния плиты в зависимости от ее материала и геометрических характеристик отверстий и трещин.
Ключевые слова: электроупругая тонкая плита, полуплоскость, отверстия, комплексные потенциалы, интегралы типа Коши, обобщенный метод наименьших квадратов.
Введение. Тонкие пластинки из пьезоэлектроматериалов, которые широко используются в качестве элементов различных конструкций современной науки и техники, могут содержать отверстия и трещины [1—8]. Под действием различных механических сил и электрических полей около отверстий и тре-
1 Калоеров Стефан Алексеевич - доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: kaloerov@mail.ru.
Kaloerov Stefan Alekseevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
2 Сероштанов Александр Владимирович - аспирант каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: aleks.serosht@gmail.com.
Seroshtanov Alexandr Vladimirovich - Postgraduate, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
3Мироненко Андрей Борисович - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости и вычислительной математики имени акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: a.mironenko@donnu.ru.
Mironenko Andrey Borisovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
щин в таких плитах возникают высокие концентрации изгибающих моментов, что необходимо учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций. Наиболее достоверные результаты по определению электроупругого состояния (ЭУС) многосвязных плит с отверстиями и трещинами получаются при решении задач методами, использующими комплексные потенциалы теории изгиба электромагнитоупругих тонких плит [9]. Использование аппарата комплексных потенциалов дало возможность решить широкий класс задач по изгибу многосвязных пьезоплит с отверстиями произвольной форме и трещинами [10]. Как показали исследования в случае плоской задачи, при решении задач для полуплоскости наиболее достоверные результаты при удовлетворении граничным условиям на прямолинейной границе получаются при использовании метода интегралов типа Коши [11—13]. Что же касается граничных условий на контурах отверстий и трещин, то наиболее простым для реализации и обеспечивающим достаточно высокую точность их удовлетворения является обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) [13, 14].
В данной работе с использованием комплексных потенциалов теории изгиба электроупругих плит [9], метода интегралов типа Коши при удовлетворении граничным условиям на прямолинейной границе и с применением ОМНК при удовлетворении граничным условиям на контурах отверстий и трещин построено решение задачи об изгибе пьезоэлектрической полуплоскости с внутренними отверстиями и трещинами. Описаны результаты численных исследований, с помощью которых установлены закономерности изменения ЭУС в зависимости от физико-механических свойств материала плиты и геометрических характеристик отверстий и трещин.
1. Постановка и решение задачи. Рассмотрим многосвязную пьезоэлектроплиту в виде нижней полуплоскости S- с прямолинейной границей L+ и эллиптическими отверстиями с контурами L/ и полуосями a,/, b¡ (l = 1,£) (рис. 1). Выберем систему координат Oxy с началом O на прямолинейной границе и осью Ox вдоль этой границы. Прямолинейная граница не загружена, контуры отверстий не загружены или жестко подкреп- Рис. 1. лены. На бесконечности действуют механические M£° = mx и электрические Md° = mdx моменты, а остальные моменты равны нулю My¡° = H™ = = 0.
Отнесем эллипсы L¡ к локальным системам координат O¡x¡y¡ с началами в центрах эллипсов и направлениями осей O\X\ вдоль полуосей a¡. При этом в системе O¡x¡y¡ параметрическое уравнение эллипса L¡ будет иметь форму:
xi = ai cos в, yi = bi sin в, а в основной системе координат Oxy оно принимает вид
x = xoi + xi cos pi - yi sin pi,
У = Vol + xi sin yi + yi cos yi,
где в - угловая характеристика параметрического задания эллипса, изменяющаяся от 0 до 2п; x0i, y0i - координаты начала локальной системы координат Oixiyi в основных координатах Oxy; yi - угол между направлениями осей Ox и OiXi, отсчитываемый от оси Ox против часовой стрелки. При этом, некоторые из эллипсов могут быть прямолинейными разрезами; при наличии отверстий с криволинейными контурами последние аппроксимируются совокупностями дуг эллипсов и берегов разрезов.
Если задачу по определению ЭУС рассматриваемой полуплоскости решать с использованием комплексных потенциалов электроупругости [9, 10, 16], то она сводится к нахождению из соответствующих граничных условий функций W'k(zk) {k = 1, 3) обобщенных комплексных переменных
Zk = x + ¡Iky,
где ¡ik - корни характеристического уравнения 6-го порядка
(1)
lis (i) l3g (I)
l3g (I) l2/3 (I)
0;
lj (i) - полиномы вида
Us (м) = - D22M + 4D26M + 2 (D12 + 2D66) n2 + + Dn) , l3g (м) = Cg22^3 + (Cg12 + 2Сд2б) M + (Cg21 + 2Сд1б) Ц + Cg11, 12в (м) = Св22М2 + 2Св12М + Св11; Dj = bijD0, Cgij = cgij-Do, C^ij = cgjDo - упругие и электрические жесткости плиты; Dq = IЛ3 - постоянная, связанная с толщиной плиты; bij, cgij, Cg^, элементы обратной матрицы
1
( bii bi2 bi6 cgii Cg2i\ / Sii Si2 si6 gii g2i\
bl2 b22 b26 cgi2 cg22 Si2 S22 S26 gi2 g22
bi6 b26 b66 cgi6 cg26 = Si6 S26 S66 gi6 g26
-Cgii —cgi2 —cgi6 cpii Св i2 -gii —gi2 — Ci6 Pii ei2
V"Cg21 —cg22 —cg26 Св i2 Св22/ V -g2i —g22 —g26 Pi2 $22)
в^ - коэффициенты деформации материала, измеренные при постоянных индукциях электрического поля; д^ - пьезоэлектрические модули материала, измеренные при постоянных напряжениях; вц - коэффициенты диэлектрической проницаемости материала, измеренные при постоянных напряжениях.
Граничные условия на контуре 1ц (механические и электромагнитные) для определения комплексных потенциалов имеют вид [9]
2Re¿QikiW'k (tk) = 0,
(2)
k=i
где
(дш, 92Ы, ЯШ) = (Рк/^к, Чк, Лук) , в случае, если контуры отверстий свободны от загружений, и
(Я1кЬ д2кЬЯ3кЬ ) = (1, ,Лук) ,
когда контуры отверстий жестко подкреплены; рк, Чк, Лук - известные постоянные [9].
В рассматриваемом случае комплексные потенциалы имеют вид [9]
с
^'к (гк) = Гкгк + W'ко (**) + Е ^'к! (гк), (3
1=1
где Гк - постоянные, определяемые из решения системы линейных алгебраических уравнений 6-го порядка
2 Ие ^ (Бц + 2^16 ¡!к + " Vк (Сдп + Од21 Цк)) Г к = —М*
к=1
3
(Б12 + 2Б2б^к + Б22$ — Vk (Сд12 + С^к))Гк = 0
к=1
3
(Б16 + 2Бб6^к + Б26^к — ик (Сд16 + Сд26^к)) Гк = 0,
к=1
3
2И,е^ (Сд11 + Сд161Лк + Сд12^| — Vk (в11 + в12^к)) Гк = —М( к=1
3
(Сд21 + Сд2бЦ-к + Сд22^к — ик (Св12 + С/322^к)) Гк = 0,
(4)
те
йх,
к=1
3 1
2Яе V— Тк = 0. к=1»к
В выражениях (3) W'kо (гк) - функции, голоморфные в нижних полуплоскостях Б-, получаемых из заданной области 5- аффинными преобразованиями (1); W'к! (гк) - функции, голоморфные вне контуров Ьк! областей Б-, соответствующих эллипсам Ь! области Б- при аффинных преобразованиях (1).
Для построения указанных функций используем конформные отображения. Отобразим конформно внешности единичных кругов |(к!| > 1 на внешности эллипсов Ьк!, используя формулы [15]
гк = гк1 + Яы ((ы + , (5)
где
¿кг = Х01 + Цк У01, щ (осе щ + Цк щг) + ь (вт щ - Цк сов щ)
=
Шкг =
2
щ (сов щ + ^к й1п щг) - Ь (вт щ - Цк сов щ)
2^кг
После этих отображений функции (¿ = 1, £), голоморфные вне от-
верстий с контурами Ькг, в областях переменных (кг будут голоморфными вне единичных кругов |("ы| > 1, включая бесконечно удаленную точку, и их можно разложить в ряды Лорана по отрицательным степеням (кг
Ж'кг (¿к) = ^ аыпЩып(гк), (6)
п=1
где Щкгп (¿к) = (Спг(гк))-1; акгп - неизвестные постоянные, которые будем определять из граничных условий на контурах плиты.
Для свободной от загружения прямолинейной границы (для этого случая коэффициенты перед комплексными потенциалами в граничных условиях обозначим индексом ноль вверху), в граничных условиях имеем
о Рк о 0 7
9ш = 9\к = —> 92Ы = §2к = Як, 9ш = 9зк = йук, Цк
/+(Ь), /+(Ь), /+ т = 1 в в \
У (ш+йу + /+йх) — е+х^ (ш+йх — /+йу) + е+у, — ^ ш+йв 1 + (е+, е+, е+) ; о о о
в
/ + (5) = / р+ (в) йв; е+, е+ - соответственно вещественная и комплексные по-о
стоянные. Тогда граничные условия на прямолинейной границе запишем в виде системы
9°1к Ж 'к (Ьк ) + 5^+1^+1(^+1) + д0к+2^ 'к+2(^к+2) =
3
3-1" к+з-1 3 = 1
9°к Ж 'к (Ьк) + 9°к+1Ж'к+1^к+1)+ 9°к+2Ж 'к+2(^к+2) =
3__
3=1
9зк Ж 'к (Ьк ) + 9з3к+1^'к+1(Ьк+1) + 9з3к+2^ 'к+2(Ьк+2) =
3
3-1
3=1
с определителем
А
к —
91к д1к+1 д1к+2 д2к д2к+1 д2к+2 9зк дЗк+1 дЗк+2
мгк,
г=1
в котором Мгк - алгебраические дополнения элементов первого столбца дЗк
М1к —
д2к+1 д2к+2 д3к+1 д3к+2
М2к — -
д1к+1 д1к+2 9зк+1 д3к+2
Мзк —
д1к+1 д1к+2 д2к+1 д2к+2
При этом к - индекс, принимающий значения 1, 2, 3, причем значения индекса к + j, большие 3, формально полагаются равными к + ] — 3. Решая систему (7), найдем
^ 'к (¿к) —
Ак '
где
А
■]к
3 = 1 3 .
- Е<
3=1
3 .
- Е<
3=1
д1к+1 д1к+2
д2к+1 д2к+2
д3к+1 д3к+2
или
1
33
к г=1 3=1
Окончательно граничные условия на прямолинейной границе запишем в виде
з
ТУ'к^к) = - ^ гкк+з-^'к+з-^к+з-!) (к = Т~4) ,
3=1
(8
где
з о
ЕУгк+з-1
-л-мгк-
г=1
Ак
Для точек прямолинейной границы Ь+ имеем
х — у — Н+, х — х + гу — гк = гк = х + ц,ку = 4 = 4 = tk+j-l = 4 = г {] = 1, 3)
(9)
Подставив функции (3) в граничные условия (8) на прямолинейной границе получим
с
'кЗ (4)+^ ™'к1 (Хк) —
(10)
1=1
Гкк+з
3=1
1
\¥'к+з-1>0 (4) + Е Ш'к+з_ц (4+.7-1)
1=1
о
о
3
о
3
Здесь учтено, что на основе системы уравнений (4), выполняются следующие равенства
3
г ^к — = 0.
3=1
На прямолинейной границе для граничных значений сопряженных величин имеем
W'k+j-u (tk+j) = W'k+j-u (tk) = (tk) = X]
ак+3 — 11п
[c++,-n ( tk)
Кроме того, при переходе в конформных отображениях (5) к сопряженным величинам и замене граничных значений по формулам (9), для граничных значений переменных находим
хк+]~ 1 - tk - + Як+]-ц + 11 - 1, 2, 3).
\ ^к+з-1г )
Заменяя в этих соотношениях граничные значения Ьк переменными гк из областей Б к, приходим к конформным отображениям
^ + + 0' = 1, 2, 3), (11)
\ ^к+з-1г )
где переменная ( для лучшего восприятия заменена на (+, что подчеркивает ее связь с условиями на границе Ь+.
Можно показать, что равенства (11) представляет собой конформные отображения внешности единичных кругов -и — 1 на внешности контуров
Ь++з-1г верхней (относительно границы Ь+) полуплоскости Б+ переменной гк. Например, в случае ортотропной полуплоскости, когда комплексные параметры являются чисто мнимыми (^к = ^вк), это будут эллипсы ¿++з-ц, симметричные эллипсам Ьк+з -ц полуплоскостей Б к, где заданы исходные комплексные потенциалы Ш'к (¿к). Следовательно, функции (¿к) являются функци-
ями, голоморфными вне контуров Ь++з_ц в верхних полуплоскостях Б+ (а следовательно, они голоморфны в нижних полуплоскостях Б-), и для них имеют место разложения в ряды Лорана вида
KXj-n (zk) = ak+j-lln ft+j-lln (Zk), (!2)
n=1
где _ (zk) = (-A+ y"") Ck+j-ii переменные, определяемые из конформ-(zk+j-il) ных отображений (11).
n
Исходя из указанных свойств входящих в условия (10) функций, умножив обе части этих условий на ядро Коши ^ и вычислив интегралы типа
Коши от них по бесконечной прямой Ь+, получим
С 3
(хк) = - Е Е Гкк+з-1 УУ'к+з-п (4)-1=1 3=1
Подставив это значение функции Ш'ко (Хк) в (3), для комплексных потенциалов получим
Ш'к Х) = ГкХк + ^
1=1
Ж'ы (хк) - Е гкк+з-1 \¥'к+1-ц (хк)
3=1
а затем, на основе разложений (6) и (12), будем иметь выражение
С те
Ш 'к (Хк) = Гк Хк
1=1 П=1
а>к1п<Рк1п(2к) ~ ^ ^кк+]-1 ак+]-11пФк+]-11п{Хк)
3=1
, (13)
в котором
<£кы(хк) = —
^кI
-11п (хк) =
С+ 'к+3-11
Функции (13) точно удовлетворяют граничным условиям на прямолинейной границе. Но они содержат неизвестные коэффициенты рядов акп. Для определения этих коэффициентов используем граничные условия (2) на контурах отверстий, предварительно продифференцировав их, чтобы исключить входящие в их правые части постоянные. Имеем
2Ееуат ^) = 0,
к=1
(14)
где
С те
Ш''к (хк) = Гк + Е XVк1п(хк)ак1п-
1=1 п=1
к+3- 11п (хк) = —
- ^ гкк+з-11р'к+з-цп{хк)ак+з-цп], 3=1
<Р'к1п(гк) =
п
Сы^ы (Ск - ШкгУ п
£к+]-и) ^к+з-И [[Ц+з-и) ~тк+3-11
И = 1,2,3), 5кз = dxk /йв.
п—1_
С+
(15)
1
п
2
Функции (15) точно удовлетворяют граничным условиям на прямолинейной границе L+. Граничные же условия на контурах отверстий Li (l = l,L) будем использовать для определения неизвестных постоянных akin (к = 1,3; I = 1,L, п = 1, 2, ...). Для многосвязных областей эти условия удобнее использовать в дифференциальной форме (14). В этом случае они не будут содержать постоянных слагаемых, входящих в правые части граничных условий.
Граничным условиям (14) на контурах отверстий будем удовлетворять обобщенным методом наименьших квадратов [13, 14, 16, 17]. Для этого выберем на каждом из контуров Lp области S систему точек Mprn(xprn,yprn) (р = 1 ,£, m, = 1 ,Мр), в которых удовлетворим соответствующим граничным условиям, подставив в них функции (15). Тогда для определения неизвестных постоянных akin получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:
3 L <х
2Re X X X gikp^k ,s \}Р kin (tkpm) akln
k=l1=1n=l
3
y^ Tkk+j-llpk+j-lln (tkpm) ak+j-lln = (16)
j=l
3
2ReE&fcjA)Srfc (г = T7~3; p = 1, C; m = 1, Mp) .
k=l
Кроме уравнений (16), для каждого контура отверстия должны выполняться уравнения
3
2Re^wfcpl=0 (р = Т7£), (17)
k=i
следующие из условия однозначности прогиба при полном обходе контуров отверстий Lp.
Систему (16), дополненную уравнениями (17), будем решать с использованием сингулярных разложений [18, 19]. После нахождения псевдорешений этой системы, постоянные akin, а следовательно и функции W'k(zk), будут известными, и по ним можно вычислять основные характеристики ЭУС (изгибающие и крутящий моменты, моменты индукций и перерезывающие силы на основных площадках). В частности, механические моменты и моменты индукций вычисляются по формулам [9]
3
(Mx, My, HXy) = -2ReJ2(Pk, qk, П) W\(zk);
k=l
3
(Mdx, Mdy) = 2ReJ^( dxk, dyk) W % (zk). k=l
Зная основные характеристики, можно найти также моменты на произвольных площадках с нормалью n и касательной s, используя формулы
Mn = Mxcos2nx + My cos2ny + 2Hxy cosnx cosny,
Ms = Mxcos2ny + Mycos2nx — 2Hxycosnx cosny;
Hns = (My — Mx) cosnx cosny + Hxy (cos2nx — cos2ny) .
Mdn = Mdxcos2nx + Mdy cos2ny.
При этом, если некоторый эллипс L¡ переходит в прямолинейный разрез-трещину, то для его концов можно вычислить также коэффициенты интенсивности механических моментов, моментов индукций и напряженностей (КИМИН). В частности, для механических моментов имеем формулы [20]
3
k±M = 2 Re ^ [pksin2+ qkcos2p¡ — 2rk sin p¡cosp¡] Mk, k=i
k±M = 2 Re [(Як - Pk) cos^isin^i + rk (cos2щ — sin2^)] Mk, k=l
в которых
,— oo
Мк = Т^Т(±1)ппаЫп.
2Rkin=i
Как частный случай из приведенного решения задачи электроупругости (ЭУ) следуют решение задачи теории упругости (ТУ). Это решение получается из приведенного, если в нем принять равными нулю gij, ^ij [9]. Но для проведения численных исследований в обоих случаях можно пользоваться программой решения общей задачи электроупругости, проводя вычисления для модельного материала с постоянными
g ij = ^ggij, e ij = ^gpfiij,
где Xg, Xgp - пьезопараметры модельного материала. При этом для задачи ЭУ нужно принять Xg = \gp = 1; для задачи ТУ \g = \gp < 10_3.
2. Описание результатов численных исследований. Численные исследования проводились для плит из двух типов пьезоэелектрических материалов M1 и M2. Материалом M1 является селенит кадмия, а материалом M2 - пье-зокерамика PZT — 4. Ненулевые физико-механические постоянные для этих материалов приведены в таблице 1.
При проведении численных исследований количество членов в бесконечных рядах (15) для каждого отверстия и количество точек Mp на контурах Lp, в которых удовлетворялись граничные условия при получении уравнений системы (16), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контуре не начинали
выполняться с достаточно высокой степенью точности (пока модуль абсолютной погрешности не становился меньше 10_3). Для получения таких результатов в описываемых ниже случаях достаточно было оставлять от 10 до 100 членов в указанных рядах, а на контуре Ьр брать от 50 до 500 равномерно (по угловой переменной параметрического задания эллипсов) удаленных друг от друга точек. Ниже описаны результаты численных исследований для изгиба полуплоскости с отверстиями и трещинами под действием на бесконечности изгибающих моментов М£° = тх. Представляемые результаты отнесены к величине тх. Нормирующими параметрами для характеристик материалов, представленных в таблице 1, являются величины
¿о = 10"6МПа"1, д0 = 10_2МКл_1 • м2, во = 103МН • м2 • МКл"2.
Таблица 1.
Физико-механические постоянные материалов
Величина Материалы
М1 М2
вц/во 22,260 10,745
в22/во 14,984 7,398
вбб/»0 47,481 7,637
в12/во -6,437 -2,542
91в/до 109,22 2,054
921/до -4,333 -1,159
922/90 8,016 2,458
Ри/Ро 19,612 0,106
Р22/Р0 10,612 0,090
В таблице 2 для задачи изгиба полуплоскости с круговым отверстием радиуса а1 (рис. 2) из материалов М1 и М2 приведены значения изгибающих моментов в некоторых характерных точках полуплоскости в зависимости от отношения с/а1, где с - длина перемычки между контуром отверстия и границей полуплоскости. На рисунке 3 для некоторых значений с/а1 в зависимости от центрального угла в, отсчитываемого от оси Ох про- Рис. 2. тив часовой стрелки, изображены графики распределения М3/тх по контуру отверстия, а на рисунке 4 - для некоторых значений с/а1 даны графики распределения Мх/тх вдоль границы полуплоскости. Сплошные и штриховые линии соответственно относятся к плитам из материалов М1 и М2.
Как следует из таблицы 2, рисунков 3 и 4, с приближением отверстия к прямолинейной границе значения моментов в точках перемычки резко возрас-
Таблица 2. Значения изгибающих моментов около контура кругового отверстия в зависимости от с/а1
Материал Точка Момент с/а1
оо 2 1 0,5 ОД 0,01
М1 А мх 1,760 1,798 1,837 1,886 1,994 2,077
В Му 0,397 0,388 0,380 0,368 0,335 0,310
С мх 1,760 1,837 1,992 2,341 4,264 12,327
в мх 1,000 1,334 1,656 2,133 4,185 12,292
о мх 1,000 1,283 1,588 2,067 4,155 12,272
к мх 1,000 1,238 1,452 1,697 1,845 0,887
ь мх 1,000 1,141 1,173 1,111 0,700 0,276
М2 А мх 1,421 1,458 1,487 1,518 1,575 1,614
В Му -0,058 -0,057 -0,056 -0,055 -0,053 -0,051
с мх 1,421 1,526 1,699 2,012 3,490 9,474
в мх 1,000 1,343 1,592 1,948 3,468 9,468
о мх 1,000 1,290 1,556 1,925 3,459 9,466
к мх 1,000 1,227 1,382 1,530 1,496 0,666
ь мх 1,000 1,094 1,053 0,931 0,540 0,235
г тх ■Т X 01
/ / 1 / 1 '
с!а1 = ОЛ 1 1 1 11 II II Г
/ \ ч хч > \ Л*. * А * / / /7 / А/
\ * Л ^ . \\ \ч 4 / /7/ У//
-.т/2 -ж/3 -ж/б 0 ж/6 ж/3 в, рад.
Рис. 3. Графики распределения моментов Ы3/тх около контура кругового отверстия в полуплоскости для некоторых значений с/а1.
Го i mx V V m у
I c/Ö[ = 0,1 v l ,.■■'' / il/ / II /
4 / 1J II tl i\ 0,5 i| У Л у/
1
Д 4___ \ V ^ __ ||» ---
О 2 4 .v/ff!
Рис. 4. Графики распределения Mx/mx по отрезку прямолинейной границы в полуплоскости с круговым отверстием для некоторых значений с/аь
тают, незначительно изменяясь в остальных точках. Концентрация моментов наблюдается и вблизи точки перемычки на прямолинейной границе, причем при удалении от этой точки значения моментов быстро уменьшаются, а затем растут до значения, соответствующего случаю полуплоскости без отверстия (Mx/mx = 1). Это реализуется для достаточно далеких точек от точки перемычки (при x/a\ > 10). Эта закономерность резко отличает изгиб полуплоскости от растяжения (плоская задача), когда при уменьшении длины перемычки происходит уменьшение значений напряжений в точке перемычки на прямолинейной границе, затем при удалении от этой точки наблюдается увеличение напряжений, затем снижение до значения в сплошной полуплоскости, причем это предельное значение достигается уже при расстояниях x/a\ ~ 2.
В таблице 3 для изгиба полуплоскости с вертикальной трещиной полудлины ¡1 (рис. 5) приведены значения КИМ для концов E, F трещины и величины изгибающих моментов Mx в некоторых характерных точках полуплоскости в зависимости от отношения c/l\, где c - длина перемычки между трещиной и границей полуплоскости. При этом характерными точками были D (0, ¡1 + c/2), O (0, ¡1 + c), L (¡1, ¡1 + c), M (2li, ¡1 + c).
Таблица 3. Значения КИМ к1 и моментов Мх/тх в некоторых точках полуплоскости с вертикальной трещиной в зависимости от с/11
Материал Точка Величина с/11
ос 2 1 0,5 ОД 0,01
М1 Е К 1,000 1,014 1,031 1,057 1,132 1,219
Е к+ 1,000 1,020 1,053 1,123 1,519 3,063
В мх 1,000 1,192 1,452 1,965 5,461 34,404
О мх 1,000 1,109 1,285 1,660 4,385 27,379
Ь мх 1,000 1,079 1,099 1,027 0,837 0,715
М мх 1,000 1,021 0,975 0,927 0,868 0,829
М2 Е К 1,000 1,013 1,029 1,053 1,125 1,209
Е к+ 1,000 1,018 1,049 1,115 1,499 3,022
В мх 1,000 1,191 1,451 1,964 5,479 34,637
О мх 1,000 1,119 1,310 1,716 4,641 29,219
Ь мх 1,000 1,053 1,031 0,962 0,837 0,758
м мх 1,000 0,998 0,966 0,940 0,909 0,886
УА
4 М-
•Г
"Ч
г
Е
Рис. 5.
Как следует из данных таблицы 3, при приближении трещины к границе полуплоскости значения изгибающих моментов в точках перемычки, включая точку перемычки на прямолинейной границе, резко растут; вдоль прямолинейной границы уже при небольшом удалении от перемычки влияние трещины на значения моментов мало, и при х/1\ > 1 этого влияния почти нет. При сближении трещины с прямолинейной границей резко растут значения КИМ для ближайшей к границе полуплоскости вершины Е трещины, и при этом КИМ для дальней от полуплоскости вершины Е изменяется незначительно.
В таблице 4 для изгиба полуплоскости с круговым отверстием радиуса а1 с центром на расстоянии радиуса от границы (Н+ = 2а1) и вертикальной центральной трещиной длины 212 (рис. 6) с точностью до множителя тх приведены значения коэффициентов интенсивности для вершин трещины и изгибающих моментов Мх/тх в некоторых характерных точках полуплоскости в зависимости от отношения 212/аь При этом длины перемычек между трещиной и другими границами Рис. 6 с = (а1 — 212) /2, На рисунке 7 изображены графики распределения моментов М3/тх по контуру отверстия.
Как следует из данных таблицы 4 и рисунка 7, в случае трещины в перемычке полуплоскости с круговым отверстием с уменьшением расстояния между трещиной и другими границами (полуплоскости и контура отверстия) значения
Таблица 4.
Значения КИМ к1 и моментов Мх /тх в некоторых точках полуплоскости с круговым отверстием и центральной трещиной длины 212 в перемычке в зависимости от 212/а1
Материал Точка Величина •212/а.!
од 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
М1 Е К 0,372 0,535 0,669 0,794 0,923 1,066 1,242 1,496 2,009
Е к+ 0,368 0,523 0,648 0,763 0,879 1,007 1,168 1,406 1,904
А мх 1,837 1,840 1,844 1,850 1,859 1,870 1,885 1,906 1,957
С мх 2,012 2,077 2,193 2,379 2,666 3,123 3,903 5,469 12,504
В мх 1,833 1,942 2,110 2,350 2,698 3,225 4,096 5,798 13,442
I мх 1,628 1,717 1,863 2,079 2,399 2,888 3,706 5,321 13,110
О мх 1,608 1,671 1,783 1,962 2,238 2,675 3,419 4,905 12,144
М2 Е К 0,356 0,511 0,638 0,758 0,881 1,020 1,195 1,452 1,976
Е к+ 0,355 0,507 0,630 0,746 0,864 0,998 1,166 1,417 1,923
А мх 1,488 1,489 1,491 1,493 1,497 1,502 1,509 1,518 1,529
С мх 1,718 1,775 1,878 2,043 2,299 2,706 3,406 4,814 9,066
В мх 1,675 1,771 1,924 2,148 2,478 2,981 3,822 5,481 10,235
I мх 1,597 1,686 1,831 2,047 2,366 2,857 3,677 5,301 10,044
О мх 1,574 1,631 1,733 1,895 2,147 2,548 3,235 4,617 8,684
4 1
4 А
1; 2
/,/гг, = 0.8 Л, /| /1
■ ■ — в^Уг г X * * А ! Ту *
\ А / / ^^
-я/2 -,т/3 -я ¡6 О -т/б я/3 в, рад
Рис.7. Графики распределения моментов М3/тх около контура кругового отверстия в полуплоскости с центральной трещиной в перемычке для некоторых значений отношения 12 /а1.
изгибающих моментов около контура отверстия, в точках перемычки и прямолинейной границы вблизи перемычки, резко возрастают. В отличие от предыдущего, в этом случае значительно увеличиваются значения КИМ для обоих концов трещины.
Выводы. Таким образом, дано решение задачи об изгибе тонкой пьезоэлектрической многосвязной полуплоскости с отверстиями и прямолинейными трещинами. Для решения задачи использованы комплексные потенциалы [15, 16], их разложения в ряды Лорана, удовлетворение граничным условиям на прямолинейной границе методом интегралов типа Коши [11—13], а на контурах отверстий и трещин - обобщенным методом наименьших квадратов [13, 14, 16, 17]. При таком подходе граничные условия на прямолинейной границе удовлетворяются точно, а на контурах отверстий - приближенно, с высокой степенью точности. Описаны результаты численных исследований для плиты с круговым отверстием или трещиной, с круговым отверстием и трещиной в перемычке, в том числе выходящей из контура отверстия. Изучены закономерности изменения напряженно-деформированного состояния плиты в зависимости от ее материала и геометрических характеристик отверстий и трещин.
Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 1023030100040-4- 1.1.2;2.3.1).
1. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практическое применение У У. Кэди. - М.: Иностр. лит., 1949. - 720 с.
2. Берлинкур Д. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях У Д. Берлинкур, Д. Керран, Г. Жаффе ^ Физическая акустика. - М.: Мир, 1966. - Т. 1, ч. А. - С. 204-326.
3. Бичурин М.И. Магнитоэлектрические материалы У М.И. Бичурин, В.М. Петров, Д.А. Филиппов, Г. Сринивасан, С.В. Нан. - М.: Акад. естествознания, 2006. - 296 с.
4. Пятаков А.П. Магнитоэлектрические материалы и их практическое применение У А.П. Пятаков УУ Бюллетень Российского магнитного общества. - 2006. - Т. б, № 2. - С. 1-3.
б. Nan C.-W. Multiferroic magnetoelectric composites: Historical perspective, status, and future directions У C.-W. Nan, M.I. Bichurin, S. Dong, D. Viehland, G. Srinivasan ^ J. Appl. Phys.
- 2008. - V. 103, N 3. - P. 031101.
6. Tian R. Magnetoelectric properties of piezoelectric-piezomagnetic composites with elliptical nanofibers У R. Tian, J. Liu, X. Liu УУ Acta Mechanica Solida Sinica. - 2020. - V. 33. - P. 368-380.
7. Srinivas S. The effective magnetoelectric coefficients of polycrystalline multiferroic composites У S. Srinivas, Y.L. Jiang ^ Acta Mater. - 200б. - V. б3. - P. 413б-4142.
8. Бочкарев С.А. Гидроупругая устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, выполненных из пьезоэлектрического материала У С.А. Бочкарев, С.В. Лекомцев ^ Вестник Перм. науч.-исслед. политех. ун-та. Механика. - 2019. - № 2. - С. 3б-48.
9. Калоеров С.А. Основные соотношения прикладной теории изгиба тонких электромагни-тоупругих плит У А.С. Калоеров ^ Вестн. ДонНУ. Сер. А. Естеств. науки. - 2022. - № 1.
- С. 20-38.
10. Калоеров С.А. Решение задачи об электромагнитоупругом изгибе многосвязной плиты У А.С. Калоеров, А.В. Сероштанов ^ Прикладная математика и техническая физика. -2022. - Т. 63, № 4. - С. 143-1бб.
11. Калоеров С.А. Напряженное состояние анизотропной полуплоскости с конечным числом эллиптических отверстий У А.С. Калоеров ^ Прикладная механика. - 1966. - Т. 2, № 10.
- С. 75-82.
12. Калоеров С.А. Решение основных задач теории упругости для многосвязной анизотропной полуплоскости / С.А. Калоеров, Е.В. Авдюшина // Теорет. и прикладная механика. - 1997.
- Вып. 27. - С. 44-63.
13. Калоеров С.А. Решение задач теории упругости для многосвязных полуплоскости и полосы / С.А. Калоеров, Е.С. Глушанков, А.Б. Мироненко // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2023. - № 4. - С. 23-37.
14. Калоеров С.А. Термовязкоупругое состояние многосвязной анизотропной пластинки / С.А. Калоеров, О.А. Паршикова // Прикладная механика. - 2012. - Т. 48, № 3. - С. 103-116.
15. Калоеров С.А. Двумерное напряженное состояние многосвязного анизотропного тела с полостями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Горянская // Теорет. и прикл. механика.
- 1995. - Вып. 25. - С. 45-56.
16. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / Воеводин В.В. - М.: Наука, 1977. - 304 с.
17. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 279 с.
18. Drmac Z. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 1 / Z. Drmac, K. Veselic // SIAM J. Matrix Anal. Appl. - 2008. - V. 29, N 4. - P. 1322-1342.
19. Drmac Z. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 2 / Z. Drmac, K. Veselic // SIAM J. Matrix Anal. Appl. - 2008. - V. 29, N 4. - P. 1343-1362.
20. Калоеров С. А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений, индукции и напряженности для многосвязных электроупругих анизотропных сред / С. А. Калоеров // Прикладная механика. - 2007. - Т. 43, № 6. - С. 56-62.
21. Hou P. F. Three-dimensional Greens function for a point heat source in two-phase transversely isotropic magneto-electro-thermo-elastic material / P. F. Hou, G. H. Teng, H.-R. Chen // Mech. Materials. - 2009. - V. 41. - P. 329-338.
S.A. Kaloerov, A.V. Seroshtanov, A.B. Mironenko Bending of a thin electroelastic multi-connected half-plane.
The electroelasticity problem of transverse bending of a half-plane with internal holes and cracks has been solved. In this case, functions that are holomorphic outside ellipses are decomposed into Laurent series by negative degrees of the corresponding variables, and functions that are holomorphic in the lower half-planes are expressed using Cauchy-type integrals in terms of functions conjugate to these functions. The unknown coefficients of the series are determined by satisfying the boundary conditions on the contours of holes and cracks using the generalized least squares method, which leads the problem to solving an overridden system of linear algebraic equations. The results of numerical studies for a half-plane with various holes and cracks are described. Patterns of changes in the stress-strain state of the plate depending on its material and geometric characteristics of holes and cracks have been established.
Keywords: electroelastic thin plate, half-plane, holes, complex potentials, Cauchy type integrals, generalized least squares method.
noAyneno 15.09.2023
