CC BY
7ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№1 (70) / 2020.
УДК 539.3
©2020. А.И. Занько
ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛИТЫ С ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИМ РЯДОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОТВЕРСТИЙ ИЛИ ТРЕЩИН
С использованием обобщенных комплексных потенциалов теории упругости анизотропного тела решена двоякопериодическая задача теории упругости для плиты с эллиптическими отверстиями или трещинами. Разложением голоморфных функций в ряды Лорана получены общие представления соответствующих функций для плиты с конечным числом отверстий, затем удовлетворением условиям двоякопериодичности напряженно-деформированного состояния найдены общие представления искомых комплексных потенциалов, что позволило удовлетворять граничным условиям лишь на одном контуре. Эти условия удовлетворяются обобщенным методом наименьших квадратов, что дает возможность с высокой степенью точности удовлетворять граничным условиям даже для весьма близких расстояний между отверстиями и трещинами при их любой ориентации.
Ключевые слова: анизотропная плита; двоякопериодическая задача; отверстия; трещины; концентрация изгибающих моментов.
Введение.Тонкие анизотропные плиты с отверстиями находят широкое применение в современной инженерной практике. Под действием внешних усилий около отверстий таких плит могут возникать высокие концентрации напряжений, которые весьма велики при наличии большого количества отверстий. Все это нужно учитывать при проектировании конструкций с элементами в виде тонких плит с отверстиями.
В данной статье обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК) решена двоякопериодическая задача для плиты с эллиптическими отверстиями или трещинами. Проведены численные исследования распределения моментов и изменения коэффициентов интенсивности моментов (КИМ).
1. Решение задачи для плиты с конечным числом отверстий.
Рассмотрим вначале отнесенную к прямоугольной декартовой системе координат Оху бесконечную анизотропную плиту, занимающую многосвязную область 5 (рис. 1), ограниченную контурами произвольно расположенных эллиптических отверстий (1 = 1, С) с полуосями сц, 6/, центрами в точках (хоь уш) и углами наклонов щ полуосей а,[ к оси Ох. На контурах отверстий действуют изгибающие моменты или они подкреплены. На бесконечности заданы моменты , М,°°, И°?..
Определение напряженно-деформированного состояния (НДС) рассматри-
Рис. 1.
Изгиб плиты с двоякопериодическим рядом эллиптических отверстий или трещин ваемой плиты сводится к нахождению комплексных потенциалов [1, 2, 3]
1=1 П=1
где Г к - постоянные, определяемые из системы уравнений
2
С11 = (2^22Азе - 2^26)/А1, С21 = (2^16^26 - 2^12^5б)/Д1, С31 = (2А12А26 - 2А1бА22)/А1, С12 = (£>12^26 - А1бА22)/А1,
С22 = (£>12А16 - АЦА26)/А1 , С32 = (А11А22 - )А1, С13 = (2А16А26 - 2А12А66)/А1, С23 = (2АПДю - 2А6)/АЬ С33 = (2А12А16 - 2АпА26)/А1,
£ те
Ркыакы,
2Яе^ Г к = СПМ~ + С21М~ + С31Я~
к=1 2
2Ке^ ^кГк = С12МЖ°° + С22М~ + С32Я~
Ац 2А16 А12 А1 = А12 2А26 А22 А16 2А66 А 26
Цк (к = 1, 2) - корни характеристического уравнения
А22^4 + 4А26^3 + 2(А12 + 2А66)^2 + 4А16» + Ап = 0; = Ъ^ Ао - жесткости материала, в которых
Ъц = (а22й66 - а26)/А, Ъ12 = (016026 - 012066)/А,
Ъ16 = (012026 - «160,22)/А, Ъ22 = (011066 - а26)/А, Ъ26 = (О12О16 - 026ац)/А, Ъ66 = (011022 - 022)/А,
011 012 016 А = 012 022 026 016 026 066
Ао = 2Л3/3; Л,-полутолщина плиты;
= 1 /Скг;
(1)
Zki - переменные, определяемые из конформных отображений
. D Л . mki
Zk = Zkl + tiki \Лк1 +
внешности единичного круга |Zki| > 1 на внешности контуров Lki, соответствующих контурам Li при аффинных преобразованиях
причем
Rkl =
Zk = x + |кУ,
Zkl = X0l + Цк yol,
Щ (cos tpi + Hk sin Lpi) + ibi (sill Lpi - jj,k COS щ)
2
al (cos pl + ik sin Vl) - ibl (sin p - ik cos p)
mkl = -7Г5-; (2)
2Rkl
akln - неизвестные коэффициенты рядов Лорана, определяемые из граничных условий на контурах отверстий, которые в случае многосвязных плит удобнее использовать в дифференциальной форме, не содержащей постоянных слагаемых в этих условиях. Последние условия на контуре Lp (р = 1, С) имеют вид [1, 2, 3]
2Re,¿/gkpi6kt8wa(zk) = ^^ (i = 1,2), (3)
k=1 S
в котором 5k,s = dzk/ds, а также
_Pk _
9kp 1 — -) 9kp2 — Qk)
lk
dfp1 dy dx dfp2 dx dy
ds mp ds Cp ds' ds Шр ds Cp ds1
Pk = D11 + 2Di6|k + Di2|k, Qk = D12 + 2D26lk + D221I в случае загруженного контура Lp,
1 „ „ dfpl{t) n dfpl{t) n
9kp 1 = i, 9kp2 = Hk, —^— = U, ——— = U, если контур Lp жестко защемлен или жестко подкреплен. При этом
С оо
W(zk) = Tk + aklnVkln(zk); (4)
l=1 n=1
Лфк> = "дыСГЧЙ-™«)' (5)
После определения постоянных а^ы функции Шк(хк) будут известными и по ним можно вычислять в любой точке плиты основные характеристики изгиба по формулам
2
(Ых, Му, ИХу) = -2Ее^2(Рк, Чк, Гк) ВД^); (6)
к=1
2
Гк = Die + k + D261^2
и моменты
Mn = Mx sin2 в + My cos2 в - 2Hxy sin в cos в,
Ms = Mx cos2 в + My sin2 в + 2Hxy sin в cos в,
Hns = (My - Mx) sin в cos в + Hxy (cos2 в - sin2 в)
на произвольных площадках с нормалью n и касательной s. При этом, если некоторый контур отверстия L¡ переходит в прямолинейный разрез (трещину или жесткое линейное включение), то для его концов можно вычислить и коэффициенты интенсивности моментов (КИМ) к±м и к±м по формулам [4]
2
к±м = 2Re ^ [p к sin2 pi + q к cos2 pi - 2г к sin pi cos pi] Mk, k=1
к±м = 2Re [(qk - Pk) cos pi sin pi + Гк (cos2 pi - sin2 pi)] Mk, =1
в которых
,— 00
Мк = Т^У2(±1)ппак1п,
2Rki n=1
знаки + и - у КИМ в локальной системе координат Oixiyi относятся к правому и левому концам разреза соответственно.
2. Двоякопериодическая задача для плиты с эллиптическими отверстиями или трещинами. Пусть теперь плита имеет m (m = 0, ±1, ±2,...) одинаковых бесконечных рядов одинаковых и одинаково ориентированных эллиптических отверстий или трещин с контурами Lmi (m, l = 0, ±1, ±2,...), полуосями a, b и центрами вдоль одной прямой (рис. 2), принимаемой за ось Ox прямоугольной системы координат Oxy с началом в центре отверстия с контуром Lo, называемого основным. Обозначим расстояния между центрами соседних отверстий через hx, угол между полуосью a и осью Ox - через р, расстояния между центрами соседних рядов через hy.
Для рассматриваемого случая производные комплексных потенциалов (4) примут вид
ж ж ж
Wk(zk )=Гк + J2p'kmin(zk)a к lmn, (7)
т=—ж i=—oo n=1
2
Рис. 2.
где р'кт1п(хк) - функции, вычисляемые по формулам (1) и (5), (кт1 - переменные, определяемые из неявных зависимостей
Ч- = 4-1 + Кк ( (кггй + ) '
\ \кт\ / (а\
ф'кггйп&к) —
П
Як(Пт!((2т1 - тк) '
причем Хкг = Шх + ЦктНу; Як, тк - величины, вычисляемые по формулам (2), в которых нужно опускать в индексах I.
В силу двоякопериодичности напряженного состояния значения напряжений в точках Хк и Хк + Нх + ЦкЬу одинаковы. Поэтому
ШЦ(хк) = Ш',!(хк + Пх + Цк Ьу), А следовательно по (7)
(9)
оо оо оо
У У У акт1пфкт1п(хк) = т=—те 1=—те п=1 те тете
У] У] У] акт1пф кт1п(х к + Ь,х + Vк Ьу )
(10)
1=—те т=—те п=1
Тогда из (8) легко увидеть, что
Скт1 (хк + ^-х + ЦкЬ-у) = Скт+И+1(хк),
Фкт1п(хк + ^х + ^к^у) = Ркт+1, 1+1, п (хк ).
(11)
Подставляя выражения (11) в (10) и переобозначая индексы суммирования,
находим
оо оо оо оо оо оо
т=-те 1=—те п=1 ¡=—оо т=-те п=1
У] У] У] акт1пф'кт1п(г:к) — ^ ^ ^ акт1п^'кт+1, 1+1, п(гк) —
1=—те т=-те п=1 те те
У У2акт-1, 1-1, п^'к1п(хк)
1=—те т=-те п=1
Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых функциях Р'кт1п(гк), будем иметь атп — акт-1, 1-1, п — акп• Тогда для производных комплексных потенциалов окончательно будем иметь
те
W¡l{zk)—Гк + £ аи'кп^к). (12)
п=1
где
тете
С'к п (zk) — ^ ^ ФЫтп&к)- (13)
1=—те т=-те
Теперь для определения неизвестных постоянных акп нужно удовлетворять граничным условиям (3) лишь на одном из контуров, например, на контуре центрального отверстия Ьо. На остальных контурах в силу периодичности комплексных потенциалов, граничные условия будут удовлетворены автоматически. Граничным условиям (3) будем удовлетворять обобщенным методом наименьших квадратов. Для этого выберем на контуре Ь0 систему точек Мт0(хт0, ут0) (т = 1, Мо), в которых удовлетворим соответствующим граничным условиям, подставив в них функции (12). Тогда для определения неизвестных постоянных акп получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:
2 те
к п(^кт)акп
к=171 (14)
к=1
Систему (14) будем решать с использованием сингулярных разложений [5,
6].
3. Описание результатов численных исследований. Были проведены численные исследования напряженного состояния плиты из изотропного материала алюминий [7] (материал М1) и сильно анизотропного материала (по общепринятой терминологии "степень анизотропии"определяется степенью отличия отношения ац/а22 от 1) углепластик НМБ^Х209 [8] с мягкими волокнами вдоль оси Ох (материал М3). Технические постоянные этих материалов приведены в табл. 1.
Таблица 1
Материал Ei • Ю-4, МПа Е2 ■ Ю-4, МПа G12 ■ Ю-4, МПа V12 V21
М1 7,10000 7,10005 2,84000 0,25000 0,25000
МЗ 0,60000 18,88000 0,27000 0,00953 0,30000
При проведении численных исследований количество членов в рядах (12) по n и количество точек Mo на контуре Lo, в которых удовлетворялись граничные условия при получении систем уравнений, увеличивались до тех пор, пока граничные условия на контуре не удовлетворялись с достаточно высокой степенью точности (модуль абсолютной погрешности не превышал 10"2). Как показали численные исследования, для такого удовлетворения граничным условиям в рассмотренных задачах в зависимости от близости концентраторов напряжений друг к другу достаточно было оставлять от 10 до 20 членов в рядах (12) по n и на контуре Lo выбирать от 100 до 150 «коллокационных» точек.
В табл. 2 для плиты с двоякопериодической системой круговых отверстий радиуса a (b = a) при действии моментов на бесконечности интенсивности m (M£° = m) в зависимости от центрального угла в, отсчитываемого от положительного направления оси Ox, и от отношения c/a, где c - расстояние между контурами отверстий (c = hx — 2a), приведены значения нормальных моментов Ms/m вблизи контура Lo на площадках, перпендикулярных к контуру, а на рис. 3 изображены графики распределения этих моментов.
Таблица 2
Материал в, рад. с/а
оо 10 2 1 0,5 0,1 0,01
М1 0 1,769 1,775 1,868 2,041 2,378 4,127 11,332
тг/12 1,666 1,671 1,736 1,839 2,003 2,324 1,395
тг/6 1,385 1,387 1,398 1,385 1,329 0,942 0,350
тг/4 1,000 1,000 0,972 0,911 0,803 0,463 0,158
71-/3 0,615 0,613 0,574 0,521 0,446 0,260 0,095
5тг/12 0,334 0,329 0,293 0,261 0,242 0,289 0,208
тг/2 0,231 0,226 0,191 0,170 0,186 0,487 1,680
МЗ 0 3,793 3,690 3,603 4,017 4,498 7,916 28,523
тг/12 2,818 2,752 2,564 2,771 3,164 4,567 3,330
7Г / 6 0,756 0,745 0,614 0,589 0,640 0,724 0,362
тг/4 0,207 0,200 0,152 0,130 0,118 0,088 0,037
7Г/3 0,134 0,123 0,077 0,057 0,042 0,041 0,024
5тг/12 0,131 0,117 0,043 0,030 0,048 0,125 0,113
тг/2 0,133 0,117 0,028 0,029 0,060 0,226 0,936
Из данных табл. 2 и рис. 3 видно, что наибольшая концентрация моментов наблюдается в окрестности угла в = 0. С уменьшением отношения с/а значения моментов в этой зоне, а также в окрестности угла в = п/2 возрастают.
Сравнивая данные ранее полученные для случая периодической задачи можно заметить, что в случае двоякопериодической задачи значения моментов меньше. Существенно на значения моментов влияет «степень анизотропии».
Л
\ - !а = чхЛ ОД
и____ ^ - - - _ _ _ _
о 1/12 Я-/5 -/- аг/3 в; рад.
Рис. 3.
Исследованиями установлено, что при уменьшении отношения Ь/а полуосей эллипсов значения моментов в окрестности конца большой полуоси растут, стремясь к бесконечности. При Ь/а < 10_3 эллипсы можно считать трещинами и вычислять для них КИМ.
В табл. 3 для плиты с двоякопериодической системой трещин длины 2а (Ь = 10_3) параллельных оси Ох при действии моментов на бесконечности интенсивности т (М^ = т) в зависимости от отношения с/а, приведены значения КИМ к±м (к±м = 0) для вершин трещин, а на рис. 4 изображены эти значения. На значения к±м значительно влияет анизотропия материала, причем чем ближе трещины к друг другу, тем сильнее это влияние, при с/а > 10 это влияние незначительно.
0 2 4 б 8 с/а
Рис. 4.
Таблица 3
Материал с/а0
оо 10 2 1 0,5 0,1 0,01
Ml 1,000 1,000 1,020 1,051 1,107 1,319 1,644
МЗ 1,000 0,992 0,927 0,926 0,962 1,104 1,315
1. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки / С.Г. Лехницкий. - М.: Гостехиздат, 1957.463 с.
2. Меглинский В.В. Некоторые задачи изгиба тонких многосвязных анизотропных плит / В.В. Меглинский. // Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации упругих тел. - 1967. - № 3. - С. 97-127.
3. Калоеров О.А. Комплексные потенциалы теории изгиба многосвязных анизотропных плит / С.А. Калоеров. // Теорет. и прикладная механика. - 2012. - № 4 (50). - С. 115 - 136.
4. Калоеров О.А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений, индукции и напряженности для многосвязных электроупругих анизотропных сред / С.А. Калоеров. // Прикладная механика. - 2007. - Т. 43, № 6. - С. 56-62.
5. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.:Наука, 1977. - 304 с.
6. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1969. - 280 с.
7. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий / Г.Н. Савин. - К.: Наук. думка, 1968. - 888 с.
8. Васильев В.В. Композиционные материалы: Справочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др. Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. - М.: Машиностроение, 1990. - 512 с.
A.I. Zan'ko
Bending of anisotropic plate with double-periodic range of elliptical holes and cracks.
Using the generalized complex potentials of the theory of elasticity of an anisotropic body, a doubly periodic problem of the theory of elasticity for a plate with elliptical holes or cracks is solved. By expanding holomorphic functions in Laurent series, general representations of the corresponding functions for a plate with a finite number of holes were obtained, then, by satisfying the conditions of doubly periodicity of the stress-strain state, general representations of the sought complex potentials were found, which made it possible to satisfy the boundary conditions on only one contour. These conditions are satisfied by the generalized least squares method, which makes it possible to meet the boundary conditions with a high degree of accuracy even for very close distances between holes and cracks at any orientation.
Keywords: anisotropic plate; double-periodic task; holes; cracks; concentration of bending moments..
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 04.02.2020
