CC BY
2ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№1 (82) / 2023.
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК 539.3
doi:10.24412/0136-4545-2023-1-5-20 EDN:APLKBS
©2023. С.А. Калоеров1, А.В. Сероштанов2, А.Б. Мироненко3
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКОЙ МНОГОУГОЛЬНОЙ ПЛИТЫ С ОТВЕРСТИЯМИ И ТРЕЩИНАМИ
С использованием комплексных потенциалов теории изгиба тонких электромагнитоупругих плит дано решение задачи об изгибе многоугольной плиты с произвольными отверстиями и трещинами. При этом с помощью конформных отображений, разложений голоморфных функций в ряды Лорана или по полиномам Фабера и удовлетворением граничным условиям обобщенным методом наименьших квадратов задача сведена к переопределенной системе линейных алгебраических уравнений, решаемой методом сингулярных разложений. Описаны результаты численных исследований для квадратной плиты с отверстием, трещиной, с отверстием и краевой трещиной. Исследованы закономерности влияния на значения изгибающих моментов и коэффициентов интенсивности моментов для концов трещины физико-механических свойств материала плиты и геометрических характеристик отверстия и трещины. Ключевые слова: пьезоплита с отверстиями, трещины и разрезы, комплексные потенциалы, обобщенный метод наименьших квадратов, изгибающие моменты.
1 Калоеров Стефан Алексеевич - доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонНУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Kaloerov Stefan Alekseevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Donetsk National University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
2 Сероштанов Александр Владимирович - аспирант каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонНУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Seroshtanov Alexandr Vladimirovich - Postgraduate, Donetsk National University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
3Мироненко Андрей Борисович - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонНУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Mironenko Andrey Borisovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donetsk National University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
Введение. Тонкие плиты из пьезоматериалов с отверстиями широко используются в качестве элементов конструкций современного научного оборудования и технических устройств [1—9]. Под действием различных изгибающих воздействий в них могут возникать высокие концентрации напряжений, что нужно учитывать при проектировании конструкций. Следовательно, необходимо иметь надежные методы определения электромагнитоупругого состояния (ЭМУС) тонких многосвязных пьезоплит. В работах [10-12] предложены различные методы определения ЭМУС пьезоплит несложной геометрической формы из материалов простейшей микроструктуры. Но в большинстве случаев элементы конструкций изготавливаются из материалов, обладающих общими анизотропными свойствами. Достаточно надежные результаты по определению ЭМУС многосвязных тонких плит дают методы, использующие комплексные потенциалы. Эти функции сначала были введены для решения плоских задач электромагнитоупругости [13, 14], а в работах [15, 16] они распространены на решение задач изгиба тонких пьезоплит.
В данной статье с использованием комплексных потенциалов электромагни-тоупругости построено общее решение задачи об изгибе конечной пьезоплиты с произвольными отверстиями и трещинами. При этом комплексные потенциалы представлены рядами Лорана и рядами по полиномам Фабера с неизвестными коэффициентами, определяемым из граничных условий на контурах обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК) [17]. Для квадратной плиты с отверстием или трещиной, с отверстием и краевой трещиной проведены численные исследования, с помощью которых установлены закономерности изменения ЭМУС в зависимости от физико-механических постоянных материала плиты и геометрических характеристик отверстия и трещины.
1. Постановка и метод решения задачи. Рассмотрим находящуюся в состоянии поперечного изгиба тонкую многосвязную пьезоплиту, ограниченную внешним контуром и контурами отверстий произвольной конфигурации. При наличии в плите криволинейных отверстий (отличных от круговых и эллиптических) их контуры будем аппроксимировать дугами эллипсов и берегами прямолинейных разрезов-трещин, которые также будем рассматривать как эллипсы, одна из полуосей которых равна нулю. Поэтому достаточно рассматривать плиту с эллиптическими контурами. Итак, рассмотрим отнесенную к прямоугольной декартовой системе координат Оху пьезоплиту, занимающую многосвязную область 5, ограниченную произвольным внешним контуром Ьо и контурами эллиптических отверстий Ь/ (I = 1,£) с полуосями а,/, 6/ (рис. 1), причем в локальных системах координат 0\XIу1 с началами в центрах эллипсов Ь1 и направлениями осей 0\XI
Рис. 1.
вдоль полуосей a¡ их параметрические уравнения будут такими:
xi = ai cos в, yi = bi sin в,
а в основной системе координат Oxy имеют вид
x = xoi + xi cos pi - yi sin pi, У = yoi + xi sin pi + yi cos pi,
(1)
(2)
где р I — угол между положительными направлениями осей Ох и 0\Х\, отсчитываемый от положительного направления Ох против часовой стрелки; хог, Уог - координаты начала локальной системы 0\XIУ1 в основной системе Оху; в — угловой параметр в описании эллипса, изменяющийся от 0 до 2п.
Плита находится под действием приложенных к ее контурам (I = О, С,) механических изгибающих моментов шг (в), поперечных сил рг (в), моментов электрической индукции шаг (в) и магнитной индукции шы (в), причем для упрощения вида приводимых соотношений будем считать, что главные векторы поперечных усилий и главные моменты механических и электромагнитных воздействий равны нулю на каждом из контуров отверстий.
Если для решения задачи об определении ЭМУС плиты использовать комплексные потенциалы электромагнитоупругости [15, 16], то оно сводится к нахождению из соответствующих граничных условий функций {к = 1, 4) обобщенных комплексных переменных
Zk = x + Ilk y,
где ik - корни характеристического уравнения
(3)
lis (l) l3g (l) kp (l)
kg (l) he (l) hv (l) kp (l) hv (l) hx (l)
lij (l) - полиномы вида
lis (l) = - (D22l4 + 4D26l3 + 2 (D12 + 2D66) l2 + 4D66l + Dn)
l3g (l) = Cg22l3 + (Cg12 + 2Cg26) l2 + (Cg21 + 2Cg16) l + Cg11,
kip (l) = Cp22l3 + (Cp12 + 2Ср2б) l + (Cp21 + 2Ср1б) l + Cp11,
h/3 (l) = C¡322l2 + 2C¡3121 + Cв11, hv (l) = Cv221 + 2Cv12l + Cv 11, l2x (l) = Cx22l2 + 2Cx12l + Cx11;
A
Vk =
1k
A
0k
pk =
A
2k
A
A
0k
0k =
l2 в (lk) l2 v (lk)
l2 v (lk) l2x (lk)
А
1k
-l3 g {y>k) l2 v k) —13 p (^k) l2 x
А
2k
l2j3 (^k) — l3 g (^k) l2v (^k) — l3 p (^k)
и Сд^, Ср^, Ср^, С^, - упругие и электромагнитные жесткости плиты [15], которые выражаются через в^ (коэффициенты деформации материала, измеренные при постоянных индукциях электромагнитного поля), д^, (пьезоэлектрические и пьезомагнитные модули деформаций и напряженностей, измеренные при постоянных напряжениях и индукциях), (в^, , (коэффициенты диэлектрической, магнитной, электромагнитной восприимчивостей, измеренные при постоянных напряжениях).
Комплексные потенциалы Ш'к (^к) определены в многосвязных областях Бк, ограниченных контурами Ькь соответствующими контурам Ь области Б при аффинных преобразованиях (3), и на основании их общих представлений [15, 16] в рассматриваемом случае имеют вид
С оо
W '(zk) = akоо + akin<Pkin(zk),
l=g n=1
где
1
VkOn(Zk) = (Zk - ZkOnT , Vkln (zk) = — (I = 1, £);
Zkl
Сы (I = 1) £) ~ переменные, определяемые из конформных отображений внешности единичного круга \Zkil > 1на внешности эллипсов Ьк\ [18]
zk = zkl + Rkl[ Ckl +
Rkl =
mkl =
mki\ _
(kl J '
Zkl = Xol + Hk Vol, Щ (cos Ifi I + fik sin Lpi) + ibl (sin tpi - Hk COS Ifii) 2
Щ (cos (fit + Hk sin Lpi) - ibl (sin tpi - Hk COS Lpi)
2 Rkl
akln - постоянные, определяемые из граничных условий на контурах плиты. В случае многосвязной плиты этим условиям удобнее удовлетворить в дифференциальной форме, имеющей при заданных на контуре Li механических изгибающих моментах ml(s), поперечных усилиях Pl(s), моментах индукций электрической mdl(s) и магнитной mbl(s) вид
2Re ЯгЫ 6кЖ (tkim) = (г = Т71-, I = О7Т; тп = Т7М) , (4)
k=1 в котором
dtk X + ^k у'
Ok,s — —r~ —
ds
\J x'2 + У'
2
(дш, 92Ы, 9зы, gm) = f —, Qk, dyk, byk) ,
\ßk J
Pk = Dil + 2D\6ßk + Di2ßk - (Cgll + Cg2lßk) vk — (Cpll + Cp2lßk) pkj
qk = Dl2 + 2D26ßk + D22ßk - (Cgl2 + Cg22ßk) vk — (Cpll + Cp22ßk) pkj
dyk = Cg2l + 2Cg26ßk + Cg22ßk — (Cßl2 + Cß22ßk) vk — (Cvl2 + Cv22ßk) Pk,
byk = Cp2l + 2Cp26ßk + Cp22ßk — (Cvl2 + Cv22ßk) vk — (Cxl2 + Cx22ßk) Pk]
dfu dy ^ dx\ dx df2i dx dy\ ^ dy
ds \ ds ds) ds' ds \ ds ds) ds'
= ±mdi, = ±mbi; fi(s) = J pi(s)ds;
L <x
Wk(zk) = Y1 akln<f'kln{zk)j (5)
l=g n=l
V'kQn (zk) = n (Zk — ZkQ)
nl
12, _
х', у' - производные переменных (2) по угловому параметру в задания эллипсов (1); С\ - вещественная постоянная; верхние знаки относятся к внешнему контуру Ьо области 5, нижние - к контурам отверстий Ь^; в - длина дуги контура при обходе против часовой стрелки.
Граничным условиям (4) будем удовлетворять обобщенным методом наименьших квадратов [17, 19, 20]. Для этого выберем на каждом из контуров Ьр систему точек Мрт (хрт, урт) (р = 0, С,; т = 1, Мр), в которых удовлетворим соответствующим граничным условиям. Подставляя функции (5) в граничные условия (4) в точках Мрт (хрт, урт), для определения неизвестных постоянных аЫп получаем систему линейных алгебраических уравнений вида
4 С те ^ ) 2
узф'ып^крт) ак1п — ---2Ке 9гкр^крв^к
к=1 1=д п=1 в к=1 (6)
(г = 174; р = ОТ^С; т = 1, Мр) .
Кроме уравнений (6), для каждого контура отверстия должны выполняться уравнения
4
2Ее^гакр1 = 0 (р = Т7~С), (7)
к=1
следующие из условия однозначности прогиба при полном обходе контуров отверстий Ьр.
Систему (6), дополненную уравнениями (7), для определения постоянных akin и Cj, будем решать методом сингулярных разложений [21, 22]. После нахождения псевдорешений этой системы функции Wk(zk) будут известными и по ним можно вычислять основные характеристики ЭМУС (моменты механические изгибающие, крутящий, индукций и перерезывающие силы на основных площадках). В частности, механические моменты находятся по формулам [15]
4
(Mx, My, HXy) = -2ReJ2 (Pk, Qk, rk) Wk!(zk), (8)
k=l
в которых
Pk = D11 + 2Di6^k + D12lk — (cg11 + Cg21lk) Ak — (Cp11 + Cp21|k) vk, Qk = D12 + 2D26lk + D22lk — (Cg12 + Cg22lk) Ak — (Cp11 + Cp22lk) vk,
rk = D16 + 2D66lk + D26lk — (Cg16 + Cg26lk) Ak — (Cp16 + Cp26|k) vk ■
Зная основные характеристики, можно найти также моменты и перерезывающие силы на произвольных площадках с нормалью n и касательной s. В частности, для механических моментов имеем
Mn = Mx cos2 nx + My cos2 ny + 2Hxy cos nx cos ny,
Ms = Mx cos2 ny + My cos2 nx — 2Hxy cos nx cos ny;
Hns = (My — Mx) cos nx cos ny + Hxy (cos2 nx — cos2 ny) ■
При этом, если некоторый эллипс Li переходит в прямолинейный разрез-трещину, то для его концов можно вычислить также коэффициенты интенсивности моментов (КИМ), в частности, на основе формул [23, 24]
44
k±M = 2Re ^ QkMk, k±M = 2Re ^ rk Mk,
k=1 k=1
в которых
!— оо
Мк = Т^У2(±1)ппаЫп.
2Кк1П=1
Как частные случаи из приведенного решения задачи электромагнитоупру-гости (ЭМУ) следуют решения задач электроупругости (ЭУ), магнитоупругости (МУ) и теории упругости (ТУ). При проведении численных исследований решения всех этих задач можно получить по программе решения задачи электромаг-нитоупругости, проводя вычисления для модельного материала с постоянными
= \ 9гз, Рц = ^-рРц, Уц = ^дригз,
где \д, Хр, Хдр - пьезопараметры модельного материала. При этом для задач ЭМУ нужно принять Хд = Хр = Хдр = 1, а для других задач, как следует из вычислительных экспериментов, эти параметры нужно принять такими: Хд = 1, ХР = Хдр < 10"3 для задач ЭУ; Хр = 1, Хд = Хдр < 10"3 для задач МУ; Хр = Хд = Хдр < 10"3 для задач ТУ.
Как показали исследования, учет электрических свойств материала незначительно влияет на значения основных характеристик ЭМУС (значения величин для задач ЭУ и ТУ близки друг другу), тогда как учет магнитных свойств существенно влияет на эти значения (значения величин для задач ЭМУ и МУ близки друг другу). Поэтому при проведении численных исследований будем ограничиваться решениями только задач ЭМУ и ТУ.
2. Исследования для квадратной плиты с отверстиями, трещинами и разрезами. Численные исследования были проведены для плит различной многоугольной конфигурации с отверстиями и трещинами при различных внешних воздействиях. При проведении численных исследований количество членов в бесконечных суммах рядов (5) и количество точек Мр на каждом из контуров Ьр, в которых удовлетворялись граничные условия при получении системы уравнений (6), увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (модуль абсолютной погрешности не превышал 10"3). Как показали численные исследования, для такого удовлетворения краевым условиям в рассмотренных задачах в зависимости от близости концентраторов напряжений друг к другу в рядах (5) достаточно оставлять от 10 до 100 членов для каждого отверстия и брать на каждом из контуров от 100 до 1000 точек.
Численные исследования проводились для плит из композита на основе БаТЮ3 — Со^е204 (материал М1) [25, 26]; композита, упругие, пьезоэлектрические и электрические постоянные которого соответствуют селениду кадмия Cd.Se, а пьезомагнитные и магнитные - БаТг03 (М2) [27]; композита, упругие, пьезоэлектрические и электрические постоянные которого соответствуют PZT — 4, а пьезомагнитные и магнитные - Со^е204 (М3) [27]. Постоянные для этих материалов приведены в таблице 1. При этом не указанные в таблице 1 постоянные вц, дц, , вц, Щ, Xц, равны нулю.
Ниже описаны некоторые из полученных результатов для квадратной плиты, отнесенной к прямоугольной системе координат с началом в центре плиты и осями координат вдоль направлений сторон. В совокупности стороны квадрата образуют внешний контур Ь0, для которого х00 = у00 = ^>0 = 0.
В таблице 2 для изгиба квадратной плиты из наиболее пьезоактивного материала М2 с центральным круговым отверстием контура Ь1 радиуса а 1 равномерно распределенными вдоль горизонтальных сторон изгибающими моментами Му интенсивности то (рис. 2) приведены значения изгибающих моментов М3/то около Ь1 на площадках, нормальных к контуру, а также в некоторых точках сторон в зависимости от отношения с/а 1, где с - длины перемычек между контуром отверстия и сторонами, а также от центрального угла в, отсчитываемого
от оси Ох против часовой стрелки. На рисунке 3 изображены графики распределения этих моментов около контура Ь1, причем сплошные линии относятся к задаче ЭМУ, штриховые - к задаче ТУ.
Таблица 1.
Физико-механические постоянные материалов
Величина Материалы
М1 М2 МЗ
вц/во = »зз/»о 7,165 22,260 10,745
в22/во 6,797 14,984 7,398
вы/во = 8бб/»0 19,912 47,481 7,637
»ьь/»о 19,802 69,204 32,680
в12/во = в2з/во -2,337 -6,437 -2,542
в1з/во -2,736 -11,942 -5,595
91в/до = да/до 2,028 109,22 2,054
ди/до = дзз/до -0,496 -4,333 -1,159
дчч/до 1,157 8,016 2,458
р1в/ро = ра/ро 1,850 268,318 98,843
ри/ро = р2з/ро 0,576 17,778 12,102
Р22/Р0 1,186 31,206 22,268
Ри/Ро = Рзз/Ро 0,156 19,612 0,106
Р22/Р0 0,137 10,612 0,090
1/Ц /1/0 = Ь'зз/Ь'о -0,190 213,404 -14,931
ь'22/ь'о -0,185 -5,534 -3,740
Хи/Хо = хзз/хо 0,336 0,590 0,805
Х22/Х0 0,119 0,575 0,704
в0 = 10-6 МПа
1
д0 = 10-2МКл-1м2, р0 = 10-5 МТл-1,
во = 103МН • м2 • МКл-2, щ = 10-1 МКл • м • МА-1, = 10-1 МПа • МТл
1
1
1
2
Рис. 2.
Таблица 2.
Значения моментов М3 /т0 около контура кругового отверстия и в некоторых граничных точках изгибаемой по горизонтальным сторонам квадратной плиты моментами Му = т0
в зависимости от длины перемычек е/а \ и угла в
с а 1 Задача в, рад Точки
0 7Г 12 7Г 6 7Г 4 7Г 3 Бтг 12 7Г 2 А В С Б
ОС ЭМУ 2,184 2,003 1,457 0,767 0,336 0,229 0,231 0,000 0,000 1,000 1,000
ТУ 1,876 1,752 1,424 0,990 0,565 0,258 0,146 0,000 0,000 1,000 1,000
10 ЭМУ 2,198 2,016 1,467 0,773 0,337 0,228 0,230 0,005 -0,001 1,013 1,014
ТУ 1,890 1,765 1,434 0,996 0,569 0,259 0,146 -0,002 0,001 1,011 1,021
5 ЭМУ 2,233 2,049 1,492 0,786 0,340 0,226 0,225 0,013 -0,004 1,044 1,047
ТУ 1,924 1,797 1,459 1,013 0,577 0,261 0,146 -0,008 0,004 1,036 1,071
2 ЭМУ 2,400 2,203 1,608 0,850 0,358 0,216 0,203 0,021 -0,013 1,184 1,223
ТУ 2,092 1,951 1,577 1,087 0,612 0,271 0,146 -0,030 0,016 1,157 1,305
1 ЭМУ 2,765 2,528 1,838 0,983 0,415 0,208 0,170 -0,006 -0,002 1,457 1,649
ТУ 2,473 2,288 1,814 1,226 0,678 0,287 0,144 -0,061 0,032 1,409 1,788
0,5 ЭМУ 3,626 3,263 2,255 1,219 0,557 0,242 0,146 -0,065 0,050 1,981 2,643
ТУ 3,371 3,035 2,268 1,462 0,798 0,323 0,137 -0,092 0,046 1,982 2,804
0,3 ЭМУ 4,876 4,185 2,715 1,456 0,724 0,290 0,116 -0,069 0,068 2,590 4,015
ТУ 4,656 4,022 2,761 1,682 0,929 0,375 0,132 -0,105 0,053 2,521 4,154
0,1 ЭМУ 11,454 8,142 3,931 1,931 1,223 0,559 0,091 -0,079 0,077 4,461 10,730
ТУ 11,274 8,087 4,128 2,139 1,305 0,620 0,124 -0,116 0,070 4,345 10,843
0,01 ЭМУ 106,93 15,286 -2,489 -2,839 2,189 -2,780 3,546 -4,191 3,351 9,893 87,995
ТУ 101,13 21,944 5,981 2,537 1,833 1,482 0,096 -0,095 0,142 7,221 100,77
В таблице 3 для таких же плит из всех указанных материалов М1, М2, М3 приведены значения тех же изгибающих моментов для случая всестороннего изгиба плиты моментами Му = то по горизонтальным сторонам и моментами Мх = то по вертикальным сторонам (рис. 4), а в таблице 4 приведены аналогичные данные для случая, когда на горизонтальных сторонах квадрата с круговым отверстием действуют магнитные индукционные моменты интенсивности т^о.
Из данных таблиц 2-4, рисунка 3 и других полученных результатов следует, что с уменьшением длины перемычки значения изгибающих моментов около контуров растут. При длинах перемычек, больших диаметра отверстия (е/а\ > 2), влияние сторон квадрата на ЭМУС около контура отверстия мало, им можно пренебречь и считать плиту бесконечной. При уменьшении длины перемычек (уменьшении е/а\) значения моментов около контура отверстия в зонах перемычек резко растут. Наибольшие изгибающие моменты возникают в плите из наиболее «сильно анизотропного» по упругим свойствам материала М2. В случае всестороннего изгиба наибольшие изгибающие моменты возникают вблизи перемычек вдоль мягких волокон (для которых вц больше). На значения
Рис. 3. Графики распределения моментов Ма/т0 вблизи контура центрального кругового отверстия в квадратной плите из материала М2 для некоторых значений с/а 1. Сплошные линии относятся к задаче ЭМУ, а штриховые - ТУ.
Рис. 4.
Таблица 3.
Значения моментов Мв/т0 около контура кругового отверстия и в некоторых точках сторон изгибаемой по всем сторонам квадратной плиты моментами т0
в зависимости от длины перемычек с/а1 и угла в
Материал с а 1 в, рад Точки
0 7Г 12 7Г 6 7Г 4 7Г 3 Бтг 12 7Г 2 А В С Б
М1 ОС 2,076 2,047 1,986 1,948 1,963 2,006 2,029 1,000 1,000 1,000 1,000
5 2,125 2,095 2,032 1,993 2,009 2,054 2,077 1,062 1,040 1,040 1,060
2 2,296 2,259 2,184 2,138 2,160 2,218 2,247 1,271 1,173 1,173 1,263
1 2,678 2,614 2,483 2,410 2,461 2,574 2,631 1,714 1,431 1,446 1,698
0,5 3,574 3,397 3,046 2,868 3,029 3,361 3,530 2,684 1,974 1,980 2,662
0,1 11,460 8,725 5,376 4,188 5,395 8,713 11,421 10,689 4,425 4,448 10,654
0,01 101,48 23,508 7,715 5,001 7,846 23,712 101,24 100,87 7,316 7,343 100,74
М2 ос 2,793 2,586 2,015 1,534 1,567 1,881 2,042 1,000 1,000 1,000 1,000
5 2,845 2,635 2,053 1,567 1,611 1,917 2,062 1,127 1,013 1,050 1,026
2 3,016 2,797 2,193 1,687 1,716 2,040 2,199 1,429 1,091 1,215 1,138
1 3,388 3,136 2,463 1,925 1,989 2,346 2,522 1,902 1,342 1,542 1,451
0,5 4,245 3,867 2,948 2,336 2,547 3,114 3,394 2,853 1,957 2,151 2,296
0,1 11,993 8,957 5,000 3,601 5,010 8,443 11,221 10,903 4,376 4,807 10,292
0,01 108,00 17,001 0,529 -8,001 6,484 5,107 106,13 95,315 20,854 10,629 87,021
мз ос 1,844 2,241 2,439 2,236 1,869 1,566 1,456 1,000 1,000 1,000 1,000
5 1,891 2,297 2,500 2,295 1,927 1,625 1,517 1,157 1,001 1,039 1,078
2 2,057 2,476 2,680 2,464 2,100 1,819 1,726 1,521 1,039 1,169 1,328
1 2,440 2,853 3,011 2,757 2,417 2,215 2,164 2,054 1,254 1,433 1,825
0,5 3,344 3,662 3,611 3,244 3,017 3,049 3,115 3,047 1,850 1,955 2,841
0,1 11,244 9,052 5,959 4,660 5,551 8,565 11,064 11,025 4,278 4,340 10,862
0,01 101,16 24,163 8,347 5,526 8,156 23,781 101,06 101,03 7,036 7,217 100,80
изгибающих моментов значительно влияет учет пьезосвойств материала (средние значения моментов в задачах ЭМУ и ТУ), особенно в зонах наибольшей концентрации моментов. Поэтому при исследованиях концентрации напряжений (следовательно, и моментов) в элементах конструкций из пьезоматериалов нельзя ограничиваться решением задачи ТУ, а нужно решать задачу ЭМУ, тем более при действии только моментов электрической и магнитной индукций в плите возникают значительные изгибающие моменты, что можно определять, только решая задачу ЭМУ. В случае изгиба индукционными моментами в зонах около перемычек возникают отрицательные изгибающие моменты (возникают зоны сильного сжатия в этих зонах). Они особенно велики (по модулю) в зонах вдоль мягких волокон (в зонах меньших ,вц).
Таблица 4.
Значения моментов Ms/m0 около контура кругового отверстия и в некоторых точках сторон изгибаемой по горизонтальным сторонам квадратной плиты моментами mbo
в зависимости от длины перемычек c/a \ и угла в
Материал с в, рад Точки
а 1 0 7Г 12 7Г 6 7Г 4 7Г 3 Бтг 12 7Г 2 А В С D
М1 ОС -0,529 -0,297 0,278 0,798 0,652 -0,479 -1,373 0,000 0,000 0,000 0,000
1 -0,405 -0,105 0,608 1,210 1,004 -0,327 -1,363 0,332 -0,215 -0,164 0,356
од -0,220 0,717 1,836 1,905 0,982 -0,076 -1,099 0,956 -0,679 -0,049 0,276
М2 ос -7,583 0,613 15,549 19,906 3,516 -20,254 -31,046 0,000 0,000 0,000 0,000
1 -9,499 -1,672 13,355 20,429 5,045 -20,432 -32,200 20,550 -9,625 0,542 15,174
од -2,190 5,087 12,964 14,202 8,182 -2,885 -10,307 9,647 -7,682 -0,158 7,703
мз ос -17,810 5,493 24,511 22,330 1,671 -25,814 -38,655 0,000 0,000 0,000 0,000
1 -15,821 13,057 34,107 29,318 6,277 -21,468 -33,973 21,104 -13,481 -2,047 7,728
од -8,236 76,116 87,594 42,879 12,886 -9,646 -29,277 28,223 -12,588 -4,226 7,928
Исследовано ЭМУС квадратной плиты с трещиной. Установлено, что в этом случае значительные изменения претерпевают КИМ для концов трещин. Эти величины особенно велики в случае краевых трещин. В таблице 5 для квадратной плиты со стороной 2Н и краевой трещиной длины I вдоль средней линии квадрата (рис. 5) при ее изгибе механическими моментами М8 = то по горизонтальным сторонам в зависимости от 1/2Н приведены значения моментов М3/то (в данном случае Му/то) в точке А напротив вершины трещины и КИМ к- для этой вершины.
Рис. 5.
В таблице 6 для квадратной плиты с центральным круговым отверстием радиуса а1, стороной длины 4а 1 и выходящей из контура отверстия трещиной длины I, при изгибе плиты распределенными моментами Му = то по горизонтальным сторонам (рис. 6)
приведены значения моментов М3/то по контуру отверстия в зависимости от отношения 1/а1 и от центрального угла в, отсчитываемого от положительного
Таблица 5.
Значения деформационных характеристик для квадратной плиты с краевой трещиной в зависимости от отношения 1/2Н длины трещины к длине стороны квадрата
Величина 1/2/7
0,01 ОД 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Мв/т-о в точке А 1,000 1,004 1,052 1,262 1,515 1,983 2,934 5,573
КИМ 0,126 0,643 1,196 1,714 1,998 2,351 2,897 4,155
Рис. 6.
Таблица 6.
Значения моментов Ые/шо около контура кругового и в некоторых точках плиты с круговым отверстием и краевой трещиной и КИМ для плиты из материала М2 в зависимости от отношения 1/о\ длины трещины к радиусу отверстия
Величина в, рад. или точка 1/0,1
0 ОД 0,3 0,5 0,7 0,8 1
тг/180 0,391 0,235 0,147 0,125 0,023 0,001
тг/12 2,528 2,324 1,588 1,124 0,911 0,998 -0,183
7Г/6 1,838 1,790 1,542 1,262 1,085 1,392 -0,460
71 /4 0,983 0,965 0,873 0,789 0,665 0,709 -0,669
71 /3 0,415 0,406 0,369 0,336 0,305 -0,149 -0,580
5тг/12 0,208 0,203 0,192 0,270 0,266 -0,455 -0,245
71 /2 0,170 0,167 0,168 0,195 0,359 -0,204 0,170
Мв/гпо 7тг/12 0,208 0,208 0,221 0,275 0,472 0,351 0,662
Зтг/4 0,415 0,418 0,442 0,471 0,636 0,834 1,418
2тг/3 0,983 0,990 1,027 1,018 1,108 1,060 2,654
5тт/6 1,838 1,848 1,900 1,950 1,968 1,633 4,165
117Г/12 2,528 2,537 2,600 2,690 2,797 2,603 5,297
тт 2,765 2,774 2,840 2,958 3,132 3,153 5,674
т. А 1,649 1,680 1,690 1,716 1,794 1,983 3,183
т. В 1,649 1,656 1,880 2,265 3,294 4,215 -
КИМ к+ - 0,804 1,180 1,406 2,014 2,112 -
направления оси Ox. Приведены также значения моментов в точках на сторонах и КИМ для вершины трещины против часовой стрелки, в точках A и B на сторонах плиты вдоль оси Ox и КИМ для вершины трещины. На рисунке 7 изображены графики распределения Ms/m0 по контуру отверстия.
-Ма
пи
*> *> S щ /' /
V^N
t С_ iL t / /
t i i 1
\ \ \ щ>
/ / / // 'r t/j tri
/ ■' ~' S \ t i j.
/ ? / / /1 1 f ff S д Ч \\ ч\ •S X, Л V ' \ t • 1Н ' ^'/Iffl-iy ' V .y
* <ч * Ч | ' V s' 4 ' '*.
-1
■л/180 л/6 эг/З ге/2 2л/3 &,рад.
Рис. 7. Графики распределения моментов Ма/т0 вблизи контура кругового отверстия в квадратной плите из М2 для некоторых значений длины трещины. Сплошная линия -1/а 1 =0, 3 , штриховая - 1/а1 = 0, 7, пунктирная - 1/а1 = 0, 8, штрихпунктирная - 1/а1 = 1.
Из таблицы 6 и рисунка 7 видно, что с ростом длины краевой трещины из контура отверстия значения моментов около отверстия в небольшой окрестности перемычки противоположной трещине растут, а в остальных точках они убывают. Особенно большое уменьшение моментов наблюдается вблизи точки выхода трещины на контур отверстия, причем для весьма малых расстояний между трещиной и стороной квадрата наблюдается нестабильное изменение этих моментов около точки выхода трещины на контур отверстия. Для предельного значения длины трещины (для случая щели между отверстием и стороной квадрата) около отверстия в противоположной трещине перемычке возникает весьма высокая
концентрация изгибающих моментов, с увеличением длины трещины растет и значение КИМ для ее конца.
Выводы. Таким образом, с использованием комплексных потенциалов в статье решена задача электромагнитоупругости для многосвязной пьезопластинки с произвольными количеством и взаиморасположением отверстий. Описаны результаты численных исследований для пластинки из различных материалов с треугольным или квадратным отверстием. Изучено влияние геометрических характеристик отверстий и свойств материалов на значения возникающих в рассматриваемых пьезопластинах напряжений.
1. Берлинкур Д. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях / Д. Берлинкур, Д. Керран, Г. Жаффе // Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. - М.: Мир, 1966. - Т. 1, ч. А. - С. 204-326.
2. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практическое применение / У. Кэди. - М.: Иностр. лит., 1949. - 717 с.
3. Магнитоэлектрические материалы / М.И. Бичурин, В.М. Петров, Д.А. Филиппов др. -М.: Изд-во «Академия Естествознания», 2006. - 296 с.
4. Пятаков А.П. Магнитоэлектрические материалы и их практическое применение / А.П. Пятаков // Бюллетень МАГО. - 2006. - Т. 5, № 2. - С. 1-3.
5. Rahmoune M. New thin piezoelectric plate models / M. Rahmoune, A. Benjeddou, R. Ohayon // J. Intell. Mater. Syst. Struct. - 1998. - Vol. 9. - P. 1017-1029.
6. Srinivas S. The effective magnetoelectric coefficients of polycrystalline multiferroic composites / S. Srinivas, Y.L. Jiang // Acta Mater. - 2005. - Vol. 53. - P. 4135-4142.
7. Vel S. S. Exact solution for the cylindrical bending of laminated plates with embedded piezoelectric shear actuators / S.S. Vel, R.C. Batra // Smart Mater. Struct. - 2001. - Vol. 10. - P. 240-251. doi: 10.1088/0964-1726/10/2/309
8. Бочкарев С.А. Гидроупругая устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, выполненных из пьезоэлектрического материала / С.А. Бочкарев, С.В. Лекомцев // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика.
- 2019. - № 2. - С. 35-48. doi: 10.15593/perm.mech/2019.2.04
9. Шляхин Д.А. Нестационарная задача термоэлектроупругости для длинного пьезокерами-ческого цилиндра / Д.А. Шляхин, М.А. Кальмова //Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2021. - No 2. - С. 181190. doi: 10.15593/perm.mech/2021.2.16
10. Eringen A.C. Theory of electromagnetic elastic plates / A.C. Eringen // International journal of engineering science. - 1989. - Vol. 27, № 4. - P. 363-375.
11. Librescu L. Electromagnetically conducting elastic plates in a magnetic field: modeling and dynamic implications / L. Librescu, D. Hasanyan, D. Ambur // International journal of nonlinear mechanics. - 2004. - Vol. 39, № 5. - P. 723-739.
12. Gales C. On the bending of plates in the electromagnetic theory of microstretch elastity / C. Gales, N. Baroiu // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 2014. -Vol. 94, № 1-2. - P. 55-71.
13. Калоеров С.А. Двумерная задача электормагнитоупругости для многосвязных сред / С.А. Калоеров, А.В. Петренко // Мат. методы и физ.-мех. поля. - 2008. - Т. 51, № 2.
- С. 208-221.
14. Калоеров С.А. Двумерные задачи электромагнитоупругости для многосвязных тел / С.А. Калоеров, А.В. Петренко. - Донецк: Юго-Восток, 2011.- 232 с.
15. Калоеров С.А. Основные соотношения прикладной теории изгиба тонких электромагни-тоупругих плит / С.А. Калоеров // Вестн. ДонНУ. Сер. А. Естеств. науки. - 2022. - № 1.
- С. 20-40.
16. Калоеров С.А. Решение задачи об электромагнитоупругом изгибе многосвязной плиты /
С.А. Калоеров, А.В. Сероштанов // Прикладная математика и техническая физика. -2022. - Т. 63, № 4.- С. 143-155.
17. Калоеров С.А. Термовязкоупругое состояние многовязных анизотропных пластин / С.А. Калоеров, О.А. Паршикова // Прикладная механика. - 2012. - № 3. - С. 103-116.
18. Калоеров С.А. Двумерное напряженное состояние многосвязного анизотропного тела с полостями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Горянская // Теорет. и прикладная механика. - 1995. - Вып. 25. - С. 45-56.
19. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.
20. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.
21. Drmac Z. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 1 / Z. Drmac, K. Veselic // SIAM J. Matrix Anal. Appl. - 2008. - Vol. 29, № 4. - P. 1322-1342.
22. Drmac Z. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 2 / Z. Drmac, K. Veselic // SIAM J. Matrix Anal. Appl. - 2008. - Vol. 29, № 4. - P. 1343-1362.
23. Калоеров С.А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений, индукции и напряженности для многосвязных сред / С.А. Калоеров // Прикладная механика. - 2007. -Т. 43, № 6. - С. 56-62.
24. Калоеров С.А. Решение задачи линейной вязкоупругости для многосвязных анизотропных плит / С.А. Калоеров, А.И. Занько // Прикладная механика и техническая физика.-2017.- Т. 58, № 2.- С. 141-151.
25. Yamamoto Y. Electromagnetomechanical Interactions in Deformable Solids and Structures / Y. Yamamoto, K. Miya. - Amsterdam: Elsevier Science-North Holland, 1987. - 450 p.
26. Tian W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian, U. Gabbert // Europ. J. Mech. Part A. - 2004. - Vol. 23. - P. 599-614.
27. Hou P.-F. Three-dimensional Greens function for a point heat source in two-phase transversely isotropic magneto-electro-thermo-elastic material / P.-F. Hou, G.-H. Teng, H.-R. Chen // Mech. Mat. - 2009. - Vol. 41. - P. 329-338.
S.A. Kaloerov, A.V. Seroshtanov, A.B. Mironenko
Investigation of the electro-magneto-elastic state of a thin polygonal plate with holes and cracks.
Using the complex potentials of the theory of bending of thin electro-magneto-elastic plates, the solution of the problem of bending a polygonal plate with arbitrary holes and cracks is given. At the same time, with the help of conformal maps, decompositions of holomorphic func-tions into Laurent series or by Faber polynomials and satisfaction of boundary conditions by the generalized least squares method, the problem is reduced to an overridden system of linear alge-braic equations solved by the method of singular value decompositions. The results of numerical studies for a square plate with a hole, crack, with a hole and an edge crack are described. The regularities of the influence of the physical and mechanical properties of the plate material and geometric characteristics of the hole and crack on the values of bending moments and intensity coefficients of moments for crack ends are investigated.
Keywords: piezo plate with holes, cracks and cuts, complex potentials, generalized least squares method, bending moments.
Получено 12.01.2023
