CC BY
37
УДК 539.52
ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ ПРИ БОЛЬШИХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
И.А.Монахов 1 Хабил Ихаб2
1) Профессор факультета прикладной математики МГОУ.
2) Аспирант кафедры сопротивление материалов.
Кафедра сопротивления материалов Российский университет дружбы народов 117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
Задача изгиба круглой пластинки в линейно-упругой постановке является осе - симметричной: нагрузка, граничные условия и НДС не зависят от полярного угла.
Математической моделью рассматриваемой задачи является уравнение Софи Жермен, записанное в полярных координатах [1]:
£)(с/7ж (1г4 + 2 г(с/3и’ с!г3)- 1г2(с12м^ с!г2)+ 1г3(сЬл> с1г^)) = где И' - прогиб пластинки, являющийся функцией переменной г ;
П = ЕИ3 (12(1-V2)).
В случае защемленной по контуру пластинки имеем следующие граничные условия:
-при г = 0, Т.е. в центре пластинки прогиб должен иметь конечное значение;
-при г — Я , где 7? -радиус пластинки, прогиб = 0 и повороты сечений с1ч’/ (1г = О На пластинку действует равномерно распределенное давление q .
Решение уравнения имеет вид:
(Г = д(я2 -г) (640).
Как видно, максимальный прогиб возникает в центре пластины.
Максимальные изгибающие моменты возникают в точках контура пластины:
Мг =-дЛ2:8, Мв=- У^2 8.
Изгибающие моменты в центре пластины:
Мг= Мв= дЯ(1 + у)2 76.
Заметим, что максимальный прогиб защемленной по контуру пластинки в 4 раза меньше максимального прогиба шарнирно опертой пластинки.
Максимальный по абсолютному значению изгибающий момент в точках контура на площадках перпендикулярных радиусу на 40% меньше максимального изгибающего момента в шарнирно опертой пластинке.
Интенсивность напряжений определяется по формуле [2]:
Напряжения СГ иа9 определяются по известным формулам дифференцированием функции W.
Для исследования НДС в линейно-упругой стадии работы и при больших упругопластических деформациях использовался пакет прикладных программ «Космос» (Cosmos), основу которого составляет МКЭ в варианте метода перемещений.
Для осесимметричной задачи пластинка разбивалась на 8 элементов по толщине и 80 элементов по радиусу. Всего пластина разбивалась на 640 элементов. После процедуры ассемблирования получилось 2097 узлов.
Время счета одной задачи для пространственной модели на Pentium III составило 1,5 часа.
Дальнейшее увеличение разбиения приводило к значительному увеличению времени счета и мало влияло на точность вычислений.
На рис. 1 представлена диаграмма деформирования СТ( — £( для материала типа стали с
пределом текучести 200 МПа и модулем упругости 2x7О5 МПа. Материал обладает линейным упрочнением.
МПа
0,001 0,021
Рис 1. Диаграмма деформация
Пластическое состояние материала устанавливается в соответствии с теорией течения Мизеса [3].
Рассмотрены три задачи.
1. Круглая пластинка, нагруженная давлением </ 5.
Отношение толщины пластинки к диаметру 1/20.
Пластинка работает в упругой стадии. Интенсивность напряжений не превосходит 170,2 МПа.
Показаны поля интенсивности напряжений: вид сверху (рис.2) и вид снизу (рис.З) максимальный прогиб в центре пластины 0,29 мм.
Максимальные изгибающие моменты:
- радиальный - в точках внешнего контура; при V = 0,3;МГ =0,125дЯ2, в центре пластинки Мг = 0,081ЦЯ2.
- угловой - в центре пластики, Мв = 0,081цЯ2 в точках контура -0,038дЯ2.
Решение на основе МКЭ совпадает с точным аналитическим решением.
2. Круглая пластинка, нагруженная давлением ц/2.
Отношение толщины пластинки к диаметру 1, 20.
Пластинка работает в упругопластической стадии. Интенсивность напряжений не превосходит 200,1 Мпа.
Показаны поля интенсивности напряжений: вид сверху (рис.4) и вид снизу (рис.5) максимальный прогиб в центре пластины 0,47 мм.
Материал пластинки в точках контура перешел в пластическую стадию работы только на поверхности пластинки.
В центральной зоне интенсивность напряжений достигла и превысила предел текучести.
3. Круглая пластина, нагруженная давлением #.
На рис. 6 показаны поля интенсивности напряжений - вид на пластину сверху, на рис.7 -вид снизу.
Нижняя часть пластины по внешнему контуру и в центре находится в пластической стадии работы. В верхних слоях в центре пластины произошла разгрузка и образовалась упругая зона.
Уоп Н!••• -17».
ЭДакс идеальный прогиб 0,29мде в центре пластины
Рис.2. Вид сверху
Рис.З. Вид снизу
Уог,
2®в.!«•«
Максимальный прогиб 0,47мм в центре пластины
Рис.5. Вид снизу
Уоп М1ве»
(214.3309
1в9.зэв® Максимальный прогиб 10,8мм
.. 164 .458® в центре пластины
139.518®
114. 5708
Рис.6. Вид сверху
Рис. 7. Вид снизу
ЛИТЕРАТУРА
1. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: ВШ, 1982.
2. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. -М.: Машиностроение, 1968.
3. Epxoe М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций - М.: Наука, 1978.
CURVING OF A ROUND PLATE AT LARGE ELASTOPLASTIC STRAINS I.A. Monakhov, Habil Ihab Ali
Department of strength of materials Russian People’s Friendship University Miklukho-Maklaya St 6, Moscow, 117198, Russia
In this article the task of curving of a round plate is solved at large elastoplastic strains by a finite element method with the help of American program COSMOS.
Игорь Александрович Монахов (1950 r.p.) окончил Московский энергетический институт в 1973 году, профессор факультета прикладной математики Московского государственного открытого университета. Автор более 40 научных статей.
Igor Aleksandrovich Monakhov (b. 1950) graduated from Moscow Power Institute in 1973, PhD (Eng), Professor of Faculty of Applied Mathematics of the Moscow Slate Open University. Author of 40 publications.
Хабил Ихаб Али родился в Палестине в 1975 г. В 2000 г. окончил РУДН, аспирант кафедры сопротивление материалов РУДН.
Habil Ihab Ali was born in Palestine in 1975. He graduated in 2000 in RPFU and now is a post-graduate student of department of Strength of Materials RPFU.
